Как найти радиус описанной окружности прямоугольной трапеции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Свойства окружности, описанной вокруг трапеции

Содержание:

Окружность, описанная около трапеции
Как найти радиус описанной окружности
- Если известны угол и диагональ трапеции
- Если известны диагональ, стороны трапеции и площадь одного из треугольников
- Если известны длины сторон треугольника
Как найти центр описанной окружности
- Если угол прямой
- Если угол острый
- Если угол тупой
Задачи с решениями

Окружность, описанная около трапеции

Трапеция — это выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны.

Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Поэтому окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции.

Окружность, описанная около трапеции

Как найти радиус описанной окружности

Самый распространенный способ найти радиус окружности, описанной около трапеции — через радиус окружности, описанной около треугольника, имеющего 3 любые общие вершины с данной трапецией.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каждая диагональ делит трапецию на два треугольника. Описанная окружность проходит через все вершины трапеции, значит она проходит через все вершины каждого из этих треугольников и также является для них описанной окружностью.

Как найти радиус описанной окружности

Если известны угол и диагональ трапеции

Формула 1

(R=frac а{2cdotsinalpha},)

где R — радиус описанной окружности,

а — сторона треугольника,

α — угол треугольника, противолежащий стороне а.

Например, если известна диагональ BD=а и острый угол трапеции ABCD ∠CDA=β, то можем найти радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольник BCD. Сторона BD известна. (∠BCD=180°-∠CDA=180°-β).

Радиус описанной окружности будет равен (frac а{2cdotsinleft(180^circ-betaright)}).

Если известны диагональ, стороны трапеции и площадь одного из треугольников

Формула 2

(R=frac{abc}{4S}),

где R — радиус описанной окружности,

а, b, c — стороны треугольника,

S — площадь треугольника.

Если известны длины сторон треугольника

Формула 3

(R=frac{abc}{4sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}},)

где R — радиус описанной окружности,

а, b, c — стороны треугольника,

p — ½ периметра треугольника.

Как найти центр описанной окружности

Центр описанной окружности может лежать как внутри трапеции, так и вне ее. Определить его местонахождение помогает угол между диагональю трапеции и боковой стороной.

Если угол прямой

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр описанной окружности будет лежать на середине большего основания. Тогда большее основание будет равно диаметру описанной окружности.

Формула 4

(R=frac12а,)

где R — радиус описанной окружности,

а — большее основание трапеции.

Если угол острый

Если диагональ трапеции и боковая сторона образуют острый угол, то центр описанной около трапеции окружности лежит внутри трапеции.

Если угол тупой

Если диагональ трапеции и боковая сторона образуют тупой угол, то центр описанной около трапеции окружности будет лежать вне трапеции за ее большим основанием.

Задачи с решениями

Задача

Дано: трапеция с описанной окружностью. Периметр трапеции равен 22 см, а ее средняя линия — 5 см.

Найти: боковую сторону трапеции.

Решение: Так как около трапеции описана окружность, эта трапеция — равнобедренная. Удвоенная средняя линия трапеции равна сумме ее оснований (10 см). Сумма двух боковых сторон равна 22-10=12 (см). Боковая сторона трапеции равна 6 см.

Ответ: 6 см.

Примечание

Задача

Дано: основания трапеции ВС=11 см и AD=21 см. Диагональ трапеции ВD=20 см.

Найти: радиус описанной окружности.

Решение: найдем радиус окружности, описанной около (ΔABD. R=frac{BD}{2sinangle A}.)

Трапеция ABCD равнобедренная, AB=CD, так как описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.
ВЕ — высота трапеции. Отрезок (АЕ=(21-11):2=5 (см)) по свойству равнобедренной трапеции. Отрезок ЕD=21-5=16 (см).
Треугольник BED прямоугольный. ∠BED=90°. По теореме Пифагора (BE=sqrt{20^2-16^2}=12 (см).)
Треугольник АBE также прямоугольный. ∠BED=90°. По теореме Пифагора (АВ=sqrt{5^2+12^2}=13 (см).)
(sin∠BAD=frac{12}{13}) по определению синуса.
(R=frac{BD}{2sinangle A}=10frac56 (см).)

Ответ: (10frac56 см.)

Источник

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

$[R = frac{a}{{2sin alpha }},]$

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

$[R = frac{{abc}}{{4S}},]$

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

$[R = frac{{AD cdot AB cdot BD}}{{4{S_{Delta ABD}}}}]$

или

$[R = frac{{BD}}{{2sin angle A}},]$

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

$[sin angle A = frac{{BF}}{{AB}}]$

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

$[B{O^2} = B{K^2} + O{K^2}]$

$[A{O^2} = A{N^2} + O{N^2}]$

и приравнять правые части

$[A{O^2} = B{O^2} = {R^2}, Rightarrow ]$

$[A{N^2} + O{N^2} = B{K^2} + O{K^2}]$

$[{(frac{a}{2})^2} + {x^2} = {(frac{b}{2})^2} + {(h - x)^2}]$

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

точка O — середина AD

$[R = frac{1}{2}AD]$

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

Во II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

Источник

Радиус описанной окружности трапеции, формула

Для нахождения радиуса описанной окружности трапеции делают дополнительные построения — строят диагональ трапеции — BD.
Теперь трапеция разбита на два треугольника ABD и BСD. Окружность при этом описана вокруг обоих этих треугольников. Далее по известным параметрам трапеции находим недостающие стороны этих треугольников и по классической формуле радиуса описанной окружности треугольника находим радиус описанной окружности трапеции:

[R = frac{adc}{4sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}}]

где

[p=frac{1}{2}(a+d+c)]

(a (BC), d (BD), c (CD) — стороны треугольника; R — радиус описанной окружности треугольника)

Пусть у нашей равнобокой трапеции заданы основания и высота (см. рисунок ниже), тогда:

[ EC = frac{c-b}{2} \ medspace \ DE = c — frac{c-b}{2} = frac{c+b}{2} ]

по теореме Пифагора найдутся диагональ:

[ BD = d = sqrt{h^2 + Big(frac{c+b}{2}Big)^2} ]

и бедро трапеции:

[ BC = a = sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2} ]

Вычислить, найти радиус описанной окружности трапеции по формулам (1,2,3,4,5)

Радиус описанной окружности трапеции	стр. 250

Источник

, , c blue — стороны треугольника

— полупериметр

O black — центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :

— сторона треугольника

— высота

— радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b — стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

a — боковые стороны трапеции

c — нижнее основание

b — верхнее основание

d — диагональ

p — полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

a — сторона квадрата

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

a, b — стороны прямоугольника

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

a — сторона шестиугольника

d — диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^{circ }.$

$angle A +angle C = 180^{circ }$

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

a+c=b+d

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

$displaystyle S=frac{a+b+c+d}{2}cdot r=pr$

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

c+d=a+b

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $82^{circ}$ и $58^{circ}$ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{circ}$ . Пусть угол равен $82^{circ}$ . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен $58^{circ}$ , то угол равен $180^{circ}-58^{circ}=122^{circ}$ .

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Решение:

Пусть сторона равна , равна , а DC - 3x . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что x=4 , а большая сторона равна .

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
a+c=b+d , и значит, периметр равен .
Получаем, что a+c=40 , а средняя линия равна .

Ответ: 10.

Задача 4. Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен $32^{circ }$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна $180^{circ }.$

Поэтому $angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-32^{circ }=148^{circ }.$

Ответ: 148.

Задача 5. Углы A, B, C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3 . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть

Сумма всех углов четырехугольника равна $360^{circ }.$

А сумма каждой пары противоположных углов равна $180^{circ }$ (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем $4x=180, x=45, y=90^{circ }.$

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника ABCD и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $107^{circ }$ и $39^{circ }$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{circ }$ .

Поэтому $angle C=180^{circ } -angle A.$

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е. $107^{circ }+39^{circ }=146^{circ }.$

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е. $146^{circ }:2=73^{circ }.$

$angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-73^{circ }=107^{circ }.$

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и AD, градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу BD, равную сумме дуг и CD. Найдем дуги и CD.

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда или $36x=360, x=10^{circ }.$

Сумма дуг и составляет $x+2x=30^{circ }.$

Вписанный угол А равен половине дуги BD, т.е. $30^{circ }:2=15^{circ }.$

Ответ: 15.

Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна

Выразим сторону квадрата через его диагональ: $displaystyle a=frac{d}{sqrt{2}}=32.$

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен $60^{circ }$ , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями

Тогда боковые стороны

Проведем параллельно CD. Тогда треугольник ABO – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. $angle A = 60^{circ }.$ Поэтому AO=a.

BCDO – параллелограмм по построению, но BC=CD , поэтому BCDO – ромб, и OD=a.

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как

Радиус окружности равен половине диаметра: 18:2=9.

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому r = 8.

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона CB = 7, тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине AD, т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник ACK – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. BCKD – параллелограмм, и BC = KD ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ACK .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту MN, проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники OMC и OND – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а AB=2BC.

Решение:

Обозначим BC=x. Тогда AB=2x.

Обозначим также

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда y=x+z.

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это

Пусть

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из $triangle AOB: 4x^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Из $triangle BOC: x^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Из $triangle COD: z^{2}=c^{2}+d^{2}.$

Из $triangle AOD: y^{2}=a^{2}+d^{2}.$

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив $x^{2}+y^{2}$ как $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},$ получим: $4x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Кроме того, y=x+z. Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

$begin{cases}3x^{2}+z^{2}=y^{2} \y=x+zend{cases}$

находим:

Значит,

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Значит, углы ABC и ADC равны.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма углов ABC и ADC равна 180 градусов. Мы получили, что углы ABC и ADC – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, R=5 , тогда AC=10.

опирается на диаметр.

– прямоугольный, – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

$100=x^{2}+4x^{2}.$

Отсюда $x^{2}=20.$

$S_{ABCD}=2cdot S_{triangle ABC}=2x^{2}=40.$

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник