Как найти радиус орбиты заряженной частицы

Движение заряженной частицы в магнитном поле: формулы. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

Как известно, электрическое поле принято характеризовать величиной силы, с которой оно действует на пробный единичный электрический заряд. Магнитное поле традиционно характеризуют силой, с которой оно действует на проводник с «единичным» током. Однако при его протекании происходит упорядоченное движение заряженных частиц в магнитном поле. Поэтому мы можем определить магнитное поле B в какой-то точке пространства с точки зрения магнитной силы F_B, которую поле оказывает на частицу при ее движении в нем со скоростью v.

Общие свойства магнитной силы

Эксперименты, в которых наблюдалось движение заряженных частиц в магнитном поле, дают такие результаты:

• Величина F_B магнитной силы, действующей на частицу пропорциональна заряду q и скорости v частицы.
• Если движение заряженной частицы в магнитном поле происходит параллельно вектору этого поля, то сила, действующая на нее, равна нулю.
• Когда вектор скорости частицы составляет любой Угол θ ≠ 0 с магнитным полем, то сила действует в направлении, перпендикулярном к v и B; то есть, F_B перпендикулярна плоскости, образованной v и B (см.рис. ниже).
• Величина и направление F_B зависит от скорости частицы и от величины и направления магнитного поля B.
• Направление силы, действующей на положительный заряд, противоположно направлению такой же силы, действующей на отрицательный заряд, движущийся в ту же сторону.
• Величина магнитной силы, действующей на движущуюся частицу, пропорциональна sinθ угла θ между векторами v и B.

Сила Лоренца

Мы можем суммировать вышеперечисленные наблюдения путем записи магнитной силы в виде F_B = qv х B.

Когда происходит движение заряженной частицы в магнитном поле, сила Лоренца F_B при положительном q направлена вдоль векторного произведения v x B. Оно по определению перпендикулярно как v, так и B. Считаем это уравнение рабочим определением магнитного поля в некоторой точке в пространстве. То есть оно определяется в терминах силы, действующей на частицу при ее движении. Таким образом, движение заряженной частицы в магнитном поле кратко можно определить как перемещение под действием этой силы.

Заряд, движущийся со скоростью v в присутствии как электрического поля E, так и магнитного B, испытывает действие как электрической силы qE, так и магнитной qv х В. Полное приложенное к нему воздействие равно F_Л = qE + qv х В. Его принято называть так: полная сила Лоренца.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь частный случай положительно заряженной частицы, движущейся в однородном поле, с начальным вектором скорости, перпендикулярным ему. Предположим, что вектор B поля направлен за страницу. Рисунок ниже показывает, что частица движется по кругу в плоскости, перпендикулярной к B.

Движение заряженной частицы в магнитном поле по окружности происходит потому, что магнитная сила F_B направлена под прямым углом к v и B и имеет постоянную величину qvB. Поскольку сила отклоняет частицы, направления v и F_B изменяются непрерывно, как показано на рисунке. Так как F_B всегда направлена к центру окружности, она изменяет только направление v, а не ее величину. Как показано на рисунке, движение положительно заряженной частицы в магнитном поле происходит против часовой стрелки. Если q будет отрицательным, то вращение произойдет по часовой стрелке.

Динамика кругового движения частицы

Какие же параметры характеризуют вышеописанное движение заряженной частицы в магнитном поле? Формулы для их определения мы можем получить, если возьмем предыдущее уравнение и приравняем F_B центробежной силе, требуемой для сохранения круговой траектории движения:

То есть радиус окружности пропорционален импульсу mv частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и величине магнитного поля. Угловая скорость частицы

Период, с которым происходит движение заряженной частицы в магнитном поле по кругу, равен длине окружности, разделенной на ее линейную скорость:

Эти результаты показывают, что угловая скорость частицы и период кругового движения не зависит от линейной скорости или от радиуса орбиты. Угловую скорость ω часто называют циклотронной частотой (круговой), потому что заряженные частицы циркулируют с ней в типе ускорителя под названием циклотрон.

Движение частицы под углом к вектору магнитного поля

Если вектор v скорости частицы образует некоторый произвольный угол по отношению к вектору B, то ее траектория является винтовой линией. Например, если однородное поле будет направлено вдоль оси х, как показано на рисунке ниже, то не существует никакой компоненты магнитной силы F_B в этом направлении. В результате составляющая ускорения a_x= 0, и х-составляющая скорости движения частицы является постоянной. Однако магнитная сила F_B = qv х В вызывает изменение во времени компонентов скорости v_y и v_z. В результате имеет место движение заряженной частицы в магнитном поле по винтовой линии, ось которой параллельна магнитному полю. Проекция траектории на плоскости yz (если смотреть вдоль оси х) представляет собой круг. Проекции ее на плоскости ху и xz являются синусоидами! Уравнения движения остаются такими же, как и при круговой траектории, при условии, что v заменяется на ν_⊥ = √(ν_у 2 + ν_z 2 ).

Неоднородное магнитное поле: как в нем движутся частицы

Движение заряженной частицы в магнитном поле, являющемся неоднородным, происходит по сложным траекториям. Так, в поле, величина которого усиливается по краям области его существования и ослабляется в ее середине, как, например, показано на рисунке ниже, частица может колебаться вперед и назад между конечными точками.

Как Земля влияет на движение космических частиц

Околоземные пояса Ван Аллена состоят из заряженных частиц (в основном электронов и протонов), окружающих Землю в форме тороидальных областей (см. рис. ниже). Движение заряженной частицы в магнитном поле Земли происходит по по спирали вокруг силовых линий от полюса до полюса, покрывая это расстояние в несколько секунд. Эти частицы идут в основном от Солнца, но некоторые приходят от звезд и других небесных объектов. По этой причине они называются космическими лучами. Большинство их отклоняется магнитным полем Земли и никогда не достигает атмосферы. Тем не менее, некоторые из частиц попадают в ловушку, именно они составляют пояса Ван Аллена. Когда они находятся над полюсами, иногда происходят столкновения их с атомами в атмосфере, в результате чего последние излучают видимый свет. Так возникают красивые Полярные сияния в Северном и Южном полушариях. Они, как правило, происходят в полярных регионах, потому что именно здесь пояса Ван Аллена расположены ближе всего к поверхности Земли.

Иногда, однако, солнечная активность вызывает большее число заряженных частиц, входящих в эти пояса, и значительно искажает нормальные силовые линии магнитного поля, связанные с Землей. В этих ситуациях полярное сияние можно иногда увидеть в более низких широтах.

Селектор скоростей

Во многих экспериментах, в которых происходит движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, важно, чтобы все частицы двигались с практически одинаковой скоростью. Это может быть достигнуто путем применения комбинации электрического поля и магнитного поля, ориентированного так, как показано на рисунке ниже. Однородное электрическое поле направлено вертикально вниз (в плоскости страницы), а такое же магнитное поле приложено в направлении, перпендикулярном к электрическому (за страницу).

Масс-спектрометр

Этот прибор разделяет ионы в соответствии с соотношением их массы к заряду. По одной из версий этого устройства, известного как масс-спектрометр Бэйнбриджа, пучок ионов проходит сначала через селектор скоростей и затем поступает во второе поле B₀, также однородное и имеющее то же направление, что и поле в селекторе (см. рис. ниже). После входа в него движение заряженной частицы в магнитном поле происходит по полукругу радиуса r перед ударом в фотопластинку Р. Если ионы заряжены положительно, луч отклоняется вверх, как показано на рисунке. Если ионы заряжены отрицательно, луч будет отклоняться вниз. Из выражения для радиуса круговой траектории частицы, мы можем найти отношение m/q

и затем, используя уравнение v=E/B, мы находим, что

Таким образом, мы можем определить m/q путем измерения радиуса кривизны, зная поля величин B, B₀, и E. На практике, так обычно измеряет массы различных изотопов данного иона, поскольку все они несут один заряд q. Таким образом, отношение масс может быть определено, даже если q неизвестно. Разновидность этого метода была использована Дж. Дж. Томсоном (1856-1940) в 1897 году для измерения отношение е/m_е для электронов.

Циклотрон

Он может ускорить заряженные частицы до очень высоких скоростей. И электрические, и магнитные силы играют здесь ключевую роль. Полученные высокоэнергетические частицы используются для бомбардировки атомных ядер, и тем самым производят ядерные реакции, представляющие интерес для исследователей. Ряд больниц использует циклотронное оборудование для получения радиоактивных веществ для диагностики и лечения.

Схематическое изображение циклотрона показан на рис. ниже. Частицы движутся внутри двух полуцилиндрических контейнеров D 1 и D 2, называемых дуантами. Высокочастотная переменная разность потенциалов приложена к дуантам, разделенным зазором, а однородное магнитное поле направлено вдоль оси циклотрона (южный полюс его источника на рис. не показан).

Положительный ион, выпущенный из источника в точке Р вблизи центра устройства в первом дуанте, перемещается по полукруглой траектории (показана пунктирной красной линией на рисунке) и прибывает обратно в щель в момент времени Т / 2, где Т — время одного полного оборота внутри двух дуантов.

Частота приложенной разности потенциалов регулируется таким образом, что полярность дуантов меняется на обратную в тот момент времени, когда ион выходит из одного дуанта. Если приложенная разность потенциалов регулируется таким образом, что в этот момент D₂ получает более низкий электрический потенциал, чем D₁ на величину qΔV, то ион ускоряется в зазоре перед входом в D₂, и его кинетической энергии увеличивается на величину qΔV. Затем он движется вокруг D₂ по полукруглой траектории большего радиуса (потому что его скорость увеличилась).

Через некоторое время T / 2 он снова поступает в зазор между дуантами. К этому моменту полярность дуантов снова изменяется, и иону дается еще один «удар» через зазор. Движение заряженной частицы в магнитном поле по спирали продолжается, так что при каждом проходе одного дуанта ион получает дополнительную кинетическую энергию, равную qΔV. Когда радиус его траектории становится близким к радиусу дуантов, ион покидает систему через выходную щель. Важно отметить, что работа циклотрона основана на том, что Т не зависит от скорости иона и радиуса круговой траектории. Мы можем получить выражение для кинетической энергии иона, когда он выходит из циклотрона в зависимости от радиуса R дуантов. Мы знаем, что скорость кругового движения частицы — ν = qBR /m. Следовательно, ее кинетическая энергия

Когда энергии ионов в циклотрон превышает около 20 МэВ, в игру вступают релятивистские эффекты. Мы отмечаем, что T увеличивается, и что движущиеся ионы не остаются в фазе с приложенной разностью потенциалов. Некоторые ускорители решают эту проблему, изменяя период прикладываемой разности потенциалов, так что она остается в фазе с движущимися ионами.

Эффект Холла

Когда проводник с током помещается в магнитное поле, то дополнительная разность потенциалов создается в направлении, перпендикулярном к направлению тока и магнитного поля. Это явление, впервые наблюдаемое Эдвином Холлом (1855-1938) в 1879 году, известно как эффект Холла. Он всегда наблюдается, когда происходит движение заряженной частицы в магнитном поле. Это приводит к отклонению носителей заряда на одной стороне проводника в результате магнитной силы, которую они испытывают. Эффект Холла дает информацию о знаке носителей заряда и их плотности, он также может быть использован для измерения величины магнитных полей.

Устройство для наблюдения эффекта Холла состоит из плоского проводника с током I в направлении х, как показано на рисунке ниже.

Движение заряженной частицы в магнитном поле.

Для вывода общих закономерностей движения заряженной частицы в магнитном поле будем считать магнитное поле однородным, электрические поля на частицу не действуют. При этом учтем очевидное:

а) Если заряженная частица движется в магнитном поле вдоль силовой линии, сила Лоренца, действующая на неё, равна нулю

б) Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью , перпендикулярно к вектору , то сила Лоренца, равная постоянна по модулю и перпендикулярна к траектории частицы.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила создаёт центростремительное ускорение. Поэтому частица будет двигаться по окружности, радиус которой определяется из условия:

, , ,

период вращения частицы, т. е. время, затрачиваемое ею на один полный оборот,

в) Если скорость заряженной частицы направлена под углом к вектору то её движение можно представить в виде двух движений: 1) равномерного прямолинейного движения вдоль поля, 2) равномерного движения по окружности в плоскости перпендикулярной полю (Рис. 23).

В результате этих двух движений возникает движение по винтовой линии, ось которой параллельна вектору . Шаг винтовой линии:

Направление, в котором закручивается частица, зависит от знака её заряда.

Действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы. Действие магнитного поля на проводник с током означает, что магнитное поле действует на движущиеся электрические заряды. Найдем силу, действующую на электрический заряд q при его движении в однородном магнитном поле с индукцией .
Сила тока I в проводнике связана с концентрацией n свободных заряженных частиц, скоростью их упорядоченного движения и площадью S поперечного сечения проводника следующим выражением:

,(1)

где q — заряд отдельной частицы.

.

Так как произведение nSl равно числу свободных заряженных частиц в проводнике длиной l

то сила, действующая со стороны магнитного поля на одну заряженную частицу, движущуюся со скоростью под углом к вектору индукции, равна

.(2)

Эту силу называют силой Лоренца.
Направление вектора силы Лоренца определяется правилом левой руки, в нем за направление тока нужно брать направление вектора скорости положительного заряда (рис. 186). Для случая движения отрицательно заряженных частиц четыре пальца следует располагать противоположно направлению вектора скорости.

Движение заряженных частиц в магнитном поле. В однородном магнитном поле на заряженную частицу, движущуюся со скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, действует сила , постоянная по модулю и направленная перпендикулярно вектору скорости (рис. 187).

В вакууме под действием силы Лоренца частица приобретает центростремительное ускорение

(3)

и движется по окружности. Радиус r окружности, по которой движется частица, определяется из условия

, .(4)

Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен

.(5)

Последнее выражение показывает, что период обращения частицы в однородном магнитном поле при постоянной массе не зависит от скорости и радиуса r траектории ее движения. Этот факт используется, например, в ускорителе заряженных частиц — циклотроне.

Циклотрон. В этом ускорителе заряженные частицы — протоны, ядра атомов гелия — разгоняются переменным электрическим полем постоянной частоты в вакууме в зазоре между двумя металлическими электродами — дуантами. Дуанты находятся между полюсами постоянного электромагнита (рис. 188, а).

Под действием магнитного поля внутри дуантов заряженные частицы движутся по окружности. К моменту времени, когда они совершают половину оборота и подходят к зазору между дуантами, направление вектора напряженности электрического поля между дуантами изменяется на противоположное и частицы вновь испытывают ускорение. Каждую следующую половину оборота частицы пролетают по окружности все большего радиуса (рис. 188, б), но период их обращения остается неизменным. Поэтому для ускорения частиц на дуанты подается переменное напряжение с постоянным периодом.
Ускорение частиц в циклотроне с постоянным периодом возможно лишь до значений скоростей, значительно меньших скорости света. С приближением скорости частицы к скорости света в вакууме, равной c = 300000 км/с, масса частицы возрастает, вследствие чего увеличивается период ее обращения в магнитном поле. Равенство периода обращения частицы и периода изменения электрического поля нарушается, ускорение прекращается.

топлива по сравнению с обычной тепловой электростанцией.

В заключение, по традиции, предлагаем Вашему вниманию шпаргалку по этой теме:

Теоретические основы волновой энергетики

«Ты, волна моя, волна!
Ты гульлива и вольна;
Плещешь ты, куда захочешь,
Ты морские камни точишь,
Топишь берег ты земли,
Подымаешь корабли — «

А.С.Пушкин, «Сказка о царе Салтане»

Волновое движение воды имеет нерегулярный характер. Описать это движение аналитически чрезвычайно трудно, а в некоторых фазах – невозможно. Однако существуют теории, основанные на геометрическом и математическом анализе, которые достаточно точно отражают природу реальных волн.

А поскольку океанские волны являются носителями колоссального количества энергии, изучение и количественное измерение волновых характеристик представляет собой, не только крайне сложную, но и весьма актуальную и интересную задачу.

Здесь мы рассмотрим лишь основные понятия, которые, тем не менее, дают достаточно полное представление о многообразных физических процессах, происходящих в волновой среде.

1. Классификация морских волн

Морские волны можно классифицировать по различным признакам.

По силам, вызывающим волновое движение, т. е. по происхождению, в океане (море) можно выделить следующие виды волн: ветровые — вызванные ветром и находящиеся под его воздействием; корабельные — создающиеся при движении корабля и тайфунов; приливные — возникающие под действием периодических сил притяжения Луны и Солнца; анемобарические — связанные с отклонением поверхности океана от положения равновесия под действием ветра и атмосферного давления; сейсмические (цунами) — возникающие в результате динамических процессов, протекающих в земной коре, и в первую очередь подводных землетрясений, а также извержений вулканов, как подводных, так и прибрежных; прибрежные – сейшевые или захваченные волны, рождающиеся у морского побережья с повышенными резонансными свойствами. Практически всегда на поверхности открытых морей и океанов наблюдаются зыбь, ветровые и приливные волны.

По силам, которые стремятся возвратить частицу воды в положение равновесия, различают капиллярные и гравитационные волны. В первом случае восстанавливающей силой является сила поверхностного натяжения, во втором — сила тяжести. Капиллярные волны малы по своим размерам и образуются либо в первый момент воздействия ветра на водную поверхность (рябь), либо на поверхности основных гравитационных волн (вторичные волны). В море главное (силовое) значение имеют гравитационные волны.

По действию силы после образования волны выделяют волны свободные (зыбь), когда сила прекращает действие после образования волны, и вынужденные, когда действие силы не прекращается.

По расположению различают поверхностные волны, возникающие на поверхности моря, и внутренние, возникающие на глубине и почти не проявляющие себя на поверхности.

По форме выделяют двухмерные волны, средняя длина гребня которых во много раз больше средней длины волны, трехмерные, средняя длина гребня которых соизмерима с длиной волны, и уединенные, имеющие только куполообразный гребень и не имеющие подошвы. Если на гребне уединенной волны поместить поплавок, он будет перемещаться вместе с гребнем. Поэтому уединенную волну иногда называют переносной волной.

По соотношению длины волны и глубины моря различают короткие волны, у которых длина волны значительно меньше глубины моря, и длинные, у которых, напротив, длина волны значительно больше глубины моря. По перемещению формы волны выделяют волны поступательные, или прогрессивные (Рис. 1), видимая форма которых перемещается в пространстве, и стоячие (Рис.2), узловые линии и вершины которых в пространстве не перемещаются. Прогрессивные волны характеризуются тем, что у них перемещается видимая форма (профиль). Частицы же воды движутся по почти замкнутым орбитам, имеющим форму, близкую к окружности или эллипсу. Любой небольшой предмет, находящийся на поверхности моря, также будет совершать круговые колебательные движения, соответственно движению частиц воды по их орбитам.

Рис. 1. Поступательная волна и орбита частиц

Видимое перемещение формы (профиля) волны можно пояснить следующим образом. Предположим, что частицы воды совершают движение по замкнутым круговым орбитам (Рис.1). Если импульс силы, вызывавшей волнение и переместивший частицу воды из точки 1 в точку 1`, действовал слева на право, то частицы, действующие правее частицы 1, придут в движение позже и, поэтому, будут отставать по фазе от частиц, расположенных левее, и займут в момент времени положения 1, 2, 3 … Проведя кривую через эти точки, получим профиль волны в момент времени t1 (сплошная, синяя кривая). Теоретически частицы воды движутся по орбитам с одинаковой угловой скоростью. Поэтому в следующий момент времени t2 они переместятся на своих орбитах на один и тот же угол и займут положения 1′, 2′, 3′ … Проведя пунктирную, чёрную кривую через указанные точки, получим профиль волны в момент времени t2. Как видно на рисунке, профиль волны сместился в направлении действия силы (то есть вдоль координаты х), хотя частицы воды двигались исключительно по круговым орбитам, вокруг собственных неподвижных центров вращения.

Рис. 2. Схема стоячей волны.

При стоячей волне частицы воды не совершают движений по круговым орбитам (Рис. 2). В пучностях, т. е. в точках, где амплитуда колебания уровня наибольшая, частицы двигаются только по вертикали. В узлах, т. е. в точках, где колебания уровня отсутствуют, частицы двигаются только в горизонтальном направлении. На схеме показаны три положения поверхности моря при стоячих волнах: два крайних (пунктирные линии) и средние (сплошная линия). Буквой У обозначены узловые точки (узлы), а буквой П — пучности. Стрелками на линии среднего уровня показаны орбиты частиц в различных точках волнового профиля.

Элементы волны. Каждая волна, поступательная или стоячая, характеризуется определенными элементами. Общими для обоих типов волн являются следующие элементы. Волновой профиль – кривая, получаемая в результате сечения взволнованной поверхности моря вертикальной плоскостью в заданном направлении (обычно в направлении распространения волн). Гребень волны – часть волны, расположенная выше среднего волнового уровня. Вершина волны – наивысшая точка гребня волны. Ложбина волны – часть волны, расположенная ниже среднего волнового уровня. Подошва волны – самая низкая точка ложбины волны.

Рис. 3. Кривая волновых колебаний свободной поверхности воды в одной точке.

Высота волны h – превышение высоты волны над соседней подошвой на волновом профиле, проведенном в генеральном направлении распространения волн. Высота волны равна удвоенной амплитуде или удвоенному радиусу орбиты поступательной волны при круговых орбитах. Длина волны – горизонтальное расстояние между вершинами двух смежных гребней на волновом профиле, проведенном в генеральном направлении распространения волн. Крутизна волны – отношение высоты данной волны к ее длине. Крутизна волны в различных точках волнового профиля различна. Для удобства характеристики крутизны волны пользуются отношением высоты к длине , называемое средней крутизной волны. Частота формы волны: . Перечисленные элементы определяют геометрические характеристики волны.

Для поступательной волны необходимо добавить еще три элемента. Направление распространения волн, отсчитываемое по часовой стрелке от норда в сторону их движения. Фронт волны – линия на плане взволнованной поверхности, проходящая по вершине гребня данной волны, которая определяется по множеству волновых профилей, проведенных параллельно генеральному направлению распространения волн. Длина гребня волны – протяженность гребня волны в направлении ее фронта. Луч волны – линия, перпендикулярная фронту волны в данной точке.

Кроме элементов, определяющих геометрические характеристики волны, выделяют кинематические элементы. К ним относятся: период волны τ – интервал времени между прохождением двух смежных вершин волн через фиксированную вертикаль. σ = 2π/τ – частота проявления волн во времени (эту же величину ещё обозначают как ώ – угловая скорость трохоидальной волны). Период волны можно определить и как время обращения частицы по ее орбите. Для стоячей волны период определяется промежутком времени, за который совершается полное колебание уровня. Скорость распространения, или фазовая скорость Сф – скорость перемещения гребня волны в направлении ее распространения. За время полного оборота частицы по своей орбите, т. е. за период волны τ , профиль волны сместится на расстояние, равное длине волны λ. Таким образом, определяется фазовая скорость распространения волны Cф = λ/τ. Реальные ветровые волны всегда трехмерные, и для них так же, как и для стоячих волн, затруднительно определить период по скорости перемещения гребня. В этом случае вводится понятие периода волны в одной точке (Рис. 3).

Рис. 4. Схема трехмерной волны

Поэтому для трехмерных волн вводится еще одно дополнительное понятие – высота трехмерных волн. Она находится как разность по вертикали между наивысшим уровнем вершины, определяемым как наивысшая точка гребня волны, расположенного выше среднего волнового уровня, и уровнем подошвы, представляющим самую низкую точку ложбины среднего волнового уровня на переднем по направлению распространения волны её скате (Рис. 4). На схеме трехмерной волны h_T – высота трехмерной волны, определяемая как вертикальное расстояние между высотами уровня в точке А (вершина) и В (подошва) профиля волны, λ – длина волны, a L – длина гребня.

2. Теория волн для глубокого моря

Величины соотношений между элементами реальных волн весьма разнообразны. Поэтому при изучении элементов отдельной волны и их изменения обычно используется идеализированная волна, в качестве которой выбирается трохоидальная. Это двухмерная волна, частицы которой вращаются по правильным окружностям. При этом частицы, находящиеся на одной вертикали, колеблются синфазно. Трохоидальная теория волн, иногда называется теорией волн для глубокого моря. Ей более всего соответствуют свободные, гравитационные, поверхностные, двухмерные, короткие, прогрессивные. Именно эти волны мы и рассмотрим вначале, как наиболее интересные с точки зрения их энергетики. В этой теории делаются следующие допущения: • море считается бесконечно глубоким (z → ∞); • жидкость является идеальной, состоящей из отдельных частиц и лишенной сил внутреннего трения; • плотность воды принимается постоянной (ρ = const); • волнение считается двумерным, установившимся и свободным; действие силы, вызвавшей волнение, прекратилось после развития волнения; сами волны рассматриваются как поступательные и гравитационные. Трохоидальный профиль волны заданной высоты и длины можно построить следующим образом. Если окружность радиусом R (рис. 5) катить по горизонтальной прямой (CЕ ), то конец радиуса описывает циклоиду, а остальные точки радиуса описывают трохоиды, соответствующие орбитам с радиусами r = h/2. Волна полной длины образуется после целого оборота катящейся окружности. Принято окружность радиусом R называть катящимся кругом, а радиусом r — производящим кругом.

NB! При построении трохоиды надо иметь ввиду что, катящийся круг катится по прямой, касающейся его верхней точки. Так сказать, «по потолку». При попытке строить циклоиду и трохоиду, перекатывая катящийся круг по прямой, касающейся его нижней точки, вид получающихся кривых не будет соответствовать волновому профилю. И, соответственно, не будут выполняться закономерности, присущие волновому движению. В частности, средний уровень взволнованной поверхности окажется ниже среднего уровня моря. К сожалению, ошибки такого рода нередки даже в научной литературе.

Рис. 5 Построение циклоиды и трохоиды

Разделим катящуюся по прямой CЕ окружность на несколько равных частей (на Рис. 5 — на 12 частей). На прямой CЕ отложим длину АВ, равную длине окружности катящегося круга (

R). Тогда при качении круга точки сто окружности 1, 2, 3… будут последовательно совпадать с точками 1, 2, 3… прямой АВ. Чтобы найти точку, где окажется карандаш, установленный в точке б, когда точка 1 окружности совпадет с таковой же на прямой АВ, или, что то же самое, когда центр О передвинется на расстояние А1, проводят через точку 5 катящейся окружности прямую, параллельную АВ, а из точки 1 той же линии опускают перпендикуляр, и от пересечения его с линией, проведенной параллельно АВ, откладывают вправо еще величину половины хорды 5–7 и получают искомую точку 5, принадлежащую циклоиде. (Движение точки 6 при перекатывании катящейся окружности из точки А в точку 1 складывается из поступательного движения на расстояние А1 и вращательного на угол 2π/12). Поступая таким же образом далее, находим, сколько требуется точек циклоиды, соединив которые плавной кривой, получим искомую циклоиду (чёрная линия чертежа). Для построения трохоиды поступают подобным же образом. Трохоида показана на чертеже синим цветом. Нетрудно заметить, что при одной и той же катящейся окружности радиуса R, в зависимости от величины радиуса r производящей окружности, вид трохоиды будет получаться — различный. Здесь можно обратить внимание на одну важную особенность трохоидальной волны. Она не уравновешена относительно прямой линии, соединяющей центры катящейся окружности в положениях А и В (то есть полуволна, находящаяся ниже линии ОО` не равна, по площади сечения, полуволне, находящейся выше этой линии). Более подробно это явление мы рассмотрим при определении потенциальной энергии волны. А пока, рассмотрим трохоиду, образованную катящимся кругом радиусом R и производящим кругом радиусом r (рис. 6).

Рис. 6. К выводу свойств трохоидальной волны

Пусть в точке М трохоиды t t` находится элементарный объем воды массой m, на который действуют, направленная по отвесу, сила тяжести G G =mg, (1) где g [м/с2] – ускорение свободного падения. В соответствии с принципом Даламбера приложим к элементарному объему воды массой m ещё и центробежную силу А, направленную по радиусу r. A = mω 2 r , (2) где ω [радиан/с] — угловая скорость элементарного объёма воды в точке М. Из свойств трохоиды следует, что DM является нормалью к ее поверхности. С другой стороны, трохоидальная теория полагает, что каждая трохоидальная поверхность является в то же время и поверхностью равного давления, иначе произошло бы ее смещение в сторону меньшего давления, т. е. возникло бы течение. Из этого предположения следует, что равнодействующая МN сил G и A направлена всегда по нормали к поверхности уровня, то есть к трохоиде. (Поэтому на чертеже, отрезок МN является продолжением отрезка DМ). Важно понимать, вектор МN есть сила, с которой элементарный объем воды массой m давит на поверхность уровня. Соответственно, поверхность уровня давит на элементарный объем воды массой m с силой, характеризующейся вектором NМ, обратным вектору МN, вынуждая его двигаться по окружности. Элементарный объем воды массой m находится в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести G, силы инерции А и силы давления поверхности уровня (вектор NМ). Из подобия треугольников MDO и MAN следует соотношение DO/AN = OM/MA (3) Подставляя в (3) выражения (1) и (2) и обозначая соответственно радиусы кругов R и r, получаем R/mg = r/mω 2 r, что после сокращения даёт соотношение R/g = 1/ω 2 , (4) Из этого соотношения легко получить формулы для определения других параметров трохоидальной волны. Поскольку ω = 2π/τ, а длина трохоидальной волны λ равна длине катящегося круга (круга радиуса R) то есть λ=2πR, то, подставляя их значения в выражение (4), получаем формулу для:

длины волны λ = 2πg /ω 2 , [м] (5) и

фазовой скорости трохоидальной волны (напомним, фазовая скорость, это скорость перемещения волны в направлении её распространения, то есть вдоль координаты х, на рис. 6)

Cф = λ/τ = , [м/с] (6)

Как видим — фазовая скорость трохоидальной волны определяется ее длиной и не зависит от амплитуды/высоты волны; — со скоростью движения частиц жидкости в волне, фазовая скорость связана неявным образом; — волны большей длины распространяются с большей фазовой скоростью.

Из (5) легко получить соотношения для периода волны τ

τ = , [с] (7)

И для угловой скорости волны ω

ω = , [с -1 ] (8)

Из приведенных выражений видно, что в них входит только длина волны λ, а высота волны h = 2r вообще не влияет на перечисленные характеристики. С глубиной волнение быстро затухает. Это объясняется тем, что радиусы окружностей, по которым двигаются частицы воды, с увеличением глубины уменьшаются. Тем самым уменьшаются амплитуды колебаний, а, следовательно, и высота волн.

На рис.7 показаны профили волн на поверхности и одновременно на различной глубине.

Рис. 7. Изменение профиля трохоидальной волны с глубиной
(Направление движения волны на рисунке: слева направо)

Из рисунка 7 видно, что:

1) гребни и подошвы волны на глубине располагаются под гребнями и подошвами волны на поверхности;

2) длина волн, а значит, их скорость и период с глубиной не меняются;

3) при волнении частицы движутся по круговым орбитам; радиусы орбит, по которым вращаются частицы, уменьшаются с глубиной экспоненциально и тем быстрей, чем короче волна:

r = r_o , (9)

где z — вертикальное расстояние вниз от поверхности воды;

Радиус орбиты частиц равен половине высоты волны на данной глубине. Поэтому, заменяя r_o =h₀/2, получим выражение, определяющее изменение высоты волны с глубиной:

h = h₀/2, (10)

где h₀ — высота волны на поверхности моря, т.е. соответственно убыванию радиусов орбит частиц убывает и высота волны: Из формулы (10) следует, что на глубине, равной половине длины волны (z = λ/2), высота волны уменьшается в 23 раза, а на глубине, равной длине волны (h =λ) — в 535 раз.

Полученная связь позволяет оценить глубину, на которой волнение практически исчезает. Эта глубина может быть принята равной половине длине волны. Следовательно, можно считать, что на глубине, равной длине волны на поверхности, волнение практически отсутствует. В океане, где ветровые волны, имеют обычно длину не более 100 м, на глубине 50 м волнение практически отсутствует.

4) В соответствии с ( 6 ) скорость распространения волны зависит только от ее длины. С глубиной она не изменяется, так же как не изменяются период и длина волны;

5) Профиль волны представляет трохоиду;

6) Каждая трохоидальная поверхность является в то же время и поверхностью равного давления, иначе произошло бы ее смещение в сторону меньшего давления, т. е. возникло бы течение. Пределы изменения давления при прохождении волны с глубиной уменьшаются пропорционально уменьшению высоты волны. На глубине, равной длине волны, изменения давления исчезающе малы (высота волны уменьшается 535 раз).

3. Энергия и мощность волн

Энергия частиц при волнении складывается из кинетической энергии, не меняющейся при их движении по орбите (производящему кругу трохоиды), и потенциальной, которая меняется, так как при движении по орбите меняется высота частиц над спокойным уровнем.

Если бы центр орбиты частицы совпадал с положением частицы в состоянии покоя, средняя потенциальная энергия за один оборот частицы по орбите была бы равна нулю. Однако в действительности центр орбиты частицы несколько приподнят над положением покоя. Вследствие этого осредненное за период значение потенциальной энергии будет отличаться от нуля, и зависеть от величины превышения центров орбит над положением частиц в покое.

Для определения этого превышения рассмотрим профиль волны, изображенный на рис. 8. Выше уже было упомянуто, что трохоидальная волна не уравновешена относительно прямой линии, соединяющей центры катящейся окружности. Для того, чтобы найти уровень, соответствующий нулевому значению потенциальной энергии, необходимо провести линию NN|, которая делила бы площадь поперечного сечения волны на две равновеликие части. Как показано на рис. 8, эта линия проходит ниже линии OO’, соединяющей центры орбит. Линия NN’ соответствует положению частиц в спокойном состоянии, когда потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, ордината ή определяет отклонение среднего положения частиц при волнении относительно состояния покоя.

Рис. 8. Схема для вычисления потенциальной энергии волн

Таким образом потенциальная энергия элементарного объема воды массой m, будет равна произведению mgή
Математически определено, что среднее превышение частицы ή
для трохоиды ή = πr 2 /λ. (11)

Отсюда потенциальная энергия ΔE_n элементарного объема воды, имеющего массу, равную m, будет равна

ΔE_n = [ Дж ] (12).

Найдем теперь кинетическую энергию ΔE_k элементарного объема воды массой m . Она равна ΔE_k = , где ν — линейная скорость движения частицы по орбите.

ν = r ω , где ω = .

С учётом зависимостей (7) и (8) кинетическая энергия ΔE_k элементарного объема воды массой m будет равна ΔE_k = = = = или после сокращения:

ΔE_k = [ Дж ] (13).

Таким образом, кинетическая энергия элементарного объема воды массой m равна его же потенциальной энергии: ΔE_k = ΔE_n . Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии, т. е.

ΔE = ΔE_k + ΔE_n = [ Дж ] (14).

Количество энергии, которым обладает столб воды толщиной db , с основанием, равным единице, и плотностью ρ (получается, что db имеет размерность м3) будет

[ Дж ] (15).

Для получения полной энергии, заключенной в столбе воды с единичным оcнованием, т. е. энергии, приходящейся на единицу поверхности волны, необходимо проинтегрировать это выражение по всей толще от нуля до бесконечности E = (поскольку db имеет размерность м 3 , интегрирование идёт по объёму), заменяя , получим:

[Дж/м 2 ] (16).

Теперь, учитывая, что , найдем энергию, приходящуюся на единицу поверхности волны. Принимая, что на поверхности моря высота волны равна , получим

[Дж/м 2 ] (17).

Из формулы (17) следует, что энергия, заключенная под единичной площадью, зависит только от высоты волны. Квадратическая зависимость указывает на быстрое возрастание энергии при возрастании высоты волны. Поскольку радиусы орбит с глубиной быстро уменьшаются, основная энергия волны сосредоточена на поверхности воды или, другими словами, в верхней части столба воды.

Рассмотрим теперь процесс переноса энергии волнами. Для этого мысленно проведём плоскость, перпендикулярную оси OХ, совпадающей с направлением распространения волны и вычислим поток энергии через полоску этой плоскости, имеющую единичную ширину. Глубину жидкости, для определённости, будем считать бесконечной. Выделим элемент dz этой полосы (ось OZ направлена вертикально вверх) и подсчитаем работу действующих на него сил давления за время dt в направлении ОХ. (Элемент dz в данном случае (dz *1) имеет размерность площади, то есть [м2]. Поэтому, пусть Вас не смущают кажущиеся несоответствия размерностей физических величин, в формулах (17), (18) и (19). Там везде незримо присутствует единица ширины волнового фронта — [м] .)
В гидромеханике установлено, что работа сил давления на всей рассматриваемой бесконечной полоске определяется формулой:

W= ρgπr 2 = ρgr 2 ·λ/4 [Дж]

Работа, производимая в единицу времени и равная переносимой энергии волн, или их мощности, будет

N = W/τ = ρgr 2 /4 · λ/ τ = ρgr 2 /4 · C_ф [Дж/с] (18) ,

что с учетом (16) даст:

N = E· C_ф/2 [Вт] (19)

Таким образом, в бесконечно-глубокой жидкости полная механическая энергия переносится со скоростью вдвое меньшей фазовой скорости волны.

Подставляя в (19) значение эекргии, заключённой под единичной площадью (17) и фазовой скорости волны в виде (6) и учитывая (7) и то, что r = h/2 получим выражение для мощности, переносимой волной в направлении её распространения, на единицу ширины волнового фронта:

N = ρg 2 h 2 τ/32π [Дж/c·м] (20)

Из (20) следует, что мощность, переносимая волнами на глубокой воде, пропорциональна квадрату их амплитуды и периоду.
Поэтому, для волновой энергетики, наибольший интерес представляют длиннопериодные волны большой высоты.

4. Теория волн для мелкого моря. Короткие и длинные волны
В рассмотренной выше, трохоидальной теории влияние глубины моря на волны не учитывалось. Вместе с тем трение о дно существенно изменяет геометрические и кинематические характеристики волн. О величине этих изменений можно судить на основе выводов, даваемых теорией волн для мелкого моря, рассматривающей двухмерное установившееся волнение.

Из формулы (9), r = ro e , следует, что уменьшение радиусов орбит зависит от отношения глубины к длине волны. Поэтому, чем меньше глубина моря и больше длина волны, тем слабее должен меняться радиус орбиты. Но дно препятствует развитию вертикальных колебаний. В результате, при выходе волны на мелководье орбиты частиц принимают эллиптическую форму с большой осью, вытянутой в направлении распространения волны. Размеры осей эллипсов зависят от отношения длины волны к глубине моря и уменьшаются по мере приближения ко дну (Рис. 9 б). А у самого дна вертикальная ось эллипса в то время как горизонтальная его ось сохраняется, то есть частица воды у дна колеблется вдоль горизонтального отрезка прямой.

Рис. 9. Влияние глубины моря на форму орбит частиц в волне
а) H > 0.5 λ; б) H 0.5λ) горизонтальная ось эллипса практически не уменьшается с глубиной (Рис. 9 а).

Скорость волны зависит не только от ее длины, но и от глубины моря и выражается формулой
C = , (21)
В случае, когда H/λ велико, гиперболический тангенс стремится к единице th(2πH/λ) ⇒ 1 и формула (21) принимает вид формулы (6),

с = .

Волны, удовлетворяющие отношению H > 0.5 λ, называются короткими. Следовательно, для волн, имеющих длину меньше удвоенной глубины моря, при определении элементов поверхностных волн справедливы формулы трохоидальной теории. К ним относятся ветровые волны, наблюдаемые на некотором удалении от береговой черты.

Для отношений Н/λ 0.5 λ), согласно трохоидальной теории, возникают волны, профиль которых описывается трохоидой, а частицы движутся по замкнутым круговым орбитам.

В действительности же, как показывают наблюдения, частицы имеют и поступательное движение, которое называется волновым течением. Оно возникает независимо от того, есть ли ветер или нет его, т. е. обусловлено природой самого явления.

Теория возникновения волнового течения была разработана академиком В. В. Шулейкиным в 1954 году.

Скорость поступательного движения частиц, т. е. скорость волнового течения, за период волны изменяется. Она также неравномерна как вдоль длины волны, так и по глубине. Скорость максимальна на середине склона волны и уменьшается с глубиной. Осредненная за период волны скорость волнового течения V _в на поверхности выражается формулой Стокса через радиус орбиты частицы на поверхности r_o, её скорость с и длину волны λ

V_в = r₀ 2 ·(2π/λ) 2 c , (25)

Так как радиус орбит частиц убывает с глубиной по экспоненциальному закону r = r_o , то скорость волнового течения V_вz на глубине z определяется формулой

V_вz = r₀ 2 (2π/λ) 2 c , (26)

Таким образом, средняя ее величина за полный период волны зависит от высоты и длины волны и быстро уменьшается с глубиной , но на поверхности океана может быть существенной.

Волновое течение также изменяет орбитальное движение частиц и вызывает отклонение профиля волны от трохоиды. Профиль волны при наличии волнового течения отличается от трохоиды большим заострением гребня и притупленной впадиной.

7. Общее представление о спектральном методе в теории волн

Рассмотрим теперь, что получится, если принцип наложения применить к прогрессивным волнам с различными амплитудами и существенно отличающимися частотами, распространяющимся в одном направлении. Профиль результирующей волны будет иметь вид, характерный для нерегулярного, ветрового волнения. Подвергнув запись волнового профиля гармониче6скому анализу можно убедиться, что результирующая кривая представима в виде суммы некоторого числа простых гармонических составляющих – прогрессивных волн с кратными частотами и различными амплитудами. Такая суперпозиция лежит в основе спектрального метода изучения и расчёта морского ветрового волнения.
Сложив всего три плоские прогрессивные волны с различными амплитудами и кратными частотами, но с одинаковым направлением распространения dх и с нулевой начальной фазой, получим результирующий профиль, который хорошо имитирует запись ветрового волнения в точке (см. Рис. 3.). По крайней мере, с качественной стороны. Увеличивая число гармонических составляющих и, придавая им разные начальные фазы, можно получить всё более точное представление истинного профиля реального морского волнения, если оно имеет двухмерный характер, то есть длины гребней волн очень велики.

Ещё сложнее оказывается картина при наложении волн, распространяющихся в разных направлениях. Для моделирования реальной картины штормового волнения в открытом море можно попытаться наложить друг на друга ячеисто-групповые структуры ветровых волн и волн зыби, характеристики которых могут отличаться либо длинами волн, либо направлением их распространения. Полученная волновая картина (рис. 11) вполне соответствует наблюдениям за реальным штормовым волнением в открытом море.

Рис. 11. Модель трехмерного волнового поля для открытого моря

Модель трехмерного волнового поля для открытого моря (Рис. 11.), представляет собой наложение трех независимо существующих ячеисто-групповых систем волн: 1) ветрового волнения: λ=60м, τ=6,2с, h=7,2м, движущимся в направлении A=250°; 2) первой системой волн зыби: λ=100м, τ=8,0с, h=5,9м, A=210°; и 3) второй системой волн зыби: λ=160м, τ=10,1с, h=5,1м, A=270°. Показаны профили волн и изолинии уровней моря. Зеленым цветом прорисованы впадины волн, голубым – гребни. Изолинии уровня моря проведены через 2 метра. Курс движения судна в направлении А ведет навстречу ветровому волнению, курсы Б, В и Г – на 15°, 30° и 45° вразрез волне. В нижней части рисунка показаны профили волн на отмеченных курсах.

Рис. 12. Схема образования волнового спектра

На Рис. 12 показана волновая поверхность, получающаяся как результат наложения большого числа ветровых волн с различными длинами и направлениями распространения.

Для полной количественной оценки столь сложной картины волнения, необходимо знать амплитуду и начальную фазу каждой гармонической составляющей, распространяющейся в определённом направлении. При бесконечно большом числе составляющих непосредственное определение этих элементов, очевидно, крайне затруднительно. Поэтому количественные оценки волнения производятся в рамках спектрального метода особым путём – с помощью энергетических соотношений.
Поскольку полная механическая энергия плоской прогрессивной волны, приходящаяся на единицу длины её гребня, пропорциональна квадрату её амплитуды, энергию каждой i-той гармонической составляющей волнения, имеющей j-тое направление распространения можно представить, согласно (16), в виде
Е_ij = ρgr_ij 2 /2 , откуда амплитуда гармоники

_{A ij} = , (27)

Но энергию, приходящуюся на каждую гармоническую составляющую спектра, можно подсчитать и другим способом.
Представим себе элементарный участок поверхности моря, на границах которого расположены системы прогрессивных волн с частотами от ώ до ώ + Δώ и с направлениями распространения от u до u + Δu. Обозначим через s удельную энергию волн – количество энергии, приходящейся на единицу площади поверхности моря. Величина s зависит от того, какая из гармонических составляющих волнения располагается на выделенной единичной площадке, т.е. s = s (ώ, u). Тогда энергия i-той гармонической составляющей с j-тым направлением, приходящаяся на бесконечно малый интервал частот Δώ и направлений распространения Δu, будет равна Еij = S (ω, u)ΔώΔu . С учётом (27) амплитуда этой составляющей

_Aij =

Обозначив S = s (ω, u) / ρg можно записать

_Aij = , (28),

то есть определять амплитуды гармонических составляющих через его удельную энергию. Функция S(ώ, u), характеризующая распределение удельной энергии волн по частотам и направления распространения, называется двухмерной спектральной плотностью волнения или двухмерным энергетическим спектром. Если эту функцию проинтегрировать по всем возможным углам u, например от 0 до 2π, то получим одномерный энергетический спектр, называемый также частотным. В гидромеханике, с помощью двухмерного энергетического спектра принято количественно оценивать трёхмерное морское волнение, а с помощью частотного – двухмерное. Спектральная плотность измеряется в квадратных метрах в секунду.

Рис. 13. Частотный спектр морского волнения

Примерный вид зависимости частотного спектра от спектральной частоты представлен на рис. 13.

Из теоретического описания закономерностей зарождения, развития и разрушения морских волн становится ясно сколь сложно создать устройство, которое было бы в состоянии использовать энергию переносимую волнами для совершения полезной работы. И при этом не было бы разрушено этой энергией.

Видео, которое, я надеюсь, поможет Вам продолжить свой путь, в познании этого удивительного явления природы, было сделано Jean-Rene Keruzore (Air Vide Et Eau). На экране запечатлен ураган Йоахим, обрушившийся на побережье Бретани, 16-го декабря 2011 года. Штормовые волны вылизывают маяки на скалах морской гряды Армориканского горного массива. Сила воды была в тот день такая, что мальтийский сухогруз «ТК Бремен» оказался не в состоянии ей сопротивляться, и выброшен на мель пляжа.

На первый взгляд жуть! Но подумайте о том, что возобновляемая энергия волн, насыщая воду океана кислородом, несёт энергию жизни её обитателям. Шторм — это живая энергия океана. Незавидная участь сухогруза «ТК Бремен» ждёт и Человечество, если оно будет и дальше корчить из себя повелителя Природы, вместо того, чтобы учиться жить в согласии с Ней.

САМЫЙ ПРОСТОЙ АТОМ

Атом водорода — самый простой из атомов. Его ядро — один протон, вокруг него движется один электрон. Если сравнивать атом водорода с небесными телами, то напрашивается сравнение с Землей до эпохи искусственных спутников, когда вокруг Земли двигалась только Луна. Но кроме баснословного различия масштабов есть еще одно: система Земля — Луна уникальна, а атомов водорода так много, что хочется сказать бесконечно много. И все они одинаковы, тождественны не только по составу, но и по всем своим свойствам.

Прежде всего, все эти атомы имеют одинаковые размеры. Расстояние от Луны до Земли медленно, но изменяется: Луна тратит энергию своего движения на приливы и отливы и из-за этого приближается к Земле. А вот атомы водорода, что бы с ними ни происходило, в какие ситуации они бы ни попадали, не меняются. Будто что-то электрону в атоме не позволяет приблизиться к протону. Что бы это могло быть?

Начнем с того, что, воспользовавшись положениями классической механики, рассмотрим, как движется притягивающийся к ядру электрон. Сила притяжения компенсируется центробежной силой, то есть e²/r² = =mv²/r. Отсюда радиус орбиты электрона r = e²/mv². Каков он, сказать невозможно. Фактически он может быть каким угодно: чем меньше скорость, тем расстояние от ядра больше. Не удивляйтесь: полная энергия движущегося электрона Е тем больше, чем электрон дальше от ядра. Действительно, сумма потенциальной и кинетической энергий Е = -e²/r + mv²/2. Но mv² = e²/r, то есть Е = -e²/2r. Получается, что в одном атоме водорода электрон может быть ближе к ядру, в другом — дальше. Потенциальная энергия электрона U(r), соответствующая силе электростатического притяжения F_C = -e²/r², есть U(r) = -e²/r плюс постоянная, которую удобно принять равной нулю. Тогда при бесконечном расстоянии электрона от ядра энергия обращается в нуль. При отрицательной энергии электрон вращается вокруг ядра, а при положительной не связан с ядром и может удалиться на бесконечность.

Считая траекторию электрона окружностью, мы заметно упростили картину. Движение по окружности под действием электростатической кулоновской силы — частный случай. В общем случае частица с отрицательной энергией движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится притягивающий центр. Формула, связывающая радиус орбиты частицы с энергией, остается справедливой, если под 2r понимать большую ось эллипса.

То, что с помощью классического подхода не удалось выяснить, почему все атомы
водорода имеют одинаковые размеры, неудивительно. Движение микроскопических
частиц описывается не классической механикой Ньютона, а квантовой механикой,
математический аппарат которой весьма непрост. Не претендуя на строгость, можно
поступить так: к классическим формулам добавить условие, вытекающее из того,
что движение электрона сопровождает волна де-Бройля. Так в свое время поступил
Нильс Бор (1885-1962). Правда, когда Бор создавал теорию атома водорода (1913
год), квантовой механики еще не существовало, но он понимал, что использованный
прием требует обоснования. Мы же теперь знаем, что такое обоснование есть —
это квантовая механика.

Условие, вытекающее из существования волны де-Бройля, выглядит так: на траектории электрона обязано поместиться целое число волн де-Бройля, то есть 2πr = nλ, где n = 1, 2, 3 … — целые числа. Но λ = 2πћ/mv (напоминаем, что ћ = h/2π). Значит, r
=(ћ/mv)n, где n = 1,2,3… Сравнив последнее выражение с формулой, связывающей радиус орбиты со скоростью, получим: r = a_n = а_Вn², а_В = ћ²/mе², где n = 1, 2, 3 …, индекс «В» — в честь Бора. Величину а_В так и называют — радиус Бора. Радиус Бора приблизительно равен 0,053 нанометра (1 нм = = 10^-9 м). Подставив это значение в выражение для энергии, имеем: Е = Е_n = — e²/2а_n = — (me⁴/2ћ² )(1/n²), где n = 1,2,3 …

Величину (me⁴/2ћ²) называют ридбергом в честь шведского оптика Иоганеса Роберта Ридберга (1854-1919) и обозначают Ry, 1 Ry =
= 13,6058 эВ. Электронвольт (эВ) — принятая в атомной физике единица энергии, то есть энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов, равную одному вольту, 1 эВ = 1,60217733Ч10^-19 Дж. Мы еще вернемся к вопросу, большая или маленькая энергия масштаба одного ридберга, а пока попытаемся понять качественную сторону полученных результатов.

Из них следует три вывода.

Во-первых, электрон в атоме может иметь только дискретные значения энергии. Мы нарочно опустили наименование атома — водород. В любом атоме энергии электронов дискретны.

Во-вторых, существует состояние электрона с энергией, меньше которой электрон иметь не может. Это состояние называется основным. Все остальные состояния называют возбужденны ми.

Прежде чем сформулировать третий пункт, придется сказать несколько вступительных слов. Двигаясь с ускорением, заряженная частица излучает электромагнитные волны. На этом принципе устроены все антенны, любые источники электромагнитного излучения — радиоволн, видимого света, рентгеновских и гамма-лучей. А электрон в атоме, в каком бы состоянии он ни находился, не излучает, хотя движется с ускорением. Правда, электрон в возбужденном состоянии может излучить электромагнитную энергию, перейдя в одно из состояний с меньшей энергией. Энергия излучается квантами, и в процессе излучения, как во всех процессах, происходящих в природе, выполняется закон сохранения энергии. Энергия излученного кванта в соответствии с законом сохранения энергии равна hn =
= E_n — E_m, где n и m — целые числа и n > m. Сколько времени электрон проведет в возбужден ном состоянии, зависит от целого ряда причин, исследованных квантовой механикой. Эти времена различны, но все они конечны. Исключение составляет основное состояние: закон сохранения энергии запрещает электрону, находящемуся в основном состоянии, излучать электромагнитную энергию.

Отсюда следует третий вывод: основное состояние электрона в атоме устойчиво.

Те, кому для понимания нужен зрительный образ (а таких, видимо, большинство), наверное, уже представили себе атом водорода в виде колечка, по которому катается электрон вокруг центра, где находится ядро — протон. Придется вас огорчить: эта картинка неверна. Она была бы верной, если бы электрон подчинялся законам классической механики. Настоящая квантовая механика, а не та наглядная комбинация корпускулярных и волновых представлений, которые были изложены, утверждает, что электрон в основном состоянии «размазан» не по окружности, а по сфере, радиус которой равен приблизительно а_В.

Так что представлять себе атом лучше шариком, а не колечком. Слово «размазан» взято в кавычки неслучайно. Никакого реального размазывания электрона по атому не происходит. Правильнее было бы сказать так: в любой точке сферы радиуса а_В, а также вблизи нее есть вероятность обнаружить электрон. Суммарная вероятность найти электрон в атоме, естествен но, равна единице. Ведь он действительно там — в атоме!

Энергию, равную 1 ридбергу, нужно придать электрону, чтобы он оторвался от ядра, то есть это энергия ионизации атома водорода. Один из способов оторвать электрон таков: атом водорода сталкивается с каким-либо другим атомом, который и передает электрону свою энергию. Когда столкновения происходят в газе, то мерой средней энергии движения атомов служит температура Т, а поскольку 1 эВ = 1,16064Ч10⁴ К, 1 Ry = 1,58Ч10⁵ К, или свыше полутора миллионов градусов. Каким же горячим должен быть газ, чтобы ионизация за счет столкновений происходила часто! А если вспомнить, что первое возбужденное состояние электрона отделено от основного по энергии на «расстояние», равное (3/4) Ry, то и возбуждение атомов водорода будет происходить часто только в очень горячем газе.

Другой способ ионизации и/или возбуждения атомов — поглощение фотонов. Энергии квантов видимого света может хватить и на возбуждение, и даже на ионизацию. Нужно лишь иметь в виду, что атом и поглощает и излучает свет только определенными порциями — такими, чтобы электрон смог перейти из одного разрешенного состояния в другое, возбуждая атом. А если энергия кванта больше энергии ионизации, свет заведомо электрон оторвет.

Способность разных веществ поглощать и излучать электромагнитную энергию квантами определенной, но различной величины послужила основой спектроскопии — важной экспериментальной методики, позволяющей очень точно определять химический состав.

Мы уже обращали внимание на непоследовательность планетарной модели атома,
если движение электрона описывать законами классической физики. Согласно классической
физике атомы вообще не могут существовать. Заряженная классическая частица,
вращаясь с частотой n, непрерывно излучает электромагнитную энергию именно
частоты n. Тратя энергию на из лучение, классическая частица «медленно
и верно», а по человеческим масштабам времени — мгновенно, приближается к ядру
и в конце концов прилипает к нему — атом исчезает.

Квантовая механика, кардинально изменив картину движения атомных и субатомных частиц, оправдала планетарную модель.

Невозможно себе представить, как в годы полного триумфа электромагнитной теории Резерфорд решился пожертвовать классической электродинамикой и принять планетарную модель атома. Трудно проникнуть в интуицию гениев.

При всей простоте атома водорода у него есть изотопы. Всего их три. Обычный атом водорода, у которого ядро — протон, иногда называют протием (слова «протон» и «протий» происходят от греческого слова протос — первый). Следующий по массе изотоп — дейтерий (по-гречески деутерос — второй). В его ядре один протон и один нейтрон. Самый тяжелый изотоп водорода — тритий (тритос — по-гречески третий). Его ядро состоит из одного протона и двух нейтронов. Дейтерий устойчив, тритий живет достаточно долго. Период его полураспада (время, за которое распадается половина ядер) 12,26 года. У всех остальных атомов и их изотопов ядра также состоят из протонов и нейтронов.

Нуклоны притягиваются друг к другу ядерными силами, которые совершенно не похожи на те, с которыми мы встречались до сих пор — ни на гравитационные, ни на электростатические. Электростатические силы действуют и на микроскопических и на макроскопических расстояни ях. Ядерные силы не проявляют себя на макроскопических расстояниях: они очень быстро спадают с расстоянием. Радиус их действия порядка 10^-15 метра. Для этой сверхмалой длины, характеризующей размеры атомных ядер, ввели специальное обозначение: 10^-15 м = 1 Фм (ферми, в честь итальянского физика Энрико Ферми, 1901-1954). Все ядра имеют размеры нескольких ферми.

Радиус ядерных сил по порядку величины равен размеру нуклона, поэтому ядра — сгустки очень плотной материи. Возможно, самой плотной в земных условиях. Наиболее тесно нуклоны упакованы в ядре атома гелия, которое состоит из двух протонов и двух нейтронов. Атом гелия, лишенный своих электронов, называется альфа-частицей (a-частицей). Во многих случаях удобно считать, что и более тяжелые ядра состоят из альфа-частиц. Не вошедшие в альфа-частицы нуклоны слабее связаны с ядром, чем те, которые находятся в их составе.

Ядерные силы — пример сильных взаимодействий. Они многократно превосходят кулоновскую силу (но, конечно, на одинаковом расстоянии). Электростатическое взаимодействие характеризуется энергией порядка нескольких электронвольт, а характерные ядерные энергии в миллион раз больше — мегаэлектронвольты (Мэвы).

Короткодействие ограничивает действие ядерных сил ближайшим окружением нуклона, в то время как медленно спадающее с расстоянием электростатическое отталкивание протонов действует во всем объеме ядра. С ростом числа нуклонов ядра становятся неустойчивыми, и поэтому большинство тяжелых ядер радиоактивны, а совсем тяжелые вообще не могут существовать. Конечное число элементов в природе — следствие короткодействия ядерных сил.

Однако в конце 60-х годов XX века теория ядра предсказала существование стабильных элементов с порядковыми номерами Z =
=110 -114, а возможно, и 126 — так называемого «острова стабильности». Эту теорию косвенно подтверждает эксперимент, недавно проведенный в Дубне. Там был получен 114-й элемент с атомной массой А = 289, который «жил» 30 секунд — невероятно долго для атома с ядром такого размера. Сегодня теоретики уже обсуждают свойства сверхтяжелых ядер массой 300 и даже 500, хотя в самой возможности их существования имеются определенные сомнения (см. «Наука и жизнь» № 9, 2002 г.).

Когда говорят о ядерных силах, часто не различают протон и нейтрон. Ядерные силы очень слабо зависят от того, взаимодействует протон с протоном, нейтрон с нейтроном или протон с нейтроном.

Удивительный вывод квантовой физики: два нуклона притягиваются друг к другу, потому что обмениваются между собой частицей. Частицу назвали пи-мезоном, или пионом. Один нуклон испускает пи-мезон (p-мезон), другой его поглощает, а в результате нуклоны притягиваются друг к другу. В слове «мезон» он — окончание, как у всех названий частиц, а корень мезо взят из греческого, мезос — промежуточный: масса p-мезона больше массы электрона и меньше массы протона. Масса p-мезона стала известна еще до открытия этой частицы. По теории (она была создана в 1935 году японским физиком Хидэки Юкава, 1907-1981) между радиусом действия ядерных сил и массой p-мезона m_p существует простая связь: m_p >= ћ/cr_n. Есть три сорта p-мезонов — положительный, отрицательный и нейтральный. Их массы несколько отличаются, но все они примерно в 200 раз больше массы электрона.

Итак, ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. На первый взгляд у нейтрона,
как у одного из основных (первичных) элементов, из которых все построено, есть
крупный недостаток. Нейтрон недолговечен. В свободном состоянии время его жизни
приблизительно 15 минут. Он распадается на протон, электрон и антинейтрино (этот
процесс называется b-распадом, по скольку поток электронов когда-то назывался
бета-лучами). Однако в стабильных ядрах, по современным оценкам, время его жизни
превышает 10³² лет. Скорее всего, столько же живет протон, распад
которого старательно искали, но так пока и не обнаружили. Нестабильность протона
предсказал А. Д. Сахаров.

В ядре атома сосредоточена атомная энергия. Ее освоение — задача ядерной физики.

В атоме водорода движущийся электрон испытывает силу притяжения ядра. Поскольку ядро в тысячи раз тяжелее электрона, можно принять, что оно неподвижно относительно центра масс системы, и считать, что в любом атоме движутся только электроны.

Пока ограничимся атомом водорода. При движении электрона вокруг протона сохраняется его полная энергия Е, равная сумме потенциальной и кинетической энергий. Импульс электрона меняется, так как на него действует сила притяжения. Но в данном конкретном случае есть другая величина, которая остается неизменной.

Когда частица массы m вращается со скоростью v по окружности радиуса r, то одной из важнейших характеристик ее движения, наряду с энергией, служит момент количества движения (импульса), или просто момент. Обозначим его буквой М. Буквы М и v напечатаны жирным шрифтом, чтобы подчеркнуть: скорость и момент количества движения — величины векторные. Вектор М направлен по оси вращения, а в какую сторону, зависит от направления вращения.

При движении частицы под действием силы, обладающей центральной симметрией (а именно такова сила, притягивающая электрон к ядру), момент не зависит от времени — на всей траектории он один и тот же. Можно сказать иначе. Траектория частицы определяется ее энергий Е и моментом М (его величиной и направлением): траектория (при Е < 0 эллипс или окружность ) лежит в плоскости, перпендикулярной вектору момента М. Величина момента М и энергия Е связаны условием 2М² ≤|Е|/e ²m_е ≤ 1. При равенстве, то есть когда величина момента наибольшая при фиксированной энергии, траекторией будет окружность. Чем момент меньше, тем эллипс более вытянут. Это происходит не за счет удлинения большой оси (ее длина зафиксиро вана значением энергии), а за счет уменьшения малой.

Последнему неравенству можно придать несколько странный вид: М² ≤ ћ²(а/а _В). Боровский радиус а_В пропорционален ћ², поэтому в неравенстве фактически постоянной Планка нет. Переписанное в таком виде неравенство показывает, что момент количества движения М и постоянная Планка ћ имеют одинаковые размерности.

Если при классическом подходе физическая величина может иметь произвольные значения, а при квантовом — дискретные, говорят, что данная физическая величина квантуется . Момент М квантуется, но он — вектор, имеющий и величину, и определенное направление в пространстве. Квантуется не только величина вектора М, но и его направление. Отсюда название — пространственное квантование .

Пространственное квантование — одно из следствий соотношения неопределенностей Гейзенберга. Для его описания надо выбрать в пространстве направление и с ним совместить ось квантования . Слово «выбрать» не очень точно: на самом деле совершенно безразлично, куда направить ось квантования. Сила, действующая на частицу, не зависит от направления, все направления в пространстве эквивалентны, и ось квантования можно ориентировать как угодно. А если бы вектор М был классическим, то есть его свойства описывались законами ньютоновской механики, то и угол q между вектором М и осью мог быть произвольным. В квантовой механике не так.

Примем ось квантования за ось z прямоугольной (декартовой) системы координат; две другие оси — х и у; M_x, M_y, M_z = Mcosq — проекции вектора М на оси выбранной (но ориентированной произвольно) системы координат. Пространственное квантование означает, что угол q не произволен, он таков, что проекция вектора М на ось z (ось квантования) принимает целочисленные значения: M_z = -ћl, -ћ(l-1) … ћ(l-1), ћl, где l — целое число или нуль. Всего вектор М может иметь 2l + 1 проекций на ось квантования. Число l задает длину вектора М — величину момента М: М = |М| = ћ[l(l+1)]^1/2. Кроме M_z, других определенных проекций (M_x, M_y) вектор М не имеет вовсе.

С ростом числа l момент количества движения становится все более «классическим»:
число возможных проекций на ось z возрастает, а величина момента приближается
к величине максимальной проекции (М → |М|_макс ).
Это простой пример принципа соответствия , согласно которому при определенных
условиях формулы, полученные по законам квантовой механики, должны совпадать
с формулами, полученными на основе классической механики. В данном случае эти
определенные условия формулируются особенно просто: М >> ћ.

Вернемся к атому водорода. Выведенное в предыдущем разделе неравенство, которому удовлетворяют энергия и момент количества движения в квантовом случае, выглядит особенно просто: l ≤ (n — 1), то есть при фиксированном числе n число l может принять n значений: 0, 1, …, (n — 1). Следовательно, в основном состоянии (n = 1) у электрона может быть только нулевой момент количества движения. Учтя, что каждому значению числа l соответствует 2l + 1 состояний (различных проекций момента М на ось квантования), нетрудно убедиться, что любому значению n соответствует n² состояний. Для дальнейшего изложения этот результат очень важен.

Против каждого из мезонов (положительного, отрицательного и нейтрального) в соответствую щей клеточке столбца «спин» стоит 0, у фотона — 1, а у нейтрино — 1/2. Итак, спин электронов, протонов, нейтронов и нейтрино равен половине, p-мезонов — нулю, а фотона — единице. В столбце со странным названием «статистика» против частиц со спином 1/2 стоит буква Ф, а против тех, у которых спин равен 0 или 1, — буква Б.

Что же такое спин? Сначала еще несколько слов об обыкновенном моменте количества движения, не о собственном. То, что l — целое число и справедливы формулы, описывающие пространственное квантование, — следствие волнового движения микрочастицы в пространстве. При вращении, казалось бы, всегда что-то движется в пространстве. Когда вращается твердый шарик во-круг оси, проходящей через его центр, все точки в шарике и на его поверхности, кроме расположенных на оси, перемещаются в пространстве.

Может ли вращаться точка? На первый взгляд вращение точки — абсурд. Оказывается, нет! Частица, которую можно (а иногда даже следует) считать точечной, способна «вращаться». Правильней сказать так: такая частица обладает собственным моментом вращения, или спином (по-английски spin — вращаться). Эпитет собственный очень важен. Он означает, что этот момент — неизменное, неустранимое свойство частицы, такое же, как ее масса и заряд.

А то, что собственный момент не связан с перемещением в пространстве (недаром слово «вращаться» взято в кавычки), приводит к тому, что не обязательно l — целое число. Но число проекций на ось квантования 2l + 1 — целое. В случае собственного момента l может быть либо целым числом, либо полуцелым. Когда речь идет о спине, вместо буквы l принято использовать букву s. Хотя величина собственного момента (спина) есть ћ[s(s + 1)]^1/2, величиной спина частицы считают именно s.

Частицы с нулевым или целым значением спина (s = 0, 1, 2 …) называются бозонами (буква Б в таблицах). Частицы с полуцелым спином (не только с s = 1/2, но и с
3/2 или 5/2 … — такие тоже есть) называются фермионами (буква Ф в таблицах). Каково различие фермионов и бозонов, будет рассказано ниже.

Повторим: у электрона, протона, нейтрона и нейтрино спин равен 1/2. Спин, равный 1/2, — удивительный вектор. В этом случае 2s + 1 = 2. Значит, спин электрона, протона, нейтрона, нейтрино имеет лишь две проекции на ось квантования: +1/2 и -1/2. Ось, правда, может иметь произвольное направление в пространстве.

Вернемся к концу предыдущего раздела. Электрон имеет две различные проекции спина. Поэтому при фиксированном значении n число состояний электрона равно 2n²:

n = 1, 2, 3, 4…

2n² = 2, 8, 18, 32, 50…

Эти числа столь важны, что им выделена отдельная строка.

Обратимся теперь к таблице Менделеева. Цифры 2, 8, 18… важны для понимания структуры периодов. Один пример. Инертные газы завершают периоды. Атомные номера — у гелия He Z = 2; у неона Ne Z = 10, но 10 = 2 + 8; у аргона Ar Z = 18. Дальше совсем интересно: у криптона Kr Z = 36, но 36= = Z_Ar + 2 + 8 + 8. У ксенона Xe Z = 54, а 54 = Z_Kr + 2+ + 8 + 8. Похоже, выписанные выше числа действительно играют какую-то важную роль. Особенно, если вспомнить, что атомный номер Z совпадает с числом электронов в атоме. Чтобы понять, почему числа 2, 8, 18… столь важны, придется познакомиться с одним из фундаментальных положений квантовой физики — с принципом запрета Паули.

Когда заряд равен нулю, то, казалось бы, взаимодействия нет. Но квантовая механика
вносит свои коррективы. При равенстве соответствующего заряда нулю сила притяжения
или отталкивания, обязанная ему, действительно равна нулю. Но взаимодействие
все же есть. Оно проявляется в том, что состояние двух одинаковых частиц не
есть произвольное состояние каждой из частиц. Состояние должно удовлетворять
принципу неразличимости .

Квантовые частицы неразличимы в принципе. Это утверждение сильнее, чем утверждение о тождественности частиц в классической физике. В ньютоновской механике частица движется по определен ной траектории. За ней можно следить, ее не спутаешь с другой, даже если они тождественны. В квантовой механике у частицы нет определенной траектории. Возможны квантовые скачки, можно с определенной вероятностью обнаружить частицу на первый взгляд в неожиданном месте — непрерывно следить за ней невозможно. Описывая движение двух или нескольких квантовых частиц, нужно использовать условия, которые обеспечивают выполнение принципа неразличимости.

Свою неразличимость частицы проявляют по-разному. Как именно, зависит от их спина — целый он (в частности, нулевой) или полуцелый. Если частицы — бозоны, то есть имеют нулевой или целый спин, то функция, описывающая состояние двух частиц, при перестановке частиц местами вовсе не меняется. Если же частицы — фермионы с полуцелым спином, функция, описывающая состояние двух частиц, при перестановке частиц меняет знак. (В квантовой теории перемена частиц местами — чисто математическая процедура: в функции, описывающей их состояние, меняют местами аргументы, относящиеся к разным частицам). Это различие кардинально влияет на поведение совокупностей квантовых частиц — как принято говорить, на их статистику (см. таблицы 1 и 2, столбец «статистика»).

О различии статистик можно сказать совсем кратко: любому количеству бозонов ничто не мешает скапливаться в одном состоянии. Именно это их свойство позволило получить «пятое состояние вещества» — так называемый бозе-эйнштейновский конденсат, когерентную материю, комок атомов в одном квантовом состоянии (см. «Наука и жизнь» №1, 2002 г.). А число фермионов в каждом состоянии либо 0, либо 1. Третьего не дано! Для фермионов осуществляется запрет: две одинаковые частицы не могут находиться в одном и том же состоянии.

Этот запрет в 1924 году впервые сформулировал Вольфганг Паули (1900-1958). Запрет заслуженно называется принципом Паули.

Состояние электрона в любом атоме определяют четыре числа:

главное квантовое число n (n = 1,2,3…);

орбитальный момент количества движения l ≤ (n — 1);

проекция момента на ось квантования l_z (таких проекций 2l + 1);

проекция спина на ось квантования (их две — либо +1/2, либо -1/2).

Принцип Паули запрещает электронам иметь четыре совпадающие характеристики. Этот запрет диктует закон, по которому построена электронная оболочка атома.

(Окончание следует.)

Как найти радиус магнитного поля?

Мы можем найти радиус кривизны r непосредственно из уравнения r=mvqB r = m v q B , так как все остальные величины в нем заданы или известны.

Что такое радиус магнитного поля?

Ответ: Радиальное магнитное поле магнитное поле, при котором плоскость катушки остается параллельной направлению магнитного поля во всех положениях. … Радиальное магнитное поле также параллельно плоскости катушки гальванометра, что создает постоянный крутящий момент независимо от вращения катушки.

Каков путь электрона в магнитном поле?

Отрицательно заряженная частица движется в круговой путь по часовой стрелке в однородном магнитном поле, параллельном плоскости страницы.

Каков путь магнитного поля?

Если поле находится в вакууме, магнитное поле является доминирующим фактором, определяющим движение. Поскольку магнитная сила перпендикулярна направлению движения, заряженная частица идет по кривой дорожке в магнитном поле. Частица продолжает следовать по этому изогнутому пути, пока не образует полный круг.

Смотрите также, как связаны все живые существа

Как найти радиус пути?

Формула радиуса окружности пути заряженной частицы в однородном магнитном поле. г=mvqBsinθ. г=mvsinθqB.

Каков радиус кругового пути?

Расстояние вокруг окружности эквивалентно длине окружности и рассчитывается как 2•pi•R где R — радиус. Время одного оборота по окружности называется периодом и обозначается символом T. Таким образом, средняя скорость объекта, движущегося по окружности, определяется выражением 2•pi•R / T.

Как радиус кругового пути заряженной частицы в магнитном поле связан с импульсом частицы?

С использованием F = ма, получаем: Таким образом, радиус орбиты зависит от импульса частицы, mv, и произведения заряда и напряженности магнитного поля. Таким образом, измеряя кривизну траектории частицы в известном магнитном поле, можно сделать вывод об импульсе частицы, если известен ее заряд.

Каков радиус кругового пути, который проходит заряженная частица в магнитном поле?

гирорадиус: радиус кругового движения заряженной частицы в присутствии однородного магнитного поля. циклотронная частота: частота заряженной частицы, движущейся перпендикулярно направлению однородного магнитного поля B (постоянной величины и направления).

Как найти радиус круга в физике?

р = м v 2 F с . Это означает, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть крутую кривую, как на (рис.).

Каков путь заряженной частицы в магнитном поле?

Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном поле. F = q (v x B). Здесь магнитная сила становится центростремительной силой из-за ее направления к круговому движению частицы. Следовательно, если поле и скорость перпендикулярны друг другу, то частица движется по окружности.

Каков радиус кривизны пути протона с энергией 3,0 кэВ в перпендикулярном магнитном поле величиной 0,80 Тл?

Ответ, который я должен получить, 9,9 мм.

Чему равен R радиус кривизны движения протона, когда он находится в области, содержащей магнитное поле?

В магнитном поле направление движения заряда меняется, но величина скорости заряженной частицы остается неизменной. Таким образом, радиус кривизны протона равен 1,38 м .

Как найти угол между магнитным полем и скоростью?

Уравнение F = qv X B можно разбить на две части: величину и направление. Величина определяется F = qvB sin(тета), где тета — это угол между v (скоростью) и B (магнитным полем).

Какой будет путь электрона в магнитном поле, если он войдет в него со скоростью v, составив угол 90 градусов с магнитным полем?

эллиптическая траектория. Заряженная частица входит перпендикулярно полю, затем выходит, образуя сферическую часть на другом конце. Если частица образует угол, отличный от 90 градусов, она скорее будет следовать эллиптический путь при отклонении в магнитном поле.

Смотрите также, каков жизненный цикл коалы

Чему равно магнитное поле в пустом пространстве, ограниченном тороидальным соленоидом радиуса R*?

поэтому магнитное поле нуль.

Что такое радиус кривой?

В дифференциальной геометрии радиус кривизны R равен обратная величина кривизны. Для кривой он равен радиусу дуги окружности, которая наилучшим образом соответствует кривой в этой точке. Для поверхностей радиус кривизны — это радиус окружности, который лучше всего соответствует нормальному сечению или их комбинациям.

Чему равен радиус кривизны электрона в поле?

Мы можем найти радиус кривизны r непосредственно из уравнения г=mvqB, так как все остальные величины в нем заданы или известны. 5,9 г=0. 683 мм.

Что такое коэффициент радиуса?

Вычислить: Чтобы рассчитать коэффициент радиуса, разделить каждый радиус на исходный радиус (2,0 м). Чтобы рассчитать коэффициент ускорения, разделите каждое значение ускорения на исходное ускорение (50,00 м/с2).

Каков радиус круговой орбиты протона?

65 см. Протон движется по круговой орбите радиусом 65 см

перпендикулярно однородному магнитному полю магнитудой 0,75 Тл.

Каков радиус дуги окружности, по которой движется этот протон?

Протон сначала ускоряется из состояния покоя через разность потенциалов V, а затем попадает в однородное магнитное поле напряженностью 0,750 Тл, ориентированное перпендикулярно его пути. В этом поле протон движется по дуге окружности с радиусом кривизны 1,84 см.

Почему траектория заряженной частицы искривляется?

Путь заряженной частицы изгибается потому что частица отталкивается от отрицательно заряженной пластины и притягивается к положительно заряженной пластине. … Чем больше величина зарядов, тем сильнее электростатическое отталкивание или притяжение. По мере увеличения заряда пластин изгиб будет увеличиваться.

Почему заряженные частицы движутся по круговой траектории?

С магнитная сила перпендикулярна направлению движения, заряженная частица движется по криволинейной траектории в магнитном поле. … Магнитная сила перпендикулярна скорости, поэтому скорость изменяется по направлению, но не по величине. В результате получается равномерное круговое движение.

Как найти радиус винтовой траектории?

Применяя второй закон Ньютона и уравновешивая центростремительную силу магнитной силой, мы получаем формулу для радиуса винтовой траектории как F знак равно м а р q v ⊥ B знак равно м v ⊥ 2 р ⇒ р знак равно м v ⊥ q B знак равно м v грех ⁡ θ q B begin{align*} F&=m,a_r q,v_{bot},B&=m,frac{v_{bot}^{2}}R Rightarrow R&=frac{m,v_{bot}}{q …

Каков радиус круговой орбиты электрона со скоростью 5,0·106 м/с, если предположить, что электрон движется в плоскости, перпендикулярной магнитному полю?

радиус круговой орбиты равен 0,569 м.

Когда частица движется по круговой траектории, радиус кривизны равен?

Объяснение: Когда частица движется по прямой траектории, радиус кривизны бесконечно велико. Это означает, что v2/r равно нулю. Объяснение: Когда частица движется с постоянной скоростью, то dv/dt будет равно нулю.

Каково отношение радиусов кривизны протона и электрона, проходящих через этот аппарат?

Отношение радиусов кривизны протона и электрона, проходящих через этот аппарат, равно 42.79.

Как найти радиус по обороту и расстоянию?

Используйте формулу: с = 2_pi_r, где c — длина окружности, r — радиус, а pi может быть приблизительно равно 3.14. Следуя примеру, если колесо автомобиля имеет радиус 0,3 метра, то длина окружности равна: 0,3 х 3,14 х 2 = 1,89 метра. Вычислите скорость вращения колеса в оборотах в минуту.

Как найти радиус периода?

Так г = д/2. Обратите также внимание на символ периода: T. С помощью этого уравнения, учитывая скорость объекта на орбите и радиус окружности, вы можете рассчитать период объекта.

Как движение по восьмиугольной траектории близко к круговому движению?

Ответ: так как восьмиугольный путь имеет 8 сторон и выглядит почти как круг, то его движение также почти круговое…

Каков путь заряженной частицы в магнитном поле с начальной скоростью?

Заряженная частица, движущаяся в однородном магнитном поле с начальной скоростью, перпендикулярной полю, следует круговой путь. Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, обеспечивает центростремительную силу.

Каков путь заряженной частицы в однородном магнитном поле, если ее скорость не перпендикулярна магнитному полю?

Если заряженная частица движется в области однородного магнитного поля так, что ее скорость не перпендикулярна магнитному полю, то скорость частицы делится на две составляющие. Одна компонента параллельна полю, а другая перпендикулярна полю.

Каков путь заряженной частицы, движущейся под прямым углом к ​​однородному магнитному полю?

Заряженная частица движется под прямым углом к ​​однородному магнитному полю и начинает движение по дуге окружности радиуса кривизны «r». В полевых условиях он теперь проникает через слой свинца и теряет 3/4 своей первоначальной кинетической энергии.

Как найти радиус протона?

Маленькие частицы, такие как электроны, могут выстрелить в протон, и, измерив, как электроны рассеиваются, можно сделать вывод о размере протона. В соответствии с методом спектроскопии это дает радиус протона около (8,775±0,005)×10−16 м (или 0,8775 фм).

Каковы заряд и масса электрона?

электрон, самая легкая из известных стабильных субатомных частиц. Он несет отрицательный заряд 1,602176634 × 10-19 Кл, что считается основной единицей электрического заряда. Остальная масса электрон равен 9,1093837015 × 10−31 кг., что составляет всего 1/_1,836масса протона.

Смотрите также вы то, что вы едите видео

Круговые траектории в магнитном поле – определение радиуса и периода

Магнитные силы и магнитные поля

Круговой путь заряда в магнитном поле

Частицы в магнитном поле — IGCSE Physics

Как известно, электрическое поле принято характеризовать величиной силы, с которой оно действует на пробный единичный электрический заряд. Магнитное поле традиционно характеризуют силой, с которой оно действует на проводник с «единичным» током. Однако при его протекании происходит упорядоченное движение заряженных частиц в магнитном поле. Поэтому мы можем определить магнитное поле B в какой-то точке пространства с точки зрения магнитной силы F_B, которую поле оказывает на частицу при ее движении в нем со скоростью v.

Общие свойства магнитной силы

Эксперименты, в которых наблюдалось движение заряженных частиц в магнитном поле, дают такие результаты:

• Величина F_B магнитной силы, действующей на частицу пропорциональна заряду q и скорости v частицы.
• Если движение заряженной частицы в магнитном поле происходит параллельно вектору этого поля, то сила, действующая на нее, равна нулю.
• Когда вектор скорости частицы составляет любой Угол θ ≠ 0 с магнитным полем, то сила действует в направлении, перпендикулярном к v и B; то есть, F_B перпендикулярна плоскости, образованной v и B (см.рис. ниже).
• Величина и направление F_B зависит от скорости частицы и от величины и направления магнитного поля B.
• Направление силы, действующей на положительный заряд, противоположно направлению такой же силы, действующей на отрицательный заряд, движущийся в ту же сторону.
• Величина магнитной силы, действующей на движущуюся частицу, пропорциональна sinθ угла θ между векторами v и B.

Сила Лоренца

Мы можем суммировать вышеперечисленные наблюдения путем записи магнитной силы в виде F_B = qv х B.

Когда происходит движение заряженной частицы в магнитном поле, сила Лоренца F_B при положительном q направлена вдоль векторного произведения v x B. Оно по определению перпендикулярно как v, так и B. Считаем это уравнение рабочим определением магнитного поля в некоторой точке в пространстве. То есть оно определяется в терминах силы, действующей на частицу при ее движении. Таким образом, движение заряженной частицы в магнитном поле кратко можно определить как перемещение под действием этой силы.

Заряд, движущийся со скоростью v в присутствии как электрического поля E, так и магнитного B, испытывает действие как электрической силы qE, так и магнитной qv х В. Полное приложенное к нему воздействие равно F_Л = qE + qv х В. Его принято называть так: полная сила Лоренца.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь частный случай положительно заряженной частицы, движущейся в однородном поле, с начальным вектором скорости, перпендикулярным ему. Предположим, что вектор B поля направлен за страницу. Рисунок ниже показывает, что частица движется по кругу в плоскости, перпендикулярной к B.

Движение заряженной частицы в магнитном поле по окружности происходит потому, что магнитная сила F_B направлена под прямым углом к v и B и имеет постоянную величину qvB. Поскольку сила отклоняет частицы, направления v и F_B изменяются непрерывно, как показано на рисунке. Так как F_B всегда направлена к центру окружности, она изменяет только направление v, а не ее величину. Как показано на рисунке, движение положительно заряженной частицы в магнитном поле происходит против часовой стрелки. Если q будет отрицательным, то вращение произойдет по часовой стрелке.

Динамика кругового движения частицы

Какие же параметры характеризуют вышеописанное движение заряженной частицы в магнитном поле? Формулы для их определения мы можем получить, если возьмем предыдущее уравнение и приравняем F_B центробежной силе, требуемой для сохранения круговой траектории движения:

То есть радиус окружности пропорционален импульсу mv частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и величине магнитного поля. Угловая скорость частицы

Период, с которым происходит движение заряженной частицы в магнитном поле по кругу, равен длине окружности, разделенной на ее линейную скорость:

Эти результаты показывают, что угловая скорость частицы и период кругового движения не зависит от линейной скорости или от радиуса орбиты. Угловую скорость ω часто называют циклотронной частотой (круговой), потому что заряженные частицы циркулируют с ней в типе ускорителя под названием циклотрон.

Движение частицы под углом к вектору магнитного поля

Если вектор v скорости частицы образует некоторый произвольный угол по отношению к вектору B, то ее траектория является винтовой линией. Например, если однородное поле будет направлено вдоль оси х, как показано на рисунке ниже, то не существует никакой компоненты магнитной силы F_B в этом направлении. В результате составляющая ускорения a_x= 0, и х-составляющая скорости движения частицы является постоянной. Однако магнитная сила F_B = qv х В вызывает изменение во времени компонентов скорости v_y и v_z. В результате имеет место движение заряженной частицы в магнитном поле по винтовой линии, ось которой параллельна магнитному полю. Проекция траектории на плоскости yz (если смотреть вдоль оси х) представляет собой круг. Проекции ее на плоскости ху и xz являются синусоидами! Уравнения движения остаются такими же, как и при круговой траектории, при условии, что v заменяется на ν_⊥ = √(ν_у² + ν_z²).

Неоднородное магнитное поле: как в нем движутся частицы

Движение заряженной частицы в магнитном поле, являющемся неоднородным, происходит по сложным траекториям. Так, в поле, величина которого усиливается по краям области его существования и ослабляется в ее середине, как, например, показано на рисунке ниже, частица может колебаться вперед и назад между конечными точками.

Заряженная частица стартует с одного конца винтовой линии, накрученной вдоль силовых линий, и движется вдоль нее, пока не достигнет другого конца, где она поворачивает свой ​​путь обратно. Эта конфигурация известна как «магнитная бутылка», поскольку заряженные частицы могут быть захвачены в нее. Она была использована, чтобы ограничить плазму, газ, состоящий из ионов и электронов. Такая схема плазменного заключения может выполнять ключевую роль в контроле ядерного синтеза, процессе, который представит нам почти бесконечный источник энергии. К сожалению, «магнитная бутылка» имеет свои проблемы. Если в ловушке большое число частиц, столкновения между ними вызывают утечку их из системы.

Как Земля влияет на движение космических частиц

Околоземные пояса Ван Аллена состоят из заряженных частиц (в основном электронов и протонов), окружающих Землю в форме тороидальных областей (см. рис. ниже). Движение заряженной частицы в магнитном поле Земли происходит по по спирали вокруг силовых линий от полюса до полюса, покрывая это расстояние в несколько секунд. Эти частицы идут в основном от Солнца, но некоторые приходят от звезд и других небесных объектов. По этой причине они называются космическими лучами. Большинство их отклоняется магнитным полем Земли и никогда не достигает атмосферы. Тем не менее, некоторые из частиц попадают в ловушку, именно они составляют пояса Ван Аллена. Когда они находятся над полюсами, иногда происходят столкновения их с атомами в атмосфере, в результате чего последние излучают видимый свет. Так возникают красивые Полярные сияния в Северном и Южном полушариях. Они, как правило, происходят в полярных регионах, потому что именно здесь пояса Ван Аллена расположены ближе всего к поверхности Земли.

Иногда, однако, солнечная активность вызывает большее число заряженных частиц, входящих в эти пояса, и значительно искажает нормальные силовые линии магнитного поля, связанные с Землей. В этих ситуациях полярное сияние можно иногда увидеть в более низких широтах.

Селектор скоростей

Во многих экспериментах, в которых происходит движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, важно, чтобы все частицы двигались с практически одинаковой скоростью. Это может быть достигнуто путем применения комбинации электрического поля и магнитного поля, ориентированного так, как показано на рисунке ниже. Однородное электрическое поле направлено вертикально вниз (в плоскости страницы), а такое же магнитное поле приложено в направлении, перпендикулярном к электрическому (за страницу).

Для положительного q магнитная сила F_B=qv х В направлена вверх, а электрическая сила qE – вниз. Когда величины двух полей выбраны так, что qE = qvB, то частица движется по прямой горизонтальной линии через область поля. Из выражения qE = qvB мы находим, что только частицы, имеющие скорость v=E/B, проходят без отклонения через взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Сила F_B, действующая на частицы, движущиеся со скоростью большей, чем v=E/B, оказывается больше электрической, и они отклоняются вверх. Те же из них, которые движутся с меньшей скоростью, отклоняются вниз.

Масс-спектрометр

Этот прибор разделяет ионы в соответствии с соотношением их массы к заряду. По одной из версий этого устройства, известного как масс-спектрометр Бэйнбриджа, пучок ионов проходит сначала через селектор скоростей и затем поступает во второе поле B₀, также однородное и имеющее то же направление, что и поле в селекторе (см. рис. ниже). После входа в него движение заряженной частицы в магнитном поле происходит по полукругу радиуса r перед ударом в фотопластинку Р. Если ионы заряжены положительно, луч отклоняется вверх, как показано на рисунке. Если ионы заряжены отрицательно, луч будет отклоняться вниз. Из выражения для радиуса круговой траектории частицы, мы можем найти отношение m/q

и затем, используя уравнение v=E/B, мы находим, что

Таким образом, мы можем определить m/q путем измерения радиуса кривизны, зная поля величин B, B₀, и E. На практике, так обычно измеряет массы различных изотопов данного иона, поскольку все они несут один заряд q. Таким образом, отношение масс может быть определено, даже если q неизвестно. Разновидность этого метода была использована Дж. Дж. Томсоном (1856-1940) в 1897 году для измерения отношение е/m_е для электронов.

Циклотрон

Он может ускорить заряженные частицы до очень высоких скоростей. И электрические, и магнитные силы играют здесь ключевую роль. Полученные высокоэнергетические частицы используются для бомбардировки атомных ядер, и тем самым производят ядерные реакции, представляющие интерес для исследователей. Ряд больниц использует циклотронное оборудование для получения радиоактивных веществ для диагностики и лечения.

Схематическое изображение циклотрона показан на рис. ниже. Частицы движутся внутри двух полуцилиндрических контейнеров D 1 и D 2, называемых дуантами. Высокочастотная переменная разность потенциалов приложена к дуантам, разделенным зазором, а однородное магнитное поле направлено вдоль оси циклотрона (южный полюс его источника на рис. не показан).

Положительный ион, выпущенный из источника в точке Р вблизи центра устройства в первом дуанте, перемещается по полукруглой траектории (показана пунктирной красной линией на рисунке) и прибывает обратно в щель в момент времени Т / 2, где Т — время одного полного оборота внутри двух дуантов.

Частота приложенной разности потенциалов регулируется таким образом, что полярность дуантов меняется на обратную в тот момент времени, когда ион выходит из одного дуанта. Если приложенная разность потенциалов регулируется таким образом, что в этот момент D₂ получает более низкий электрический потенциал, чем D₁ на величину qΔV, то ион ускоряется в зазоре перед входом в D₂, и его кинетической энергии увеличивается на величину qΔV. Затем он движется вокруг D₂ по полукруглой траектории большего радиуса (потому что его скорость увеличилась).

Через некоторое время T / 2 он снова поступает в зазор между дуантами. К этому моменту полярность дуантов снова изменяется, и иону дается еще один «удар» через зазор. Движение заряженной частицы в магнитном поле по спирали продолжается, так что при каждом проходе одного дуанта ион получает дополнительную кинетическую энергию, равную qΔV. Когда радиус его траектории становится близким к радиусу дуантов, ион покидает систему через выходную щель. Важно отметить, что работа циклотрона основана на том, что Т не зависит от скорости иона и радиуса круговой траектории. Мы можем получить выражение для кинетической энергии иона, когда он выходит из циклотрона в зависимости от радиуса R дуантов. Мы знаем, что скорость кругового движения частицы — ν = qBR /m. Следовательно, ее кинетическая энергия

Когда энергии ионов в циклотрон превышает около 20 МэВ, в игру вступают релятивистские эффекты. Мы отмечаем, что T увеличивается, и что движущиеся ионы не остаются в фазе с приложенной разностью потенциалов. Некоторые ускорители решают эту проблему, изменяя период прикладываемой разности потенциалов, так что она остается в фазе с движущимися ионами.

Эффект Холла

Когда проводник с током помещается в магнитное поле, то дополнительная разность потенциалов создается в направлении, перпендикулярном к направлению тока и магнитного поля. Это явление, впервые наблюдаемое Эдвином Холлом (1855-1938) в 1879 году, известно как эффект Холла. Он всегда наблюдается, когда происходит движение заряженной частицы в магнитном поле. Это приводит к отклонению носителей заряда на одной стороне проводника в результате магнитной силы, которую они испытывают. Эффект Холла дает информацию о знаке носителей заряда и их плотности, он также может быть использован для измерения величины магнитных полей.

Устройство для наблюдения эффекта Холла состоит из плоского проводника с током I в направлении х, как показано на рисунке ниже.

Однородное поле B приложено в направлении у. Если носителями заряда являются электроны, движущиеся вдоль оси х со скоростью дрейфа v_d, то они испытывают направленную вверх (с учетом отрицательного q) магнитную силу F_B = qv_d х B, отклоняются вверх и накапливаются на верхнем краю плоского проводника, в результате чего появляется избыток положительного заряда на нижнем краю. Это накопление заряда на краях увеличивается до тех пор, пока электрическая сила, появившаяся в результате разделения зарядов, не уравновешивает магнитную силу, действующую на носители. Когда это равновесие будет достигнуто, электроны больше не отклоняются вверх. Чувствительный вольтметр или потенциометр, подключенный к верхней и нижней граням проводника, может измерить разность потенциалов, известную как ЭДС Холла.