В любой треугольник можно вписать окружность. Радиус такой окружности будет представлять собой квадратный корень из отношения разности полупериметра с каждой стороной к самому полупериметру.
Если упростить данную формулу для прямоугольного треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора, то мы получим следующее выражение:
Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то в формуле остаются только обозначения a и b, и ее вид упрощается из все того же первого радикала до следующей формы:
В случае с равносторонним треугольником все еще гораздо проще, и его формула может быть выведена не только из формулы для произвольного треугольника, но также и из свойств высоты-медианы-биссектрисы, которые совпадают и делят любую из сторон на две равные части:
Дополню коллекцию калькуляторов треугольников калькулятором, рассчитывающим параметры вписанной в треугольника окружности.
Собственно, ключевой вопрос — найти ее радиус.
Радиус ищется так:
где, S, например, можно рассчитать по формуле Герона (см. Расчет площади треугольника по формуле Герона), p — полупериметр.
Смотри также Треугольник. Описанная окружность.
Калькулятор рассчитывает радиус, площадь вписанной окружности, площадь треугольника и отношение площадей.
Треугольник. Вписанная окружность
Сторона а
Сторона b
Сторона с
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Радиус вписанной окружности
Площадь вписанной окружности
Площадь треугольника
Отношение площадей
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Содержание
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:
где полупериметр p вычисляется из формулы:
Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:
Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):
Ответ:
2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac{large beta}{large 2}. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:
Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:
Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (8) можно записать так:
Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):
Ответ:
3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:
Откуда:
Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
или
Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:
Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).
Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):
Ответ:
4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :
где
Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:
Откуда
Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
Подставим (15) в (16):
Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:
Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):
Ответ:
5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.
Из формулы (15) найдем b:
Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:
или
Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):
Ответ:
Смотрите также:
- Окружность, описанная около треугольника
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
- Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
Для ссылки на Формулы и расчеты используйте этот баннер |
<a
href=«http://www.fxyz.ru/»
title=«Формулы и расчеты»>
<img
src=«http://www.fxyz.ru/data/img/fxyz-88×31.png»
alt=«Формулы и расчеты» />
</a>
An inscribed circle is the largest possible circle that can be drawn on the inside of a plane figure such as triangle or any other polygon. In an inscribed circle, radius always meets a tangent at right angle. Here is the online mathematical Radius of Inscribed Circle Calculator to find the quadrilateral incircle radius using the given values of diagonals and perimeter. A quadrilateral with a circumscribing circle is also known as tangential quadrilateral.
Quadrilateral Incircle Radius
An inscribed circle is the largest possible circle that can be drawn on the inside of a plane figure such as triangle or any other polygon. In an inscribed circle, radius always meets a tangent at right angle. Here is the online mathematical Radius of Inscribed Circle Calculator to find the quadrilateral incircle radius using the given values of diagonals and perimeter. A quadrilateral with a circumscribing circle is also known as tangential quadrilateral.
Code to add this calci to your website
Formula:
R = √((d12d22) — (a — b)2(a + b — p)2) / (2p)
Where,
r = Radius of Inscribed Circle
d1,d2 = Diagonals
a,b = Sides of Quadrilateral
p = Perimeter
Example
The lengths of the sides of the quadrilateral are 9cm and 6cm. If the two diagonals measures about 15 cm and 12 cm with a perimeter of 12 cm, then
Radius of Inscribed circle = √((152 x 122) — (9 — 6)2(9 + 6 — 12)2) / (2 x 12)
= √(32400) — 81 / (24)
= 7.4906 cm