Как найти радиус инерции диска

Моментом инерции
твердого тела относительно какой –
либо осиz
(осевым моментом инерции) называется
скалярная величина, равная сумме,
составленной из произведений массы m_k
каждой точки тела на квадрат ее расстояния
r_k
до данной оси.

Момент инерции
бесконечно тонкого кольца (материальной
окружности) относительно его оси вращения
равен произведению его массы на квадрат
радиуса:

Момент инерции
тела относительно оси представить в
виде произведения массы тела на квадрат
длины некоторого отрезка
,
называемого радиусом инерции тела
относительно соответствующей оси:

Под радиусом инерции
тела относительно какой – либо оси
можно понимать радиус такого бесконечно
тонкого кольца, в котором нужно
сосредоточить всю массу М тела, чтобы
получить момент инерции кольца, равный
моменту инерции тела относительно этой
оси.

10. Момент инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса — Штейна).

Момент инерции
тела относительно какой – либо оси
равен моменту инерции этого тела
относительно центральной оси, параллельной
данной оси, сложенному с произведением
массы тела на квадрат расстояния между
этими осями.

— теорема Гюйгенса
– Штейна.

11. Осевые моменты инерции однородных тел: стержень, полый и сплошной цилиндры, шар.

— момент инерции
тонкого прямого стержня постоянного
сечения

Момент инерции
однородного прямого тонкого стержня
относительно его центральной оси
симметрии равен 1/12 произведения массы
стержня на квадрат его длины.

— момент инерции
сплошного

круглого цилиндра.

Момент инерции
однородного сплошного круглого цилиндра
относительно его оси вращения равен
половине произведения массы цилиндра
на квадрат его радиуса.

— момент инерции
полого круглого цилиндра.

Момент инерции
однородного полого круглого цилиндра
относительно его оси вращения равен
половине произведения массы цилиндра
на сумму квадратов его наружного и
внутреннего радиусов.

12. Динамическое уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

(1), где

Произведение
момента инерции тела относительно его
оси вращения на угловое ускорение тела
равно главному моменту всех приложенных
к телу внешних сил относительно той же
оси.

Уравнение (1)
называется динамическим уравнением
вращательного движения твердого тела.

13. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы.

Изменение кинетической
энергии механической системы на некотором
перемещении равно сумме работ внешних
и внутренних сил, действующих на
материальные точки системы на этом
перемещении.

,
где Т – кинетическая энергия в конечный
момент времени

Т₀
— кинетическая энергия в начальный
момент времени

∑А_i^е
+∑А_i^j
– сумма работ внешних и внутренних сил

Условие: необходимо
начальное и конечное положения.

14. Кинетическая энергия материальной системы. Теорема Кенига.

Механическая
система – совокупность тел, связанных
между собой различными связями.

Положения и движение
каждого из тел взаимно обусловлено.
Кинетическая энергия механической
системы определяется как арифметическая
сумма кинетических энергий i-го
тела, входящего в систему.

Теорема Кенига:

Кинетическая
энергия механической системы равна
сумме кинетической энергии центра масс
системы, масса которого равна массе
всей системы, и кинетической энергии
этой системы в ее относительном движении
относительно центра масс.

Соседние файлы в папке Шпоры

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти радиус инерции круга?

Радиус инерции круга относительно центральной оси z равен радиусу инерции относительно центральной оси y и  рассчитывается по формуле:

i_y =  i_z =  d /4,

где

i_y — радиус инерции относительно центральной оси y в мм;

i_z — радиус инеерции относительно центральной оси z в мм;

d —  диаметр круга в мм.

Момент сопротивления круга (формула и калькулятор)

Момент инерции круга (формула и калькулятор)

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Момент инерции тела относительно оси. Радиус инер­ции.

Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например (рис.32), если расстояния h от оси Oz каждого из одинаковых шаров А и В увеличить на одну и ту же величину, то положение центра масс системы не изменится, а распределение масс станет другим, и это скажется на движении системы (вращение вокруг оси Oz при прочих равных условиях будет происходить медленнее).

Рис.32

Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распре­деления масс — момент инерции. Моментом инерциитела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

Заметим также, что момент инерции тела – это геометрическая характеристика тела, не зависящая от его движения.

Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является ме­рой инертности тела при вра­щательном движении.

Рекомендуемые материалы

Согласно формуле момент инерции тела равен сумме момен­тов инерции всех его частей от­носительно той же оси. Для од­ной материальной точки, нахо­дящейся на расстоянии h от оси, .

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина , определяемая равенством

,

где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

В случае сплошного те­ла, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве , обратится в интеграл. В результате, учи­тывая, что , где — плотность, а V-объем, получим

или

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела.

Моменты инерции некоторых однородных тел:

1.Тонкий однородный стержень длины l и массы М. Вычислим его момент инерции относи­тельно оси Аz, перпендикулярной к стержню и прохо­дящей через его конец А (рис. 33).

Рис.33

Направим вдоль АВ координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина h=x, а масса , где — масса единицы длины стержня. В результате

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно:

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиуса R и массы М. Найдем его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис.34,а).Так как все точки кольца находятся от оси Cz на расстоянии h_k=R, то

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относитель­но ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр ра­диуса R и массы М. Вычислим момент инерции круглой пла­стины относительно оси Сz, перпендикулярной к пластине и прохо­дящей через ее центр (см. рис.34,а). Для этого выделим элементарное кольцо радиуса r и ширины dr (рис.34,б).

Рис.34

Площадь этого кольца равна , а масса , где — масса единицы площади пластины. Тогда для выделенного элементарного кольца будет

а для всей пластины . Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции однородного круглого цилиндра массы М и радиуса R относительно его оси Оz (риc.34,в).

Обратите внимание на лекцию «Методы разрушения нефтяных эмульсий».

4. Прямоугольная пластина, конус, шар. Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел:

а) сплошная прямоугольная пластина массы М со сторонами АВ = а и BD = b (ось х направлена вдоль стороны AB, ось у — вдоль BD):

б) прямой сплошной круглый конус массы М с радиусом основания R (ось z направлена вдоль оси конуса):

г) сплошной шар массы М и радиуса R (ось z направлена вдоль диаметра):