Как найти радиус цилиндра в четырехугольной призме - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Призма описана около цилиндра, если ее основания — многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Соответственно, цилиндр вписан в призму.

Цилиндр можно вписать в призму, если в основание призмы можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен радиусу цилиндра. Высоты цилиндра и призмы равны. В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, цилиндр в этом случае вписан в прямую призму.

Боковые грани описанной около цилиндра призмы являются касательными плоскостями к боковой поверхности цилиндра.

Найдем отношение объема призмы к объему вписанного в нее цилиндра:

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{{S_{ocn}} cdot H}}{{pi {r^2}H}} = frac{{prH}}{{pi {r^2}H}} = frac{p}{{pi r}}.]$

p — полупериметр основания призмы, r — радиус вписанной в основание призмы окружности и радиус цилиндра, H — высота призмы и высота цилиндра.

В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему вписанного цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{p}{{pi r}} = frac{{frac{{3a}}{2}}}{{pi cdot frac{a}{{2sqrt 3 }}}} = frac{{3sqrt 3 }}{pi }.]$

Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему вписанного цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{p}{{pi r}} = frac{{2a}}{{pi cdot frac{a}{2}}} = frac{4}{pi }.]$

Для правильной шестиугольной призмы это отношение равно

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{p}{{pi r}} = frac{{3a}}{{pi cdot frac{{asqrt 3 }}{2}}} = frac{6}{{pi sqrt 3 }} = frac{{2sqrt 3 }}{pi }.]$

Отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра:

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}} cdot H}}{{2pi rH}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi r}}.]$

Поскольку половина периметра основания — полупериметр,

$[frac{{{P_{ocn}}}}{2} = p, Rightarrow frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{p}{{pi r}}.]$

Таким образом, если цилиндр вписан в призму, отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности цилиндра равно отношению объема призмы к объему вписанного цилиндра. В частности, отношение площади боковой поверхности правильной треугольной призмы к площади боковой поверхности вписанного цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi r}} = frac{{3a}}{{2pi cdot frac{a}{{2sqrt 3 }}}} = frac{{3sqrt 3 }}{pi }.]$

Отношение боковой поверхности правильной четырехугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi r}} = frac{{4a}}{{2pi cdot frac{a}{2}}} = frac{4}{pi }.]$

Отношение боковой поверхности правильной шестиугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{{P_{ocn}}}}{{2pi r}} = frac{{6a}}{{2pi cdot frac{{asqrt 3 }}{2}}} = frac{6}{{pi sqrt 3 }} = frac{{2sqrt 3 }}{pi }.]$

При решении задач, в которых цилиндр вписан в призму, можно рассматривать часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямой призмы это сечение — прямоугольник, стороны которого равны радиусу цилиндра и высоте цилиндра. Например, AA1O1O: AA1=H, AO=r.

Источник

Вы здесь:

Главная
Правильная четырехугольная призма

Правильная четырехугольная призма

Четырехугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными квадратами, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими квадратами.

Правильная четырехугольная призма — это четырехугольная призма у которой основания квадраты, а боковые грани прямоугольники.

Данное геометрическое тело по своим свойствам и характеристикам соответствует — параллелепипеду.

Основания призмы являются равными квадратами.

Боковые грани призмы являются прямоугольниками.

Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Формула площади поверхности четырехугольной призмы:

Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания.

Формула объема правильной четырехугольной призмы:

Правильная четырехугольная призма может быть вписана в цилиндр.

Формула радиуса цилиндра вписанной четырехугольной призмы:

Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Исторически понятие «призма» возникло из латыни и означало — нечто отпиленное.

Анимация демонстрирует как две параллельные плоскости отрезая лишнее формируют два основания призмы. Из одной заготовки можно получить как правильную призму, так и наклонную призму.

Геометрические размеры готовой призмы (мм):

Длина = 68

Ширина = 68

Высота = 52

Геометрические размеры готовой призмы (мм):

Длина = 59

Ширина = 59

Высота = 83

Геометрические размеры готовой призмы (мм):

Длина = 43

Ширина = 43

Высота = 110

посмотреть другие призмы

Популярное

Головоломка многогранник

(головоломка «звезда»)
Состоит из шести симметричных брусочков сложной формы, соединенных в форме многогранной звезды. Задача заключается в том, чтобы разъединить фигуру на…

Развертки тел вращения

Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон?
Одним лишь вращением мы можем…

Практическое применение многогранников

Когда мы демонстрируем многогранники, собранные из наборов «Волшебные грани», люди часто задают один и тот же вопрос, – а какое это имеет практическое применение?

Источник

Цилиндр называется описанным около призмы, если многоугольники оснований призмы вписаны в окружности оснований цилиндра, а образующие цилиндра являются боковыми рёбрами призмы.

Цилиндр можно описать только около такой прямой призмы, около основания которой можно описать окружность.

Например, цилиндр всегда можно описать около прямой треугольной призмы, около правильной призмы.

Рисунок составляется в зависимости от содержания задания, часто достаточно рисунка основания комбинаций этих тел, т. к. высота призмы равна высоте цилиндра.

Окружность основания цилиндра описана около многоугольника основания призмы.

Радиус цилиндра — это радиус окружности, описанной около многоугольника основания призмы.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр окружности, описанной около четырёхугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы противоположных углов равны

180°

Формулы вычисления радиуса (R) описанной окружности

(a, b, c) — стороны, (h) — высота, (d) — диагональ.

Правильный треугольник	(R =) 23h; (R=) a33
Прямоугольный треугольник	(R=) 12 гипотенузы
Произвольный треугольник	R=abc4S;R=a2sinα
Квадрат	(R =) a22
Прямоугольник	(R =) d2
Правильный шестиугольник	(R = a)

Цилиндр вписан в призму, если окружности оснований цилиндра вписаны в многоугольники оснований призмы.

Цилиндр можно вписать только в такую прямую призму, в многоугольник основания которой можно вписать окружность.

Например, цилиндр всегда можно вписать в прямую треугольную призму, в правильную призму.

Рисунок создаётся в зависимости от содержания задачи, часто достаточно нарисовать основание комбинаций этих тел, т. к. высота цилиндра равна высоте призмы.

Окружность основания цилиндра вписана в многоугольник основания призмы.

Радиус цилиндра — радиус окружности, вписанной в многоугольник основания призмы.

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, находится в точке пересечения биссектрис четырёхугольника. В четырёхугольник можно вписать окружность, если равны суммы длин противоположных сторон.

Формулы вычисления радиуса (r) вписанной окружности

Где (h) — высота, (S) — площадь, (p) — полупериметр, (a) — сторона.

Правильный треугольник	r=13h;r=a36
Произвольный (и прямоугольный) треугольник	(r =) Sp
Квадрат
Ромб	или
Правильный шестиугольник	(r =) a32

Источник

Призма это фигура в основании которой лежит правильный многоугольник. Соответственно, радиус цилиндра описанного вокруг призмы, будет равен радиусу окружности описанной вокруг многоугольника. Более этого сказать что либо тяжело. Поскольку вывод формулы не затребован в вопросе, то далее только стандартная формула.

Хотя нужно уточнить, что призма может быть и не правильной формы и тогда расчет может быть только индивидуальный. Более того, не всякий неправильный многоугольник имеет описанную окружность.

Стандартная формула R=a/(2*sin⁡(180°/n))

Для простоты расчета предоставлю графический макет.

ССЫЛКА НА МАКЕТ

А поскольку расчет автоматизированный, то почему бы не рассчитать и другие параметры правильных многоугольников.

В макете можно задать количество сторон многоугольника и размер его стороны.

Источник

Для начала, давай определимся с тем, что такое правильная четырехугольная призма. Это призма, у которой основание — четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. То есть, наша призма имеет основание в виде квадрата.

Теперь, когда мы знаем, как выглядит наша призма, перейдем к решению задачи. Для начала, нам нужно найти высоту призмы.

Зная, что площадь боковой поверхности призмы равна 48, мы можем использовать формулу:

S = Ph,

где S — площадь боковой поверхности призмы, P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

Периметр квадрата (основания) можно найти, зная, что все его стороны равны. Таким образом, периметр квадрата равен:

P = 4a,

где a — длина стороны квадрата.

Теперь мы можем выразить высоту призмы h:

h = S/P = 48 / 4a = 12 / a.

Информация про цилиндр в данной задаче нам нужна для того, чтобы найти радиус цилиндра. Поскольку призма описана около цилиндра, радиус цилиндра равен длине стороны куба, т.е. равен 6.

Теперь мы можем найти высоту цилиндра, используя найденную формулу для высоты призмы:

h = 12 / a.

Нам остается только выразить длину стороны квадрата a через радиус цилиндра r:

a = 2r.

И, тогда высота цилиндра будет:

h = 12 / (2r) = 6 / r.

Итак, мы нашли, что высота цилиндра равна 6 / r. И осталось только заменить r на известное число 6:

h = 6 / 6 = 1.

Ответ: высота цилиндра равна 1.

Источник