Как найти радиус круга вписанного в равнобедренный - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона

Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:

где полупериметр p вычисляется из формулы:

Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:

Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):

Ответ:

2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac{large beta}{large 2}. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (8) можно записать так:

Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):

Ответ:

3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании

Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:

Откуда:

Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

или

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:

Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).

Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):

Ответ:

4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота

Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :

где

Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:

Откуда

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Подставим (15) в (16):

Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:

Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):

Ответ:

5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Из формулы (15) найдем b:

Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

или

Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):

Ответ:

Смотрите также:

Окружность, описанная около треугольника
Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн

Источник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

a — сторона ромба

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Источник

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:

(1)

где полупериметр p вычисляется из формулы:

(2)

Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:

( small p=frac<large a+b+c> <large 2>) ( small =frac<large 2b+a><large 2>, )

(3)

( small p-a=frac<large 2b+a><large 2>-a ) ( small =frac<large 2b-a><large 2>, )

(4)

( small p-b=p-c=frac<large 2b+a><large 2>-b ) ( small =frac<large a><large 2>. )

(5)

Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

(6)

Ответ:

2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac<large beta><large 2>. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

( small frac<large OH><large HC>=frac<large r><large frac<2>>=mathrmfrac<large beta> <large 2>.)

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=frac<large a> <large 2>cdot mathrmfrac<large beta> <large 2>.)

(8)

( small r=frac<large a> <large 2>cdot frac<large sin beta> <large 1+cos beta>.)

(9)

Ответ:

3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании

( small frac<large CH><large AC>=frac<large frac<2>><large b>= cos beta .)

( small a=2b cdot cos beta .)

(10)

Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac<large a> <large 2>cdot mathrmfrac<large beta><large 2>=frac<large 2b cdot cos beta> <large 2>cdot mathrmfrac<large beta> <large 2>) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac<large beta> <large 2>)

( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac<large beta> <large 2>)

(11)

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:

( small r=b cdot frac<large sin beta cdot cos beta> <large 1+ cos beta>)

(12)

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).

Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):

Ответ:

4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота

(13)

(14)

Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:

( small left( frac<large a><large 2>right)^2=b^2-h^2 )

( small a=2 cdot sqrt )

(15)

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

( small S=frac<large 1> <large 2>cdot a cdot h. )

(16)

Подставим (15) в (16):

( small S=h cdot sqrt )

(17)

Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:

( small p=frac<large a+b+c> <large 2>) ( small =frac<large a+2b> <large 2>) ( small =frac<large a><large 2>+b )( small =b+ sqrt )

(18)

Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac<large S> <large p>) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> )

(19)

Ответ:

5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

Из формулы (15) найдем b:

( small b^2-h^2=left( frac<large a> <large 2>right)^2 )

( small b^2= frac<large a^2> <large 4>+h^2 )

( small b= frac<large 1> <large 2>cdot sqrt< a^2+ 4h^2 >)

(20)

Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac<large a^2><large 4>+h^2-h^2>><large frac<large 1> <large 2>cdot sqrt< a^2+ 4h^2 >+ sqrt<frac<large a^2><large 4>+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac< a>< 2>>< frac< 1> < 2>cdot sqrt< a^2+ 4h^2 >+frac< a> < 2>>)

( small r=large frac< a cdot h >>)

(21)

Ответ:

источники:

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

http://matworld.ru/geometry/radius-vpisannoj-okruzhnosti-v-ravnobedrennyj-treugolnik.php

Источник

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно найти по стандартной формуле.

Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.

Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр

$[p = frac{a}{2} + b,]$

то

$[r = frac{S}{{frac{a}{2} + b}} = frac{{2S}}{{a + 2b}}.]$

Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна

$[S = frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} ,]$

то

$[r = frac{{2 cdot frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}} = frac{{asqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}}.]$

Эту формулу можно упростить

$[r = frac{{asqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}} = frac{{asqrt {(2b - a)(2b + a)} }}{{2(2b + a)}}]$

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен

$[r = frac{a}{2}sqrt {frac{{2b - a}}{{2b + a}}} .]$

Если найти площадь по боковой стороне b и высоте, проведенной к основанию ha:

$[S = {h_a}sqrt {{b^2} - h_a^2} ,]$

$[p = b + sqrt {{b^2} - h_a^2} ,]$

то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

$[r = frac{{{h_a}sqrt {{b^2} - h_a^2} }}{{b + sqrt {{b^2} - h_a^2} }}]$

Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании

то

$[angle ACF = frac{alpha }{2},angle FAO = frac{beta }{2}]$

Из прямоугольного треугольника AOF

$[tgangle FAO = frac{{OF}}{{AF}},]$

$[r = frac{a}{2}tgfrac{beta }{2}]$

Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF

а затем из треугольника AOF — OF:

$[r = bcos beta tgfrac{beta }{2}.]$

Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.

Источник

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру

$[r=frac{S}{p} ]$

Если обозначить боковые стороны равнобедренного треугольника через , а основание через , то

$[r=frac{S}{p} =sqrt{frac{(p-a)(p-a)(p-b)}{p}} =sqrt{frac{(p-a)(p-a)(p-b)}{p}} =frac{b}{2} sqrt{frac{2a-b}{2a+b}} ]$

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник