Как найти радиус окружности описанной около параллелограмма

Вокруг какого параллелограмма можно описать окружность

Содержание:

  • Окружность, описанная вокруг параллелограмма
  • Вокруг какого параллелограмма можно описать окружность: необходимые условия
  • Где будет центр такой окружности
  • Формула расчета радиуса окружности, описанной около параллелограмма

Окружность, описанная вокруг параллелограмма

Окружность описана вокруг параллелограмма, если все его вершины лежат на этой окружности. Параллелограмм, около которого описана окружность, называется вписанным в окружность. 

Вокруг какого параллелограмма можно описать окружность: необходимые условия

Чтобы описать вокруг параллелограмма окружность, он должен соответствовать определенным условиям. 

Теорема 1

В любом вписанном в окружность четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Параллелограмм — частный случай четырехугольника. В соответствии с теоремой, чтобы описать окружность около параллелограмма или, другими словами, вписать параллелограмм в окружность, нужно чтобы сумма его противолежащих углов была равна 180°.

Так как у параллелограмма противоположные углы равны, каждый из этих двух углов будет равен 90°. То же самое можно сказать и о второй паре противолежащих углов. Все углы вписанного в окружность параллелограмма будут прямые, а параллелограмм с четырьмя прямыми углами — это прямоугольник. Следовательно, описать окружность можно только около прямоугольника (в том числе квадрата).

вписанный параллелограмм

Где будет центр такой окружности

Центр окружности, описанной около параллелограмма (прямоугольника), совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

На изображении ниже EGFD — прямоугольник. Его диагонали EF и GD равны между собой, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам.

Точка О равноудалена от четырех вершин прямоугольника EGFD и является центром описанной окружности. Отрезки ОЕ, ОG, ОF, ОD — радиусы описанной окружности.

центр окружности

Формула расчета радиуса окружности, описанной около параллелограмма

Диагональ параллелограмма равна диаметру описанной около него окружности, соответственно радиус описанной окружности равен половине диагонали. При этом нужно помнить, что параллелограмм, вокруг которого можно описать окружность, является прямоугольником и обе его диагонали равны.

Формула 1

(R=frac12d,)

где R — радиус описанной окружности,

d — диагональ параллелограмма.

Если известны стороны прямоугольника, то в соответствии с теоремой Пифагора формула будет иметь следующий вид:

Формула 2

(R=frac{sqrt{a^2+b^2}}2,)

где R — радиус описанной окружности,

и b — стороны параллелограмма.

Задача 

Дано: прямоугольник АВСD со сторонами 6 см и 8 см. Около АВСD описана окружность.

Найти: радиус описанной окружности.

Решение:

задача вписанный параллелограмм

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Его гипотенуза АС равна диаметру окружности, описанной около прямоугольника АВСD. 

(АС=sqrt{АВ^2+ВС^2}=sqrt{6^2+8^2}=sqrt{36+64}=sqrt{100}=10 (см).)

(R=frac{АС}2=frac{10}2=5 (см).)

Ответ: радиус описанной окружности равен 5 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.60 (Голосов: 5)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Если около параллелограмма можно описать окружность

Если около параллелограмма можно описать окружность, то что можно сказать о его свойствах?

(6-й признак прямоугольника)

Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является прямоугольником.

Дано : ABCD — четырехугольник,

окружность (O; R) — описанная.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

1) Поскольку около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна, то

ABCD — параллелограмм (по условию), у которого все углы прямые (по доказанному).

Следовательно, ABCD — прямоугольник (по определению).

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Параллелограмм — его основные свойства, признаки и формулы

Иногда возникают ситуации, в которых следует выполнить точные замеры чего-либо или использовать знания для сдачи экзамена по геометрии. В интернете много источников о параллелограмме и его свойствах, но информация не всегда систематизирована. В результате этого приходится тратить время на ее поиски, а также править формулы и тождества, которые не всегда верно записаны.

Общие сведения о фигуре

Параллелограмм — это четырехугольник на плоскости, у которого присутствует равенство противоположных сторон, причем они лежат на параллельных прямых. Ромб, прямоугольник и квадрат — его частные случаи. Из него состоят более сложные объемные фигуры. Например, параллелепипед и куб. Высота параллелограмма — отрезок, который является перпендикуляром, проведенным к нижней стороне геометрической фигуры.

Всего можно провести четыре высоты. Две из них можно провести из вершин углов, которые лежат в параллелограмме и являются тупыми. Другие две высоты проводятся из острых углов (находятся вне фигуры). Углы делятся на шесть типов: острые, прямые, тупые, развернутые, выпуклые и полные.

Первый тип, градусная размерность которого меньше 90, является острым. Если значение равно 90, то он является прямым, и соответствует второму типу. В случае, когда выполняется условие 90 Информация о признаках

Признаки позволяют выяснить принадлежность фигуры к параллелограмму. Например, существует произвольный четырехугольник, и нужно выяснить, является ли он параллелограммом. Необходимо отметить, что при условии совпадения хотя бы одного из признаков, этот четырехугольник является им. Проверку следует производить, руководствуясь следующими утверждениями:

  • Параллельность и равенство двух любых сторон.
  • Равенство противолежащих сторон.
  • Углы, которые являются противолежащими, равны.
  • Точка пересечения диагоналей (центр симметрии) делит их на два равных отрезка.
  • При выполнении равенства (d — диагонали): (d1)^2 + (d2)^2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .

Последний признак можно записать для упрощения расчетов следующим образом: sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * (a 2 + b 2 ). Равенство можно упростить, поскольку противоположные стороны равны.

Основные свойства

Для решения задач и проектирования деталей необходимо знать основные свойства параллелограмма. Некоторые из них были получены при доказательстве и следствиях из теорем. К ним относятся следующие:

  • Ромб, квадрат и прямоугольник — параллелограммы.
  • Противоположные стороны одинаково равны и параллельны.
  • Противолежащие углы равны.
  • Суммарное значение градусной меры всех внутренних углов параллелограмма составляет 360.
  • Сумма углов, прилегающих к одной из вершин, составляет 180 градусов.
  • Диагональ делит фигуру на два треугольника, которые равны между собой по всем признакам.
  • Две диагонали (одна — большая, а другая — меньшая) делят параллелограмм на две пары треугольников, которые равны между собой.
  • Диагонали фигуры пересекаются, а точка пересечения делит их пополам (через нее можно провести среднюю линию, которая параллельна сторонам).
  • Точка пересечения двух диагоналей является симметрией фигуры.
  • Биссектрисы соседних углов пересекаются под углом в 90 градусов, а противоположных являются параллельными.
  • sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * ((a)^2 + (b)^2).

Однако для выполнения расчетов признаков и свойств параллелограмма недостаточно. В некоторых случаях требуется вычислить периметр и площадь фигуры. Соотношения используются не только в учебных заведениях, но и в научных исследованиях. Простым примером является нахождение площади поперечного сечения проводника. Это может понадобиться для дальнейшего вычисления электрического сопротивления.

Определение периметра

Периметром (P) любой фигуры является сумма длин всех ее сторон. Следовательно, для параллелограмма найти это значение является несложным. Базовая формула периметра параллелограмма имеет следующий вид: P = a + b + c + d = 2 * (a + b). Кроме того, существуют и другие соотношения для нахождения этой величины:

  • Если известны одна из сторон и две диагонали.
  • Нахождение периметра через сторону, высоту и синус угла.

    В первом случае соотношение для стороны «a» записывается следующим образом: P = 2 * a + sqrt [2 * (d1 * d1 + d2 * d2 — 2 * a^(2))]. Для «b» запись изменяется таким образом: P = 2*b + sqrt [2 * (d1^(2) + d2^(2) — 2 * b^(2))].

    Во втором случае, когда известна сторона «а», угол BAD и высота Ha, периметр записывается формулой вида: P = 2 * [a + Ha / sin (BAD)]. Для стороны «b», угла BAD и высоты Hb равенство принимает следующий вид: P = 2 * [b + Hb / sin (BAD)]. Если проанализировать последние два соотношения, то величины «Hb / sin (BAD)» и «Hа / sin (BAD)» являются стороной «b» и «a» соответственно.

    Вычисление площади

    Площадь параллелограмма (S) — это пространство, которое ограничено его сторонами, и равно произведению одной из сторон на высоту, проведенную к одноименному основанию. Базовая формула нахождения значения S является следующей: S = a * Ha = b * Hb. Кроме того, существует два способа нахождения ее значения, когда известны следующие величины:

    Можно записать соотношение следующим образом: S = a * b * sin (BAD) = a * b * sin (ABC). В последнем случае математическая запись площади имеет следующий вид: S = 0,5 * d1 * d2 * sin (f) = 0,5 * d1 * d2 * sin (g). Кроме того, существует формула Герона, которая позволяет вычислить площадь параллелограмма. Для этого необходимо вычислить полупериметр (p) треугольника со сторонами a, b и d: p = P / 2 = (a + b + d). Формула имеет вид: S = sqrt[p * (p — a) * (p — b) * (p — d)].

    Соотношения сторон и диагоналей

    В некоторых задачах необходимо определить неизвестные длины сторон или диагонали. Можно попытаться вывести соотношения, однако эта процедура занимает некоторое время. Следовательно, проще воспользоваться уже готовыми формулами. Стороны параллелограмма можно определить четырьмя основными выражениями. При этом следует знать следующие величины:

  • Диагонали и угол.
  • Другую сторону и диагонали.
  • Высоту и значение синуса угла в градусах.
  • Площадь и высоту.

    В первом случае для вычисления длины стороны «а», следует воспользоваться следующей формулой: a = [sqrt (d1 *d1 + d2 * d2 — 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2. Значение стороны «b» вычисляется немного иначе: b = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2.

    При известных значениях диагоналей и одной из сторон, соотношение имеет более простой вид, чем в первом случае: a = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * b 2 ))] / 2 и b = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * a 2 ))] / 2.

    Когда известны высоты и угол BAD, можно найти стороны a и b: a = Hb / sin (BAD) и b = Ha / sin (BAD). Если известны площадь и высота, то соотношение принимает следующий вид: a = S / Ha и b = S / Hb.

    Диагональ параллелограмма — отрезок, который соединяет его противоположные внутренние углы. Фигура имеет две диагонали, одна из которых длинная (d1), а другая является короткой (d2). Их можно найти, используя 4 соотношения. Это возможно в том случае, когда известны следующие данные:

    • Стороны и косинус угла ABC.
    • Cos (BAD) и стороны.
    • Одну известную диагональ и стороны.
    • Площадь, диагональ и угол между d1 и d2.

    В первом случае можно воспользоваться следующими формулами (теорема косинусов): d1 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (ABC)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (ABC)]. Во втором: d1 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (BAD)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (BAD)].

    Когда известны две стороны и одна из диагоналей, то можно воспользоваться третьим случаем: d1 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d2)^2] и d2 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d1)^2]. В последнем случае равенства для нахождения диагоналей имеют такой вид: d1 = 2 * S / [(d2) * sin (f)] = 2 * S / [(d2) * sin (g)] и d2 = 2 * S / [(d1) * sin (f)] = 2 * S / [(d1) * sin (g)].

    Параллелограмм и окружность

    Существуют определенный тип задач, в которых речь идет о параллелограмме и окружности. Всего бывает два варианта: вписанная и описанная окружности. Следует отметить, что не всегда это возможно. Существуют определенные условия, при которых возможны такие операции. Кроме того, следует обратить особое внимание на дополнительные свойства, которые появляются при комбинации данных фигур. Можно не только чередовать комбинации, но и использовать одновременно.

    Для решения сложного типа задач и выполнения расчетов, в некоторых случаях рекомендуется применять вписанные и описанные окружности. Например, при проектировании деталей, необходимо полностью подогнать ее размеры, поскольку они должны быть правильной формы. При помощи окружности (вписанной или описанной) можно выявить ряд дефектов, которые могут привести к некорректной работе механизма.

    Круг и прямоугольник

    Главное условие: любой четырехугольник можно вписать в окружность, когда сумма его двух противоположных углов составляет 180 градусов. У параллелограмма есть одно свойство: сумма углов, которые прилегают к любой из вершин, составляет 180 градусов. Кроме того, сумма всех его углов составляет 360, а, следовательно, сумму противоположных углов составляет 360 — 180 = 180 (градусов).

    Однако при попытке описать около него окружность ничего не выйдет, поскольку есть одно свойство: противоположные углы у него равны. Ими могут быть тупые и острые. Сумма градусной меры тупых углов будет больше 180, а острых — меньше. Когда противоположные углы будут равны 90, то значит их сумма составит 180. В этом случае нужно рассматривать частный случай — прямоугольник. Появляется очень важное свойство: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения (центром окружности) делятся пополам, а также являются диаметрами окружности.

    Для нахождения радиуса окружности, следует воспользоваться следующим соотношением (при условии, что известны стороны прямоугольника): R = [sqrt (a 2 + b 2 )] / 2 = d / 2. Величина «d» является диаметром.

    Ромб и квадрат

    В параллелограмм также можно вписать окружность. Однако для этого необходимо выполнение определенного условия. Оно заключается в следующем: суммы противолежащих сторон параллелограмма должны быть равны. Нужно отметить, что это выполняется только для ромба и квадрата.

    Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны, а углы не равны 90 градусов. Квадрат — геометрическая фигура, у которой все стороны и углы равны. Из последнего определения можно найти значение градусной меры одного угла: 360 / 4 = 90. Последняя фигура является частным случаем ромба. Радиус окружности находится с помощью формулы: r = S / p = 0,5 * H. В этом соотношении переменные S, p и H — площадь, полупериметр и высота соответственно. Для нахождения S можно воспользоваться такими соотношениями:

    • Известны длина стороны (а) и высота (H): S = a * H.
    • Через диагонали d1 и d2: S = d1 * d2 / 2.

    Полупериметром фигуры называется половина от значения ее периметра. Соотношение записывается таким образом: p = P / 2 = 4 * a.

    Таким образом, знать основные свойства и признаки параллелограмма необходимо, поскольку от этого может зависеть не только качество сдачи экзаменов, решения задач, но и проектирование различных деталей.

    источники:

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti

    http://sprint-olympic.ru/uroki/matematika-uroki/92778-parallelogramm-ego-osnovnye-svoistva-priznaki-i-formyly.html

  • Содержание:

    Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

    1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

    2. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус вписанной окружности треугольника,

    3. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где R — радиус описанной окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Найдем радиус Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения вневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения По свойству касательной Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Из подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения(по острому углу) следуетОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияТак как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Пример:

    Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанная и вписанная окружности треугольника

    Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения описанная около треугольни ка АВС.

    Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

    Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».
     

    Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
    Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

    Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

    Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения вписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
    Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и по свойству касательной к окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

    Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».
     

    Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
    В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

    Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

    Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

    Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — полупериметр треугольника, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть дан треугольник АВС со сторонами Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Радиусы Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения проведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Теорема доказана.

    Следствие:

    Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

    Пример:

    Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
    (рис. 95).

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения  откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Способ 2 (тригонометрический метод). Из Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см. рис. 95) Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения из Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения как вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения см.
    Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

    Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
    Обратное утверждение докажите самостоятельно.

    Полезно запомнить!
    Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения а высоту, проведенную к основанию, — Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то получится пропорция Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения.
    Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Пример:

    Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения по теореме Пифагора Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см), откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС (Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — общий) следует:Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения(см).
    Способ 2 (тригонометрический метод). Из Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см. рис. 97) Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, из Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

    Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения‘ откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения = 3 (см).

    Способ 4 (формула Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения). Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Из формулы площади треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения следует: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: 3 см.

    Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

    Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

    Обратное утверждение докажите самостоятельно.

    Пример:

    Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения его вписанной окружности.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

    Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Поскольку ВК — высота и медиана, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Из Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения , откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения.
    В Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения катет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Откуда

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Ответ: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Полезно запомнить!

    Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольникаОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Значит, сторона равностороннего
    треугольника в Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения раз больше радиуса его описанной окружности.
    Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения разделить на Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

    Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где с — гипотенуза.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
    Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где с — гипотенуза.
    Теорема доказана.

    Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

    Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — искомый радиус, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — катеты, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — гипотенуза треугольника.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и гипотенузой Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения касается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
    Проведем радиусы в точки касания и получим: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Четырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Но Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, т. е. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

     Теорема доказана.

    Следствие: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где р — полупериметр треугольника.

    Доказательство:

    Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Формула Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения в сочетании с формулами Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения дает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.
     

    Пример. Дан прямоугольный треугольник, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Найти Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения.

    Решение:

    Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Из формулы Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения следует Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. По теореме Виета (обратной) Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — посторонний корень.
    Ответ:Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения = 2.

    Пример:

    Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения— квадрат, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    По свойству касательных Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияПо теореме Пифагора

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Следовательно, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Радиус описанной окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решениязначения Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения получим Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения По теореме Пифагора Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, т. е. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: 5.

    Пример:

    Гипотенуза прямоугольного треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения радиус вписанной в него окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Найти площадь треугольника.

    Решение:

    Способ 1 (геометрический). Пусть в Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения гипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения вписанной окружности, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — высота Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
    Отсюда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения по катету и гипотенузе.
    Площадь Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения равна сумме удвоенной площади Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и площади квадрата CMON, т. е.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Способ 2 (алгебраический). Из формулы Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения следует Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияВозведем части равенства в квадрат: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Способ 3 (алгебраический). Из формулы Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения следует, что Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Из формулы Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения следует, что Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: 40.

    Реальная геометрия:

    Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Вписанные и описанные четырехугольники

    Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

    Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
    Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
    Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

    Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
    Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Дуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Аналогично доказывается, что Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения 180°. Теорема доказана.

    Теорема (признак вписанного четырехугольника).
    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то около него можно описать окружность.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения или внутри нее в положении Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
    Тогда сумма Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияне была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

    Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

    Следствия.

    1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

    2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

    3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Докажите эти следствия самостоятельно.

    Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
    Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    откуда AD + ВС = AB + CD.
    Теорема доказана.

    Следствие:

    Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Теорема (признак описанного четырехугольника).
    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что 

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения                             (1)
    Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения который касается окружности. По свойству описанного четырехугольника 

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения                                     (2)

    Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения что противоречит неравенству треугольника.
    Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.
     

    Следствия.

    1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

    2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

    3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
    Докажите эти следствия самостоятельно.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Для описанного многоугольника справедлива формула Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, где S — его площадь, р — полупериметр, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус вписанной окружности.

    Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Пример:

    Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как у ромба все стороны равны , то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения(см).
    Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Искомый радиус вписанной окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см).
    Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения найдем площадь данного ромба: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения С другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Поскольку Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см), то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Отсюда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см).

    Ответ: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения см.

    Пример:

    Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения делит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Необходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения трапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора  Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияТогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения По свойству описанного четырехугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Отсюда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решениякак внутренние односторонние углы при Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияи секущей CD, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 131). Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения— прямоугольный, радиус Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения является его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения или Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Высота Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как по свой­ству описанного четырехугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: 18.
    Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

    Пример:

    Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Найти величину угла ВАС (рис. 132, а).
    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияВ прямоугольном треугольнике ABM Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Ответ: 75°.

    Окружность, вписанная в треугольник

    Пример:

    Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
    Тогда, если Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как АВ = AM + МВ, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения т. е. Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. После преобразований получим: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Аналогично: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Замечание. Если Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 141), то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — частный случай результата задачи 1.

    Описанная трапеция

    Пример:

    Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    Площадь трапеции можно найти по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Пусть в трапеции ABCD основания Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — боковые стороны, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения . Известно, что в равнобедренной трапеции Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОтсюда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОтвет: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

    Полезно запомнить!

    Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения боковой стороной с, высотой h, средней линией Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и радиусом Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения вписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

    Теорема.
    Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
    Рис. 143
    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Доказательство:

    1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

    2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то около него можно описать окружность.
    Опишем около треугольника ABD окружность.
    В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

    «Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения » . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

     Обобщенная теорема Пифагора

    В прямоугольном треугольнике Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения проведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 148). Тогда теорема Пифагора Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения может звучать так: сумма квадратов гипотенуз Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решениятреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения— соответствующие линейные элемен­ты Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Действительно, из подобия указанных треугольников Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Пример:

    Пусть Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (см. рис. 148). Найдем Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения По обобщенной теореме Пифагора Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения отсюда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    Ответ: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения = 39.

    Формула Эйлера для окружностей

    Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

    Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где b — боковая сторона, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Радиус вписанной окружности Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Так как Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Искомое расстояние Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    А теперь найдем d по формуле Эйлера: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения откуда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения Как видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

    Запомнить:

    1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
    2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
    3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения
    5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
    6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
    7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — полупериметр, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус вписанной окружности.

    Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

    Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — центр окружности, описанной около треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, поэтому Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения.

    Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

    Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения существует точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения будет центром описанной окружности, а отрезки Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — ее радиусами.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Проведем серединные перпендикуляры Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения сторон Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения соответственно. Пусть точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения принадлежит серединному перпендикуляру Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Так как точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения принадлежит серединному перпендикуляру Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Значит, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решенияОписанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, т. е. точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения равноудалена от всех вершин треугольника.

    Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

    Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

    Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

    Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

    Точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, отрезки Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиусы, проведенные в точки касания, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

    Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

    Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения существует точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения будет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Проведем биссектрисы углов Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — точка их пересечения. Так как точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения принадлежит биссектрисе угла Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, то она равноудалена от сторон Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (теорема 19.2). Аналогично, так как точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения принадлежит биссектрисе угла Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, то она равноудалена от сторон Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Следовательно, точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения равноудалена от всех сторон треугольника.

    Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

    Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

    Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

    Пример:

    Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, где Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус вписанной окружности, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — катеты, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — гипотенуза.

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    Решение:

    В треугольнике Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения (рис. 302) Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — центр вписанной окружности, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — точки касания вписанной окружности со сторонами Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения соответственно.

    Отрезок Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения.

    Так как точка Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — центр вписанной окружности, то Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — биссектриса угла Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения и Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Тогда Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения — равнобедренный прямоугольный, Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

    Описанные и вписанные окружности - формулы, свойства и определение с примерами решения

    • Плоские и пространственные фигуры
    • Взаимное расположение точек и прямых
    • Сравнение и измерение отрезков и углов
    • Первый признак равенства треугольников
    • Треугольники и окружность
    • Площадь треугольника
    • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
    • Окружность и круг

    радиус описанной окружности треугольника

    a , b , c blue    —  стороны треугольника

    s12 black  — полупериметр

    s (abc)2

    O black  — центр окружности

    Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R  ) :

    Формула радиуса описанной окружности треугольника

    радиус описанной окружности равностороннего треугольника

    сторона — сторона треугольника

    высота — высота

    радиус — радиус описанной окружности

    Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

    Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону

    Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

    Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту

    Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

    радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

    a, b — стороны треугольника

    Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

    Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника

    Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

    радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

    a, b — катеты прямоугольного треугольника

    c — гипотенуза

    Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

    Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника

    Радиус описанной окружности трапеции

    a — боковые стороны трапеции

    c — нижнее основание

    b — верхнее основание

    d — диагональ

    p — полупериметр треугольника DBC

    p = (a+d+c)/2

    Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

    Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции

    Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

    радиус описанной окружности около квадрата

    a — сторона квадрата

    d — диагональ

    Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

    Формула радиуса описанной окружности квадрата

    Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

    Радиус описанной окружности прямоугольника

    a, b — стороны прямоугольника

    d — диагональ

    Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

    Формула радиуса описанной окружности прямоугольника

    Радиус описанной окружности правильного многоугольника

    a — сторона многоугольника

    N — количество сторон многоугольника

    Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

    Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника

    a — сторона шестиугольника

    d — диагональ шестиугольника

    Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

    Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

    Радиус описанной окружности для произвольного треугольника

    Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

    radius opisannoy okruzhnosti

        [R = frac{{abc}}{{4S}}]

        [R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }},]

    где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

    Центр описанной окружности лежит:

    radius opisannoy okruzhnosti tupougolnogo treugolnika

    у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

    у прямоугольного — на середине гипотенузы;

    у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

    Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

    radius opisannoy okruzhnosti pryamougolnogo treugolnika

    Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

        [R = frac{c}{2}]

    Окружность, описанная около многоугольника

    radius opisannoy okruzhnosti mnogougolnika

    Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

    Радиус описанной около многоугольника окружности  находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

    Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

    Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

    Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

        [R = frac{a}{{2sin frac{{{{180}^o}}}{n}}}]

    где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

    Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

    Радиус описанной окружности правильного треугольника

    radius opisannoy okruzhnosti ravnostoronnego treugolnikaФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

        [R = frac{a}{{sqrt 3 }}]

    Если без иррациональности в знаменателе —

        [R = frac{{asqrt 3 }}{3}.]

    У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

        [R = 2r]

    Радиус описанной окружности квадрата

    radius opisannoy okruzhnosti kvadrata

    Формула радиуса описанной окружности для квадрата

        [R = frac{a}{{sqrt 2 }}]

    Если без иррациональности в знаменателе —

        [R = frac{{asqrt 2 }}{2}.]

    Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

    radius opisannoy okruzhnosti pravilnogo shestiugolnika

    Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

        [R = a]

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти скорость растворения
  • Как найти банк в новиграде ведьмак 3
  • Как составить план школы в масштабе
  • Как найти по сигналу скачать
  • Как составить линейный алгоритм по информатике 8 класс