Угол может измеряться следующими величинами:
- Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
- Радианами.
Градусная мера угла
Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.
Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.
Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.
Радианная мера угла
Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.
Длина окружности равна:
l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,
где rr — радиус этой окружности.
Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:
lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}
В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.
Отсюда находим связь между радианами и градусами:
2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}
Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.
Один радиан равен:
1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}
Один радиан в минутах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′
Один радиан в секундах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280»
Перевод градусов в радианы
Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.
y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x
xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.
Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.
Решение
45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}
Ответ
0.8 радиан0.8text{ радиан}
Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?
Решение
Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:
180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ
Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:
60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}
Решение
1 радиан1text{ радиан}
Перевод радиан в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.
y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x
xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.
Переведите 3 радиана в градусную меру угла.
Решение
3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ
Ответ
172∘172^circ
Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!
Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Радианы и градусы – это две единицы измерения углов. Полный угол (или круг) равен 360°, что эквивалентно 2π радиан; оба значения характеризуют один «оборот по кругу». Поэтому пол-оборота равно 1π радиан или 180°. Запутались? Тогда прочитайте эту статью и научитесь конвертировать градусы в радианы.
Шаги
-
1
Запишите градусы, которые вы хотите преобразовать в радианы.
- Пример 1: 120°
- Пример 2: 30°
- Пример 3: 225°
-
2
Умножьте градусы на π/180. Объяснение этого множителя: так как 180° = π радиан, то 1° = π/180 радиан. При умножении избавьтесь от знака градусов, так как ответ будет записан в радианах.
- Пример 1: 120 х π/180
- Пример 2: 30 х π/180
- Пример 3: 225 х π/180
-
3
Вычислите радианы. Для этого умножьте градусы на π и результат запишите в числителе, а в знаменателе оставьте 180.
- Пример 1: 120 х π/180 = 120π/180
- Пример 2: 30 х π/180 = 30π/180
- Пример 3: 225 х π/180 = 225π/180
-
4
Упростите полученную дробь. Для этого разделите и числитель, и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД – наибольшее число, на которое делятся нацело и числитель, и знаменатель). В первом примере НОД = 60; во втором равен 30; в третьем равен 45. Если НОД не получается найти быстро, последовательно делите числитель и знаменатель на 2, 3, 4, 5 или другие подходящие числа. Вот как это делается:
- Пример 1: 120 х π/180 = 120π/180 ÷ 60/60 = 2π/3 радиан
- Пример 2: 30 х π/180 = 30π/180 ÷ 30/30 = 1π/6 радиан
- Пример 3: 225 х π/180 = 225π/180 ÷ 45/45 = 5π/4 радиан
-
5
Запишите ответ.
- Пример 1: 120° = 2π/3 радиан
- Пример 2: 30° = 1π/6 радиан
- Пример 3: 225° = 5π/4 радиан
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 7962 раза.
Была ли эта статья полезной?
Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос необходимо выяснить соотношение между градусами и радианами.
Мы чаще сталкивается с тем, что в геометрии углы измеряются градусами. Но есть еще и радианная мера угла.
Чтобы понять, что это такое, возьмем развернутый угол ( 180 градусов ), стороны которого одновременно являются диаметром окружности. Для вычисления радианной меры данного угла нужно длину окружности между сторонами угла разделить на длину радиуса:
(π х r)/r = π ( радиан ), а в градусах этот угол составляет 180.
π радиан = 180 градусов, отсюда 1 градус = π/180 радиан.
Чтобы перевести градусную меру угла в радианную необходимо заданное количество градусов умножить на π и разделить на 180.
Если провести вычисления, то мы узнаем, что 1 градус = 0,0175 радиана. Теперь можно действовать еще проще: заданное количество градусов умножить на 0,0175.
********************************************************
Рассмотрим пример:
Найдем радианную меру угла 30 градусов.
Для этого 30 х 0,0175 = 0,525 (радиана).
Радианная мера угла 30 градусов составляет 0,525 радиана.
Основное понятие градуса и радиана и их взаимосвязь
В математике, такое определение, как угол принято измерять градусами и радианами.
Эти два измерения угла имеют взаимосвязь и необходимо четко понимать в чем она заключается.
В данном материале, мы постараемся разобраться и вывести
основную формулу для вычисления градусов в значение радиан, и соответственно в обратном порядке.
Определение
Радиан — это угол, который образуется окружной дугой, ее длина, следовательно, равняется радиусу данной окружности.
Радианная мера — угловое значение,где за единицу берется угол в 1 радиан. А именно, вышеупомянутая мера любого угла — это соотношение принятого угла к радиану. Из этого следует, что величина полного значения угла равняется [2 cdot pi] радиан.
Определяем длину окружности, по стандартной формуле:
[ l=2 cdot pi cdot r ]
Чтобы определить полный угол в радианах проводим следующие действие: [frac{l}{r}=frac{2 cdot pi cdot r}{r}=2 cdot pi] , соответственно в градусах значение будет равно 360. Отсюда следует [2 cdot pi=360^{circ}].
Какова связь между градусами и радианами?
Угол имеет градусную и радианную меру. Зная ее, можно установить связь между градусом и радианом.
Например, возьмем для примера центральный угол, который примыкает к диаметру окружности радиуса R.
Нам необходимо вычислить значение радианной меры угла. Для решения этой задачи, длину самой дуги поделить на длину радиуса окружности.
Заданный угол равен [pi] радиан. Данный угол 180 градусов и по законам математики, является развернутым. Отсюда следует, что 180 градусов эквивалентно [pi] радиан.
Данную связь можно выразить через формулу.
[text { п рад }=180 text { град. }]
Перевод радианов в градусы и соответственно в обратном порядке
Для перевода радиан в градусы и наоборот необходимо знать и применять на практике следующие формулы:
Один радиан равен: [frac{360^{circ}}{2 cdot pi} approx 57^{circ}];
Один радиан в минутах: [frac{360^{circ}}{2 cdot pi} cdot 60 approx 3438];
Один радиан в секундах: [frac{360^{circ}}{2 cdot pi} cdot 3600 approx 206280].
[ 1 text { радиан }=left(frac{180}{pi}right) text { градусов. } ]
[ 1 text { градус }=left(frac{pi}{180}right) text { рад. } ]
Рассмотрим на конкретном примере:
[1 text { радиан }=left(frac{180}{pi}right)=left(frac{180}{3,14}right)=57,324] следовательно в 1 радиане 57 градусов.
[1 text { градус }=left(frac{pi}{180}right) text { радиан }=left(frac{3,14}{180}right)=0,017] радиан (сокращенно рад.).
[text { х радиан }=left(frac{chi cdot 180}{pi}right)], дословно будет звучать как: 180 * умножить на числовое значение угла и раздели.
Соответствие градусов и радиан принято, для удобства решения сводить в таблицу.
Пример, приведен в таблице 1.
Таблица 1. Соотношение значений.
| Числовые значения в градусах | Соответствующие данные радиан |
| 1° | 0,018 |
| 2° | 0,035 |
Как мы видим изученная тема не очень сложная. Достаточно знать основные формулы и в расчетах, и проблем не должно возникать.
Для более лучшего закрепления разберемся и решим несколько задач по вычислении градусов и радианов углов.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Задача №1
Переведите 35 градусов в радианы.
[ 35^{circ}=left(frac{pi}{180}right) cdot 35 text { радиан }=0,6 text { рад } ]
Ответ: 35°=0,6 рад.
Задача №2
Переведите 55 градусов в радианы.
[55^{circ}=left(frac{pi}{180}right) cdot 55 text { радиан}=0,9 text { paд }]
Ответ: 55°=0,9 рад.
Задача №3
Необходимо вычислить значение третьей половины полного угла.
Для начала определяем угол в градусах.
Нужно определить третью часть угла. Следовательно полный угол равняется 360 градусов, половина 180, а треть [frac{180}{3}=60] градусов.
Пользуясь формулой из задач №1 и 2, определяем значение в радианах.
[ 60^{circ}=left(frac{pi}{180}right) cdot 60 text { радиан }=1 text { рад } ]
Ответ: 1 рад.