Как найти работы силы натяжения

I. Механика

Тестирование онлайн

Работа

Работа — это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ — как сумму работ (с учетом знаков «+» или «-«) всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ — в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением, которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД — это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости — это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Консервативные (потенциальные) и неконсервативные (непотенциальные) силы*

Формула нахождения работы*

Механическая работа. Мощность

 Введение

Тема урока – ра­бо­та. Мы часто ис­поль­зу­ем это по­ня­тие. На­при­мер, ра­бо­чий устал, по­то­му что про­де­лал боль­шую ра­бо­ту: пе­ре­нес 200 кир­пи­чей с пер­во­го этажа на вто­рой (см. рис. 1).

Рис. 1. Со­вер­ше­ние ра­бо­ты

Мы знаем, по­че­му он устал: он в это время при­кла­ды­вал к кир­пи­чам силу. Но толь­ко ли в силе дело? На­вер­ня­ка, если бы он пе­ре­но­сил кир­пи­чи на тре­тий этаж, он бы вы­пол­нил бόльшую ра­бо­ту, а если он бы тол­кал непо­движ­ную стену, ни­ка­кой ра­бо­ты вы­пол­не­но бы не было, хотя ра­бо­чий бы устал. Зна­чит, дело не толь­ко в силе, пе­ре­ме­ще­ние тоже иг­ра­ет роль. Се­год­ня мы четко опре­де­лим по­ня­тие ра­бо­ты в фи­зи­ке.

Оно близ­ко к бы­то­во­му по­ня­тию ра­бо­ты, но нужно по­ни­мать важ­ный мо­мент.

 Понятие «работа»

В бы­то­вом пред­став­ле­нии ра­бо­ту вы­пол­ня­ет че­ло­век, дви­га­тель или дру­гой субъ­ект. В фи­зи­ке опре­де­ле­ние долж­но быть чет­ким: субъ­ект ра­бо­ты – сила. По­это­му ра­бо­та, вы­пол­нен­ная при дей­ствии несколь­ких сил, равна сумме работ, вы­пол­нен­ных каж­дой силой по от­дель­но­сти.

Как мы уви­де­ли на при­ме­ре, ра­бо­та тем боль­ше, чем боль­ше при­ло­жен­ная сила и чем боль­ше прой­ден­ный путь. И сила, и пе­ре­ме­ще­ние – век­то­ры, они имеют на­прав­ле­ния. Рас­смот­рим пока слу­чай, когда на­прав­ле­ния век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ют (см. рис. 2), ра­бо­та в фи­зи­ке опре­де­ля­ет­ся имен­но так:

т. е. как фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, про­пор­ци­о­наль­ная силе и пе­ре­ме­ще­нию.

Рис. 2. На­прав­ле­ния век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ют

Со­от­вет­ствен­но, еди­ни­цей ра­бо­ты яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ние еди­ни­цы силы на еди­ни­цу пути, т. е. . У этой еди­ни­цы есть соб­ствен­ное на­име­но­ва­ние – джо­уль (Дж).

 Пример 1. Перемещение и сила совпадают

Рас­смот­рим такой при­мер: с крыши дома вы­со­той  упал ка­мень мас­сой . Вы­чис­ли­те ра­бо­ту, ко­то­рую вы­пол­ни­ла сила тя­же­сти (см. рис. 3).

Рис. 3. Па­де­ние камня с крыши дома

Ра­бо­та – это сила, умно­жен­ная на пе­ре­ме­ще­ние. Сила тя­же­сти, дей­ство­вав­шая на ка­мень, равна , пе­ре­ме­ще­ние равно  (ка­мень упал с крыши на землю), ра­бо­та равна  (см. рис. 4).

Рис. 4. Опре­де­ле­ние ра­бо­ты

Важно за­ме­тить, что нам без­раз­лич­но, при­да­ва­ла ли дан­ная сила уско­ре­ние телу. Рас­смот­рим ту же за­да­чу, но с усло­ви­ем, что ка­мень не па­да­ет, а осто­рож­но, с по­сто­ян­ной ско­ро­стью опус­ка­ет­ся на ве­рев­ке. Сила тя­же­сти будет та же, как и пе­ре­ме­ще­ние, по­это­му ра­бо­та будет та же,  (см. рис. 5).

Рис. 5. Ка­мень опус­ка­ют с крыши дома

Нам важно лишь то, как сила участ­ву­ет в дви­же­нии, в какой сте­пе­ни она на него вли­я­ет. Но не все­гда сила на­прав­ле­на туда же, куда и пе­ре­ме­ще­ние. Рас­смот­рим нашу за­да­чу с новым усло­ви­ем: ка­мень опус­ка­ют по на­клон­ной тра­ек­то­рии под углом  к вер­ти­ка­ли (см. рис. 6).

Рис. 6. Ка­мень опус­ка­ют по на­клон­ной тра­ек­то­рии

На пе­ре­ме­ще­ние  вли­я­ет толь­ко та со­став­ля­ю­щая силы тя­же­сти, ко­то­рая на­прав­ле­на вдоль пе­ре­ме­ще­ния, т. е. про­ек­ция силы тя­же­сти на на­прав­ле­ние пе­ре­ме­ще­ния (см. рис. 7).

Рис. 7. Со­став­ля­ю­щая силы тя­же­сти

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ек­ция силы тя­же­сти равна  и ра­бо­та равна  (см. рис. 8).

Рис. 8. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

По­сколь­ку пе­ре­ме­ще­ние уве­ли­чи­лось, , окон­ча­тель­но ра­бо­та равна:

Мы по­лу­чи­ли фор­му­лу для ра­бо­ты в общем виде , где ко­си­нус угла между силой и пе­ре­ме­ще­ни­ем по­ка­зы­ва­ет сте­пень уча­стия силы в дан­ном пе­ре­ме­ще­нии, на­сколь­ко сила вы­пол­ня­ет ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию тела в дан­ном на­прав­ле­нии. Ра­бо­та – это ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние силы и пе­ре­ме­ще­ния.

Фор­му­ла  по­ка­зы­ва­ет част­ный слу­чай: сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны (см. рис. 9), т. е. угол между ними равен 0 и .

Рис. 9. Сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны

 Пример 2. Сила и перемещение разнонаправлены

Вер­нем­ся к за­да­че о камне и рас­смот­рим дру­гой част­ный слу­чай, когда сила и пе­ре­ме­ще­ние на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны. Най­дем те­перь ра­бо­ту силы на­тя­же­ния ве­рев­ки, на ко­то­рой ка­мень спус­ка­ют вер­ти­каль­но (см. рис. 10).

Рис. 10. Най­дем силу на­тя­же­ния ве­рев­ки

На­хо­дим ра­бо­ту по той же фор­му­ле . Пе­ре­ме­ще­ние равно все той же вы­со­те дома. Сила на­тя­же­ния ве­рев­ки по мо­ду­лю равна .

По­че­му 

Угол между про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми век­то­ра­ми  и  равен 180°. Те­перь у нас все есть для на­хож­де­ния ра­бо­ты:

Ре­зуль­тат со­гла­су­ет­ся с на­ши­ми пред­став­ле­ни­я­ми: когда сила и пе­ре­ме­ще­ние на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но, мы по­лу­чи­ли от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту, и дей­стви­тель­но, сила не спо­соб­ству­ет дви­же­нию, а про­ти­во­дей­ству­ет ему. Сила на­тя­же­ния ве­рев­ки «тащит» ка­мень вверх, а он опус­ка­ет­ся вниз.

О вы­бо­ре си­сте­мы ко­ор­ди­нат

Об от­ри­ца­тель­ной ра­бо­те

 Пример 3. Сила и перемещение перпендикулярны

Рас­смот­рим еще один слу­чай: ка­мень не опус­ка­ли, а пе­ре­ме­сти­ли го­ри­зон­таль­но на рас­сто­я­ние  (см. рис. 14).

Рис. 14. Сила на­тя­же­ния нити ра­бо­ту не со­вер­ша­ет

Тогда ра­бо­та силы на­тя­же­ния нити равна , сила на­тя­же­ния ра­бо­ту не со­вер­ша­ет. Со­вер­ша­ет ра­бо­ту сила тяги , под дей­стви­ем ко­то­рой груз будет пе­ре­ме­щать­ся го­ри­зон­таль­но, эта сила со­вер­шит ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию груза (см. рис. 15).

Рис. 15. Сила, ко­то­рая со­вер­ша­ет ра­бо­ту

Здесь ре­зуль­тат тоже ло­ги­чен: про­ек­ция силы на­тя­же­ния на го­ри­зон­таль­ное на­прав­ле­ние равна нулю, по­это­му эта сила не вли­я­ет на дви­же­ние тела в дан­ном на­прав­ле­нии и, со­от­вет­ствен­но, не со­вер­ша­ет ра­бо­ты по пе­ре­ме­ще­нию в дан­ном на­прав­ле­нии.

Про­ти­во­ре­чие жиз­нен­но­му опыту

Как видим, во всех слу­ча­ях спра­вед­ли­во одно общее вы­ра­же­ние: . 

 Задача 1

Какую ра­бо­ту надо со­вер­шить, чтобы за­ста­вить поезд мас­сой 800 т: а) уве­ли­чить свою ско­рость от 36 до 54 ; б) оста­но­вить­ся при на­чаль­ной ско­ро­сти 72 ?

За­да­ча на ра­бо­ту. Ра­бо­ту будет со­вер­шать сила тяги по­ез­да  (см. рис. 17).

Рис. 17. Сила тяги со­вер­ша­ет ра­бо­ту

Поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем ра­бо­ты, это ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние суммы и пе­ре­ме­ще­ния:

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем под дей­стви­ем силы тяги, при­ме­ним вто­рой закон Нью­то­на (сразу учтем, что сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры ком­пен­си­ру­ют­ся) (см. рис. 18).

Рис. 18. При­ме­ня­ем вто­рой закон Нью­то­на

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем, из­ме­ня­ет ско­рость с  до, при­ме­ним урав­не­ния ки­не­ма­ти­ки для рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния. По опре­де­ле­нию уско­ре­ние равно:

Путь при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии равен:

Вы­бе­рем си­сте­му ко­ор­ди­нат. Удоб­но на­пра­вить ось х в на­прав­ле­нии дви­же­ния по­ез­да (см. рис. 19).

Рис. 19. Выбор на­прав­ле­ния оси х

Тогда про­ек­ции ско­ро­стей и пе­ре­ме­ще­ния будут по­ло­жи­тель­ны, про­ек­ция уско­ре­ния опре­де­ля­ет­ся раз­но­стью , сила со­на­прав­ле­на с уско­ре­ни­ем.

По­лу­чим си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую оста­ет­ся толь­ко ре­шить, а это за­да­ча ма­те­ма­ти­че­ская:

Решив си­сте­му урав­не­ний, по­лу­ча­ем ответ:

Вы­чис­лим для двух слу­ча­ев, за­дан­ных в усло­вии. Поезд раз­го­ня­ет­ся от 36 км/ч до 54 км/ч. В СИ зна­че­ния ско­ро­сти будут равны 10 м/с и 15 м/с. Масса равна 800 т или .

Поезд тор­мо­зит от 72 км/ч до 0 км/ч. В СИ на­чаль­ная ско­рость равна 20 м/с.

Ответ: 50 (МДж); -160 (МДж).

В пер­вом слу­чае ско­рость уве­ли­чи­ва­лась, зна­чит, уско­ре­ние и сила были со­на­прав­ле­ны со ско­ро­стью и пе­ре­ме­ще­ни­ем (см. рис. 20).

Рис. 20. Уско­ре­ние и сила со­на­прав­ле­ны со ско­ро­стью и пе­ре­ме­ще­ни­ем

Сила со­на­прав­ле­на с пе­ре­ме­ще­ни­ем, ра­бо­та в этом слу­чае по­ло­жи­тель­на, что мы и по­лу­чи­ли. Во вто­ром слу­чае ско­рость умень­ша­лась, зна­чит, уско­ре­ние и сила на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но ско­ро­сти и пе­ре­ме­ще­нию. Сила на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но пе­ре­ме­ще­нию, ра­бо­та от­ри­ца­тель­на (см. рис. 21).

Рис. 21. Сила на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но пе­ре­ме­ще­нию

Мы все сде­ла­ли пра­виль­но.

На сле­ду­ю­щем уроке раз­бе­рем это более по­дроб­но, но можем за­ме­тить, что  и  – это ки­не­ти­че­ская энер­гия, т. е. ра­бо­та была за­тра­че­на на из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии.

Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров того, как силы вы­пол­ня­ют ра­бо­ту.

Нет спе­ци­фи­че­ских пра­вил для каж­дой силы, они все под­чи­ня­ют­ся од­но­му вы­ра­же­нию . В каж­дом слу­чае для на­хож­де­ния ра­бо­ты мы долж­ны узнать силу, пе­ре­ме­ще­ние и их на­прав­ле­ния. Мы лишь можем за­ме­тить тен­ден­ции, что чаще всего (но не все­гда) ра­бо­та силы тяги по­ло­жи­тель­на, по­то­му что в боль­шин­стве слу­ча­ев тело дви­жет­ся туда, куда мы его тянем (см. рис. 22).

Рис. 22. Ра­бо­та силы тяги

Чаще всего (но не все­гда) ра­бо­та силы тре­ния от­ри­ца­тель­на, т. к. она на­прав­ле­на про­тив на­прав­ле­ния дви­же­ния сколь­зя­ще­го тела (см. рис. 23).

Рис. 23 . Ра­бо­та силы тре­ния

Чаще всего (но не все­гда) тела дви­жут­ся вдоль по­верх­но­сти, в то время как сила ре­ак­ции опоры на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ей, по­это­му ра­бо­та силы ре­ак­ции опоры равна нулю. Но это лишь тен­ден­ции, ко­то­рые го­во­рят, как бы­ва­ет чаще всего, мы же под­чи­ня­ем все слу­чаи од­но­му за­ко­ну  и на­хо­дим од­но­знач­ный ответ на во­прос.

 Задача 2

Лифт на­чи­на­ет дви­же­ние вниз и через 3 с до­сти­га­ет ско­ро­сти 1,5 м/с. Найти ра­бо­ту силы ре­ак­ции опоры по пе­ре­ме­ще­нию груза за это время, если масса груза в лифте равна 140 кг.

В за­да­че опи­сан груз, ко­то­рый дви­жет­ся под дей­стви­ем силы тя­же­сти и силы ре­ак­ции опоры. Рас­смот­рим силу ре­ак­ции опоры. Ра­бо­та на­хо­дит­ся как ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние  (см. рис. 24).

Рис. 24. На­хож­де­ние ра­бо­ты

Тело дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем под дей­стви­ем раз­ных сил, этот про­цесс под­чи­ня­ет­ся вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на и опи­сы­ва­ет­ся фор­му­ла­ми ки­не­ма­ти­ки.

Сразу учтем, что , тогда по опре­де­ле­нию уско­ре­ние равно:

Путь при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии равен:

На­пра­вим ось ко­ор­ди­нат у вдоль дви­же­ния лифта, вер­ти­каль­но вниз (см. рис. 25).

Рис. 25. Выбор на­прав­ле­ния оси y

Тогда в про­ек­ции на ось у по­лу­чим:

Вы­чис­лим:

Ответ: -3 (кДж).

За­да­ча ре­ше­на.

 Мощность

Когда мы оце­ни­ва­ем ка­че­ство ра­бот­ни­ка (или ме­ха­низ­ма, или дви­га­те­ля), нам мало ру­ко­вод­ство­вать­ся толь­ко тем, какую ра­бо­ту он вы­пол­нил. Нас еще ин­те­ре­су­ет, как быст­ро он ее вы­пол­ня­ет. Можно со­вер­шить ра­бо­ту за час и быть мо­лод­цом, а можно по­тра­тить на ту же ра­бо­ту целый день: ра­бо­та вы­пол­не­на, ре­зуль­тат тот же, но мед­лен­но. Для ха­рак­те­ри­сти­ки быст­ро­ты или ско­ро­сти вы­пол­не­ния ра­бо­ты вво­дит­ся ве­ли­чи­на мощ­ность. Мы уже стал­ки­ва­лись с ве­ли­чи­на­ми, ха­рак­те­ри­зу­ю­щи­ми быст­ро­ту (ско­ро­стью, уско­ре­ни­ем), по­это­му знаем, что быст­ро­та из­ме­не­ния ка­кой-ли­бо ве­ли­чи­ны – это из­ме­не­ние ве­ли­чи­ны, де­лен­ное на про­ме­жу­ток вре­ме­ни, на про­тя­же­нии ко­то­ро­го ве­ли­чи­на из­ме­ня­лась.

 Так же и мощ­ность – это ра­бо­та, де­лен­ная на время ее вы­пол­не­ния: 

Еди­ни­ца мощ­но­сти на­зы­ва­ет­ся ватт (Вт).

По­че­му ино­гда со­вер­ша­ет­ся неболь­шая ра­бо­та при боль­шой мощ­ности

 Задача 3

Какую сред­нюю мощ­ность раз­ви­ва­ет сила тя­же­сти в про­цес­се па­де­ния кота мас­сой 2 кг с де­ре­ва вы­со­той 3 м?

За­да­ча на мощ­ность, ис­поль­зу­ем опре­де­ле­ние мощ­но­сти как ско­ро­сти со­вер­ше­ния ра­бо­ты:

Ра­бо­та – это сила, умно­жен­ная на пе­ре­ме­ще­ние:

(в нашем слу­чае сила тя­же­сти  на­прав­ле­на вниз, пе­ре­ме­ща­ет­ся кот тоже вниз).

Для задач на дви­же­ние мы можем также при­ме­нять за­ко­ны ки­не­ма­ти­ки. За время па­де­ния кот, дви­га­ясь рав­но­уско­рен­но из со­сто­я­ния покоя, прой­дет путь:

На­пра­вим ось у вер­ти­каль­но вниз вдоль пе­ре­ме­ще­ния кота (см. рис. 26).

Рис. 26. Выбор на­прав­ле­ния оси y

Тогда в про­ек­ции на ось у за­пи­шем си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую оста­ет­ся толь­ко ре­шить:

Ответ: 77,5 (Вт).

Движение по окружности (кинематика, динамика)

Найти линейную скорость Земли v при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R=1,5·10 8 км.

Ответ и решение

Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин -1 , посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки?

Ответ и решение

v ≈ 317 м/с. Точка на конце пропеллера описывает винтовую линию с шагом h ≈ 1,35 м.

Пропеллер самолета вращается с частотой:

λ = 2000/60 с -1 = 33,33 с -1 .

Линейная скорость точки на конце пропеллера:

Скорость самолета при посадке v = 45 м/с.

Результирующая скорость точки на конце пропеллера равна сумме векторов линейной скорости при вращении пропеллера и скорости самолета при посадке:

v_рез = ≈ 317 м/с.

Шаг винтовой траектории равен:

Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v. Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v.

Геометрическим местом точек на диске, имеющих скорость v в данный момент, является дуга радиуса R, центр которой лежит в точке касания диска с плоскостью, т.е. в мгновенном центре вращения.

Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v₁ и v₂.

Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны.

; .

По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью v_c обруч радиусом R. Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно Земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

v_A = 2v_Ccosα. Ускорение точек обода содержит только центростремительную составляющую, равную a_ц = v 2 /R.

Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а_цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью v₀ вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости?

Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k. При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

.

Две точечные массы m₁ и m₂ прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны l₁ и l₂ соответственно.

Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец, с угловой скоростью ω. Найти силы натяжения участков нити Т₁ и Т₂.

Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R=4 м. С какой частотой n должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения k=0,27?

Тело массой m находится на горизонтальном диске на расстоянии r от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При каком значении угловой скорости диска начнется соскальзывание тела?

.

Камень массой m=0,5 кг, привязанный к веревке длиной l=50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит низшую точку окружности, Т=44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?

Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние l=70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m=5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R=1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Автомобиль массой М=3*10 3 кг движется с постоянной скоростью v=36 км/ч: а) по горизонтальному мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях R=60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α=10° с вертикалью?

По выпуклому мосту, радиус кривизны которого R = 90 м, со скоростью v = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α, автомобиль давит с силой F = 14 400 Н. Определить угол α.

Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l =1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. При этом угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика.

С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления R = 150 м, чтобы его не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42?

1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч?

2. Автомобиль со всеми ведущими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности α = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю k = 0,3.

Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью v = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м.

Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

1. С какой максимальной скоростью v может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения k = 0,4?

2. На какой угол φ от вертикального направления он должен при этом отклониться?

3. Чему будет равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона α = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения?

4. Каким должен быть угол наклона трека α₀ для того, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернут вокруг направления полета на угол α = 10°.

На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону?

В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со скоростью v = 12 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу натяжения пружины Т).

Найти силу F_ед.об., отделяющую сливки (плотность ρ_с = 0,93 г/см 3 ) от снятого молока (ρ_м = 1,03 г/см 3 ) в расчете на единицу объема, если отделение происходит: а) в неподвижном сосуде; б) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин -1 , если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

Самолет делает «мертвую петлю» с радиусом R = 100 м и движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой F тело летчика массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли?

Определить силу натяжения Т каната гигантских шагов, если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол α = 45°. С какой угловой скоростью со будут вращаться гигантские шаги, если длина подвеса l = 5 м?

T ≈ 990 Н; ω ≈ 1,68 рад/с.

Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l. Угол, образуемый нитью с вертикалью, α.

.

Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h. Найти частоту и вращения груза, считая ее неизменной.

. Результат не зависит от длины подвеса.

Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качениях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н.

Шарик массой m подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол α_мин надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5 mg?

Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. При каком угле α с вертикалью сила натяжения нити будет равна по величине действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим.

Груз массой m, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжений нити.

Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста m. Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке.

Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной l, а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости?

Для нити v_мин = ; для стержня v_мин = .

Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения нити Т от угла α, который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить выведенную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через положение равновесия, при α = 90°.

Математический маятник длиной l и массой М отвели на угол φ₀ от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v₀, направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения нити маятника Т в зависимости от угла φ нити с вертикалью.

.

Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует пить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

Одинаковые упругие шарики массой m, подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол α и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила F, действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей деформации шариков?

Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной l сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость v₀. Определить максимальную высоту его подъема h при движении по окружности, если v₀ 2 = 3gl. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достиг максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту H, достигаемую при этом движении маятника.

; по параболе; .

Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной l. В точке О на расстоянии l/2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

На l/6 ниже точки подвеса; по параболе; на 2l/27 ниже точки подвеса.

Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна D = 20 см и углом наклона стенок α = 60°, вращается вокруг вертикальной оси 00₁. При какой угловой скорости вращения сосуда ω маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать.

Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин -1 . Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и реакцию сферы N.

Внутри конической поверхности, движущейся с ускорением a, вращается шарик по окружности радиусом R. Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2α.

.

Небольшое тело массой m соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R.

Трение ничтожно мало. Определить: а) какова должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какое давление F при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол α с вертикалью.

Лента конвейера наклонена к горизонту под углом α. Определить минимальную скорость ленты v_мин, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R.

v_мин = .

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы радиусом R? Трением пренебречь.

Найти кинетическую энергию обруча массой m, катящегося со скоростью v. Проскальзывания нет.

Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R, радиус обруча r.

Маленький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обод к нижней точке полусферы. Масса обруча равна m, радиус полусферы R.

Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает М = 300 т воды.

Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки A и В один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой. Обе дуги имеют одинаковую кривизну и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же.

В каком случае скорость тела в точке B больше?

В случае движения по выпуклой дуге.

Стержень ничтожной массы длиной l с двумя маленькими шариками m₁ и m₂ (m₁ > m₂) на концах может вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия.

; .

На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой m. Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет n полных витков? Радиус витка R, расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h ≪ R.

.

Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладхом горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина l = 20 см и цепочка вращается с частотой n = 20 с -1 .

Реактивный самолет m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. На сколько изменится подъемная сила, действующая на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад?

Формула силы натяжения нити

Определение и формула силы натяжения нити

Силу натяжения определяют как равнодействующую сил $(bar)$, приложенных к нити, равную ей по модулю, но противоположно направленную. Устоявшегося символа (буквы), обозначающего силу натяжения нет. Ее обозначают и просто $bar$ и $bar$, и $bar$ . Математически определение для силы натяжения нити можно записать как:

где $bar$ = векторная сумма всех сил, которые действуют на нить. Сила натяжения нити всегда направлена по нити (или подвесу).

Чаще всего в задачах и примерах рассматривают нить, массой которой можно пренебречь. Ее называют невесомой.

Еще одним важной характеристикой нити при расчете силы натяжения является ее растяжимость. Если исследуется невесомая и нерастяжимая нить, то такая нить считается просто проводящей через себя силу. В том случае, когда необходимо учитывать растяжение нити, применяют закон Гука, при этом:

где k – коэффициент жесткости нити, $Delta l$ – удлинение нити при растяжении.

Единицы измерения силы натяжения нити

Основной единицей измерения силы натяжения нити (как и любой силы) в системе СИ является: [T]=Н

Примеры решения задач

Задание. Невесомая, нерастяжимая нить выдерживает силу натяжения T=4400Н. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массой m=400 кг, который подвешивают на эту нить, чтобы она не разорвалась?

Решение. Изобразим на рис.1 все силы, действующие на груз, и запишем второй закон Ньютона. Тело будем считать материальной точкой, все силы приложенными к центру масс тела.

где $bar$ – сила натяжения нити. Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Из выражения (1.2) получим ускорение:

Все данные в задаче представлены в единицах системы СИ, проведем вычисления:

Ответ. a=1,2м/с 2

Задание. Шарик, имеющий массу m=0,1 кг прикрепленный к нити (рис.2) движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Найдите модуль силы натяжения нити, если длина нити l=5 м, радиус окружности R=3м.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для сил, приложенных к шарику, который вращается по окружности с центростремительным ускорением:

Найдем проекции данного уравнения на обозначенные на рис.2 оси X и Y:

$$ begin X: quad T sin alpha=m a=m omega^ <2>R(2.2) \ Y: quad-m g+T cos alpha=0 end $$

Из уравнения (2.3) получим формулу для модуля силы натяжения нити:

Из рис.2 видно, что:

Подставим (2.5) вместо $cos alpha$ в выражение (2.4), получим:

Так как все данные в условиях задачи приведены в единицах системы СИ, проведем вычисления:

I. Механика

Тестирование онлайн

Работа

Работа — это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ — как сумму работ (с учетом знаков «+» или «-«) всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ — в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением, которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД — это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости — это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Консервативные (потенциальные) и неконсервативные (непотенциальные) силы*

Если работа силы при перемещении тела по замкнутому пути равна нулю, то такие силы называют консервативными или потенциальными. Работа силы трения при перемещении тела по замкнутому пути никогда не равна нулю. Сила трения в отличие от силы тяжести или силы упругости является неконсервативной или непотенциальной.

Формула нахождения работы*

Есть условия, при которых нельзя использовать формулу
Если сила является переменной, если траектория движения является кривой линией. В этом случае путь разбивается на малые участки, для которых эти условия выполняются, и подсчитать элементарные работы на каждом из этих участков. Полная работа в этом случае равна алгебраической сумме элементарных работ:

Значение работы некоторой силы зависит от выбора системы отсчета.

Работа силы тяжести. Работа реакции опоры. Работа силы трения. Работа силы натяжения веревки. Работа равнодействующей силы

Лекция №3 по динамике

Работа

Работа — это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу;

2) Изображаем вектор перемещения;

3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами:

 1 способ — как сумму работ (с учетом знаков «+» или «-«) всех действующих на тело сил, в нашем примере.

2 способ — в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

§ 1. В механике работа, совершаемая постоянной силой  при перемещении тела на величину , равна произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения:

A = F·s·cos α.

Такое понятие не всегда соответствует обыденному представлению о работе. Например, штангист, удерживающий груз на поднятых руках, или носильщик, несущий тяжелый чемодан, механической работы не совершают (объясните — почему?).

Когда действующая на тело сила не постоянна (меняется ее модуль или направление), работу такой силы можно найти следующим образом. Разобьем все перемещение тела на такие малые участки , чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной соответственно . Затем найдем работу на каждом участке:

A₁ = F₁·s₁·cos α₁,

A₂ = F₂·s₂·cos α₂, …

A_n = F_n·s_n·cos α_n,

a полная работа будет равна сумме работ на отдельных участках:

A = A₁ + A₂ + … + A_n.

В тех случаях, когда известно, как изменяется от точки к точке проекция силы на направление перемещения F_s = F·cos α, работу можно найти графически (рис. 1). Полная работа на участке ВС численно равна площади фигуры BDEC.

Рис. 1

Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной гладкой цепочки на гладкий горизонтальный стол? Первоначальное положение цепочки указано на рисунке 2, а; ее длина l = 6 м; масса m = 3 кг.

              

а                         б                             в

Рис. 2

В начальный момент на цепочку действует сила тяжести m·g, и для ее удержания требуется сила

F = m·g.

По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия, будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на столе, через x (рис. 2, б). В этот момент к цепочке надо приложить силу

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 2, в). Тогда работа, которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет численно равна площади заштрихованного треугольника:

Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра тяжести цепочки. Поскольку в начальный момент он находится на расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа .

Задача 2. К точкам В и С, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. 3, а). Масса цепочки равна массе обоих стержней. Какой из центров тяжести — цепочки или системы стержней — находится ниже?

а

б

Рис. 3.

Подействуем на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стержней (рис. 3, б). Очевидно, что в этом случае центры тяжести цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над ней совершить некоторую работу, можно утверждать, что ее новое положение центра тяжести выше прежнего.

Следовательно, первоначально центр тяжести цепочки находился ниже центра тяжести системы стержней.

Задача 3. В первом опыте пружину, имеющую жесткость k и длину в недеформированном состоянии l₀, растягивают до длины l. Во втором опыте эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берут одну из них и растягивают ее тоже до длины l. Определите работу, которую надо совершить в первом и во втором опытах.

Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величину x возникает сила упругости F_yпр = –k·x (знак «минус» говорит о том, что сила упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того чтобы растянуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу , равную по модулю силе упругости, но противоположную ей по направлению:

F = –F_yпр = k·x.

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 4, а) и по нему найдем работу, которую должна совершить внешняя сила для растяжения недеформированной пружины на величину x:

а

б

Рис. 4.

В случае, когда пружина уже была растянута на величину x₁, а теперь ее надо растянуть до x₂, работа внешней силы будет равна (рис. 4, б)

Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опыте для растяжения целой пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до длины l необходимо совершить работу

Во втором опыте до той же длины l растягивают лишь половину пружины так, что удлинение . Кроме того, жесткость половины пружины не такая, как жесткость целой пружины: она в два раза больше (покажите это самостоятельно). Поэтому во втором опыте необходимо совершить работу

§ 2. В механике принято различать кинетическую энергию, обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным расположением тел системы или частей одного и того же тела.

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ, равна

Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяжести на высоте h над нулевым уровнем, равна

E_p= m·g·h,

а потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

Между понятиями «механическая работа» и «механическая энергия» есть тесная связь. Работа равнодействующей сил, приложенных к системе, равна изменению кинетической энергии системы:

A= E_k2 – Е_k1.

Работа сил тяжести или упругости, действующих в системе, равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы:

А = –(Е_p2 – Е_p1).

Задача 4. На рогатке закреплена длинная (по сравнению с размерами рогатки) резина с жесткостью k. Найдите максимальную скорость камня массой m, выпущенного из рогатки, если предварительно его оттянули на расстояние x(рис. 5).

Рис. 5

Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют две параллельные силы упругости резины . При оттягивании камня на расстояние x суммарное удлинение пружины будет 2x, и модуль силы упругости F = k·(2x) = 2k·x.

При возвращении в исходное недеформированное состояние резины силы упругости, действующие на камень, совершат работу

За счет этой работы камень приобретет кинетическую энергию

Таким образом,

откуда

Задача 5. Какая работа будет совершена силой F = 30 H при подъеме тела массой m = 2 кг на высоту h = 20 м?

Согласно определению, работа приложенной к телу силы равна

A = F·h = 600 Дж.

С другой стороны, при подъеме тела на высоту h против силы тяжести m·g совершается работа

A‘ = m·g·h = 400 Дж.

Конечно же, ничего странного в расхождении полученных результатов нет. Дело в том, что А‘ — это минимальная работа, которую нужно совершить для поднятия тела. За счет этой работы увеличивается его потенциальная энергия в поле тяжести Земли:

ΔE_p= m·g·h = 400 Дж.

Остальная же часть работы идет на увеличение кинетической энергии тела (тело движется с ускорением, а почему?):

ΔE_k = A – A‘ = 200 Дж.

Задача 6. На невесомой конструкции из стержней, соединенных шарнирно, подвешен груз массой m (рис. 6). Чему равно натяжение нити?

Рис. 6

Мысленно уменьшим длину нити на величину x, настолько малую, чтобы изменением силы натяжения нити можно было пренебречь. Тогда груз поднимется на высоту 2x (покажите это).

Работа силы натяжения нити при этом будет равна

A = F_н·x,

а потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли изменится на

ΔE_p = m·g·(2x) = 2m·g·x.

Таким образом,

F_н·x = 2m·g·x,

откуда

F_н = 2m·g.

§ 3. Энергия принадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения.

В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только силами тяготения и упругости, то полная механическая энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной. Действие же силы, трения приводит к тому, что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

Задача 7. Мальчик на коньках разгоняется до скорости υ и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он сможет подняться, если коэффициент трения μ, а угол наклона горки к горизонту α?

В начальный момент мальчик обладает кинетической энергией , а в конечный момент — потенциальной энергией m·g·h (здесь m — масса мальчика, h — искомая высота подъема). За счет уменьшения полной механической энергии совершается работа против силы трения :

Отсюда находим искомую высоту h:

Задача 8. Камень массой m соскальзывает с гладкой горки высотой Н. Рассмотрим этот процесс в двух различных инерциальных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня m·g·H переходит в кинетическую энергию , так что после соскальзывания с горки камень имеет скорость υ (рис. 7). Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, движущейся со скоростью υ вправо, скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия m·g·H и кинетическая энергия , а в конце нет ни той, ни другой. Куда же «пропала» энергия?

(Аналогичные вопросы подробно разбираются в статье В.А. Орлова «Парадокс «большого» тела», опубликованной в третьем номере журнала за 1978 год. (Примеч. ред.))

Рис. 7

Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в этом случае. Причина сформулированного в условии парадокса в том, что рассуждения проводились для незамкнутой системы — одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту ошибку.

а) В неподвижной системе отсчета (связанной с центром масс системы камень — Земля) в начальный момент камень и Земля покоятся, и вся энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень приобретает скорость , а Земля — скорость , которую можно найти из закона сохранения импульса:

откуда

где М — масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

Поскольку масса камня ничтожно мала по сравнению с массой Земли, величиной m/М по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим

что целиком соответствует условию задачи.

б) В движущейся системе отсчета в начальный момент общая энергия системы равна

а в конечный она равна . Из закона сохранения импульса

получаем

и

Тогда из закона сохранения энергии имеем

или, пренебрегая величиной m/M по сравнению с двойкой,

— тот же самый результат, что и с точки зрения неподвижного наблюдателя!

Упражнения

1. Тело массой M = 990 г лежит на горизонтальной плоскости. В него попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 100 м/с, и застревает в нем. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между ним и плоскостью μ = 0,05?

2. В вагоне равномерно идущего поезда стоит человек, натягивающий пружину с силой  (рис. 8). Поезд прошел путь l. Какую работу при этом совершил человек в системе отсчета, связанной с поездом, и в системе отсчета, связанной с Землей?

Рис. 8

Ответы

1.

2. В обеих системах отсчета A = 0.