Как найти радиус конса - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти радиус основания конуса

Прямой конус — это тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Этот катет есть высота конуса H, другой катет является радиусом его основания R, гипотенуза равна множеству образующих конуса L. Способ нахождения радиуса конуса зависит от исходных данных задачи.

Инструкция

Если вам известны объем V и высота конуса H, выразите его радиус основания R из формулы V=1/3∙πR²H. Получите: R²=3V/πH, откуда R=√(3V/πH).

Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL.

Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. Так, если вам известны высота конуса H и длина его образующей L, то для нахождения радиуса R вы можете воспользоваться теоремой Пифагора: L²=R²+H². Выразите из данной формулы R, получите: R²=L²–H² и R=√(L²–H²).

Используйте правила соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Если известны образующая конуса L и угол α между высотой конуса и его образующей, найдите радиус основания R, равный одному из катетов прямоугольного треугольника, по формуле: R=L∙sinα.

Если известны образующая конуса L и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания R по формуле: R=L∙cosβ. Если известны высота конуса H и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания R по формуле: R=H∙tgα.

Пример: образующая конуса L равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. Найдите радиус основания конуса. Решение: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой L и острым углом α противолежащий этому углу катет R вычисляется по формуле R=L∙sinα. Подставьте соответствующие значения, получите: R=L∙sinα=20∙sin15º. Sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√(2–√3). Отсюда катет R=20∙0,5√(2–√3)=10√(2–√3)см. Соответственно, радиус основания конуса R равен 10√(2–√3)см.

Частный случай: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы. Таким образом, если известны длина образующей конуса и угол между его образующей и высотой равен 30º, то найдите радиус по формуле: R=1/2L.

Связанная статья

Можно ли линейку принять за материальную точку

Источники:

Решение треугольников
радиусы образуют прямой угол

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

A cone is a three-dimensional object with a circular base. As the cone grows upward, the size of the circle lessens until it becomes a single point at the top of the cone. A radius is the distance from the circle’s middle to its perimeter, which is known as its circumference. The radius of a cone is the radius of its circular base. You can find a radius through its volume and height.

Multiply the volume by 3. For example, the volume is 20. Multiplying 20 by 3 equals 60.

Multiply the height by π, which is a numeric constant that begins 3.14 and never terminates. For this example, the height is 4, and 4 multiplied by π equals 12.566.

Divide the tripled volume by the product of the height and π. For this example, 60 divided by 12.566 equals 4.775.

Find the square root of the result from Step 3. For this example, the square root of 4.775 equals 2.185. The radius is 2.185.

Источник

1) Если вам известны объем V и высота конуса H, выразите его радиус основания R из формулы V=1/3∙πR²H. Получите: R²=3V/πH, откуда R=√ (3V/πH)

. 2) Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL.

3) Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. Так, если вам известны высота конуса H и длина его образующей L, то для нахождения радиуса R вы можете воспользоваться теоремой Пифагора: L²=R²+H². Выразите из данной формулы R, получите: R²=L²-H² и R=√ (L²-H²).

4) Используйте правила соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Если известны образующая конуса L и угол α между высотой конуса и его образующей, найдите радиус основания R, равный одному из катетов прямоугольного треугольника, по формуле: R=L∙sinα.

5) Если известны образующая конуса L и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания R по формуле: R=L∙cosβ. Если известны высота конуса H и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания R по формуле: R=H∙tgα.

6) Пример: образующая конуса L равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. Найдите радиус основания конуса. Решение: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой L и острым углом α противолежащий этому углу катет R вычисляется по формуле R=L∙sinα. Подставьте соответствующие значения, получите: R=L∙sinα=20∙sin15º. Sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√ (2-√3). Отсюда катет R=20∙0,5√ (2-√3) = 10√ (2-√3) см. Соответственно, радиус основания конуса R равен 10√ (2-√3) см.

7) Частный случай: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы. Таким образом, если известны длина образующей конуса и угол между его образующей и высотой равен 30º, то найдите радиус по формуле: R=1/2L.

Источник

Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Треугольник (POA) вращается вокруг стороны (PO).

(PO) — ось конуса и высота конуса.

(P) — вершина конуса.

(PA) — образующая конуса.

Круг с центром (O) — основание конуса.

(AO) — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось (PO) конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

(APB) — осевое сечение конуса.

∡PAO=∡PBO

— углы между образующими и основанием конуса.

Для конуса построим развёртку боковой поверхности. Это круговой сектор.

Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса

2πR

, угол развёртки боковой поверхности

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Образующая конуса (l) является радиусом сектора.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом (l):

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом (l), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом (R).

Сравним выражения длины дуги и выразим

через (R):

2πl⋅α360°=2πR;α=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l.

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

Sбок.=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

OO1

— ось конуса и высота конуса.

Круги с центрами (O) и

— основания усечённого конуса.

(AO) и

A1O1

— радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось

OO1

конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA1B1B

— осевое сечение конуса.

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:

Sбок.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅PA1+AA1−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+πR−πr⋅PA1.

Так как

ΔPAO∼ΔPA1O1

, то стороны их пропорциональны:

PAPA1=Rr;l+PA1PA1=Rr;r⋅l+PA1=R⋅PA1;rl=R⋅PA1−r⋅PA1;PA1⋅R−r=rl;PA1=rlR−r.

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:

Sбок.=πRl+π⋅PA1⋅R−r=πRl+π⋅rlR−r⋅R−r;Sбок.=πRl+πrl=πl⋅R+r.

Источник

Как найти радиус конуса

Ситуация 1.
Заданы объем и высота конуса.

Решение.
Используем формулу:

$[V_{konusa}=frac{1}{3}cdot picdot {radius}^2cdot visota]$

Выразим из нее квадрат радиуса, а затем и сам радиус:

$[{radius}^2=frac{3cdot V_{konusa}}{picdot visota}]$

$[radius=sqrt{frac{3cdot V_{konusa}}{picdot visota}}]$

Ситуация 2.
Заданы площадь боковой поверхности конуса и его образующая.

Решение.
Используем формулу:

$[S_{bok.pov-sti}=picdot radiuscdot obrazuyuschaya]$

Выразим из нее радиус:

$[radius=frac{S_{bok.pov-sti}}{picdot obrazuyuschaya}]$

В дальнейших ситуациях используется определение конуса, которое основывается на том, что конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего катета.

Ситуация 3.
Заданы высота длина образующей конуса.

Решение.
Используем теорему Пифагора:

$[{obrazuyuschaya}^2={radius}^2+{visota}^2]$

Выразим из данной формулы радиус:

$[{radius}^2={obrazuyuschaya}^2-{visota}^2]$

$[radius=sqrt{{obrazuyuschaya}^2-{visota}^2}]$

Ситуация 4.
Заданы образующая конуса и угол между его высотой и этой образующей.

Решение.
Находим радиус основания, который равен одному из катетов прямоугольного треугольника, с помощью соотношения:

Ситуация 5.
Заданы образующая конуса и угол между радиусом основания и этой образующей.

Ситуация 6.
Заданы высота конуса и угол между радиусом основания и образующей этого конуса.

Источник