Как найти радиус описанной окружности правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

• Формулы расчета радиуса сферы (шара)
  • Правильная треугольная пирамида

  • Правильная четырехугольная пирамида

  • Правильная шестиугольная пирамида

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

• a – ребро основания пирамиды;
• h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

• a – ребро основания пирамиды;
• h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рисунке 2 изображена пирамида SA₁A₂ . A_n , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A₁A₂ . A_n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A₁A₂ . A_n пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A₁A₂ . A_n , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA_n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA₁A₂ . A_n . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A₁A₂ . A_n , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’A_n (рис. 5).

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OA_n получаем

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Радиус окружности описанной около основания правильной

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

• a – ребро основания пирамиды;
• h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рисунке 2 изображена пирамида SA₁A₂ . A_n , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A₁A₂ . A_n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A₁A₂ . A_n пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A₁A₂ . A_n , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA_n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA₁A₂ . A_n . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A₁A₂ . A_n , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’A_n (рис. 5).

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OA_n получаем

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Радиус окружности описанной около основания правильной

Вопрос по геометрии:

радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды равен 3. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Полиночка, все на чертеже. Так строится правильная треуголоная пирамида и только так. AO это радиус описанной окружности.SO находим по т.Пифагора SO^2=5^2=3^2=16, SO=4

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая — тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC — Основание пирамиды
OS — Высота
KS — Апофема
OK — радиус окружности, вписанной в основание
AO — радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO — двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

• боковые ребра правильной пирамиды равны
• все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
• в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
• если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3  (пи делить на 3 или 60 градусов ).
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

где

V — объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h — высота пирамиды
a — длина стороны основания пирамиды
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной — см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

• Нахождение периметра правильной треугольной пирамиды 
• Вычисление объема 
• Нахождение площади поверхности   

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр — это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

У тетраэдра:

• Все грани равны
• 4 грани, 4 вершины и 6 ребер
• Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами:

• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
• Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
• Эта точка делит бимедианы пополам

Площадь, объем, высота, радиус вписанной и описанной окружности и другие формулы для тетраэдра

См. пример задачи: формулы и свойства тетраэдра.

0
 

 Пирамида с равнобедренным треугольником в основании |

Описание курса

| Периметр основания правильной треугольной пирамиды 

3.4. Вписанные и описанные многогранники

Среди множества выпуклых многогранников выделим два важных семейства: вписанные и описанные многогранники.

Определение 22

Выпуклый многогранник называют вписанным, если все его вершины лежат на сфере. Эта сфера называется описанной для рассматриваемого многогранника.

Определение 23

Выпуклый многогранник называют описанным, если все его грани касаются сферы. Эта сфера называется вписанной для рассматриваемого многогранника.

Очевидно сходство введённых понятий с известными из курса планиметрии понятиями вписанных и описанных многоугольников, описанных и вписанных окружностей.

Не любой многогранник является вписанным или описанным, однако верны следующие две теоремы, аналогичные соответствующим теоремам про треугольник.

Теорема 3.4 (об описанной сфере треугольной пирамиды)

Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD (рис. 73). Построим плоскости, перпендикулярные соответственно рёбрам AB, AC и AD и проходящие через их середины. (Геометрическим местом точек пространства, равноудалённых от концов некоторого отрезка, является плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Докажите это самостоятельно.) Обозначим через O точку пересечения этих плоскостей. (Такая точка существует, и она единственна. Докажем это. Возьмём первые две плоскости. Они пересекаются, поскольку перпендикулярны непараллельным прямым. Обозначим прямую, по которой пересекаются первые две плоскости, через l. Эта прямая l перпендикулярна плоскости ABC. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит её, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, т. е. лежит в плоскости ABC.) Точка O равноудалена от точек A и B, A и C, A и D, значит, она равноудалена ото всех вершин пирамиды ABCD, т. е. сфера с центром в O соответствующего радиуса является описанной сферой для пирамиды ABCD.

Итак, мы доказали существование для пирамиды ABCD описанной сферы. Осталось доказать её единственность. Центр любой сферы, проходящей через вершины пирамиды, равноудалён от этих вершин, значит, он принадлежит плоскостям, которые перпендикулярны рёбрам пирамиды и проходят через середины этих рёбер. Следовательно, центр такой сферы совпадает с точкой O.

Теорема доказана. ▼

Отметим, что при этом мы доказали, что все серединные перпендикуляры к рёбрам пирамиды пересекаются в одной точке.

Теорема 3.5 (о вписанной сфере треугольной пирамиды)

У любой треугольной пирамиды существует единственная вписанная сфера.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD (рис.  74). Проведём биссекторные плоскости  её двугранных углов с рёбрами AB, AC и BC. Эти плоскости имеют единственную общую точку (подумайте почему). Обозначим её через Q. Точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. (Она равноудалена от ABC и ABD, ABC и ADC, ABC и CBD.) Значит, сфера соответствующего радиуса с центром в точке Q является вписанной в пирамиду ABCD. Единственность этой сферы доказывается так же, как и в предыдущей теореме. ▼

Как и в предыдущем случае, мы доказали, что все шесть биссекторных плоскостей треугольной пирамиды пересекаются в одной точке.

Замечание. Понятия вписанной и описанной сферы могут относиться также к конусу и цилиндру. Любой конус имеет описанную и вписанную сферы. Если провести осевое сечение конуса, то эта плоскость пересечёт описанную и вписанную сферы по большим окружностям этих сфер, причём получившиеся окружности будут соответственно описаны или вписаны в осевое сечение конуса. Цилиндр, как и конус, всегда имеет описанную сферу. Но в отличие от конуса вписать сферу можно не во всякий цилиндр, а лишь в цилиндр с квадратным осевым сечением.

Задачи, задания, вопросы

1(в). Найдите радиусы описанного и вписанного шаров для правильного тетраэдра с ребром a.

2(в). Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиуса R.

3(в). Докажите, что если около параллелепипеда можно описать сферу, то этот параллелепипед — прямоугольный.

4(в). Имеется правильная пирамида со стороной основания a и боковым ребром b. Найдите радиус: а) описанной сферы; б) вписанного шара; в) сферы, касающейся всех рёбер пирамиды; г) сферы, касающейся рёбер основания и продолжений боковых рёбер; д) радиус сферы, которая касается основания и боковых рёбер. Каждый пункт решите для пирамиды следующего вида: 1) четырёхугольной; 2) треугольной; 3) шестиугольной.

5(в). Найдите радиус описанного и вписанного шаров для конуса с радиусом основания r и высотой h.

6.Около шара описаны цилиндр и конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник. Найдите отношение образующих цилиндра и конуса.

7(в). Найдите радиус сферы, описанной около правильной n-угольной призмы с высотой h и стороной основания a.

8(в). В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 1. Найдите боковое ребро призмы, если известно, что в неё можно вписать шар.

9(т). Известно, что в заданную призму можно вписать шар. Найдите площадь её боковой поверхности, если площадь основания равна S.

10(т). Плоскость проходит на расстоянии a от центра единичной сферы. Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в этой плоскости, а вершины противоположной грани находятся на сфере.

11(в). Около призмы можно описать сферу. Докажите, что основание призмы — многоугольник, около которого можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если высота призмы h, а радиус описанной около неё сферы равен R.

12(в). Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что существует сфера, описанная около этой пирамиды. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, её высота h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

13.В треугольной пирамиде ABCD ребро AB равно a, а углы ACB и ADB — прямые. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

14.Найдите ребро куба, одна грань которого принадлежит основанию конуса, а остальные вершины расположены на его боковой поверхности. Радиус основания конуса равен r, его высота h.

15.Через центр сферы радиуса R проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.

16.Осевым сечением конуса является правильный треугольник со стороной a. Через ось конуса проведены две перпендикулярные плоскости, которые делят конус на четыре части. Найдите радиус шара, вписанного в одну из этих частей.

17.Внутри единичного куба находятся восемь равных шаров. Каждый шар вписан в один из трёхгранных углов куба и касается трёх шаров, соответствующих соседним вершинам. Найдите радиусы этих шаров.

18(в). Четыре сферы радиуса R попарно касаются друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

19.Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.

20(п). Докажите, что если в данный четырёхгранный угол можно вписать шар, то суммы противоположных плоских углов этого четырёхгранного угла равны. Докажите справедливость обратного утверждения: если суммы противоположных плоских углов четырёхгранного угла равны, то в него можно вписать шар.

21(п). Дан трёхгранный угол OABC, в котором ∠BOC = a, ∠COA = b, ∠  AOB = g. Пусть вписанный в него шар касается грани BOC в точке K. Найдите ∠KOB.

22(т). Треугольник ABC вписан в основание конуса, S — вершина конуса. В трёхгранном угле SABC двугранные углы с рёбрами SA, SB и SC равны соответственно x, y и z. Найдите угол между плоскостями SAB и SAO, где SO — высота данного конуса.

23(т). Четырёхгранный угол OABCD (OA, OB, OC, OD — его рёбра) разделён плоскостью OAC на два трёхгранных угла. В каждый из полученных углов вписан шар. Эти шары касаются плоскости OAC в точках K и M.  Найдите угол KOM, если ∠BOA = a, ∠DOA = b, ∠BOC = ∠COD.

24(п). Докажите, что радиус шара, проходящего через точки пересечения медиан граней произвольного тетраэдра, в три раза меньше радиуса описанного около рассматриваемого тетраэдра шара. Используя этот факт, докажите, что в произвольном тетраэдре выполняется неравенство R ⩾ 3r, где R и r — соответственно радиусы описанного и вписанного шаров.

25(т). Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно l, а плоский угол при вершине равен a. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

Зная сторону основания правильной пирамиды, то есть пирамиды, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно найти периметр основания, его площадь, радиус окружностей, которые можно вписать или описать около него, а также угол между сторонами многоугольника.

Периметр правильного многоугольника равен произведению длины его стороны на их удвоенное количество, а площадь представляет собой отношение количества сторон, умноженного на квадрат длины одной стороны, к четырем тангенсам 180 градусов, деленных на количество сторон.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1)
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла.(рис.34.2)
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n

Параметры самой пирамиды, как объемного тела, такие как боковое ребро и апофема пирамиды вычисляются через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике с высотой во внутреннем пространстве пирамиды. Вторым катетом прямоугольного треугольника с апофемой является радиус вписанной окружности, а катетом треугольника с боковым ребром – радиус описанной окружности основания. (рис.34.4,34.5)
l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )
b=√(h^2+R^2 )=√(h^2+(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )

Угол между апофемой и основанием рассчитывается как отношение синуса – высоты к радиусу вписанной окружности, а угол между боковым ребром и основанием аналогично – высоты к радиусу описанной окружности, из тех же прямоугольных треугольников.
sin⁡α=h/r=(2h tan⁡〖(180°)/n〗)/a
sin⁡β=h/R=(2h sin⁡〖(180°)/n〗)/a

Зная апофему и сторону основания пирамиды, можно найти площадь боковой поверхности, а затем площадь полной поверхности пирамиды.
S_(б.п.)=lan/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, таким образом, зная высоту и сторону основания пирамиды, вычислить ее объем можно, подставив соответствующее выражение вместо площади основания.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 h)/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

В любую правильную пирамиду (в основании которой лежит правильный многоугольник) можно вписать сферу, а также описать сферу около нее. Радиусы вписанной и описанной сфер зависят не только от высоты и стороны основания, но и от объема пирамиды, площади полной поверхности и бокового ребра пирамиды, поэтому для их вычисления необходимо произвести алгебраические преобразования формул. (рис.34.6,34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =ah/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=(h^2+(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2)/2h