Как найти радиус темного кольца ньютона

Кольца
Ньютона — кольцеобразные интерференционные
максимумы и минимумы, появляющиеся
вокруг точки касания слегка изогнутой
выпуклой линзы и плоскопараллельной
пластины. Интерференция возникает в
воздушном зазоре между линзой и пластиной
(отраженный свет).

Они
наблюдаются при отражении света от
соприкасающихся друг с другом
плоскопараллельный толстой стеклянной
пла­стинки и плоско-выпуклой линзы с
большим радиусом кривизны (рис. 52). Роль
тонкой пленки, от поверхно­стей которой
отражаются когерентные волны, играет
воздушный зазор между пластинкой и
линзой (вслед­ствие большой толщины
пластинки и линзы за счет от­ражений
от других поверхностей интерференционные
полосы не возникают). При нормальном
падении света полосы равной толщины
имеют вид концентрических окружностей,
при наклонном падении — эллипсов.
Най­дем радиусы колец Ньютона,
получающихся при паде­нии света по
нормали к пластинке. В этом случае
cos i₂
~ 1 и оптическая разность хода
равна удвоенной толщине зазора [см.
формулу

;
предполагается, что в зазоре п = 1].
Как следует из рис. 52:

где
R — радиус кривизны
линзы, r — радиус
окружно­сти, всем точкам. которой
соответствует одинаковый за­зор b.
Ввиду малости b мы
пренебрегли величиной Ь²
по сравнению с 2Rb.

В
соответствии с (19.11) b
= r²/2R.
Чтобы учесть возникающее при отражении
от пластинки изменение фазы на

,
нужно при вычислении

к 2Ь = r²/R
приба­вить

/2.
В результате получится:

В
точках, для которых

возникнут
максимумы; в точках, для которых

,— минимумы интенсивности. Оба
усло­вия можно объединить в одно:

причем
четным значениям m
будут соответствовать мак­симумы,
а нечетным — минимумы интенсивности.

Подставив
сюда выражение (19.12) для

и разре­шив получающееся уравнение
относительно r, найдем
радиусы светлых и темных колец Ньютона:

(m
= 1, 2, 3…)

четным
m соответствуют
радиусы светлых колец, не­четным
m — радиусы
темных колец. Значению m
= 1 соответствует r = 0, т.
е. точка в месте касания пла­стинки и
линзы. В этой точке наблюдается минимум
ин­тенсивности, обусловленный
изменением фазы на

при отражении световой волны от
пластинки.

32. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Радиусы зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и непрозрачном диске.

Дифракцией
света называется явление отклонения
света от прямолинейного направления
распространения при прохождении вблизи
препятствий (более широком смысле —
любые отклонения при распространении
волн от законов геометрической оптики
).

Дифракционная
картина – система чередующихся
светлых и темных колец. Если препятствие
имеет линейный характер (щель, нить,
край экрана), то на экране возникает
система параллельных дифракционных
полос.

Френель
развил количественную теорию дифракционных
явлений . В основу теории Френель положил
принцип Гюйгенса, дополнив его идеей
об интерференции вторичных волн.

Р
исунок
ниже иллюстрирует принцип Гюйгенса–Френеля.

Пусть
поверхность S представляет собой
положение волнового фронта в некоторый
момент. Для того чтобы определить
колебания в некоторой точке P, вызванное
волной, по Френелю нужно сначала
определить колебания, вызываемые в этой
точке отдельными вторичными волнами,
приходящими в нее от всех элементов
поверхности S (ΔS₁, ΔS₂ и т. д.),
и затем сложить эти колебания с учетом
их амплитуд и фаз. При этом следует
учитывать только те элементы волновой
поверхности S, которые не загораживаются
каким-либо препятствием.

Рассмотрим
в качестве примера простую дифракционную
задачу о прохождении плоской
монохроматической волны от удаленного
источника через небольшое круглое
отверстие радиуса R в непрозрачном
экране :

Точка
наблюдения P находится на оси симметрии
на расстоянии L от экрана. В соответствии
с принципом Гюйгенса–Френеля следует
мысленно заселить волновую поверхность,
совпадающую с плоскостью отверстия,
вторичными источниками, волны от которых
достигают точки P. В результате
интерференции вторичных волн в точке
P возникает некоторое результирующее
колебание, квадрат амплитуды которого
(интенсивность) нужно определить при
заданных значениях длины волны λ,
амплитуды A₀ падающей волны и
геометрии задачи. Для облегчения расчета
Френель предложил разбить волновую
поверхность падающей волны в месте
расположения препятствия на кольцевые
зоны (зоны Френеля) по следующему
правилу: расстояние от границ соседних
зон до точки P должны отличается на
полдлины волны, то есть

Е
сли
смотреть на волновую поверхность из
точки P, то границы зон Френеля будут
представлять собой концентрические
окружности (рис. ниже).

3

Из
рис. Выше легко найти радиусы ρ_m
зон Френеля:

Так
в оптике λ << L, вторым членом
под корнем можно пренебречь. Количество
зон Френеля, укладывающихся на отверстии,
определяется его радиусом R:

Здесь
m – не обязательно целое число. Результат
интерференции вторичных волн в точке
P зависит от числа m открытых зон Френеля.
Легко показать, что все зоны имеют
одинаковую площадь:

33. Дифракция Фраунгофера на щели.
Распределение интенсивности света в
дифракционной картине. Условия максимумов
и минимумов интенсивности. Дифракционная
решетка. Дифракция Фраунгофера на
решетке. Условия максимумов и минимумов
интенсивности.

Дифракцией
называется совокупность явлений,
на­блюдаемых при распространении
света в среде с резкими неоднородностями
и связанных с отклонениями от за­конов
геометрической оптики. Дифракция, в
частности, приводит к огибанию световыми
волнами препятствий и проникновению
света в область геометрической
тени.Различают два случая дифракции.
Если источник света и точка наблюдения
Р расположены от препят­ствия
настолько далеко, что лучи, падающие на
препят­ствие, и лучи, идущие в точку
Р, образуют практически
параллельные пучки, говорят о дифракции
Фраунгофера или о д
ифракции
в параллельных лучах. В противном
случае говорят о дифракции Френеля.
Дифракцию Фраунгофера можно наблю­дать,
поместив за источником света S
и перед точкой наблюдения Р по линзе
так, чтобы точки S и Р
оказа­лись в фокальной плоскости
соответствующей линзы (см рис.).

Р
ассмотрим
экран с двумя щелями, на которые нормально
падает плоская монохроматическая волна.
Расчеты показывают, что интенсивность
света за экраном будет зависеть от угла 
 между направлением
распространения света и п
ерпендикуляром
к экрану :

где
I₀ —
интенсивность света в центре дифракционной
картины, когда открыта только одна щель,
b — ширина щели,
d — расстояние
между щелями, k=2
/ — волновое число,
 — длина волны света,
 — дополнительная
разность хода между интерферирующими
лучами (в случае наклонного падения
плоской волны на экран или когда одна
из щелей закрыта стеклянной пластинкой).
Первый сомножитель в квадратных скобках
описывает дифракцию Фраунгофера на
одной щели, а второй сомножитель —
интерференцию от двух точечных источников.
Общая энергия, проходящая через одну
щель, пропорциональна b,
а ширина дифракционной картины
пропорциональна 1/b.
Поэтому, интенсивность света I₀
в центре дифракционной картины будет
пропорциональна b².
Если мы рассмотрим дифракцию на двух
щелях, то в пределах первого дифракционного
максимума мы можем наблюдать N
интерференционных полос, где N=2d/b.

Приведённый
ниже рисунок показывает зависимость
интенсивности света от угла 
в случае д
ифракции
на одной щели (кривая красного цвета) и
в случае дифракции на двух щелях 
(кривая синего цвета). Из рисунка видно,
что в случае дифракции на двух щелях,
огибающая интенсивности интерференционных
полос повторяет кривую дифракции на
одной щели.

Говоря
о дифракции Фраунгофера, мы подразумеваем
случай, когда наблюдение дифракционной
картины производится на достаточно
большом расстоянии от экрана с щелями.
Количественный критерий дифракции
Фраунгофера описывается следующей
формулой:

z
>> d²/

где
z — расстояние
от экрана с щелями до точки наблюдения.
В непосредственной близости к щелям
дифракционная картина будет описываться
формулами.

Условия
max
и min
смотри в билете 31

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Кольца Ньютона

Кольца Ньютона — это кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые при отражении света от поверхностей зазора между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой линзой.

Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельный толстой стеклянной пла­стинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны. Роль тонкой пленки, от поверхно­стей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вслед­ствие большой толщины пластинки и линзы за счет от­ражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении — эллипсов.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете (рис. 1.1, а)

где — номер кольца;

— радиус кривизны линзы;

— длина волны света в вакууме.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете (рис. 1.1, а)

Радиус светлых колец Ньютона в проходящем свете (рис. 1.1, б)

Радиус темных колец Ньютона в проходящем свете (рис. 1.1, б)

Связь толщины воздушной прослойки с радиусом линзы и радиусом -го кольца Ньютона

Интерференция света от двух когерентных источников света (щели Юнга — рис. 1.2, зеркала и бипризмы Френеля):

• а) положения последовательных интерференционных максимумов:

• б) положения последовательных интерференционных минимумов:

• в) расстояние между соседними максимумами или минимумами:

где — координаты максимумов и минимумов интенсивности ;

— расстояние между источниками света;

— расстояние от источников света до экрана (рис. 1.3).

Если плосковыпуклую линзу малой кривизны положить выпуклой поверхностью на хорошо отполированную плоскую стеклянную пластинку, то между линзой и пластинкой образуется воздушная прослойка, утолщающаяся от точки соприкосновения к краям. Если на эту систему падает свет, то части одной и той же световой волны, отраженные от границ воздушной прослойки, будут интерферировать между собой. При этом наблюдается система концентрических радужных (немонохроматический свет) или чередующихся темных и светлых (монохроматический свет) колец. Кольца Ньютона являются классическим примером полос равной толщины. Они наблюдаются и в проходящем, и в отраженном свете, причем каждому темному кольцу в отраженном свете соответствует светлое кольцо в проходящем свете. В отраженном свете картина интерференции значительно контрастнее по сравнению с картиной интерференции в проходящем свете. Кольца Ньютона представляют собой частный случай интерференции в тонких пленках. Интерферирующие лучи приобретают разность хода в воздушном зазоре между плосковыпуклой линзой радиуса кривизны и плоскопараллельной пластинкой, на которую положена линза. Картина интерференции представляет собой ряд чередующихся светлых и темных колец при нормальном падении монохроматического света на линзу.

Задача 1.

Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус четвертого темного кольца, наблюдаемого в отраженном свете, равен 4 мм. Найдите длину волны падающего света в нм, если радиус кривизны линзы м.

Свет проходит через линзу, преломляется и в очень узком воздушном промежутке между линзой и подложкой интерферирует, почему и появляются кольца Ньютона. Воздушный клин, на котором происходит интерференция, в случае, когда радиус кривизны линзы велик, имеет очень малый угол. Поэтому с большой степенью точности можно считать, что клин составлен из отдельных кусочков плоскопараллельных пластинок, и для каждого такого кусочка, характеризуемого своей толщиной , применять формулу для разности хода интерферирующих лучей:

Определим по теореме Пифагора:

Пренебрежем величиной — она очень мала, и тогда

Чтобы соблюдалось условие минимума освещенности, должно выполняться

То есть

Подставим ранее полученное выражение:

Откуда

Ответ: , 500 нм.

Задача 2.

Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы  м. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Найти показатель преломления  жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете  мм.

Так как радиус светлого кольца в проходящем свете соответствует радиусу темного в отраженном, то можно записать, что

Однако один из лучей проходит через жидкость, в которой его длина волны становится меньше в раз, поэтому

Или

Ответ: .

Задача 3.

Выпуклая линза с большим радиусом кривизны лежит на плоскопараллельной стеклянной пластинке и освещается нормально падающим параллельным пучком монохроматического света с длиной волны . В воздушном зазоре между соприкасающимися поверхностями линзы и пластинки в отраженном свете наблюдаются кольца Ньютона. Найти радиусы темных колец.

Решение этой задачи аналогично первой.

Осталось подставить номер кольца.

Ответ: .

Задача 4.

Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус кривизны линзы 15 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона равно 9 мм. Найти длину волны монохроматического света.

Определим радиус светлого кольца в отраженном свете. Применим формулу для разности хода интерферирующих лучей:

Определим по теореме Пифагора:

Пренебрежем величиной — она очень мала, и тогда

Чтобы соблюдалось условие максимума освещенности, должно выполняться

То есть

Подставим ранее полученное выражение:

Откуда

Обобщая информацию, сведем все в таблицу:

Теперь решим задачу. Нам известно, что

Тогда

Или

Откуда и найдем длину волны света:

Ответ: нм.

Задача 5.

Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим параллельно главной оптической оси линзы. Радиусы двух соседних темных колец равны 4,0 мм и 4,38 мм. Радиус кривизны линзы 6,4 м. Найдите порядковые номера колец и длину волны падающего света.

Радиус темных колец определяется формулой

Тогда следующее кольцо имеет радиус

А отношение радиусов будет равно

Тогда

Откуда

Тогда порядковый номер второго кольца – 6. А длина волны

Ответ: порядковые номера колец — 5 и 6, длина волны нм.