Как найти радиус вписанной сферы в конус - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус вписанного в конус шара (сферы), а также площадь его поверхности и объем.

Нахождение радиуса шара/сферы
Формулы площади и объема шара/сферы

Нахождение радиуса шара/сферы

В любой конус можно вписать шар (сферу). Другими словами, вокруг любого шара можно описать конус.

Чтобы найти радиус шара (сферы), вписанного в конус, чертим осевое сечение конуса. Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник (в нашем случае – ABC), в который вписана окружность радиусом r.

Радиус основания конуса (R) равняется половине основания данного треугольника (AC), а образующие (l) являются его боковыми сторонами (AB и BC).

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, в том числе, является радиусом шара, вписанного в конус. Он находится по формуле:

Формулы площади и объема шара/сферы

Зная радиус (r) можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) шара, ограниченного этой сферой:

Примечание: π округленно равняется 3,14.

Источник

Нахождение радиуса/площади/объема вписанного в конус шара (сферы)

Нахождение радиуса шара/сферы

В любой конус можно вписать шар (сферу). Другими словами, вокруг любого шара можно описать конус.

Радиус основания конуса (R) равняется половине основания данного треугольника (AC), а образующие ( l ) являются его боковыми сторонами (AB и BC).

Формулы площади и объема шара/сферы

Зная радиус (r) можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) шара, ограниченного этой сферой:

Примечание: π округленно равняется 3,14.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Шар, вписанный в конус

Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.

В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.

При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).

Для данного рисунка образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

Если ∠OBS=α, то ∠OBO1=α/2. Отсюда

Если сначала выразить радиус конуса через его высоту из прямоугольного треугольника SOB

то из треугольника OO1B выражаем радиус шара через высоту конуса:

Радиус и образующая конуса

Свойства

Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2

Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cos⁡β=r/l α=180°-2β

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)

Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3

Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r) R=l^2/2h

источники:

Шар, вписанный в конус

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/cone/radius_and_forming

Источник

Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

$[frac{{SB}}{{S{O_1}}} = frac{{OB}}{{O{O_1}}}, Rightarrow frac{l}{{H - R}} = frac{r}{R}]$

$[R = frac{{Hr}}{{I + r}}.]$

По теореме Пифагора

$[SB = sqrt {S{O^2} + O{B^2}} , Rightarrow l = sqrt {{H^2} + {r^2}} ]$

Отсюда

$[frac{{sqrt {{H^2} + {r^2}} }}{{H - R}} = frac{r}{R}.]$

Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

$[O{O_1} = OB cdot tgangle OB{O_1}]$

Если ∠OBS=α, то ∠OBO1=α/2. Отсюда

$[R = r cdot tgfrac{alpha }{2}.]$

Если сначала выразить радиус конуса через его высоту из прямоугольного треугольника SOB

то из треугольника OO1B выражаем радиус шара через высоту конуса:

$[r = H cdot ctgalpha cdot tgfrac{alpha }{2}.]$

Источник

Переведём нашу задачу по стереометрии в задачу по планиметрии.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник и в него вписана окружность. Обозначим его АВС, АС — основание, ВН — высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВНС, в нем гипотенуза ВС = 10 см (образующая конуса), катет НС = 8 см (радиус основания конуса). Второй катет ВН = 6 см (по теореме Пифагора).

Точка О — центр вписанной в треугольник окружности, точка пересечения биссектрис.

СН/ОН = ВС/ОВ = 10/8 (свойство биссектрисы треугольника)

Введём коэффициент пропорциональности х и получаем:

ОВ = 10 х, ОН = 8 х;

10 х + 8 х = 6

18 х = 6

х = 6/18 = 1/3

ОН = 1/3 * 8 = 8/3 = 2 2/3 (см) — радиус вписанной в треугольник окружности, радиус вписанной в конус сферы.

Ответ: 2 2/3 см.

Источник

2023-02-21

Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Решение:

Пусть $R$ — искомый радиус, $O$ — центр сферы (рис.1). Рассмотрим сечение конуса и вписанной в него сферы плоскостью, проходящей через высоту $PM$ конуса (рис.2). Получим равнобедренный треугольник $APB$ с основанием $AB=2r$ и высотой $PM=h$ и вписанную в него окружность радиуса $R$ с центром $O$. Точка $O$ лежит на биссектрисе прямоугольного треугольника $AMP$, причём $OM=R$. По свойству биссектрисы треугольника $frac{OM}{OP}=frac{AM}{AP}$, или

$frac{R}{h-R}=frac{r}{sqrt{h^{2}+r^{2}}}.$

Из полученного уравнения находим, что

$R=frac{hr}{r+sqrt{h^{2}+r^{2}}}.$

Источник