Как найти радиус вписанной в дельтоид окружности

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
	S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Радиус вписанной в дельтоид окружности

Дельтоид

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

На уроках геометрии в первой четверти 8 класса мы изучали различные четырехугольники, такие как параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция. Мы доказывали их свойства и признаки, с помощью которых потом решали различные задачи. Возник вопрос: все ли виды четырехугольников мы изучили? Пытаясь ответить на этот вопрос, в сети Интернет я наткнулась на еще один четырехугольник – дельтоид. Проведя анализ привычных школьных справочников, а также заглянув в знаменитый справочник Бронштейна, я не нашла никаких сведений о дельтоиде. Между тем эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире, например, крона дерева туя (рис.1), тело рыбы (рис.2), человеческий мозжечок (рис.3), соединенные человеческие руки (рис.4), воздушный змей (рис.5), лист дерева (ри.6), а также форма носа и глаза.

рис.1 рис.2 рис.3 рис. 4

Меня очень заинтересовал данный четырехугольник, и я решила глубже узнать, что это за дельтоид, сформулировать и доказать его свойства и признаки, решить различные задачи с ним, а потом представить свои разработки в виде сайта для своих одноклассников и всех тех, кто интересуется геометрией.

Цель: изучение четырехугольника дельтоид и создание сайта «Все о дельтоиде».

— познакомиться с литературой по данной теме;

— сформулировать различные определения дельтоида;

— сформулировать свойства и признаки дельтоида;

— составить и решить задачи с дельтоидом;

— составить тесты для проверки знаний о дельтоиде;

— создать электронный образовательный ресурс — сайт «Все о дельтоиде», содержащий теоретический и практический материал по данной теме.

Объект исследования: четырехугольник дельтоид.

Предмет исследования: определение, свойства и признаки дельтоида.

Методы исследования: работа с научной литературой, анализ и систематизация теоретического материала, решение задач.

Глава 1. Дельтоид – один из видов четырехугольников

1.1 Определение дельтоида

Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта ).

Изучив различную литературу по данной теме, я выделила два определения дельтоида (рис.7):

— Дельтоид — четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.

— Дельтоид – это четырехугольник, симметричный относительно одной из своих диагоналей. [4,5,6,8]

Из определения дельтоида следует, что ромб и квадрат также являются дельтоидами.

Главная диагональ дельтоида — это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида. Неглавной диагональю дельтоида называют вторую диагональ дельтоида.

Средняя линия дельтоида это – отрезок, соединяющий середины соседних сторон дельтоида.

Есть два вида дельтоидов: выпуклый (рис.7) и невыпуклый (рис.8).

Все углы выпуклого дельтоида меньше развёрнутого угла, а один из углов невыпуклого дельтоида больше развёрнутого угла.

1.2 Свойства дельтоида

Изучив литературу, по данной теме, мною были выделены следующие свойства дельтоида (табл.1).

Табл.1 Свойства дельтоида

1) Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину

2) Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу, одна из них делит другую на две равные части

3) Во всякий выпуклый дельтоид можно вписать окружность, и только одну

4) Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника

5) Главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов

6) Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника

7) Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида

Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей

9) Площадь дельтоида равна произведению двух его неравных сторон на синус угла между ними

Проведя сравнительный анализ со свойствами изученных четырехугольников, я выделила общие свойства дельтоида, ромба и квадрата:

— диагонали взаимно перпендикулярны;

— площадь равна половине произведения диагоналей;

— средние линии образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Также в любой выпуклый дельтоид, как и в квадрат, можно вписать окружность, и только одну.

Мною были определены и различия в свойствах дельтоида и других изученных четырехугольников. У дельтоида:

— только одна пара равных противолежащих углов (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – две);

— только одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);

— только главная диагональ делит на два равных треугольника (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);

— только главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов (у ромба – обе диагонали);

— только неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника (у квадрата и ромба – обе диагонали).

1.3 Признаки дельтоида

Можно выделить четыре признака дельтоида (табл.2).

Табл.2 Признаки дельтоида

1)Если у четырёхугольника только одна ось симметрии, проходящая через диагональ, то это дельтоид

2) Если четырёхугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид

3) Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны и только одна из них делит другую пополам, то это дельтоид

4) Если в четырёхугольнике только одна диагональ является биссектрисой противоположных углов, то это дельтоид

1.4 Задачи с дельтоидом

Изучив некоторые российские учебные пособия по математике [1], я не встретила системы задач про дельтоид. Однако мы встречались с этой геометрической фигурой на уроках геометрии еще в 7 классе (УМК по ред. А.Г.Мерзляка [2,3]), когда решали задачи на применение признаков равенства треугольников (№161 (рис.9), №176 (рис.10)) и задачи по теме «Касательная к окружности» (№523 (рис.11)).

рис.9 рис.10 рис.11

Изучив признаки и свойства дельтоида, я попыталась составить достаточное количество разнообразных и интересных задач с дельтоидом вычислительного характера. Примеры таких задач приведены ниже, для некоторых из них рассмотрено решение. [7]

Одна из диагоналей дельтоида равна 16 см, а его площадь – 120 см 2 . Чему равна длина второй диагонали дельтоида?

120 = ·16· d ₂; 120 = 8· d ₂; d ₂ = 120 : 8; d ₂ = 15 см

Найти стороны дельтоида, если его периметр

равен 116 см, а разность боковых сторон равна

Ответ: АВ=30,5 см; ВС=30,5 см; CD =27,5 см; AD =27,5 см

На сторонах АВ и ВС прямоугольника АВС D взяты точки К и О соответственно так, что КВ = ВО, а на стороне А D взята точка Е так, что КЕ = ОЕ. Найти АВЕ.

1)В = 90°, так как АВС D — прямоугольник.

2)Рассмотрим четырёхугольник КВОЕ.

КВ=ОВ (по условию); КЕ=ОЕ (по условию).

Значит, КВОЕ – дельтоид по определению.

3)ВЕ – главная диагональ дельтоида, следовательно, она является биссектрисой противолежащих углов дельтоида, т.е. АВЕ= В. Значит, АВЕ= · 90° = 45°.

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки F , D и E такие, что ЕС : АЕ = 2 : 1, F Е = D Е, А F = 2 см, D С = 5 см, F В = В D . Найдите F В.

1) Так как FE = DE , FB = BD по условию, то BDEF – дельтоид по определению.

2) BE – главная диагональ дельтоида, а, значит, и биссектриса B (по свойству дельтоида).

По свойству биссектрисы или .

Пусть FB = BD =х, тогда

Равные стороны АВ и ВС дельтоида АВС D перпендикулярны и равны

2 см, К – точка пересечения диагоналей АС и В D , АК = КС. Из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне С D , СЕ = 1 см. Найдите Е D .

∆ ABC – равнобедренный прямоугольный

треугольник, т.к. AB = BC и АВ ВС. По теореме Пифагора + = ,

2) Т.К. АК = КС по условию, то АК = КС = 2 см. рис.15

3) AC BD по свойству дельтоида, значит, ∆ KCD – прямоугольный.

КС² = CE ∙ CD (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике)

1.5 Тесты по теме «Дельтоид»

Рассмотрев свойства и признаки дельтоида, изучив возможность их применения для решения задач, я составила тесты для проверки знаний по теме «Дельтоид».

Обобщающий тест «Всё о дельтоиде»

Форму какого из четырехугольников имеет мозжечок человека:

Выберите верное утверждение:

Дельтоид – это четырехугольник, у которого стороны попарно равны

Дельтоид – это четырехугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон

Дельтоид – это четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны

Дельтоид – это четырехугольник, у которого две стороны равны

Выберите неверное утверждение:

Главная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида

Дельтоид – это четырехугольник, в котором две пары соседних сторон равны

Неглавная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины равных углов дельтоида

Средняя линия дельтоида – это отрезок, соединяющий стороны дельтоида

Какой четырехугольник может быть невыпуклым:

Выберите верное утверждение:

Если в четырехугольнике две стороны равны, то это дельтоид

Если четырехугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид

Если в четырехугольнике диагонали является биссектрисами противолежащих углов, то это дельтоид

Если в четырехугольнике есть пара равных соседних сторон, то это дельтоид

Выберите неверное утверждение:

Все углы дельтоида равны

Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину

Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника

Выберите верное утверждение:

Около всякого выпуклого дельтоида можно описать окружность

Все стороны дельтоида равны

Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника

В выпуклом дельтоиде один из углов больше развёрнутого

У какого четырехугольника только одна диагональ является биссектрисой противолежащих углов:

В дельтоиде смежные стороны относятся как 3 : 5. Найдите большую сторону дельтоида, если его периметр равен 48 см.

Одна из диагоналей дельтоида равна 18 см, а его площадь – 234 см 2 . Чему равна длина второй диагонали дельтоида?

Какого из перечисленных элементов нет у дельтоида?

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

АВС D – дельтоид. Треугольник АВС равносторонний, и его периметр равен 30 см. Треугольник АС D – равнобедренный, и его периметр равен 46 см. Найдите периметр дельтоида АВС D .

1.6 Создание электронного образовательного ресурса – сайт «Все о дельтоиде»

Проделав работу по формулированию и доказательству свойств и признаков дельтоида, составлению и решению задач на вычисление различных величин в дельтоиде, созданию тестов по теме «Дельтоид», весь разработанный материал я оформила в виде сайта «Все о дельтоиде», размещенного по адресу https://sites.google.com/view/deltoid-na5 .

Данный сайт можно использовать для объяснения материала о дельтоиде на уроках геометрии и во внеурочной деятельности, для самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе решения интерактивных тестов.

Данный сайт состоит из шести разделов:

1 раздел — Главная страница (рис. 16) — содержит общую информацию о создателе сайта, а также рассмотрены примеры дельтоидов из окружающей обстановки.

2 раздел — «Что такое дельтоид» (рис.17), в котором приведены различные определения дельтоида, рассмотрены его элементы.

3 и 4 разделы — «Свойства дельтоида» и «Признаки дельтоида» (рис.18. рис.19). В этих разделах сформулированы характерные для дельтоида свойства и признаки.

5 раздел – «Задачи и дельтоидом» (рис.20). На этой странице приведены решения некоторых задач на вычисление различных элементов дельтоида, а также предложены задачи для самостоятельного решения.

6 раздел – «Тесты по теме «Дельтоид» (рис.21, рис.22). В этом разделе можно проверить свои знания по данной теме с помощью предложенных интерактивных тестов.

На одном из уроков геометрии я предложила своим одноклассникам познакомиться с дельтоидом, изучив материал на сайте «Все о дельтоиде» (рис.23, рис.24, рис. 25).

рис.23 рис.24 рис.25

Мне было очень интересно узнать мнение ребят о моем электронном образовательном ресурсе – сайте «Все о дельтоиде». Вот некоторые из высказываний.

Таня Т.: «Очень интересно было узнать об еще одном четырехугольнике – дельтоиде».

Оля П.: «Информация изложена доступно и понятно. Понравилось самостоятельно решать задачи с дельтоидом».

Антон Р.: «Оказывается, что дельтоид окружает нас повсюду».

Настя К.: «Изучив определение, свойства и признаки дельтоида и решив задачи для самостоятельной работы, я практически без ошибок прошла интерактивное тестирование».

В данной работе изучена неизвестная в школьном курсе математики геометрическая фигура – дельтоид, которая, однако, встречается очень часто в нашей жизни. Была проделана работа по формулированию свойств и признаков этого четырехугольника, составлено достаточное количество разнообразных задач на вычисление различных элементов дельтоида, также были разработаны тесты для оценки знаний по данной теме. Весь накопленный материал я оформила в виде электронного образовательного ресурса – сайта «Все о дельтоиде», который был предложен моим одноклассникам на одном из уроков геометрии и получил положительные отзывы.

Таким образом, цели, стоящей перед нами, мы достигли – изучен четырехугольник дельтоид. Я бы порекомендовала использовать созданный электронный продукт на урочной и внеурочной деятельности для объяснения материала по данной теме, самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе выполнения интерактивных тестов.

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2013.-328с.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2017

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2018

Перельман Я.И. Занимательная алгебра, геометрия. М.: Книга, 2005

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо, 2008.-304с.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-400с.

Шноль Д, Сгибнев А, Нетрусова Н. Система открытых задач по геометрии: 8 класс – М.: Чистые пруды, 2009. – 32 с.: ил. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 29).

Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. -М.:Педагогика,1989.-352с.

http :// math 4 school . ru / chetyrehugolniki . html

Дельтоид.

Дельтоид — четырехугольник, который содержит 2 пары смежных сторон, имеющих одинаковую длину.

Дельтоид бывает выпуклым или невыпуклым:

На рисунке слева изображен выпуклый дельтоид, справа — невыпуклый.

Свойства дельтоида.

1. Углы меж сторонами разной длины имеют равную величину.

2. Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу.

3. Во всякий выпуклый дельтоид вписывается окружность, а также, если дельтоид имеет вид ромба, то есть еще одна окружность, которая касаюется продолжений всех 4-х сторон. Для невыпуклого дельтоида может быть построена окружность, которая касается 2-х бОльших сторон и продолжений 2-х меньших сторон и окружность, которая касается 2-х меньших сторон и продолжений 2-х бОльших сторон.

4. Одна диагональ точкой пересечения делится на две равные части.

5. Одна диагональ оказывается биссектрисой углов.

6. Одна диагональ разделяет дельтоид на 2 равнобедренных треугольника.

7. Одна диагональ разделяет дельтоид на 2 равных треугольника.

8. Прямые, которые содержат диагонали всех дельтоидов, пересекаются под углом, равным 90 градусам.

Во всякий выпуклый дельтоид вписывается окружность.

Если выпуклый дельтоид не оказывается ромбом, значит, есть окружность, которая касается продолжений каждой их 4-х сторон нашего дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида строится окружность, которая касается 2-х сторон большей длины и продолжений 2-х меньших сторон, а также окружность, которая касается 2-х меньших сторон и продолжений 2-х сторон большей длины.

Около дельтоида описывается окружность только в том случае, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90 градусов.

Радиус окружности, которая описана вокруг дельтоида можно вычислить через 2 его разные стороны:

Площадь дельтоида.

Площадь всякого дельтоида определяют:

• через диагонали дельтоида:

• через 2 соседние разные стороны и угол между ними:

где a и b длины разных сторон, а α угол между ними.

Частные случаи.

1. Когда угол меж разных сторон дельтоида равен 90 градусам, значит, около него можно описать окружность (вписанный дельтоид).

2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.

3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является квадратом. Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Малодубенская средняя общеобразовательная школа №7

Итоговый проект по геометрии

Тема: «Неизвестный дельтоид»

Обучающейся 9 класса

Романовой Ирины Александровны

Руководитель проекта:

учитель математики

Романова Людмила Геннадьевна

г.о. Орехово-Зуево

2019 г.

Оглавление

Введение 3

Определение. 4

Свойства. 4

Первое свойство. 4

Второе свойство. 4

Третье свойство. 5

Четвертое свойство. 5

Пятое свойство. 5

Признаки. 6

Первый признак. 6

Второй признак. 6

Площадь дельтоида. 7

Первая формула. 7

Вторая формула. 7

Третья формула. 8

Четвертая формула. 8

Окружность, вписанная в дельтоид. 9

Окружность, описанная около дельтоида. 9

Теорема 1. 9

Теорема 2. 10

Теорема 3. 10

Примеры решения задач. 11

Задача 1. 11

Задача 2. 11

Задача 3. 12

Задача 4. 12

Заключение. 13

Список используемой литературы. 14

Введение

Существуют различные виды классификаций четырехугольников, например, по параллельности сторон выделяют параллелограмм, у которого попарно параллельны все стороны, и трапецию — параллельны две стороны, по равенству сторон выделяют ромб и квадрат, по равенству всех углов – квадрат и прямоугольник и т.д., эти фигуры изучаются в школьной программе.

Изучая литературу, решая геометрические задачи, я обратила внимание на то, что четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, но не является ромбом, обладает рядом интересных свойств. Этот четырехугольник – дельтоид.

В своем классе я провела опрос по определению геометрических фигур: трапеция, параллелограмм, ромб и дельтоид. Участие приняли 25 человек. Результаты опроса отображены на диаграмме.

Поэтому целью моего проекта является: изучить дельтоид и рассмотреть применение его в окружающем мире.

Для выполнение этой цели были поставлены следующие задачи:

• Дать определение дельтоида.

• Изучить свойства и признаки дельтоида.

• Рассмотреть задачи, которые решаются с дельтоидом.

• Найти практическое применение.

Определение.

Дельтоид – четырехугольник, обладающий двумя парами смежных сторон одинаковой длины, диагонали пересекаются под прямым углом. Дельтоид иначе называют ромбоидом. Название дельтоид происходит от названия греческой буквы (дельта).

Выпуклый дельтоид

Невыпуклый дельтоид

Свойства.

Первое свойство.

У дельтоида одна пара противолежащих углов равна. (Углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали равны.)

Дано: ABCD – дельтоид Доказать: /BAD = /BCD Решение: ∆ABC –равнобедренный, AC — основание, Значит /BAC = /BCA ∆ADC –равнобедренный, AC — основание, Значит /CAD = /ACD /BAD = /BAC + /DAC /BCD = /BCA + /DCA Значит /BAD = /BCD

Второе свойство.

Большая диагональ является биссектрисой.

Дано: ABCD – дельтоид Доказать: BD – биссектриса Док-во: 1) ∆BAD = ∆BCD (по 1 призн), т.к. AB = CB, AD = CD, /BAD = /BCD 2) /ABD = /CBD /ADB = /CDB 3) BD – биссектриса.

Третье свойство.

Диагонали дельтоида пересекаются, и точкой пересечения меньшая диагональ делится пополам.

Дано: ABCD – дельтоид Доказать: AO=CO Док-во: 1) т.к. ∆BAD = ∆BCD (аналогично в 1 свойству) 2) AO – высота ∆BAD, CO – высота ∆BCD (диагонали BD┴AC) 3) высоты равных треугольников тоже равны AO=CO

Четвертое свойство.

Осью симметрии дельтоида является большая диагональ.

Дано: ABCD – дельтоид Доказать: BD – ось симметрии Док-во: 1) рассмотрим симметрию относительно BD. 2) точка D перейдет в саму себя. 3) точка A перейдет в точку C, т.к. AO = OC и BD|AC 4) точка B перейдет в саму себя 5) точка C перейдет в точку A, т.к. AO = OC и BD|AC 6) ∆BAD перейдет в ∆BCD 7) BADC — BCDA

Пятое свойство.

Параллелограммом Вариньона, построенный в серединах сторон дельтоида, является прямоугольник.

Дано: ABCD – дельтоид Найти: определить вид четырехугольника KLMN Решение: 1) рассмотрим ∆BAD, KN — средняя линия, KN||BD, KN=12BD. 2) рассмотрим ∆BCD, LM — средняя линия, LM||BD, LM=12BD. 3) KN||LM, KN=LM. 4) так как BD|AC, то KN|NL, LM|KM. 5) KLMN- прямоугольник

Признаки. Первый признак.

Теорема 1. Если одна из диагоналей четырехугольника является биссектрисой одного из его углов и делит периметр четырехугольника пополам, то четырехугольник есть дельтоид.

Дано: ABCD — четырехугольник BD — биссектриса /ABD PBCD=PBAD Доказать: ABCD — дельтоид

Доказательство: (от противного)

1. Предположим, что A и C – не симметричны, относительно BD.

2. Построим C₁, симметричную точке C (C_{1 =} A).

3. Так как периметры равны, т.е. P_BCD=P_BAC=P_BC1D, то приходим к противоречию. Значит A-C₁

4. ABCD – дельтоид.

Второй признак.

Теорема 2. Если у четырехугольна, вписанного в окружность, ось симметрии совпадает с диагональю, то он является дельтоидом.

Дано: ABCD — четырехугольник Окружность (O, R) – описанная BD – диагональ = ось симметрии Доказать: ABCD — дельтоид

Доказательство:

1. Т.к. BD — ось симметрии, то A-C, значит AC-BD

2. ∆ABE = ∆CBE (по 1 признаку: AE=CE, BE – общая, /BEA=/BEC=90), значит AB=BC

3. ∆AED = ∆CED (по 1 признаку: AE=CE, DE – общая, /AED=/CED=90), значит AD=CD

4. ABCD – дельтоид

Площадь дельтоида. Первая формула.

S= 1/2d₁d₂

BD=d1, AC=d2. S=SABO+SCBO+SADO+SCDO SABO= 1/2AO*BO SCBO= 1/2BO*CO SADO= 1/2AO*DO SCDO= 1/2CO*DO S= 1/2AO*BO + 1/2BO*CO + 1/2AO*DO + 1/2CO*DO= =1/2BO(AO+CO)+1/2BO*AC+1/2DO*AC= =1/2AC(BO+DO)= 1/2AC*BD=1/2d1*d2

Вторая формула.

Известным индийским математиком Брахмагуптой (около 598 года н.э.) было установлена формула площади вписанного в окружность четырехугольника, а именно:

S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), где p=(a+b+c+d)/2 – полупериметр четырехугольника. Эта формула является обобщенным случаем известной формулы площади треугольника.

Применим данную формулу для вписанного в окружность дельтоида. Так как a=b и c=d получаем, что S=(p-a)(p-b). Докажем это.

S=(p-a)(p-b) или S=ab, т.к. P=(2a+2b)/2=a+b.

1) По теореме косинусов AC2= a2+ a2-2a2 *cos /B= = b2+ b2-2b2 *cos /D. AC2= 2a2+ 2a2-2a2 *cos /B= 2b2+ 2b2-2b2 *cos /D. 2) Т.к. ABCD – вписанный четырехугольник, то /D=1800—/B, поэтому cos /D= -cos /B, sin /D=sin /B, следовательно, 2a2-2a2 *cos /B= 2b2-2b2 *cos /D. 2(a2-b2) = 2cos /B(a2+b2) a2-b2 = (a2+b2) cos /B (1) Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников, на который он разбивается своей диагональю, то есть S = 1/2*a2*sin /B+1/2*b2*sin /D = ½ (a2 + b2) sin /B или 2S = (a2 + b2) sin /B (2) Возведем неравенства (1) и (2) в квадрат и сложим их, учитывая, что cos2 /B + sin2 /B = 1, получим 4S2 + (a2 — b2)2 = (a2 + b2)2 4S2 = (a2 + b2)2 — (a2 — b2)2 4S2 = (a2 + b2 — a2 + b2) (a2 + b2 + a2 — b2) 4S2 = 2a2 * 2b2 S2 = a2 * b2 S = ab Это доказательство проводилось по рассуждениям древнего математика Брахмагупты, эту же формулу можно вывести короче:

Т.к. дельтоид вписан в окружность, то большая диагональ является диаметром, значит она разбивает четырехугольник на два равных прямоугольных треугольника (вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90^⸰). Площадь прямоугольного треугольника равна S=12ab, значит площадь дельтоида равна S=ab.

Третья формула.

Площадь вписанного дельтоида можно найти другим способом. Докажем теорему: если дельтоид со сторонами a, b, вписан в окружность радиуса R, то его площадь равна

Доказательство:

Пусть диагонали дельтоида равны x и y.

S_ABCD = S_ABC + S_ACD или S_ABCD = S_BCD + S_ABD.

Воспользовавшись формулой S= abc/4R, где a,b,c, — стороны треугольника, а R- радиус описанной окружности, получаем:

S_ABCD = abx/2R (1) или S_ABCD = a²y/4R+ b²y/4R (2)

Перемножив неравенства (1) и (2), получаем:

S_ABCD = abx/2R*(a²y/4R+ b²y/4R) = 1/8R²* ab(a²+b²) * xy = 1/8R²* 2a²b²(a² + b²) = 1/4R²* a²b²(a² + b²) (так как по теореме Птолемея xy = ac+bd, то есть xy = 2ab), значит S = .

Четвертая формула.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади дельтоида.

Докажем, что SKLMN=12SABCD SABCD=12d1*d2 SKLMN= KL*LM=12d1*12d2= 12 SABCD, так как KL – средняя линия треугольника ABC и LM – средняя линия треугольника BCD.

Окружность, вписанная в дельтоид.

Докажем, что в дельтоид можно вписать окружность.

Доказательство:

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противолежащих сторон равны. Действительно, т.к. AB=BC и CD=AD, то AB+CD=BC+AD.

Окружность, описанная около дельтоида.

Теорема 1.

В дельтоиде ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, перпендикулярная к одной из сторон. Доказать, что если эта прямая делит другую сторону пополам, то дельтоид можно вписать в окружность.

Доказательство: Пусто прямая NM пересекает сторонe BC под прямым углом, а сторону AD делит пополам. Тогда /EMB=/MEC=/NAE, а это значит, что утверждение доказано. ABC/2x+2y=180 /ABC+/ADC=/BAD+/BCD= 2x+2y=180⸰

Утверждение: если четырехугольник является вписанным, то центр описанной около него окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника.

В самом деле, серединный перпендикуляр к отрезку содержит все точки, равно удаленные от концов этого отрезка, следовательно, точка пересечения серединных перпендикуляров вписанного в окружность четырехугольника, равно удалена от вершин этого четырехугольника, т.е. от некоторых точек окружности.

По определению центра окружности, из этого следует, что данная точка – центр описанной около этого четырехугольника окружности.

Теорема 2.

Вписанный дельтоид является примером гармонического четырехугольника (вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, произведение длин противоположенных сторон которого равны)

Вписанный в окружность четырехугольник обладает рядом интереснейших свойств. Одно из них было доказано древнегреческим математиком и астрономом Клавдием Птолемеем (около 100 – 178 г. н. э.) в его знаменитом сочинении «Альмагест» (астрономы в странах арабского Востока называли эту книгу «Альмаджисти» — «Величайшие», отсюда и происходит её название «Альмагест»).

Теорема, носящая имя Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Т.к. у дельтоида две пары равных соседних сторон, то утверждение выглядит так: d1*d2=2a*b Докажем это:

Возьмём на диагонали AC точку E так, что /ABE = /DBC. Тогда ∆ABE и ∆DBC подобны, т.к. /BAE = /BAC= /BDC. Поэтому , т.е. AB*DC = AE*DB. (1) Ясно также, что /CBE = /DBA (т.к. /CBE = /DBC + /DBE (по условию)), а значит, ∆CBE и ∆DBA подобны, т.к. /BCE = /BDA (опираются на одну дугу), поэтому , то есть CB*DA = CE*DB (2). Сложив полученные неравенства (1) и (2), получим: AB*DC + CB*DA = AE*DB + CE*DB = DB*(AE + CE) = BD*AC,

то есть d₁*d₂ = 2a*b

Теорема доказана.

Теорема 3.

Сумма квадратов неравных сторон равна учетверённому квадрату радиуса описанной окружности.

Докажем его.

Рассмотрим вписанный в окружность четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны. В нём AB=a, BC=b, CD=c, AD=a, а радиус описанной окружности равен R. Докажем, что . Обозначим BD как d1, AC как d2, /ABD как /1, /BAC как /2, /CAD как /3, /ADB как /4, тогда /BCA=/4 ( т.к. опирается с /ADB на одну дугу), аналогично /BCA=/4, /CBD=/3, /BDC=/2, /ACD=/1. По теореме синусов получаем: a = 2R*sin /2, b = 2R*sin /1 (так как /2 = 90⸰ — /1), из этого a2 + b2 = 4R2 sin /1 + 4R2 cos /1 = 4R2, следовательно, a2 + b2 = 4R2 Свойство доказано.

Примеры решения задач.

Выше мы рассмотрели общие свойства дельтоида. Также свойства некоторых особых видов таких четырехугольников.

Теперь решим несколько задач, в которых встречается данный четырехугольник.

Задача 1.

В дельтоиде средние линии пересекаются на оси симметрии дельтоида.

Доказательство: Пусть K, L, M, N – середины сторон дельтоида. Поскольку KLMN – прямоугольник, то его диагонали пересекаются на оси симметрии BD.

Задача 2.

В дельтоид вписана окружность, которая касается равных сторон в точках M и N, P и Q. Определить вид четырехугольника MNPQ.

Решение: Пусть ABCD — данный четырехугольник. Поскольку BM=BN, то MN||AC. Аналогично QP||AC. Поскольку QM=NP, то четырехугольник – равнобедренная трапеция.

Задача 3.

Построить дельтоид ABCD по сторонам a, b и углу между равными сторонами y.

План построения: Построить произвольную прямую. Взять на ней точку D. Отложить от точки в данную полуплоскость угол y. Разделить угол пополам (т.к. у дельтоида диагональ является биссектрисой). Провести Окр (D, a), которая пересечет стороны угла в точках A и C. Провести Окр (A, b), которая пересечет биссектрису угла y в точке B. ABCD — данный четырехугольник.

Задача 4.

Найдите площадь дельтоида ABCD, у которого AB=a, AD=b, AC=d.

Решение: Т.к. диагональ AC делится точкой пересечения диагоналей пополам, то AO=1/2d Из треугольника AOB:BO= Из треугольника AOD:DO= BD= Т.к. S=12d1*d2 получаем S=12d1*( )

Заключение.

В данной работе было рассмотрено что такое дельтоид, какими свойствами должен обладать четырехугольник, чтобы его можно было назвать дельтоидом. В заключении работы было разобрано несколько задач.

Но это далеко не всё, что может быть изучено по теме «Дельтоид».

Если посмотреть на карту неба, то мы можем обнаружить знакомую нам фигуру. Четыре самые яркие образуют ромбоид – характерную геометрическую фигуру созвездия Весы. В окружающем мире дельтоид встречается в конструировании воздушных змеев и летательных аппаратов, плавательных судов, а также в области биологии: крона дерева туя, лист березы, тело рыбы, форма носа, соединенные пальцы человека и др.

В качестве направлений для дальнейших исследований проект предполагает рассмотреть свойства аналогичных фигур и в стереометрии.

Расширить представленную в проекте тему можно изучением применения свойств дельтоида в оригами (Оригами – наглядная модель евклидовой геометрии)

Список используемой литературы.

1. Журнал «Квант» №2, 1992 г. http://kvant.mccme.ru/1992/02/p37.htm

2. Журнал «Квант» №10, 1991 г. http://kvant.mccme.ru/1991/10/p48.htm

3. И.Л. Никольская «Факультативны курс математике 7-9».

4. В.В. Прасолов «Задачи по планиметрии».

5. И.Ф. Шарыгин «Геометрия (планиметрия) 7-9».

6. В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович «Практикум по элементарной математике (геометрия)».

7. Картинка дельтоид https://yandex.ru/images/search

Дельтоид

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Цели и задачи проекта. Его актуальность.

Познакомить и показать подходы к изучению свойств и признаков дельтоида.

Ознакомление с понятием «Мозаика Пенроуза», её практическое и историческое значение.

Демонстрация дельтоидов в окружающем нас мире, а именно — в военной технике, где часто используется данная фигура.

Так же, я поставил несколько задач: дать понятие дельтоида; определение выпуклого дельтоида; обоснование признаков выпуклого дельтоида; привести доказательство свойств выпуклого дельтоида; вывод формул площади выпуклого дельтоида.

Придумать достаточное количество интересных и разноуровневых задач на дельтоид. Это оказались задачи на построение дельтоида, задачи исследовательского характера.

Актуальность темы. Расширение кругозора, использование работы в дальнейших исследованиях по математике, применении задач на контрольных. Целью данной исследовательской работы «Дельтоид» было показать широкие возможности творческой деятельности, которые открываются при изучении этой фигуры.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение:

а) Мозаика Пенроуза.

б) Использование дельтоидов в жизни и военной технике.

2. Основная часть:

а) Определение дельтоида;

б) Свойства дельтоида;

в) Признаки дельтоида;

г) Формулы для нахождения Р дельтоидов;

д) Задачи по теме «Дельтоид»

3.Заключение.

4. Список используемой литературы.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время все больше возрастает актуальность исследований таких фигур, как дельтоид и дельтоидные многогранники.

Интересно, что очень часто такие фигуры используются для орнаментального мощения. Так называемая, мозаика Пенроуза. Что это такое? Это заполнение плоскости дельтоидами без зазоров и перекрываний. Принципы Пенроуза используются в архитектуре с древнейших времен.

Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), очень напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.

Если раньше эти фигуры рассматривали только в архитектуре и дизайне декоративной мозаики, то сейчас они особенно важны при разработке современных летательных аппаратов и плавательных судов.

Давайте присмотримся к геометрии летательных аппаратов, производимых по технологии «Стелс». Мы увидим, что при проектировании «летающего крыла» в моделях «NorthropB-2 Spirit», «Vulcan», «Niqhthawk» используется геометрическая форма — невыпуклый дельтоид. А при производстве беспилотников – Х-47А, RQ-170 – выпуклый дельтоид. Если рассматривать форму кораблей — «Стелс», то обнаружим сложную объемную конфигурацию дельтоидальных многогранников.

«Niqhthawk» — первый современный серийный самолёт со схемой «летающее крыло», первый самолёт, на котором удалось значительно снизить радиолокационную и инфракрасную заметность.

«Вулкан» — стратегический бомбардировщик с дельтовидным крылом, у которого была снижена радиолокационная заметность при наблюдении с определённых ракурсов за счет упрощения внешних форм.

«NorthropB-2 Spirit», серия проектов дальнего тяжелого бомбардировщика, имели сниженную радиолокационную заметность благодаря аэродинамической схеме «летающее крыло». Конфигурация невыпуклых дельтоидов.

Беспилотник Х-47А (выпуклый дельтоид)

RQ-170 — ударный БПЛА (невыпуклый дельтоид)

Корветы типа «Висбю» Швеция, Си Шэдоу – судно, опытный образец

Так что же такое дельтоид (определение).

Дельтоид — четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон.

Главная диагональ дельтоида  — это линия соединяющая вершины не равных углов дельтоида.

Не главная диагональ дельтоида — назовем вторую диагональ дельтоида.

Средняя линия дельтоида  — это прямая, соединяющая середину смежных сторон дельтоида.

Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым. (Рис.№ 1)

Рис.№ 1

Свойства дельтоидов.

Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали, равны.

Диагонали взаимно перпендикулярны.

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует еще одна окружность, касающаяся продолжений всех четырех сторон. (Рис.№ 2)

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон. (Рис.3)

Рис.№ 2

Рис.№ 3

Не главная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю делится пополам.

Главная диагональ является биссектрисой углов.

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника. Другая диагональ – делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он не выпуклый.

Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, Р которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Площадь всякого дельтоида определяют:

а) через диагонали , где d1 и d2 — диагонали ;

б) через 2 соседние разные стороны и угол между ними:

где a и b  — длины разных сторон, а α —  угол между ними.

Первый признак дельтоида:

Если в четырёхугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то такой четырёхугольник — дельтоид.

Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 4) Где AC – биссектриса

(Рис.№ 4)

(∠ BAC = ∠ DAC, ∠ BCA = ∠ DCA), AC_┴ BD, ∠ В = ∠ D

Доказать: ABCD – дельтоид

Доказательство:

1.Точка O – точка пересечения диагоналей АС и ВD, AС _┴ BD.

Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD: ∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, ∠ OAB = ∠ OAD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит АB = АD.

2. Точка O – точка пересечения диагоналей, CO _┴ BD.

Рассмотрим ∆ СОB и ∆ СОD: ∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, ОС — общая сторона, ∠ BCA = ∠ DCA по условию, тогда ∆ СОD = ∆ СОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит BС=DС.

3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.

Второй признак дельтоида: 

Если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.

Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 5),  AC _┴ BD,

Рис.№ 5

Точка O – точка пересечения диагоналей, BO = ОD

Доказать: ABDC – дельтоид

Доказательство:

Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD:∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по двум катетам, значит АB = АD.

2. Рассмотрим ∆ COB и ∆ COD:∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как

 AC ┴ BD по условию, ОС – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ СОB = ∆ СОD по двум катетам, значит BС = DC.

3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.

Так же иные частные случаи:

Около дельтоида можно описать окружность, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90*, радиус которой вычисляется:

2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.

3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является  квадратом.

Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями. (Рис.№ 6)

Рис.№ 6.

Признаки дельтоида

Если в четырехугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, неравных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник — дельтоид.

Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.

Формулы для нахождения площади дельтоида.

Площадь дельтоида можно вычислить по следующим формулам:

S = d1 d2 , где d1 и d2 — диагонали дельтоида

2

Доказательство:

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

S = ah, где a – основание, h – высота

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида) (Рис.№ 7)

Площади этих треугольников равны. Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: S = 1 d1 d2 + 1 d1 d2 = d1d2

4 4 2

Рис.№ 7

S = ab sin α , где a и b – неравные стороны, α – угол между ними

Доказательство:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: 

S = 1 ab sin α, где a и b – неравные стороны,

2

α – угол между ними. Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). (Рис. №

Площади этих треугольников равны: 1 ab sin α .

2

Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: 

S = 1 ab sin α+ 1 ab sin α= ab sin α

2 2

Рис. № 8

S = (a+b) r , где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности

Доказательство:

Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Тогда диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD.

Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности. (Рис. № 9)

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

= S1+ S2+ S3+S4 = 1ar + 1ar + 1br + 1br = (a+b) r

2 2 2 2

^Рис. № 9

Задача № 1.

Рис. № 10

Дано:

ABCD – дельтоид(Рис.№ 10),  AC ∩ BD = О, ОF ┴ АD,

AB = AD, АF = 8 см, FD = 2см, СО = 10АО

ОD

^{Найти: СО}

^{Решение:}

ABCD – дельтоид по условию. Так как AC┴BD по свойству дельтоида,

то ∆ DОА – прямоугольный треугольник,  ^ОF = ^FA по теореме о

FD OF

пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, OF² = AF х FD, OF = 4 cм

AO² = OF² + AF² , AO² = 80 cм Аналогично, для OD² = 20 см

^AO2

OD^{2 = 22}

АО= 2 CO= 10 x 2 = 20

ОD

Ответ: 20

Задача № 2.

Дано: ABCD – дельтоид (Рис. № 11), CE ┴ AB

∠ BAD = 100°, ∠ ECD = 80° Рис. № 11

Найти: ∠ DBC

  Решение:

∠ BAD = ∠ BCD = 100° по свойству дельтоида, ∠ BCE = 100° — 80° = 20°

∠ BEC = 90°, так как CE ┴ AB по условию, ∠ EBC + ∠ BCE + ∠ BEC = 180° по теореме о сумме углов треугольника, тогда ∠ EBC = 180° — 20° — 90° = 70°.

BD – биссектриса ABCD по свойству дельтоида, ∠ DBC = ∠ ABD = = 35° по определению биссектрисы.

Ответ: 35°

Задача № 3.

Найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в отношении 2:1.

Дано: ABCD-дельтоид (Рис. № 12), AE:EC=2:1,

Р ABCD=116 см., АВ > CD на 3 см. Найти: AB, BC, CD, DA, AC, BD.

Рис. № 12

^{Решение:}

1)Пусть CD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:

2( х + (х+3)) = Р

2( х + х+3) = 116

2( 2х+3) = 116

2х+3 = 58

2х = 55

Х = 27,5

^{Отсюда:}

BС = CD = 27,5, AD = АВ = 27.5+3=30,5

2) Пусть EC = k, AE = 2k, составим систему и решим её:

4k ² + ED ² = 930, 25

k ² +ED ² = 756, 25

4k ² + 756, 25 — k ² = 930, 25

3k ² = 174

k ² = 58, тогда ED 2 = 756, 25 — 58 = 698, 25

отсюдаАС = 3√58, ВD = 2ED = √698,25

Ответ: АВ = AD = 30,5см., BC = СD = 27,5см., АС = 3 √58 , ВD = 2√698,25

Задача № 4.

В квадрате АВСD (Рис. № 13) выбраны точки S и T внутри треугольников соответственно ABC и ADC так, что ∟SAT = ∟SCT = 45°. Докажите, что BS║DT.

(Рис. № 13)

Решение:

Пусть лучи АС и АТ пересекают стороны ВС и СD в точках М и N, лучи СS и СТ — стороны АВ и АD в точках Х и Y соответственно, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на МN,а F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на XY. (Рис.№ 14)

(Рис. № 14)

Поскольку ∟МАN = ∟XCY = 45°, точки А и С – центры вневписанных окружностей треугольников МСN и ХAYсоответственно. Тогда МА и NA — биссектрисы углов BME и DNE, а XC и YC – биссектрисыBXF и DYF, поэтому:

SME = SMB,TNE = TND,SXF = SXB.

Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟EDA = ∟DEA и ∟CBF = ∟CFB.

Точка S лежит на биссектрисе ∟BME, а BM = MEиз равенства прямоугольных треугольников ABM и AEM, значит, треугольники BMS и EMS равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, SB = SE, а так как точка S лежит на биссектрисе угла BXF, то BS = SF.

Следовательно, SF = SB = SE. Аналогично TE = TD = TF

Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟EDA = ∟DEA и ∟CBF = ∟CFB.

Точка Sлежит на биссектрисе ∟BME, аBM = MEиз равенства прямоугольных треугольников ABM и AEM, значит, треугольники BMS и EMS равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, SB = SE так как точка S лежит на биссектрисе угла BXF, то BS = SF.

Следовательно, SF = SB = SE. Аналогично TE = TD = TF

Значит, в четырехугольнике SETF соседние стороны попарно равны (дельтоид), и ∟SET = ∟SFT(симметрия относительно прямой ST). Обозначим: ∟SEA = ∟SBA = ∟SBX = ∟SFX = β

∟TEN = ∟TDN = ∟TFC = α

∟TFY = ∟TDY = ∟EDA = ∟DEA = γ

∟SEM = ∟SBM = ∟CBF = ∟CFB = φ

Тогда∟SET = β + γ и ∟SFT = α + φ,

Поэтомуβ + γ = α + φ. Учитывая, что γ = 90° — α, φ = 90° — β, получим, что α = β, откуда и следует параллельность BS и DT.

Примечание. 1. Попутно доказано, что:

а) Четырехугольник SETF вписанный ( противолежащие углы Е и F – прямые);

б) Точки S и T – центры окружностей, описанных около треугольников BEF и DFT соответственно.

Заключение.

Целью данной исследовательской работы «Дельтоид», было показать широкие творческие возможности, которые открываются при изучении этой фигуры. Различные геометрические задачи на дельтоиды – это первоначальный этап практического применения знаний в различных областях деятельности.

Я поставил задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки; привести их доказательства и, наконец, придумать интересные и разнообразные задачи.

Дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается в учебнике геометрии, а ведь эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире. В своей работе я постарался подробно рассказать и объяснить об этой интересной геометрической фигуре. Поэтому целью данной работы «Дельтоид» было показать широкие практические возможности применения этой фигуры в жизни.

Таким образом, геометрия дельтоида и дельтоидальных многогранников в первую очередь, необходима в военной и гражданской технике для изучения радиолокационного отражения, сопротивления материалов ( т.к. фигура подвергается различным силовым нагрузкам и напряжениям), аэродинамических и гидродинамических свойств, а также использования её в архитектуре и мозаике.

В последние годы в проектировании летательных аппаратов возрастает значение фигуры «дельтоид». Это связано с компьютерной стабилизацией летательных аппаратов воздушном пространстве и, как следствие, уменьшения роли хвоста самолетов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций.-М.:Просвещение, 2013 г.

Блинков А. и Блинкова Ю. Статья «Угол в квадрате», Квант, 2014, № 4, с. 34-37

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева. М.:ФИЗМАТЛИТ,2013 г.

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо,2008 г.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1981 г.

АрхиСистема.Формы и технологии http://www.veraforma.ru

Дельтоид.https://ru.wikipedia.org

Инфоурок. https://infourok.ru/issledovatelskaya—rabota—po—matematike—deltoid

ИПС «Задачи по геометрии» http://zadachi.mcce.ru.Версия 29.12.2019 г.

Копилка уроков. Сайт для учителей. https://kopilkaurokov.ru/matematika/meropriyatia/diel—toid.

Математика для школы [Электронный ресурс] http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html

Мозаика Пенроуза — Википедия https://ru.wikipedia.org › wiki › Мозаика_Пенроуза

Мозаика Пенроуза – геометрия и искусство. http://geometry-and-art.ru/penrouz.html

14.Научно-исследовательский проект. Пандиа.

https://pandia.ru/text/80/129/39000.php

Четырехугольники [Электронный ресурс]: учебный центр «Резольвента» / Режим доступа: http://www.resolventa.ru/

Просмотров работы: 966

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7» города Когалыма

Исследовательская работа
Дельтоид

Автор: Полякова Анастасия ,

8 «И» МАОУ СОШ №7

Руководитель:

Ионга Ирина Николаевна,

учитель математики

г. Когалым, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение…………………………………………………………………………………3

2. Дельтоид…………………………………………………………………………………4
   2.1 Определение дельтоида…………………………………………………………………………4

    2.2 Признаки дельтоида………………………………………………………………..5
   2.3 Свойства дельтоида…………………………………………………………………7

    2.4 Формула площади дельтоида………………………………………………………7

3. Решение задач…………………………………………………………………………..8

4.Заключение……………………………………………………………………………..10

5. Список используемых источников…………………………………………..………10

ВВЕДЕНИЕ

В школе на уроках геометрии мы изучали различные четырехугольники. Узнав про дельтоид, я решила дополнительно изучить различные его свойства и признаки.

АКТУАЛЬНОСТЬ

Дельтоид – сложная, но интересная геометрическая фигура. Поискав информацию про дельтоид в различных школьных учебниках геометрии, я ничего не смогла найти. Именно поэтому будет очень интересно изучить эту геометрическую фигуру и научиться решать задачи, применяя ее свойства. Я считаю, что изучение дельтоида актуально для школьников, так как некоторые задачи в геометрии можно решить с помощбю его свойств.

Объект исследования: четырехугольник дельтоид

Цель: изучить дельтоид как геометрическую фигуру

Задачи:

— сформулировать определение дельтоида

— доказать признаки и рассмотреть свойства дельтоида

— рассмотреть формулу для нахождения площади дельтоида

— научиться решать задачи по теме «Дельтоид»

Объект исследования: дельтоид.

Предмет исследования: свойства и признаки дельтоида.

Метод исследования: изучение свойств, признаков дельтоида и задач про дельтоид.

ДЕЛЬТОИД

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЛЬТОИДА

Дельтоид – это четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины, причем равными являются две пары смежных сторон.

Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым.

Дельтоид имеет две диагонали – главную и неглавную.

Дельтоид часто встречается в окружающем нас мире. Например, воздушный змей имеет форму дельтоида.

ПРИЗНАКИ ДЕЛЬТОИДА

Первый признак дельтоида: если в четырёхугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то такой четырёхугольник – дельтоид.

Давайте докажем первый признак дельтоида.

Дано: ABCD – четырехугольник, AC ⊥ BD, AC – биссектриса, ∠BCO=∠OCD, ∠BAO=∠OAD

Доказать: ABCD – дельтоид
Решение.

Докажем, что BC=CD и BA=DA.

Рассмотрим △BCO и △DCO. Они равны по 2 признаку равенства треугольников (CO – общая, ∠BCO=∠OCD(по условию), ∠COD=∠COB(по условию)). Поэтому, BC=CD.
Рассмотрим △BAO и △DAO. Они равны по 2 признаку равенства треугольников (AO – общая, ∠BAO=∠DAO(по условию), ∠BOA=∠DOA(по условию)). Поэтому, BA=DA.

Из этого следует, что ABCD – дельтоид, чтд.

Второй признак дельтоида: если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.

Докажем второй признак дельтоида.

Дано: ABCD – четырехугольник, AC ⊥ BD, BO=OD

Доказать: ABCD – четырёхугольник

Решение.

Докажем, что BC=CD и BA=DA.

Рассмотрим △BCO и △DCO. Они равны по1 признаку равенства треугольников (CO – общая, BO=OD (по условию), ∠COD=∠COB(по условию)). Поэтому, BC=CD.

Рассмотрим △BAO и △DAO. Они равны по 1 признаку равенства треугольников (AO – общая, BO=∠OD(по условию), ∠BOA=∠DOA(по условию)). Поэтому, BA=DA.

Из этого следует, что ABCD – дельтоид, чтд.

СВОЙСТВА ДЕЛЬТОИДА

• Углы между сторонами неравной длины равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон
• Для любого невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон, и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.
• Точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
• Другая диагональ является биссектрисой углов.
• Одна диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.
• Другая диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый, и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он невыпуклый.

ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ДЕЛЬТОИДА

Площадь дельтоида, можно найти по формуле: S = (a + b) r, где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Я нашла в интернете несколько интересных задач про дельтоид. Давайте решим их.

Задача 1.

Дано: ABCD – дельтоид, AD=2AB, P=60см
Найти: AB, BC, CD, AD

Решение:

Так как ABCD – дельтоид, то AB=DC и AD=DC
Пусть AB – х, тогда AD – 2х
Составим уравнение:
х+х+2х+2х=60

6х=60
х=10

AB=BC=10
AD=CD=2AB=10*2=20
Ответ: 10,10,20,20

Задача 2.

Построить дельтоид по двум неравным сторонам и диагонали.

1. Построим отрезок AC
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AC.
3. Построим окружность с радиусом a и центром в точке A.
4. Найдем точку B пересечения окружности и перпендикуляра с.
5. Построим отрезки AB и BC.
6. Построим окружность с радиусом b и центром в точке А.
7. Найдем точку D пересечения окружности и перпендикуляра с.
8.  Построим отрезки AD и CD.

Задача 3.

Дано: ABCD – дельтоид, Р△ABD=15см, BD=6см, OC=4см

Найти: PABCD

Решение:

AD+AB= Р△ABD-BD=15-6=9см

DO=OB=6:2=3см

DC====5

PABCD=DA+AB+BC+DC

PABCD=9+5+5=19см

Ответ: 19 см

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, было дано определение дельтоида, были рассмотрены его свойства и формула его площади. Были рассмотрены задачи на применение свойств дельтоида и задачи на нахождение его площади. Цель работы выполнена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%B4

https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm