Как найти радиус окружности описанной вокруг равнобедренного - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

$[R = frac{{abc}}{{4S}}]$

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле

$[S = frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} ,]$

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

$[R = frac{{a{b^2}}}{{4 cdot frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }},]$

отсюда

$[R = frac{{{b^2}}}{{2sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }}]$

$[R = frac{{{b^2}}}{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}.]$

II. Формула — следствие из теоремы синусов

$[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }}]$

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

$[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }},]$

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

$[cos angle FAO = frac{{AF}}{{AO}},]$

$[ Rightarrow R = frac{b}{{2cos frac{alpha }{2}}}.]$

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

$[R = frac{{BC}}{2}]$

Если AB=a,

$[R = frac{a}{2}.]$

Источник

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание

Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c
Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A
Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A
Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и боковая сторона b=c. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника онлайн была выведена формула вычисления радиуса R описанной около любого треугольника окружности:

где p вычисляется из формулы:

Учитывая, что у нас треугольник равнобедренный, т.е. b=c, имеем:

Подставляя (3)−(5) в (1) и учитывая, что b=c, получим:

то есть

Пример 1. Известны основание ( small a=7 ) и боковая сторона ( small b=frac{9}{2} ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (6).

Подставим значения ( small a=7 ) и ( small b=frac{9}{2} ) в (6):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A

Пусть известны сторона a и противолежащий угол A. Формула для нахождения радиуса окружности описанной около равнобедренного треугольника по основанию и противолежащему углу аналогична формуле для нахождения радиуса окружности описанной около произвольного треугольника:

Пример 2. Сторона основание равнобедренного треугольника равна:( small a=21 ) а противолежащий угол ( small angle A=60°.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (7). Подставим значения ( small a=21 ) и ( small angle A=60° ) в (7):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A

Пусть известны боковая сторона b=c равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами A. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника.

На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известных сторонах и углу между ними:

Подставляя в (8) c=b, получим:

то есть

Пример 3. Известны основание ( small a=21 ) равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами: ( small angle A=70°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (9). Подставим значения ( small a=21; ) и ( small angle A=70° ) в (9):

Ответ:

4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и прилежащие к ней угол B=C. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известной стороне и прилежащим двум углам:

Подставляя ( small C=B ) в (10), получим требуемую формулу:

Пример 4. Известны основание равнобедренного треугольника ( small a=14 ) и прилежащий к ней угол: ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=14 ) и ( small angle B=25° ) в (11):

Ответ:

Смотрите также:

Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

Источник

, , c blue — стороны треугольника

— полупериметр

O black — центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :

— сторона треугольника

— высота

— радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b — стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

a — боковые стороны трапеции

c — нижнее основание

b — верхнее основание

d — диагональ

p — полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

a — сторона квадрата

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

a, b — стороны прямоугольника

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

a — сторона шестиугольника

d — диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c

( small R=frac<large abc><large 4 cdot sqrt>. )

(1)

где p вычисляется из формулы:

( small p= frac<large a+b+c><large 2>. )

(2)

Учитывая, что у нас треугольник равнобедренный, т.е. b=c, имеем:

( small p= frac<large a+2b><large 2>=b+ frac< large a>< large 2>, )

(3)

( small p-a= b- frac< large a>< large 2>, )

(4)

( small p-b= frac< large a>< large 2>, )

(5)

Подставляя (3)−(5) в (1) и учитывая, что b=c, получим:

( small R=frac<large ab^2><large 4 cdot frac <2>cdot sqrt<left ( b+frac<2>right)left ( b-frac<2>right)>> ) ( small =frac<large b^2><large 2 cdot sqrt< b^2-frac<4>>> ) ( small =frac<large b^2>< sqrt< large 4b^2-a^2>> ,)

( small R=frac<large b^2>< sqrt< large 4b^2-a^2>>. )

(6)

Пример 1. Известны основание ( small a=7 ) и боковая сторона ( small b=frac<9> <2>) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (6).

Подставим значения ( small a=7 ) и ( small b=frac<9> <2>) в (6):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A

(7)

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A

(8)

Подставляя в (8) c=b, получим:

(9)

Ответ:

4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

(10)

Подставляя ( small C=B ) в (10), получим требуемую формулу:

(11)

Ответ:

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

источники:

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

Источник

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника, формула

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника вычисляется по классической формуле

[
R = frac{a^2 b}{4sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}}
]

где

[
p=frac{1}{2}(a+a+b)
]

(a,b — стороны равнобедренного треугольника; R — радиус описанной окружности равнобедренного треугольника)
После подстановок, преобразований и упрощений получается следующая формула:

[
R = frac{a^2}{sqrt{(2a)^2-b^2}}
]

Вычислить, найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по формуле (3)

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника	стр. 246

Источник