|
Как вычислить радиус шара по объему?
Для вычисления параметров шара существуют формулы. В частности, чтобы вычислить радиус шара при известном объеме, следует использовать такую формулу: 
Где R — радиус шара (искомое значение), V — объем (известное значение), пи — константа, значение которой принимается как 3,14, при этом для более точных вычислений следует брать большее количество знаков после запятой. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Ксарфакс 5 лет назад Радиус шара по объему Шар представляет собой геометрическое тело, являющееся совокупностью всех точек пространства, которые находятся от центра шара на расстоянии не больше заданного. Данное расстояние называется радиусом шара. Для того, чтобы выразить радиус шара через объём, нужно вспомнить формулу:
Объём шара V равен произведению 4/3 на число π (которое является константой и равно 3,14) и на радиус в кубе. Из этой формулы можно сначала выразить куб радиуса:
Конечная формула получится такой:
Радиус шара будет равен кубическому корню из дроби; числитель дроби — объем, умноженный на 3; знаменатель дроби — число π, умноженное на 4. Пример Предположим, объем шара равен 9 кубическим метрам. Радиус шара находим по формуле, приведенной выше: R ≈ ³√((3 * 9) / (4 * 3,14)) ≈ ³√(27 / 12,56) ≈ 3 / ³√12,56 ≈ 3 / 2,29 ≈ 1,31 метр. Таким образом, если объём шара составляет 9 куб. метров, то его радиус будет равен приблизительно 1,31 метра.
Бархатные лапки более года назад Такие задания иногда встречаются на ЕГЭ, с одной стороны вроде ничего сложного, но все же извилины придется напрячь, чтобы ее решить. Лично мне такие задачки давались с трудом, так как я не сильно любила геометрию, но все же формулы приходилось заучивать, чтобы решать задачки. Давайте для начала вспомним по какой формуле мы находим объем шара. Итак, эта формула выглядит следующим образом:
Значит радиус шара мы можем вычислить по такой формуле:
В данном случае мы выражаем одну величину через другую. Так что все оказалось не так уж и запутанно и ученикам вполне под силу справится с такой заковыристой задачкой.
bezdelnik 5 лет назад Радиус шара по известному объёму вычисляется по формуле R равен корню кубическому из 3*V}/4*pi, где V — объём шара, pi- трансцендентное число равное отношению длины половины окружности к её радиусу. Поэтому точно вычислить радиус не возможно, а только с определённой погрешностью. Некоторую сложность представляет извлечение кубического корня. Для этого можно воспользоваться таблицей кубов. Например, при V=1000 куб.мм. и pi=3,14 подкоренное выражение равно 238,8535… и по таблице находим R равен примерно 6,2 мм.
Марина Вологда более года назад Надо вспомнить формулу и проблем с вычислением радиуса шара не возникнет. Итак, сначала укажем формулу:
R — это как раз искомый нами радиус. 3 и корень — это кубический корень из полученной дроби. ? — это пи (оно всегда едино и составляет 3.14). V — объем шара, который нам известен. Ну а теперь не сложно высчитать радиус, зная его объем, подставляя в формулу известные нам данные.
Simple Ein 3 года назад Найти радиус шара, зная объем очень легко. Объем шара находится по формуле:
Выразим из данной формулы значение радиуса шара. Для этого необходимо объем разделить на число «Пи», умножив на ¾. Из полученного числа необходимо найти кубический корень.
-Александр— 5 лет назад Формула объема шара: V=4/3*п*(R в степени 3) отсюда R = корень третей степени из (3/4*V/п)
Лара Изюминка 2 года назад Достаточно простая задача для тех, кто помнит, чему равен обьем шара. А он равен четыре третьх умножить на пи умножить на радиус в кубе. Далее нужно уметь просто выражать одну величину через другую. В итоге у нас радиус равен корень кубический из ( 3 умножить на обьем и это разделить на 4 пи.) Итак еще нужно вспомнить, что пи это 3,14 приблизительно. Если нужна большая точность, берут больше знаков после запятой в числе пи. Это имеет смысл при нахождении радиуса в больших сооружениях, в архитектуре. Обычно хватает точности два знака после запятой. Эта формула нужна при решении задач по стереометрии .
Vodila более года назад Зная, что обьем шара равен 43 пи умножить на радиус в квадрате совсем нетрудно выразить радиус. Очевидно, что он будет равен корень кубический из три четвертых обьема, деленного на пи. Вот собственно и вся формула. Такая задача иногда встречается в ЕГЭ по математике.
Hamster1337 2 года назад Для того, что бы найти радиус шара при наличии объёма, следует воспользоваться следующей формулой:
Где число «П» равно 3,14. Так же существуют другие формулы для поиска радиуса шара (из данной формулы можно вывести другую формулу).
Для того, чтобы отыскать радиус шара при том, что объем известен воспользуйтесь формулой, а именно, в качестве основной применима такая.
R является искомым значением, а также радиусом шара. V отображает значение, являющееся известным, объем. Пи является константа, у которой значение = 3,14. Так, когда делаются точные расчеты следует брать большее количество знаков, которые находятся после запятой. Знаете ответ? |
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус шара и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формулы вычисления радиуса шара
- 1. Через объем
- 2. Через площадь поверхности
- Примеры задач
Формулы вычисления радиуса шара
1. Через объем
Радиус шара вычисляется по формуле:
V – объем шара; равен трем четвертым произведения его радиуса в кубе и числа π.
π – число, приближенное значение которого равняется 3,14.
2. Через площадь поверхности
Радиус шара рассчитывается таким образом:
S – площадь поверхности шара; равна четырем его радиусам в квадрате, умноженным на число π.
S = 4πR2
Примеры задач
Задание 1
Объем шара составляет 904,32 см3. Найдите его радиус.
Решение:
Воспользовавшись первой формулой получаем:
Задание 2
Вычислите радиус шара, если площадь его поверхности равна 314 см2.
Решение:
В данном случае рассчитать радиус шара можно, применив 2-ю формулу (через площадь поверхности):
Советы
- Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
- В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
- π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра. 2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью. 3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом. 4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. 5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара. 6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара. 7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.
Видео
Одиннадцать свойств
В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:
- Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
- Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
- Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
- Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
- У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
- Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
- Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
- Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
- Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
- Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.
Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.
Определение основных величин
- 1
Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности. Диаметр (D) – это отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр (то есть это наибольшее расстояние между противоположными точками, лежащими на поверхности шара). Диаметр равен удвоенному радиусу. Длина окружности (С) представляет собой длину окружности большого круга, то есть круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара. Объем (V) – это значение трехмерного пространства, занимаемого шаром.[6] Площадь поверхности (А) – это значение двумерного (плоского) пространства, ограниченного поверхностью шара. Пи (π) – это постоянная, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Первыми десятью цифрами этой постоянной являются 3,141592653, но зачастую число Пи округляется до 3,14.
- 2
Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. D = 2г. Как и в случае круга , диаметр шара в два раза больше его радиуса. C = πD = 2πr. Как и в случае круга , длина окружности шара равна произведению π на диаметр шара. Так как диаметр вдвое больше радиуса, то длина окружности шара равна удвоенному произведению π на радиус шара. V = (4/3)πr3. Объем шара равен произведению 4/3 на π и на радиус в кубе.[7] А = 4πr2. Площадь поверхности шара равна учетверенному произведению π на радиус в квадрате. Так как площадь круга равна πr2, то площадь поверхности шара в четыре раза больше площади круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
Радиус шара
Единственной величиной, определяющей шар является радиус. Определяющая величина это величина, через которую можно найти все значения для фигуры. Через радиус шара можно найти площадь сечения шара, площадь поверхности шара и объем шара.
Приведем все формулы с участием шара:
- $V={4over{3}}{pi}R^{3}$ – формула объема шара
- $S=4{pi}R^2$ – площадь шара
И на этом все. На основании этих формул можно вывести формулы радиуса через площади или объем, а так же формулы секторов и сегментов шара.
Важным моментом является понимание происхождения числа пи. Ведь в расчетах повсеместно используется это значение, но пока никто не смог рассчитать его полностью. Счет идет уже на тысячи знаков, но точного значения числа до сих пор неизвестно. Как же вычисляют число пи? Это отношение длины окружности к ее диаметру. Причем интересно, что для любой окружности эта величина будет иметь одинаковое значение.
Теги
Радиус шара
Радиус
Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности, является радиусом шара, обозначается как r или R. В зависимости от исходных данных радиус шара можно вычислить:
— по диаметру. Как известно, радиус шара равен половине его диаметра:
г = D/2,
где г — радиус, D — диаметр шара.
— по длине окружности.
Длина окружности © равна произведению пи на диаметр (D), через радиус шара — удвоенному произведению пи на радиус ®:
C = πD = 2πr
Отсюда, радиус равен частному от деления длины окружности © на 2 пи:
r = С / 2π
π — величина постоянная, равна отношению длины окружности к диаметру. Число Пи, равное 3,141592653… обычно округляется до 3,14.
— по площади шара.
Площадь шара равна произведению четырех пи на квадрат радиуса:
S=4πr2,
где S — площадь шара, r — радиус.
Из этой формулы выводим форму радиуса:
r = √S / 4π,
т.е. радиус равен корню квадратному из площади шара деленной на четыре пи.
— по объему шара.
Объем шара равен произведению четырех третьих на число пи и на радиус шара в кубе:
V = 4/3 πr3,
где V — объем, r — радиус шара.
Отсюда, радиус шара равен корню кубическому из объема шара деленного на три четвертых Пи:
r = ∛(V / (¾π))
Рассчитать радиус шара через объем
Как найти радиус шара
2 методика:Вычисление радиуса по основным величинамВычисление радиуса по центру шара и точке на его поверхности
Радиус шара (r или R) – отрезок, соединяющий центр шара и любую точку на его поверхности. Значение радиуса используется для вычисления диаметра, длины окружности, площади поверхности и объема. Зная перечисленные величины, вы можете найти радиус шара.
Шаги
Метод 1 из 2: Вычисление радиуса по основным величинам
Определение основных величин
-
1
Радиус можно найти по известным значениям основных величин шара. К таким величинам относятся:- Диаметр (D) (отрезок, соединяющей две точки на поверхности шара и проходящий через центр шара).
- Длина окружности (C) (длина окружности большого круга – круга, образуемого секущей плоскостью, проходящей через центр шара).
- Объем (V) (значение трехмерного пространства, занимаемого шаром).
- Площадь поверхности (A) (значение двумерного пространства, ограниченного поверхностью шара).
- Число Пи (π) (математическая постоянная, равная отношению длины окружности к ее диаметру; это число применяется при вычислении всех основных величин и обычно округляется до 3,14).
-
2
Ниже приведены формулы для вычисления основных величин; каждая формула включает радиус. Запомните: обособив радиус на одной стороне формулы, вы сможете найти его по известным значениям основных величин.- D = 2r. Диаметр вдвое больше радиуса.
- С = πD = 2πr. Длина окружности равна произведению π на ее диаметр. Так как диаметр в два раза больше радиуса, то длина окружности равна произведению π на двойку и на радиус этой окружности.
- V = (4/3) πr3. Объем шара равен произведению 4/3 на радиус в кубе и на π.
- A = 4πr2. Площадь поверхности шара равна произведению квадрата его радиуса на π и на 4.
Вычисление радиуса по формулам
-
1
Если вам дан диаметр, разделите его пополам (на 2) и получите радиус. Так как D = 2r, то r =D/2.- Например, если диаметр шара равен 16 см, то радиус шара равен 16/2 = 8 см.
-
2
Если вам дана длина окружности, разделите ее на 2π и получите радиус. Так как C = 2πr, то r = C/2π.- Например, если длина окружности шара равна 20 м, то радиус шара: 20/2π = 3,183 м.
-
3
Если вам дан объем шара, то радиус шара вычисляется по формуле: r = ((V/π)(3/4))1/3. То есть объем делится на π, результат умножается на 3/4 и полученный результат возводится в степень 1/3 (или извлекается кубический корень).- Например, если объем шара равен 100 см3, то радиус шара вычисляется следующим образом:
- ((V/π)(3/4))1/3 = r
- ((100/π)(3/4))1/3 = r
- ((31,83)(3/4))1/3 = r
- (23,87)1/3 = r
- r = 2,88 см
- Например, если объем шара равен 100 см3, то радиус шара вычисляется следующим образом:
-
4
Если вам дана площадь поверхности шара, разделите ее на 4π и из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус. Так как А = 4πr2, то r = √(A/4π).- Например, площадь поверхности шара равна 1200 см2. Радиус шара вычисляется следующим образом:
- √ (A / (4π)) = г
- √ (1200 / (4π)) = г
- √ (300 / (π)) = г
- √ (95,49) = г
- r = 9,77 см
- Например, площадь поверхности шара равна 1200 см2. Радиус шара вычисляется следующим образом:
Метод 2 из 2: Вычисление радиуса по центру шара и точке на его поверхности
-
1
Найдите координаты (х, у, z) центральной точки шара. Это точка, равноудаленная от любой точки на поверхности шара. Зная координаты центра шара и любой точки на его поверхности вы можете найти расстояние между этими точками, которое и равно радиусу шара. Обратите внимание, что точки шара имеют трехмерные координаты (х, у, z).- Пример. Дан шар, центр которого имеет координаты (4, -1, 12).
-
2
Найдите координаты (х, у, z) любой точки на поверхности шара.- Пример. Точка на поверхности шара имеет координаты (3, 3, 0).
-
3
Радиус шара вычисляется по формуле d = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2), где d – расстояние между точками, (x1,y1,z1) – координаты центральной точки шара, (x2,y2,z2) – координаты точки на поверхности шара.- В нашем примере вместо (x1,y1,z1) подставьте (4, -1, 12), а вместо (x2,y2,z2) — (3, 3, 0).
- d = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2)
- d = √((3 — 4)2 + (3 — -1)2 + (0 — 12)2)
- d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2)
- d = √(1 + 16 + 144)
- d = √(161)
- d = 12,69. Это радиус шара.
- В нашем примере вместо (x1,y1,z1) подставьте (4, -1, 12), а вместо (x2,y2,z2) — (3, 3, 0).
-
4
В общих случаях r = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2). Каждая точка, лежащая на поверхности шара, равноудалена от его центра. Если мы возьмем формулу для вычисления расстояния между двумя точками и заменим в ней d на r, то мы получим формулу для вычисления радиуса шара.- Возведем в квадрат обе части формулы и получим r2 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2. Обратите внимание, что эта формула напоминает уравнение сферы r2 = x2 + y2 + z2 при условии, что центр сферы имеет координаты (0,0,0).
Советы
- Соблюдайте определенный порядок выполнения математических операций – начинайте с выражения в скобках, затем возводите в степень/извлекайте корень, затем умножайте/делите, а затем суммируйте/вычитайте.
- Если вы сталкиваетесь с объемными фигурами впервые, лучше начать их изучение не с вычисления радиуса, а с нахождения основных величин (см. выше в этой статье).
- π – это математическая константа, равная отношение длины окружности к ее диаметру. Это иррациональное число, которое не может быть записано в виде отношения действительных чисел. В большинстве случаев можно использовать приблизительное значение 3,14.