Как найти радианное значение угла

Угол может измеряться следующими величинами:

1. Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
2. Радианами.

Градусная мера угла

Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.

Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.

Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.

Радианная мера угла

Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.

Длина окружности равна:

l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,

где rr — радиус этой окружности.

Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:

lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}

В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.

Отсюда находим связь между радианами и градусами:

2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}

Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.

Один радиан равен:

1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}

Один радиан в минутах:

1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′

Один радиан в секундах:

1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280»

Перевод градусов в радианы

Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.

Перевод градусов в радианы

y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x

xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.

Пример 1

Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.

Решение

45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}

Ответ

0.8 радиан0.8text{ радиан}

Задача

Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?

Решение

Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:

180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ

Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:

60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}

Решение

1 радиан1text{ радиан}

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.

Перевод радиан в градусы

y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x

xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.

Пример 2

Переведите 3 радиана в градусную меру угла.

Решение

3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ

Ответ

172∘172^circ

Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!

Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»

Основное понятие градуса и радиана и их взаимосвязь

В математике, такое определение, как угол принято измерять градусами и радианами.

Эти два измерения угла имеют взаимосвязь и необходимо четко понимать в чем она заключается.

В данном материале, мы постараемся разобраться и вывести

основную формулу для вычисления градусов в значение радиан, и соответственно в обратном порядке.

Радианная мера — угловое значение,где  за единицу берется угол в 1 радиан. А именно, вышеупомянутая мера любого угла — это соотношение принятого угла к радиану. Из этого следует, что величина полного значения угла равняется  [2 cdot pi] радиан.

 Определяем длину окружности, по стандартной формуле:

[
l=2 cdot pi cdot r
]

Чтобы определить полный угол в радианах проводим следующие действие: [frac{l}{r}=frac{2 cdot pi cdot r}{r}=2 cdot pi] , соответственно в градусах значение будет равно 360. Отсюда следует [2 cdot pi=360^{circ}].

Какова связь между градусами и радианами?

Угол имеет градусную и радианную меру. Зная ее, можно установить связь между градусом и радианом.

Например, возьмем для примера центральный угол, который примыкает к диаметру окружности радиуса R.

Нам необходимо вычислить значение радианной меры угла. Для решения этой задачи, длину самой дуги поделить на длину радиуса окружности.

Заданный угол равен [pi] радиан. Данный угол 180 градусов и по законам математики, является развернутым. Отсюда следует, что  180 градусов эквивалентно [pi] радиан.

Данную связь можно выразить через формулу.

[text { п рад }=180 text { град. }]

Перевод радианов в градусы и соответственно в обратном порядке

Для перевода радиан в градусы и наоборот необходимо знать и применять на практике следующие формулы:

Один радиан равен: [frac{360^{circ}}{2 cdot pi} approx 57^{circ}];

Один радиан в минутах: [frac{360^{circ}}{2 cdot pi} cdot 60 approx 3438];

Один радиан в секундах: [frac{360^{circ}}{2 cdot pi} cdot 3600 approx 206280].

[
1 text { радиан }=left(frac{180}{pi}right) text { градусов. }
]

[
1 text { градус }=left(frac{pi}{180}right) text { рад. }
]

Рассмотрим на конкретном примере:

[1 text { радиан }=left(frac{180}{pi}right)=left(frac{180}{3,14}right)=57,324] следовательно в 1 радиане 57 градусов.

[1 text { градус }=left(frac{pi}{180}right) text { радиан }=left(frac{3,14}{180}right)=0,017] радиан (сокращенно рад.).

[text { х радиан }=left(frac{chi cdot 180}{pi}right)], дословно будет звучать как: 180 * умножить на числовое значение угла и раздели.

Соответствие градусов и радиан принято, для удобства решения сводить в таблицу.

Пример, приведен в таблице 1.

Таблица 1. Соотношение значений.

Числовые значения в градусах	Соответствующие данные радиан
1°	0,018
2°	0,035

Как мы видим  изученная тема не очень сложная. Достаточно знать основные формулы и в расчетах, и проблем не должно возникать.

Для более лучшего закрепления разберемся и решим несколько задач по вычислении градусов и радианов углов.

Задача №1

Переведите 35 градусов в радианы.

[
35^{circ}=left(frac{pi}{180}right) cdot 35 text { радиан }=0,6 text { рад }
]

Ответ: 35°=0,6 рад.

Задача №2

Переведите 55 градусов в радианы.

[55^{circ}=left(frac{pi}{180}right) cdot 55 text { радиан}=0,9 text { paд }]

Ответ: 55°=0,9 рад.

Задача №3

Необходимо вычислить значение третьей половины полного угла.

Для начала определяем угол в градусах.

Нужно определить третью часть угла. Следовательно полный угол равняется 360 градусов, половина 180, а треть [frac{180}{3}=60] градусов.

Пользуясь формулой из задач №1 и 2, определяем значение в радианах.

[
60^{circ}=left(frac{pi}{180}right) cdot 60 text { радиан }=1 text { рад }
]

Ответ: 1 рад.

Содержание:

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

До недавнего времени говоря об угле мы имели в виду угол, полученный между двумя неподвижными сторонами. Угол также можно рассматривать как измерение поворота. Например, радиус колеса, расположенного по горизонтали при вращении вокруг неподвижной оси, через определённое время относительно начального положения образует некоторый угол. К тому же значение угла зависит от направления поворота. Любой угол можно рассматривать как фигуру, полученную вращением луча вокруг начальной точки.

Начальное положение луча соответствует одной стороне угла, конечное положение — другой стороне. При вращении луча на координатной плоскости относительно начала координат в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки, можно получить различные углы.

Начальная сторона угла поворота совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Сторону, полученную при вращении относительно начала координат (вершины угла), назовём конечной стороной. Принято считать, что если поворот происходит в направлении против часовой стрелки, то угол имеет положительное значение, при повороте в направлении по часовой стрелке, угол имеет отрицательное значение,

положительный угол отрицательный угол

Координатные оси разбивают координатную плоскость на 4 четверти. Значение угла, в зависимости от того, в какой четверти расположена его конечная сторона, меняется в определенном интервале.

Конечная сторона угла может совершить один или несколько оборотов относительно начала координат. Один полный оборот соответствует углу 360°. Существует бесконечное число углов поворота, у которых начальная и конечная стороны совпадают. Например, конечные стороны углов 30°и 390° совпадают. В общем, для углов поворота и (здесь произвольное целое число) конечные стороны совпадают.

Радианная и градусная мера угла

Пример 1. Нарисуйте угол заданной величины. Определите какой четверти принадлежит конечная сторона угла.

Пример 2. На координатной плоскости покажите и запишите градусные меры двух положительных и одного отрицательного угла поворота, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 60°.

Радианное измерение углов

Угол в один радиан-это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Радианная мера угла есть отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: . Величина угла, выраженная в радианах не зависит от длины радиуса (объясните, воспользуясь подобием фигур на рисунке).

Пример 1. Сколько радиан составляет центральный угол, длина дуги которого равна 12 см, если радиус окружности равен 4 см?

Решение: 1 радиан соответствует длине дуги 4 см. Дуге длиной 12 см будет соответствовать угол 12 : 4 = 3 радиан. Длина окружности . Если центральный угол, соответствующий дуге окружности радиуса равен 1 радиану, то дуге, равной; соответствует центральный угол . Ниже показаны радианные меры углов поворота.

Радианная мера одного целого оборота равна , градусная мера 360°. То есть, радиан = 360°. Отсюда можно установить следующую связь между радианной и градусной мерой. Преобразование радиан в градусы:

Преобразование градусов в радианы:

Таким образом, рад = 180°. Обозначение «рад’ часто опускают. Вместо рад = 180° обычно пишут = 180°. Отсюда получаем, что

Используя соответствующие радианные и градусные меры углов, расположенных в первой четверти, можно найти увеличенные в разы значения других углов. Например, если 30° = , тогда 150° =

Пример 2. Выразите углы, заданные в градусах радианами, а углы, заданные радианами в градусах, а) 60° ; б)

Решение.

а)60° = радиан — радиан 1,047 радиан

б) радиан

Пример 3. Выразите углы, конечная сторона которых совпадает с углом 45°, в градусах и радианах.

Решение: Конечная сторона угла 45°совпадает с углами 405° и 315°, а также существует бесконечно много углов, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 45°: ;

,

или,

.

В радианах это можно записать как

и т.д. Все углы, конечные стороны которых совпадают с углом в общем виде записываются так:

Пример, а)

Все углы поворота, конечные стороны которых совпадают с углом

можно найти но формуле .

Как видно, в заданном интервале, расположен всего один угол 425°. Пример. д) Все углы поворота, конечные стороны которых, совпадают с этим углом можно найти по формуле .

Интервалу принадлежат углы

Длина дуги

Запишем формулу нахождения длины дуги, соответствующей центральному углу окружности радиуса . Используя радианную меру длину окружности можно найти ещё проще. По определению радиана, если , тогда длина дуги равна произведению радиуса и радианной меры угла: Длина дуги окружности находится с радиусом в прямо пропорциональной зависимости.

Площадь сектора

Центральному углу соответствует сектор площадь которого равна . Учитывая что радиальная мера центрального угла равна и обозначив её через , запишем формулу нахождения площади сектора . Пример 1. Длина секундной стрелки часов равна 12 см. Определите длину дуги, которую описывает конец секундной стрелки за 15 секунд.

Решение. Секундная стрелка за 60 минут совершают один полный оборот. Это соответствует радианам. 15 секунд соответствуют части полного оборота: радиан. То есть, минутная стрелка за 15 секунд чертит дугу, соответствующую центральному углу . Длина этой дуги:

Пример 2. Найдите площадь и периметр закрашенного сектора на рисунке, если радиус круга равен 8 см. Закрашенной части круга соответствует центральный угол:

Площадь сектора равна:

(см²).

Периметр сектора равен сумме длин двух радиусов и длины дуги: (см)

Линейная скорость и угловая скорость

Скорость при движении по окружности, например, скорость движения произвольной точки Р колеса, которое вращается вокруг точки О, может быть вычислена двумя способами.

В первом случае, её можно найти используя расстояние и время. Эта скорость называется линейной скоростью. Во втором случае — используя угол поворота (центральный угол). Эта скорость называется угловой скоростью.

Если тело движется но окружности, то линейная скорость равна отношению пройденного пути (длины дуги окружности) к промежутку времени.

Если тело движется по окружности, то угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени.

Здесь (в радианах) — угол вращения за промежуток времени . Между линейной и угловой скоростью существует следующая связь:

линейная скорость = угловая скорость

Пример 3. Карусель совершает за минуту 8 полных оборотов.

а)Чему равна угловая скорость карусели за минуту(в радианах)?

б)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 3 м от центра окружности?

в)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 2 м от центра окружности?

Решение:

а) Один целый оборот при вращении соответствует центральному углу . За 8 оборотов этот угол равен . Угловая скорость за минуту равна радиан/мин.

б)Если лошадь находится на расстоянии 3 м от центра, то она движется по окружности радиуса 3 м.

Линейная скорость:м/мин

в)Если лошадь находится на расстоянии 2 м от центра, то она движется по окружности радиуса 2 м.

Линейная скорость:м/мин

Тригонометрические функции

Тригонометрические отношении для угла зависят только от значения угла.

Пусть конечная сторона угла а при повороте пересекается с окружностью радиусом г, центр которой находится в начале координат, в точке Р(х; у).

Отношение ординаты точки Р к длине радиуса называется синусом угла :

Отношение абсциссы точки Р к длине радиуса называется косинусом угла :

Отношение ординаты точки Р к абсциссе называется тангенсом угла :

(здесь , то есть точка Р не расположена на оси ординат)

Отношение абсциссы точки Р к ординате называется котангенсом угла : (здесь , то есть точка Р не расположена на оси абсцисс)

Косинусом угла называется обратное значение для синуса:

(здесь )

Секансом угла называется обратное значение для косинуса:

(здесь )

Пример 1. Точка А (- 3; 4) расположена на конечной стороне угла поворота .

а) Изобразите решение примера.

б) Определите значения тригонометрических отношений для угла поворота .

Решение:

а)

б)

Координаты точки на окружности

Если заданная точка Р окружности находится на конечной стороне угла поворота , то она имеет координаты .

Пример 2. По данным рисунка найдите координаты точки Р.

Точка Р находится во II четверти и косинус отрицательный.

Для некоторых углов, конечная сторона расположена на одной из координатной оси. В этом случае, градусная мера угла поворота равна: или радиан, или радиан, или радиан, или радиан.

В этом случае координаты х или у равны или нулю, или абсолютному значению длины радиуса.

Пример 3. Найдём значения тригонометрических отношений для:

а) а = 90° ; б) а = 180°; в) а = 270° .

При всех допустимых значениях, каждому значению , соответствует единственное значение . Поэтому тригонометрические отношения являются функциями угла и называются тригонометрическими функциями.

Так как , то знак косинуса совпадает со знаком х.

Так как , то знак синуса совпадает со знаком у.

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Чтобы вычислить тригонометрические отношения для углов больше 90°, удобно использовать тригонометрические отношения острого угла.

Для любого угла поворота существует образованный конечной стороной и прямой, содержащий ось абсцисс.

Используя соответствующие острые углы можно определить тригонометрические отношения для любого произвольного угла. Эти значения можно вычислить точно для углов 30°, 45°, 60°, а для остальных острых углов — при помощи калькулятора.

Пример 1. Для следующих углов, определите острые углы:

а) б)

Решение:

а) конечная сторона угла 300° расположена в IV четверти. Соответствующий острый угол равен: 360°- 300° = 60°

б) конечная сторона угла расположена в III четверти. Соответствующий

острый угол равен:

Пример 2. Найдём значение основных тригонометрических функций для угла . Шаги решения:

1.Найдём наименьший положительный угол, конечная сторона которого совпадает с заданным углом и дополняет его до 360°: -135° + 360° = 225°

2.Для угла 225° найдём соответствующий острый угол 225° — 180° = 45°.

3.Определим какой четверти принадлежит угол -135° — угол III четверти.

4.Найдём значение тригонометрических функций для угла 45° и учтём знак этих функций в III четверти. Получим:

Тригонометрические функции для произвольного угла можно определить следующим образом:

•определяем соответствующий острый угол;

•находим значение тригонометрических функций для этого угла;

•определяем знак значения тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Так как конечные стороны углов и совпадают, то значения тригонометрических функций этих углов одинаковы. Если угол изменяется на целое число оборотов, то значение тригонометрических функций не меняется.

Заметим, что если угол меняется на пол оборота, то значения тангенса и котангенса не изменяются.

На самом деле, если углу поворота соответствует точка , а углу поворота (или ) соответствует точка , то :

В общем случае выполняются равенство:

Пример 3. Найдём допустимые значения , если . Так как в I и во II четвертях синус положителен.

, значит если , то

Абсцисса этой точки

Тогда или

Единичная окружность и тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций зависят только от значения угла и не зависят от радиуса окружности. Поэтому, не нарушая общности, можно принять . Окружность, центр которой находится в начале координат, с радиусом равным единице, называется единичной окружностью. Координаты точки, принадлежащей окружности удовлетворяют уравнению .

Если точка является точкой пересечения единичной окружности и конечной стороны угла поворота , то между ней и тригонометрическими функциями существует следующая связь: Таким образом, координаты точки принадлежащей единичной окружности, можно записать как: .

Также по заданным координатам можно найти следующие тригонометрические функции: . Зная, что при определённом повороте на единичной окружности, можно найти соответствующие координаты точки.

Для этого надо выполнить следующие шаги:

1) На единичной окружности отметим точки, соотвегствующие углу поворота , найдём координаты этих точек по формуле: .

2)Для некоторой точки, принадлежащей единичной окружности, например ,определите координаты симметричной точки. Как видно но рисунку, существует 3 точки, симметричные точке А, которые расположены во II, III и IV четвертях.

Точка В симметрична точке А относительно оси у, точка С — относительно начала координат, а точка D — относительно оси х. Абсолютные значения координат этих точек равны и отличаются только знаком.

3)Таким образом, можно определить координаты новых точек, зная координаты точки, принадлежащей I четверти. Т.е. получаем единичную окружность, на которой отмечены углы поворота и координаты точек.

• Заказать решение задач по высшей математике

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Так как координаты точек на единичной окружности удовлетворяют условиям , то Наибольшее значение и равно 1, а наименьшее значение равно -1.

Пример 1. Для угла поворота вычислите значения основных тригонометрических функций.

Решение: Конечная сторона угла поворота расположена в III четверти. Этому углу соответствует острый угол . Точка пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью симметрична точке относительно начала координат и соответствует точке .

Тогда ,

Пример 2. Точка А, с абсциссой расположена в III четверти и пересекается с единичной окружностью на стороне угла .

а)Найдём ординату точки А.

б)Изобразим рисунок, соответствующий условию и для угла найдём значения шести тригонометрических функций.

Решение:

а), . Так как точка расположена в III четверти .

б),,,,

,.

Пример 3. Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения .

Решение:

Таким образом, для выражения a НМЗ равно 1, а НБЗ равно 5.

Формулы приведения

Если объект находится в I четверти, то симметричный ему относительно оси у объект находится во II четверти. Симметричный последнему относительно оси х, объект находится в III четверти, и он совпадает с объектом, симметричным начальному объекту из I относительно начала координат. Обратите внимание, что отображение относительно оси у и отображение, относительно оси х, совпадают с поворотом на 180°.

При отображении относительно оси х, точка расположенная на конечной стороне угла изменяет координаты, как показано на рисунке.

То есть, при этом знак меняет только координата у. Таким образом, так как косинус зависит от х он не меняется, зато меняется знак синуса. Отсюда, для углов можно записать следующие зависимости между тригонометрическими функциями.

То есть, синус, тангенс и котангенс нечётные функции, косинус-чётная.

Пример 1:

Конечные стороны углов поворота и 360° — симметричны относительно оси х. То есть .

Отсюда получаем:

Запишем для углов и 90° — прямоугольного треугольника с острым углом тригонометрические отношения:

При попарном сравнении равенств можно увидеть следующую связь-между значениями тригонометрических функций углов и 90° — .

Повернём конечную сторону угла поворота ещё на 90°. При этом точка Р(х; у), расположенная на стороне преобразуется в точку . По определению тригонометрических функций:

Запишем эти формулы в следующем виде:

Как видно но рисунку отображения относительно оси у и оси х эквивалентны повороту на 180°. Изменение координат, можно записать следующим образом:

Как видно по рисунку, при повороте угла а на 180° конечная сторона расположена в противоположных четвертях, но на одной прямой.

Пример 2.

Для получения аналогичных формул тригонометрических функций угла поворота достаточно записать и применить последовательность соответствующих формул.

Например:

Теперь запишем соответствующие формулы для угла поворота . Например:

При помощи полученных формул можно найти значения тригонометрических функций произвольного угла, зная значения для соответствующего острого угла. Эти формулы называются формулами приведения. Для формул приведений можно легко увидеть следующую закономерность

1)Если аргумент имеет вид или , то функция преобразуется в «сопряжённую» функцию (то есть синус в косинус или наоборот, а тангенс в котангенс или наоборот) угла .

2)Если аргумент имеет вид 180° ± или 360° ± , то функция преобразуется в одноимённую функцию угла .

В каждом из обоих случаев, знак полученной в результате преобразования функции имеет одинаковое значение со знаком острого угла в соответствующей четверти.

Тригонометрические тождества

Для острого угла прямоугольного треугольника покажите, что , выполнив следующие шаги:

1)Запишите теорему Пифагора:

2)Каждую из сторон равенства разделите на с²:

3)Примените свойство степени:

4) Примите во внимание, что:

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Тождество можно доказать и при помощи координат точки, принадлежащей единичной окружности.

По координатам точки на единичной окружности и по определениям тригонометрических функций имеем:

Для всех значений , при которых

Для всех значений , при которых

Из данных равенств имеем,что если для угла одновременно выполняются условия и , то справедливо тождество

Разделив обе чаете равенства поочередно на и на будем иметь:

Полученные выше равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. На основании основных тригонометрических можно написать:

При помощи основных тригонометрических тождеств можно упрощать тригонометрические выражения и вычислять модуль значения всех остальных функций, зная значение одной из них.

Пример 1. Используя основные тригонометрические тождества, докажите,что:

Доказательство:

Пример 2. Зная, что и угол принадлежит III четверти, найдите

остальные тригонометрические функции.

Из формул получаем:

Так как угол принадлежит III четверти, то

Тогда:

Формулы сложения

Практическая работа .

1)Покажем по шагам, равенство выражения

a)Для значений и, вычислим значения выражения в левой части.

б)Для значений и, вычислим значения выражения в правой части.

2)Как можно вычислить значение тригонометрических функций для угла 15°, используя разность значений углов 45° и 30°(15° = 45° — 30°)?

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов. Сначала докажем тождество

На рисунке

а)для угла координаты точки Р₁, взятой на единичной окружности равны , а для угла координаты точки Р₂ равны . Разместим углы — , как показано на рисунке б).

Тогда, для угла координаты точки Р_з будут . Из того, что (по признаку СУС ) следует, что .

Доказательство тождества

учитывая, что

справедливость тождества доказана.

Доказательство тождества

no формулам приведения группируя

no формуле косинуса разности с учётом формул приведения.

Доказательство тождества :

Пример 1. Найдём значение выражения если

Решение.

Пример 2.

Найдём значение выражения если

.

Решение.

Известно что . Если углу соответствует острый угол , то . Так как противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, тогда прилежащий катет равен и учитывая, что угол III четверти, получим:.

Аналогично, если зная, что , получаем,

что .

Можно записать формулы сложения для тангенса и котангенса:

no определению no формулам сложения

Аналогичным образом можно показать, что :

Следствия из формул сложения

Практическая работа.

Преобразуйте сумму в произведение, выполнив следующие шаги:

1)

решив систему уравнений найдите такие углы, чтобы их сумма была равна 70°, а разность

2)Запишите следующее 70° = 40° + 30°, 10° = 40° — 30° и упростите

Преобразование суммы(разности) в произведение

Формулы преобразования произведения

Справедливость данных тождеств можно показать при помощи формул сложения:

почленно складываем почленно складываем

Следующее тождество можно доказать аналогичным образом.

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить через тригонометрические функции угла .

Таким образом, получаем тождества, которые называются формулами двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Имеем, что

Отсюда: Заменяем в данной формуле на получаем:

Для половинных аргументов справедливы тождества. Знак в правой части в данном равенстве зависит от того, в какой четверги находится угол .

Пример 1. Упростим выражение .

Решение.

Пример 2. He используя калькулятор, вычислим значения и , зная, что угол принадлежит IV четверти и

Решение.

Пример 3. Найдём значений .

Решение:

Используем формулу половинного аргумента

угол I четверти и в этой четверти косинус положителен.

Упрощение тригонометрических выражений

Пример 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Пример 2. Разложим на множители и упростим выражение.

Пример 3. Упростим рациональное выражение, содержащее тригонометрические функции.

Пример 4. Освободим знаменатель от радикала

Здесь .

§ 11. Радианная мера углов

1. Понятие угла

В геометрии 
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота

α ∈ (–×; +×).

Объяснение и обоснование

1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.

2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB  его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).

При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
 Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность,

то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так: 

Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
 Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов.

В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут, но подразумевают его. Например, вместо равенства 90 2 °=π радиан пишут иногда 90 °=π/2 .

Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.

 Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3  и 3π/4 .

В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:

Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.

Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?

2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.

3. Как можно определить угол в 1°?

4. Дайте определение угла в 1 радиан.

5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?

6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;

4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;

7) 540°; –180°; 9) 360°; 10) –60°.

2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?

3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:

1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.

4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:

1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;

4) 7 6 π; 5) − π 18 ;

6) 11 6 π;7) −π 8 ; 3.
 5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:

1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Связь между градусами и радианами

Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π · r . Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π · r r = π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180 ° . Следовательно 180 ° = π рад.

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 р а д = 180 π ° — градусная мера угла в 1 радиан равна 180 π .

Также можно выразить один градус в радианах.

1 ° = π 180 р а д

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

1 р а д = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1 ° = π 180 р а д = 3 , 1416 180 р а д = 0 , 0175 р а д

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

x р а д = х · 180 π °

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Пусть α = 3 , 2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

3 , 2 р а д = 3 , 2 · 180 π ° ≈ 3 , 2 · 180 3 , 14 ° ≈ 576 3 , 14 ° ≈ 183 , 4 °

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
• Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
• Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
• Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1	√3	–
ctg	–	√3	1	Принцип повтора знаков тригонометрических функций Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны. Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Тригонометрический круг Углы в радианах Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц. Вот что мы видим на этом рисунке: Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси . И синус, и косинус принимают значения от до . Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Синус — функция нечётная, косинус — чётная. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен . А теперь подробно о тригонометрическом круге: Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций. Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки. Полный круг — градусов. Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности. Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Всё это легко увидеть на нашем рисунке. Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до : Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество: Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ). Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы. Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке. Легко заметить, что Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть: где — целое число. То же самое можно записать в радианах: Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению, источники: http://matematika.club/articles/trigonometry/ http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/