Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
— сторона треугольника
— высота
— радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:
 |
(1) |
Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:
( small r=frac<large a> <large 2>cdot sqrt<frac<large 2a-a><large 2a+a>> ) ( small =frac<large a> <large 2>cdot sqrt<frac<large a><large 3a>> ) ( small =frac<large a><large 2 cdot sqrt<3>> )
| ( small r=frac<large a><large 2 cdot sqrt<3>> ) | (2) |
или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt <3>):
| ( small r=frac<large sqrt<3>> <large 6 >cdot a ) | (3) |
Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):
Ответ: 
2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:
( small h^2+left( frac<large a> <large 2>right) ^2=a^2.)
( small h^2+ frac<large a^2> <large 4>=a^2; ; ) ( small frac<large 3><large 4>a^2 =h^2; ; ) ( small a^2=frac<large4h^2><large 3>.)
| ( small a= frac<large 2h><large sqrt<3>> .) | (4) |
Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы
| ( small r= large frac> ) | (5) |
Подставляя (4) в (5), получим:
( small r= large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+sqrt<frac<large 4h^2><large 3>+4h^2>> ) ( small = large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+sqrt<frac<large 16h^2><large 3>>> ) ( small = large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+frac<large 4h><large sqrt<3>>> ) ( small = large frac< 2h^2>< 6h>small =large frac<1> <3>small cdot h )
То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:
| ( small r = large frac<1> <3>small cdot h ) | (6) |
Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):
Ответ: 
3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:
( small S= 3cdot sqrt<3>r^2.)
| ( small r= large frac <sqrt[4]<3>> <3>small cdot sqrt |
(7) |
Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):
Ответ: 
http://www-formula.ru/2011-09-22-04-51-34
http://matworld.ru/geometry/radius-vpisannoj-okruzhnosti-v-ravnostoronnij-treugolnik.php
, 
, 
— стороны треугольника
— полупериметр
2.png)
— центр окружности
Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :
— сторона треугольника
— высота
— радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
a, b — стороны треугольника
Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
a, b — катеты прямоугольного треугольника
c — гипотенуза
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
a — боковые стороны трапеции
c — нижнее основание
b — верхнее основание
d — диагональ
p — полупериметр треугольника DBC
p = (a+d+c)/2
Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)
Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали
a — сторона квадрата
d — диагональ
Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
a, b — стороны прямоугольника
d — диагональ
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
a — сторона многоугольника
N — количество сторон многоугольника
Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):
a — сторона шестиугольника
d — диагональ шестиугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):
Формулы для определения радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности если известны стороны треугольника
Найти радиус описанной окружности если известны стороны треугольника
a , b , c — стороны треугольника
s — полупериметр
P = (a+b+c)/2
O — центр окружности
Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :
Вычислить радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
a — сторона треугольника
h — высота
R — радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника если известна его высота:
R = 2h/3
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Содержание
- Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
- Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
- Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:
Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:
То есть
или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt{3} ):
Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):
Ответ:
2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:
Тогда:
Откуда:
Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы
Подставляя (4) в (5), получим:
То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:
Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):
Ответ:
3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:
Откуда:
Тогда:
Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):
Ответ:
Смотрите также:
- Окружность, описанная около треугольника
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
- Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
Как найти радиус вписанной окружности треугольника
Содержание:
- Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
-
Свойства вписанной в треугольник окружности
- Первое свойство
- Второе свойство
- Третье свойство
-
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Как найти через высоту или стороны, примеры решения
Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
Определение
Вписанной в треугольник окружностью называют такую окружность, которая занимает внутреннее пространство геометрической фигуры, соприкасаясь со всеми ее сторонами.
В таком случае грани треугольника представляют собой касательные к этой окружности. Сама геометрическая фигура с тремя углами считается описанной вокруг рассматриваемой окружности.
Свойства вписанной в треугольник окружности
Окружность, которую вписали в треугольник, обладает определенными свойствами. Основные из них можно записать таким образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- Центр окружности, которую вписали в треугольник, совпадает с точкой пересечения биссектрис этой геометрической фигуры.
- Во внутреннее пространство любого треугольника можно вписать лишь одну окружность.
- Формула радиуса окружности, который вписали во многоугольник с тремя углами, будет иметь такой вид:
В представленной формуле радиуса окружности использованы следующие величины:
- S – является площадью треугольника;
- р – представляет собой полупериметр геометрической фигуры;
- a, b, c – являются сторонами треугольника.
Перечисленные свойства необходимо доказать.
Первое свойство
Требуется доказать, что центр окружности, которую вписали в фигуру с тремя углами, совпадает с точкой пересечения биссектрис.
Доказательство построено в несколько этапов:
- Необходимо опустить из центральной точки окружности перпендикулярные прямые OL, OK и OM, которые опускаются на стороны треугольника АВС. Из вершин треугольника следует провести прямые, соединяющие их с центром фигуры OA, OC и OB.
- Далее можно рассмотреть пару треугольников AOM и AOK. Можно отметить, что они являются прямоугольными, так как OM и OK являются перпендикулярами к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для пары этих фигур.
- Исходя из того, что касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, который проведен в точку касания, согласно свойству касательной к окружности, то катеты OМ и OК представляют собой радиусы окружности и, следовательно, равны.
- Согласно полученным утверждениям, можно сделать вывод о равенстве прямоугольных треугольников AOМ и AOК по гипотенузе и катету. Таким образом, углы OAМ и OAК тоже равны. Получается, что OA является биссектрисой угла BAC.
- Аналогично можно доказать, что OC является биссектрисой угла ACB, а OB – биссектрисой угла ABC.
- Таким образом, биссектрисы треугольника совпадают в одной точке, которая представляет собой центр вписанной окружности.
Данное свойство окружности доказано.
Второе свойство
Необходимо представить доказательства свойства окружности, согласно которому в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Доказательство состоит из нескольких этапов:
- Окружность получится вписать в треугольник в том случае, когда существует точка, удаленная на равные расстояния от сторон геометрической фигуры.
- Можно построить пару биссектрис ОА и ОС. Из точки, в которой они пересекаются, необходимо опустить перпендикулярные прямые OK, OL и OM ко всем граням многоугольника с тремя углами ABC.
- Затем следует рассмотреть пару треугольников AOK и AOM.
- Эти фигуры обладают общей гипотенузой АО. Углы OAK и OAM равны, так как OA является биссектрисой угла KAM. Углы OKA и OMA прямые, то есть также равны, так как OK и OM являются перпендикулярами к сторонам AB и AC.
- Исходя из того, что две пары углов равны, можно сделать вывод о равенстве третьей пары AOM и AOK.
- Таким образом, получилось подтвердить равенство треугольников AOK и AOM по стороне AO и двум углам, которые к ней прилегают.
- Удалось определить равенство сторон ОМ и ОК, то есть они удалены на одинаковое расстояние от сторон геометрической фигуры АС и АВ.
- Аналогично можно доказать, что OM и OL равны, то есть равноудалены от граней AC и BC.
- Таким образом, точка равноудалена от сторон треугольника, что делает ее центром окружности, которая вписана в этот многоугольник.
- Аналогичным способом можно определить точку во внутреннем пространстве любой геометрической фигуры с тремя углами, которая будет удалена на равные расстояния от его сторон, и представляет собой центр окружности, вписанной в этот треугольник.
- Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
- Необходимо заметить, что центральная точка окружности совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы треугольника.
- Можно допустить ситуацию, при которой в геометрическую фигуру с тремя углами можно вписать две и более окружности.
- Необходимо провести три прямые из вершин геометрической фигуры к центральной точке окружности, вписанной в нее, и опустить перпендикулярные прямые к каждой грани треугольника. Таким образом, будет доказано, что рассматриваемая окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника, согласно доказательству ее первого свойства.
- Получим совпадение центральной точки окружности и центра первой окружности, которая уже была вписана в этот треугольник, а ее радиус соответствует перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника так же, как и в первом случае. Можно сделать вывод о совпадении этих окружностей.
- Аналогично любая другая окружность, вписанная в геометрическую фигуру с тремя углами, будет совпадать с первой окружностью.
- Таким образом, в треугольник получается вписать лишь одну окружность.
Свойство доказано.
Третье свойство
Требуется доказать, что радиус окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, представляет собой отношение площади треугольника к полупериметру:
Кроме того, необходимо представить доказательства следующему равенству:
Доказательство:
- Следует рассмотреть произвольный треугольник АВС, стороны которого соответствуют a, b и c. Для расчета полупериметра данного треугольника целесообразно использовать формулу:
- Центральная точка окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис геометрической фигуры с тремя углами. Прямые OA, OB и OC, которые соединяют O с вершинами треугольника АВС, разделяют геометрическую фигуру на три части: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC представляет собой сумму площадей этих трех частей.
- Исходя из того, что площадь какого-либо треугольника представляет собой половину произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA рассчитывается, как радиус окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно определить по формулам:
- Далее необходимо представить площадь S геометрической фигуры АВС, как сумму площадей нескольких треугольников:
- Следует отметить, что второй множитель является полупериметром геометрической фигуры с тремя углами АВС, что можно записать в виде равенства:
- Таким образом, доказано равенство радиуса вписанной окружности и отношения площади треугольника к полупериметру.
- Можно записать формулу Герона, смысл которой заключается в следующем: площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c)
- Далее следует преобразовать формулу для расчета радиуса:
Свойство окружности доказано.
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Параметры окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, можно рассчитать с помощью стандартных формул. Радиус окружности будет определен в зависимости от типа треугольника.
Произвольный треугольник
Определить радиус окружности, которая вписана в какой-либо треугольник, можно, как удвоенную площадь треугольника, поделенную на его периметр.
В данном случае, a, b, c являются сторонами геометрической фигуры с тремя углами, S – ее площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, которую вписали в треугольник с прямым углом, представляет собой дробь с числителем в виде суммы катетов за минусом гипотезы и знаменателем, равным числу 2.
В формуле a и b являются катетами, c – гипотенузой треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник, определяют по формуле:
В этом случае a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Расчет радиуса окружности, которая вписана в правильный или равносторонний треугольник, выполняют по формуле:
где a – сторона геометрической фигуры с тремя углами.
Как найти через высоту или стороны, примеры решения
Задача 1
Имеется геометрическая фигура с тремя углами, стороны которой составляют 5, 7 и 10 см. Требуется определить радиус окружности, которая вписана в этот треугольник.
Решение
В первую очередь необходимо определить, какова площадь треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:
Затем применим формулу для расчета радиуса круга:
Ответ: радиус окружности составляет примерно 1,48 см.
Задача 2
Необходимо рассчитать радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник. Боковые стороны геометрической фигуры составляют 16 см, а основание равно 7 см.
Решение
Следует использовать подходящую формулу для расчета радиуса, подставив в нее известные величины:
Ответ: радиус окружности примерно равен 2,8 см.