Как найти радиус если известна длина дуги

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Нахождение радиуса круга: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус круга (окружности) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формулы вычисления радиуса круга

1. Через длину окружности/периметр круга

Радиус круга/окружности рассчитывается по формуле:

C – это длина окружности/периметр круга; равняется удвоенному произведению числа π на его радиус:

C = 2 π R

π – число, приближенное значение которого равно 3,14.

2. Через площадь круга

Радиус круга/окружности вычисляется таким образом:

S – это площадь круга; равна числу π , умноженному на квадрат его радиуса:

S = π R 2

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Окружность круга P

Результат

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

• r — искомый радиус окружности.
• a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /_2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

• Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

• Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
• Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

• r — искомый радиус окружности.
• S — площадь треугольника.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

• R — искомый радиус окружности.
• d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
• a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

Радиус окружности при заданной длине дуги Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Длина дуги окружности: 15 метр —> 15 метр Конверсия не требуется
Центральный угол окружности: 170 степень —> 2.9670597283898 Радиан (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

5.05550995703763 метр —> Конверсия не требуется

4 Радиус круга Калькуляторы

Радиус окружности при заданной длине дуги формула

Радиус круга = Длина дуги окружности/Центральный угол окружности

r = l_Arc/∠_Central

Что такое Круг?

Окружность — это базовая двухмерная геометрическая фигура, которая определяется как совокупность всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки. Фиксированная точка называется центром круга, а фиксированное расстояние называется радиусом круга. Когда два радиуса становятся коллинеарными, эта общая длина называется диаметром круга. То есть диаметр — это длина отрезка внутри круга, проходящего через центр, и он будет в два раза больше радиуса.

Для того что бы вычислить радиус круга необходимо знать его длину или площадь. Если нам известа одна из указаннх величин, для нас не составит труда вычислить радиус круга.
Радиус круга рассчитывается по следующим формулам:

1. Если нам известна длина:

   Формула для расчета радиуса круга через его длину:
   R=P/(2π)

   

2. Если нам известна площадь:

   Формула для расчета радиус круга через площадь:
   R=

   √

   S/π

   

3. Если нам известен диаметр:

   Формула для расчета радиус круга через диаметр:
   R=D/2

   

Где R — радиус круга, S – площадь круга, P – длина круга, D — диаметр, π – число Пи которое всегда примерно равно 3,14.

	Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 13.05.2011, 09:35
13/05/11 8	На одном из форумов попался вопрос, содржащий «школьную» задачку. Дано: Длина дуги части окружности , а длина хорды, на которую опирается эта дуга равна . Найти радиус окружности. Вначале, все было хорошо и просто. Провел радиус из центра к концу дуги , а так же радиус, перпендикулярный хорде , который пересек хорду в точке , образуя прямоугольный треугольник . Катет . Угол при вершине O обозначил как . По определению синуса получил, что или (1) А из формулы длины дуги, получил или (2) (2x потому, что — половина центрального угла рассматирваемой дуги). Подстставляем в (1) вместо выражение, полученное из (2): или , где Ну, вот тут и заминочка вышла. Как найти по заданному ? На практике, конечно нет проблем. В зависимости от точности либо найти значение графически, либо использовать один из приближенных методов. Но возникает вопрос, есть ли аналитическое решение? Т.е. можно ли выразить через элементарные функции от . Причем, функция интересует нас только при от 0 до пи. Есть предположение, что это невозможно. Так ли это? Можно ли это доказать?

ewert	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 13.05.2011, 10:26
Заслуженный участник 11/05/08 32162	Т.е. можно ли выразить через элементарные функции от . Нельзя, естественно.

matod	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 13.05.2011, 11:11
13/05/11 8	Почему? Точнее, из чего это следует?

Alphawell	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 20.05.2011, 23:50
20/05/11 2	Послушайте, мне эта задача не дает покоя, может я и троешник, но мне все равно интересно, вот посмотрите как я предлагаю решить (но не могу): Введем следующие обозначения: L — длина дуги; a — ее центральный угол; r — радиус окружности; A — длина хорды; Из формулы длины дуги получаем уравнение: L = 2*Pi*r*(a/360) (1) Рассмотрим треугольник, образующийся при построении радиусов к крайним точкам хорды, по теореме косинусов: sqr(A) = 2*sqr(r)-2*sqr(r)*cosa (2) Получили систему из 2х уравнений с 2мя неизвестными Решая (1) относительно r получим: r=L/(2*Pi*(a/360)) Подставим это уравнение в (2), после преобразований получим: 2L-2Lcosa-sqr(a)*2*Pi*(a/360)=0 я не знаю как решить это уравнение, помогите плиз, дайте хотя бы совет. Заранее всех благодарю.

gris	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 21.05.2011, 07:44
Заслуженный участник 13/08/08 14209	Даже такое простое уравнение, как не решается аналитически при использовании стандартного набора элементарных функций. Такого решения не существует принципиально. Это доказано. Как невозможно решить задачу трисекции угла циркулем и линейкой. Не то, чтобы решения пока не нашли, а строго доказали, что нельзя найти. Но существуют трисекторы — специальные устройства, с помощью которых угол успешно делится. Так и тут. Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле). Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции. Да чего там далеко ходить. Например, нельзя точно представить в виде обыкновенной дроби. Как ни пробовали — не получается. Но потом доказали строго, что нельзя.

Joker_vD	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 21.05.2011, 08:09
Заслуженный участник 09/09/10 3729	Такого решения не существует принципиально. Это доказано. Кстати, а через какую степь это доказывали?

Alphawell	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 21.05.2011, 10:45
20/05/11 2	Хмм.. а другие варианты аналитического решения такой задачи имеются?

AKM	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 21.05.2011, 11:02
Заблокирован по собственному желанию 18/05/09 3612	Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле). Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции. Хмм.. а другие варианты аналитического решения такой задачи имеются? Какие — другие?

gris	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 21.05.2011, 11:37
Заслуженный участник 13/08/08 14209	Код: $L = 2pi r (a/360); 2L-2Lcos a-sqrt acdot 2pi(a/360)=0$ Без революционного введения новых функций — никак. Я имел в виду разнообразные численные методы. Но это, да, неинтересно. Иногда нужно именно аналитическое решение, но вот его не существует.

matod	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 22.05.2011, 08:04
13/05/11 8	Так и тут. Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле). Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции. Спасибо за подробное объяснение. Вы подтвердили мои предположения. Про то, что существуют функции, которые нельзя выразить композицией элементарных, про иррациональные числа и разные методы решения уравнений мне известно. Единственное, что мне было непонятно, как доказываются подобные утверждения. Точнее, как можно доказать, что обратная для является такой функцией. Может, существует какой-то общий метод или известно доказательство этого частного случая? Ведь вы же точно знаете, что уравнение не разрешимо относительно х, а не просто предполагаете, что это так… Вот, собственно, в чем мой основной вопрос заключался.

gris	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 22.05.2011, 10:05
Заслуженный участник 13/08/08 14209	Тогда пардон. Я думал, что Вас интересует именно конкретная формула для радиуса через длины дуги и стягивающей хорды. Вопросы разрешимости разных трансцендентных уравнений или выражения обратной функции в элементарных, интегрируемости, спецфункций относятся, по моему, к дифференциальной алгебре. Начала у Галуа, Лиувилля, Ритта. Но я с этим делом знаком чисто исторически, так что может быть кто из авторитетов даст дельный совет. Мне вот запало в голову, что уравнение в виде линейной комбинации элементарных функций разного вида не разрешимо в замкнутой форме, а доказательство или даже ссылка на него, увы, за пределами. (Имею в виду уравнения вида и т.п.)

matod	Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде 23.05.2011, 04:47
13/05/11 8	Gris, спасибо большое. Действительно припоминается какая-то теорема насчет линейной формы… С авторами и ключевыми словами думаю что я смогу удовлетворить свое любопытство. Конкретная формула интересовала не меня, там вопрос был практический, поэтому я предложил автору дальше решить графически. Здесь задачу привел полностью с двумя целями: 1) На всякий случай, чтобы проверить правильность своего вывода. 2) С целью показать, откуда появилась задача. Если найду ответ на свой вопрос — здесь отпишусь.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы