Как найти радиус по отрезку дуги

Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр

Иногда, при выполнении особо заковыристых работ по отделке приходится решать не совсем простые задачи. Например, имеется часть окружности, говоря по научному — дуга и для этой дуги нужно определить радиус и найти центр окружности.

Сделать это можно двумя методами. Первый метод основан на расчетах, а второй — прикладной. Сначала рассмотрим первый метод, его достоинства и недостатки, а затем второй.

Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга

Изначально это выглядит так:

Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье «Расчет арочной перемычки», поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад — для того, чтобы напомнить формулы — есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше — то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

  • Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей:
8.5 (голосов: 2)

Переходов на сайт:
31889

Комментарии:

R = H/(1 — cos(a/2))
Радиус прямо пропорционален H.
Как так?

Я достаточно подробно ответил на ваш вопрос в статье «Расчет арочной перемычки», где вы задали подобный вопрос.

Если угол не нужен для дальнейших расчетов, радиус находится проще — без тригонометрических функций и даже можно без калькулятора — на бумажке. R = L^2/(8*H) + H/2

Сначала термины:
Отрезок, соединяющий концы дуги называется хордой (a), а высота сегмента (перпендикуляр из середины хорды) — стрелкой (h).
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть R^2=(R-h)^2+(a/2)^2.
А что касается нахождения центра, то перпендикуляры к серединам хорд пересекаются в центре!

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Простая формула для определения радиуса дуги

Полезно знать математический способ, позволяющий рассчитать радиус дуги. Он особенно удобен, когда требуется точно разметить плавную дугу с помощью большого импровизированного циркуля, а не гибкого лекала, после того как вам стали известны три опорные точки или два главных размера.

Как видно на рисунке справа, требуется знать лишь высоту и длину дуги. Подставьте эти размеры в простую формулу и вычислите радиус. Получив результат, настройте циркуль на этот размер и начертите идеальную дугу требуемого радиуса.

Например, если нужно построить дугу длиной 240 и высотой 30 мм, следует действовать так:

Сначала подставьте эти размеры в формулу. В нашем случае L=120, Н=30, поэтому (1202+302): (2×30) = (14400+900): 60= 153000:60 = 255.

Теперь сделайте для этого радиуса циркуль, как показано на фото внизу. Выровняйте один конец с серединой дуги на заготовке. Проведите из этой точки под прямым углом по линейке прямую линию и поставьте на нее второй конец циркуля. Теперь вы можете начертить идеальную дугу, которая соединит все три опорные точки.

Простая формула для определения радиуса дуги , 2.6 out of 5 based on 21 ratings

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

источники:

Простая формула для определения радиуса дуги

http://planetcalc.ru/1421/

Источник

Радиус окружности при заданной длине дуги Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Длина дуги окружности: 15 метр —> 15 метр Конверсия не требуется
Центральный угол окружности: 170 степень —> 2.9670597283898 Радиан (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

5.05550995703763 метр —> Конверсия не требуется




4 Радиус круга Калькуляторы

Радиус окружности при заданной длине дуги формула

Радиус круга = Длина дуги окружности/Центральный угол окружности

r = lArc/∠Central

Что такое Круг?

Окружность — это базовая двухмерная геометрическая фигура, которая определяется как совокупность всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки. Фиксированная точка называется центром круга, а фиксированное расстояние называется радиусом круга. Когда два радиуса становятся коллинеарными, эта общая длина называется диаметром круга. То есть диаметр — это длина отрезка внутри круга, проходящего через центр, и он будет в два раза больше радиуса.

Источник

Сегмент круга

Данный калькулятор считает параметры сегмента круга, а именно:

Перед вами 2 калькулятора, чтобы рассчитать параметры сегмента:

1) сегмент круга решается с помощью радиуса (R) и угла (A).

2) сегмент круга находим с помощью высоты и длины хорды.

Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике hourто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Параметры сегмента по хорде и высоте

Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
R=frac{h}{2}+frac{c^2}{8h}

Далее зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
alpha=2arcsin{ frac{c}{2R} }
Остальные параметры сегмента, вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Источник

 

Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение13.05.2011, 09:35 


13/05/11
8

На одном из форумов попался вопрос, содржащий «школьную» задачку. Дано: Длина дуги части окружности $L$, а длина хорды, на которую опирается эта дуга равна $I$. Найти радиус $R$ окружности.

Вначале, все было хорошо и просто. Провел радиус из центра $O$ к концу дуги $OA=R$, а так же радиус, перпендикулярный хорде
$AB$, который пересек хорду в точке $K$, образуя прямоугольный треугольник $OKA$. Катет $AK=I/2$.
Угол при вершине O обозначил как $x$. По определению синуса получил, что
$I/2=R*sin(x)$ или $I=2*R*sin(x)$ (1)
А из формулы длины дуги, получил $L=2*x*R$ или $2*R=L/x$ (2)
(2x потому, что $x$ — половина центрального угла рассматирваемой дуги).

Подстставляем в (1) вместо $2*R$ выражение, полученное из (2): $I=(L/x)*sin(x)$ или
$sin(x)/x = k$, где $k=I/L$

Ну, вот тут и заминочка вышла. Как найти $x$ по заданному $k$?
На практике, конечно нет проблем. В зависимости от точности либо найти значение графически, либо использовать один
из приближенных методов. Но возникает вопрос, есть ли аналитическое решение? Т.е. можно ли выразить $x$ через
элементарные функции от $k$. Причем, функция интересует нас только при $x$ от 0 до пи.

Есть предположение, что это невозможно. Так ли это? Можно ли это доказать?

Профиль  

ewert 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение13.05.2011, 10:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

Т.е. можно ли выразить $x$ через
элементарные функции от $k$.

Нельзя, естественно.

Профиль  

matod 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение13.05.2011, 11:11 


13/05/11
8

Почему?
Точнее, из чего это следует?

Профиль  

Alphawell 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение20.05.2011, 23:50 


20/05/11
2

Послушайте, мне эта задача не дает покоя, может я и троешник, но мне все равно интересно, вот посмотрите как я предлагаю решить (но не могу):
Введем следующие обозначения:
L — длина дуги;
a — ее центральный угол;
r — радиус окружности;
A — длина хорды;
Из формулы длины дуги получаем уравнение:
L = 2*Pi*r*(a/360) (1)
Рассмотрим треугольник, образующийся при построении радиусов к крайним точкам хорды, по теореме косинусов:
sqr(A) = 2*sqr(r)-2*sqr(r)*cosa (2)
Получили систему из 2х уравнений с 2мя неизвестными

Решая (1) относительно r получим:
r=L/(2*Pi*(a/360))

Подставим это уравнение в (2), после преобразований получим:

2L-2Lcosa-sqr(a)*2*Pi*(a/360)=0

я не знаю как решить это уравнение, помогите плиз, дайте хотя бы совет.

Заранее всех благодарю.

Профиль  

gris 

 Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение21.05.2011, 07:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14209

Даже такое простое уравнение, как $cos x=x$ не решается аналитически при использовании стандартного набора элементарных функций. Такого решения не существует принципиально. Это доказано. Как невозможно решить задачу трисекции угла циркулем и линейкой. Не то, чтобы решения пока не нашли, а строго доказали, что нельзя найти.
Но существуют трисекторы — специальные устройства, с помощью которых угол успешно делится.
Так и тут. Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле).
Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции.

Да чего там далеко ходить.
Например, $sqrt 2$ нельзя точно представить в виде обыкновенной дроби. Как ни пробовали — не получается. Но потом доказали строго, что нельзя.

Профиль  

Joker_vD 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение21.05.2011, 08:09 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

Такого решения не существует принципиально. Это доказано.

Кстати, а через какую степь это доказывали?

Профиль  

Alphawell 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение21.05.2011, 10:45 


20/05/11
2

Хмм.. а другие варианты аналитического решения такой задачи имеются?

Профиль  

AKM 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение21.05.2011, 11:02 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612

Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле).
Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции.

Хмм.. а другие варианты аналитического решения такой задачи имеются?

Какие — другие?

Профиль  

gris 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение21.05.2011, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14209

$L = 2pi r (a/360)$

$2L-2Lcos a-sqrt acdot 2pi(a/360)=0$

Код:

$L = 2pi r (a/360); 2L-2Lcos a-sqrt acdot 2pi(a/360)=0$

Без революционного введения новых функций — никак. Я имел в виду разнообразные численные методы. Но это, да, неинтересно. Иногда нужно именно аналитическое решение, но вот его не существует.

Профиль  

matod 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение22.05.2011, 08:04 


13/05/11
8

Так и тут. Существуют специальные методы и специальные функции, с помощью которых Ваше уравнение решается (в определённом смысле).
Но вот решения в виде формулы с косинусами, арккосинусами, корнями, дробями, логарифмами не существует. Нужны новые функции.

Спасибо за подробное объяснение. Вы подтвердили мои предположения.
Про то, что существуют функции, которые нельзя выразить композицией элементарных, про иррациональные числа и разные методы решения уравнений мне известно.

Единственное, что мне было непонятно, как доказываются подобные утверждения. Точнее, как можно доказать, что обратная для $sin(x)/x$ является такой функцией. Может, существует какой-то общий метод или известно доказательство этого частного случая? Ведь вы же точно знаете, что уравнение не разрешимо относительно х, а не просто предполагаете, что это так… Вот, собственно, в чем мой основной вопрос заключался.

Профиль  

gris 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение22.05.2011, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14209

Тогда пардон. Я думал, что Вас интересует именно конкретная формула для радиуса через длины дуги и стягивающей хорды.
Вопросы разрешимости разных трансцендентных уравнений или выражения обратной функции в элементарных, интегрируемости, спецфункций относятся, по моему, к дифференциальной алгебре. Начала у Галуа, Лиувилля, Ритта. Но я с этим делом знаком чисто исторически, так что может быть кто из авторитетов даст дельный совет.
Мне вот запало в голову, что уравнение в виде линейной комбинации элементарных функций разного вида не разрешимо в замкнутой форме, а доказательство или даже ссылка на него, увы, за пределами.
(Имею в виду уравнения вида $x-8sin x=0;,ln x+x=3$ и т.п.)

Профиль  

matod 

Re: Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

Сообщение23.05.2011, 04:47 


13/05/11
8

Gris, спасибо большое. Действительно припоминается какая-то теорема насчет линейной формы…
С авторами и ключевыми словами думаю что я смогу удовлетворить свое любопытство.
:-)

Конкретная формула интересовала не меня, там вопрос был практический, поэтому я предложил автору дальше решить графически. Здесь задачу привел полностью с двумя целями:
1) На всякий случай, чтобы проверить правильность своего вывода.
2) С целью показать, откуда появилась задача.

Если найду ответ на свой вопрос — здесь отпишусь.

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

При всем таком длинном условии задачи, сводится она к нахождению длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике , длина катетов которого нам известна.

По двум катетам найти гипотенузу. Проще не бывает задачек в геометрии.

Вся фишка в том, чтобы такую простую задачу вычленить в бытовом случае.

Это условие как раз и показывает школьникам, для чего нужна геометрия.

Обозначим конкретные точки вершин.

Тогда отрезок АВ по условию равен 72

Катет ВС будет половиной отрезка ВД — 42 : 2 = 21

Почему? да потому что отрезок АС по условию — радиус дуги. А радиус всерда исходит из центра окружности.

Осталось сделать вычисления, применив теорему Пифагора о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике.

Подставив значения длины отрезков и произведя вычисления получим

Ответ: радиус дуги арки кожуха равен 75 (единицам измерения)

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Слишком густое тесто для оладьев как исправить
  • Как найти серверную базу 1с
  • Как найти клад в школе
  • Как найти вектор если известен модуль вектора
  • Как найти счетчик в принтере