Как найти радиус окружности по 2 хордами

Встретил забавную задачу и приглашаю многоуважаемую публику ей поразвлечься… )

Есть окружность. Внутри окружности проведена хорда a, от одного из концов этой хорды проведен внутри окружности под прямым углом отрезок b так, что он не пересекает и не касается окружности. От второго конца отрезка b опять же, под прямым углом, проведен отрезок с, который вторым концом касается окружности. Длина всех отрезков больше нуля. Отрезки a и с лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через отрезок b. Я не знаю, вроде все по условиям, все как на картинке, честное слово!

Мы знаем длины a, b и c. Нужно найти радиус окружности.

Можно воспользоваться свойствами хорды, готовыми уравнениями. Точка пересечения двух хорд делит обе хорды в одинаковом соотношении. Используем эту формулу для нахождения отрезка d (cм. рисунок). Когда хорды перпендикулярны то радиус окружности находится по второй формуле.

Тут вспомнил, как мне один раз на практике нужно было найти радиус окружности и были три точки..

Сделано это было простым графическим методом без всяких заумностей..

Просто известно, что радиус в каждой точке окружности перпендикулярен касательной к окружности (которая есть суть производной, но это так, к слову)..

Далее, известно, что хорда всегда идёт параллельно касательной (собственно касательная — это хорда сдвинутая на край окружности и касающаяся её в одной точке)..

Вот и всё, что нужно..

Без матриц, определителей, систем уравнений, хитроумных формул и построений..

Итак, вот рисунок..

Т. е., мы просто достроили ещё одну хорду (красным цветом), затем каждую хорду поделили пополам и из середины каждой хорды провели линии, перпендикулярные хорде.. Точка пересечения двух линий, перпендикулярных хордам и есть центр окружности.. Теперь из цента мы ставим ногу циркуля и рисуем окружность (можно использовать карандаш на нитке (как пришлось использовать на практике)..

Также для построения перпендикуляров использовалась нитка и древний способ построения перпендикуляров.. Деление напополам: сложение отмеренной нитки вдвое.. Всё делается на коленке.. И даже можно использовать на местности для построения окружностей в масштабах сотен метров и более..

Т.е. мы нашли не только радиус, но даже центр окружности и при желании можем с помощью циркуля (или карандаша на нитке) построить искомую окружность..

Именно так на практике мне один раз пришлось искать окружность, причём нужно было знать не только радиус, но расположение центра..

Этот метод наиболее прост, универсален и с помощью его можно искать все параметры окружности..

Если нужно найти радиус с наперёд заданной точностью, то можно использовать метод в моём предыдущем ответе, решение системы из трёх квадратных уравнений, которые описывают нахождение трёх точек, можно решать их не обязательно аналитически, что немного трудоёмко (но не сложно), а используя тот же Маткад..

Кроме того этот аналитический метод может помочь определить не только радиус окружности, но и координаты центра с любой заданной точностью, т.е. все параметры окружности..

Кстати, посткриптум, этот графический метод пришлось придумывать на ходу, поскольку нужно было срочно найти ответ, искать что-то в литературе как найти окружность просто не было времени..

Конечно хорошо знать определитель, которым задаётся дуга окружности через 3 точки..

Как это написал Гр. Роджер..

Можно сделать хитроумные геометрические построения, как сделал родиоил2..

Можно использовать свойства дуги, как попытался это сделать мсб..

Но вот, положим вам на практике нужно быстро определить, тогда нужно искать свойства дуг, определителей?..

Или пыхтеть с построениями? Которые могут быть не очень точны из-за несовершенства инструментария..

Как же поступить?

Да как на войне: быстро и эффективно, используя смекалку и минимум средств..

Воспользуемся простыми формулами, которые известны из школы..

И элементами аналитической геометрии (опять это практически школа)..

Известно, что уравнение окружности:

(x-xo)^2+(y-yo)^2=R^2

где xo, y0, R — соответственно координаты центра и радиус окружности..

Установим первую точку А так, чтобы она находилась в начале координат А(0,0), тогда следующая точка В имеет координаты (0,а), следующая точка С (b, c+a)..

Теперь напишем три уравнения одной и той же окружности для трёх точек:

(xo)^2+(yo)^2=R^2

(xo)^2+(а-yo)^2=R^2

(b-xo)^2+(с+а-yo)^2=R^2

Получилась система из трёх квадратных уравнений с тремя неизвестными: xo, y0, R..

Значит эта система вполне решается стандартным образом..

Например приравниваем первое и второе уравнение:

(xo)^2+(yo)^2=(xo)^2­+(а-yo)^2

Тогда всё приводится к уравнению:

(yo)^2-(а-yo)^2=0

Упрощаем его и получаем простое линейное уравнение:

-2ay0-(а)^2=0

y0=-(а)^2/2a=-a/2

Из него находим первую координату центра..

Затем эту координату подставляем в первое уравнение (которое попроще):

(xo)^2+(a/2)^2=R^2

x0=+(-)sqrt(R^2-(a/2)^2)

Теперь координаты центра подставляем опять в третье уравнение:

(b-R^2-(a/2)^2)^2+(с+а+a/2)­^2=R^2

Далее всё приводим, раскрывая скобки, получая уравнение 4-й степени..

Не в каждой школе дают решение уравнения 4-й степени, но это не сложно используя метод Феррари или метод разложения на множетели..

Это трёхходовка на аналитическую геометрию. Я расскажу, как она решается, но вычисления вы уж проведите сами…

Будем считать, что длины всех трёх отрезков нам известны, и будем для простоты считать, что начало координат находится в точке сопряжения отрезков a, b. Тогда нижний конец отрезка а находится в точке (0, -А) (пусть заглавная буква — это длина соответствующего отрезка), а верхний конец отрезка с находится в точке (В, С).

И тогда уравнение окружности, проходящей через три точки с известными координатами, пишется фактически «в одно действие» — через определитель, составленный из координат трёх точек, через которые она проходит:

По счастью, при сделанном выше выборе осей координат одна строка определителя получается почти нулевой, и тогда он элементарно превращается в определитель третьего порядка (если знать, что такое минор):

Тут, если совсем формально, перед определителем 3 порядка должен стоять минус, но поскольу он равен нулю, то фиг с ним, с минусом…

Ну так вот. «Каноническое» уравнение окружности в декартовой системе координат выглядит так:

x² + y² + Mx + Ny + K = 0.

Если раскрыть определитель, то приравниванием коэффициентов при соответствующих степенях х, у враз получаются выражения для M, N и К. Ну а как только эти величины известны, радиус вычисляется как корень из (M² + N² — 4C).

Предлагаю графическое решение

Оно поможет найти и математическое решение

Чертим линии а,б,с, соблюдая размеры и углы.

Чертим одинаковые окружности, чтобы они попарно (одинакового размера рядом) пересекались. на данном чертеже все окружности одинаковые (размеры позволяют). Оранжевые окружности.

Проводим линии через пересечения окружностей. Зеленые тонкие линии.

Расстояния от точек соприкосновения заданных отрезков «а», «б», а также концов отрезков «а» и «с» и тонких зеленых линий будет радиусом Толстые зеленые линии.

Также, легко заметить, что мы проводили тонкие зеленые линии — это серединные перпендикуляры к хордам.

При необходимости, математическое решение можно получить работая с размерами отрезков, треугольниками, углами…

Но на практике, на чертежах, хватает и графического решения.

(Продолжение банкета…)

Ответ msb натолкнул на забавную мысль: если нужно решить задачу графически, чисто циркулем и линейкой, то хорды b, c вообще на фиг не нужны, потому что есть окружность (это, заметьте, по условию задачки!) и есть хорда в ней. Всё, sapienti sat. На окружности строится ещё одна хорда, лежащая точно напротив хорды а, это делается циркулем и линейкой (проводятся два перпендикуляра к концам отрезка, фигня вопрос…), это нам даёт прямоугольник, вписанный в окружность. Собсно, всё, радиус отсюда определяется на раз.

Но и это ещё не конец! Можно не строить этот прямоугольник. Можно построить два перпендикуляра — один к середине хорды a, второй — к середине отрезка, образованного лежащими на окружности концами хорд b, c. Точка их пересечения даст центр окружности.

Фигура АВСD — описанная равнобедренная трапеция (см. рисунок), где

а — верхнее основание трапеции,

f — нижнее основание трапеции,

k — боковая сторона трапеции,

m — диагональ трапеции.

k и m вычисляются из прямоугольных треугольников, f=2с + а

Р — полупериметр треугольника АСD.

Р = (m + k + f)/2

Есть формула, по которой вычисляется радиус окружности описанной равнобедренной трапеции:

R = (kmf)/(4(sqrt(P(P-k)(P-m)(P-f)))

Выражая k, m, f через а, в, с, получим (даже не буду пытаться) конечную формулу.

Если знать конкретные числовые значения а, в, с, то найти R можно с помощью калькулятора.