Как найти радиус вписанный в треугольную призму

Призма, вписанная в сферу

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. Около оснований призмы можно описать окружности.

Доказательство. Докажем сначала, что если n – угольная призма A₁A₂ . A_nA’₁A’₂ . A’_n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например, A₂A’₂. Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания A₁A₂ и A₂A₃ , то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро A₂A’₂ перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого обозначим символом O₁ центр окружности радиуса r , описанной около нижнего основания призмы, а символом O’₁ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок O₁O’₁, соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок O₁O’₁ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Обозначим буквой O середину отрезка O₁O’₁ и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки O (рис. 4).

(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка O является центром сферы радиуса R , описанной около призмы.

Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать сферу.

Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной призмы

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

(2)

Ответ.

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a равен

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

Задача 2. Около правильной n — угольной призмы с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Радиус описанной сферы и ребро «A» треугольной призмы

Свойства

Зная радиус сферы, описанной вокруг правильной треугольной призмы с равносторонним треугольником в основании, можно найти сторону этого основания и затем посчитать высоту основания, радиусы вписанной и описанной окружностей около него, а также площадь. a=√(6/5) R_1 h=a/√2=√(3/5) R_1 r=a/(2√3)=2√(2/5) R_1 R=a/√3=√(2/5) R_1 S=(√3 a^2)/4=(3√3 〖R_1〗^2)/10

Боковое ребро треугольной призмы в совокупности с радиусом описанной сферы позволяет вычислить диагональ боковой стороны, периметр призмы и площадь боковой, а затем и полной поверхности призмы. d=√(a^2+b^2 )=√(6/5 〖R_1〗^2+b^2 ) P=3(2a+b)=3(2√(6/5) R_1+b) S_(б.п.)=3ab=3b√(6/5) R_1 S_(п.п.)=3b√(6/5) R_1+(3√3 〖R_1〗^2)/5

Чтобы найти объем треугольной призмы через радиус описанной сферы и боковое ребро, нужно подставить в формулу объема необходимое выражение вместо площади основания и умножить его на боковое ребро. V=S_(осн.) b=(3√3 〖R_1〗^2)/10 b

Шар вписанный в призму, касается каждой ее грани. Диаметр вписанного шара равен высоте призмы, а также равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

Центр шара лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр вписанной в основание окружности. Если в основание призмы нельзя вписать окружность либо высота призмы не равна диаметру вписанной в основание окружности, то в такую призму шар вписать нельзя.

Если призма правильная, центр вписанного в нее шара является точкой пересечения бисекторных плоскостей призмы.

При решении задач на шар,вписанный в призму, можно рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, параллельной основаниям. Она представляет собой многоугольник, равный многоугольнику основания, с вписанной в него окружностью, радиус которой равен радиусу шара. Далее используем формулы, связывающие радиус вписанной окружности со сторонами основания, а также то, что центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис.

Выразим объем призмы через радиус вписанного шара — R. Объем призмы равен

   

Площадь основания ищем по формуле S=pr, где p — полупериметр основания, r — радиус вписанной в него окружности. Поскольку в нашем случае r=R и высота призмы H=2R, то

   

Но 2p=P — периметру основания. Окончательно имеем

   

Выразим площадь полной поверхности прямой призмы через радиус вписанного в нее шара. Площадь полной поверхности прямой призмы равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

   

Боковая поверхность

   

Отсюда

   

Таким образом, пришли к формуле

   

ВИДЕОУРОК

Нами ранее уже рассмотрены
простые геометрические тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Но в природе,
техники и геометрии также рассматривают и комбинации указанных геометрических тел.

Для других объёмных фигур условия вписать в них и описать вокруг них шар должны
быть в каждом случае специально определены.

ЗАДАЧА:

В правильную четырёхугольную пирамиду
вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а другие
четыре – в плоскости её основания. Найдите ребро куба, если в пирамиде сторона
основания равна  а  и высота 
h.

РЕШЕНИЕ:

Вокруг шара описан усечённый
конус, образующая которого равна  а. Найти
боковую поверхность конуса.

РЕШЕНИЕ:

_.
S_бок = π(R + r)а = πа².

Многогранник, описанный вокруг шара.

– шар можно вписать в прямую призму, если её основание –
многогранник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру
этой окружности;

Известно, что в треугольную
призму, стороны основания которой равны  


13
см, 14 см  и  15 см, 


можно вписать шар. Найти радиус этого шара.

РЕШЕНИЕ:

Диаметр вписанного шара равен высоте
призмы и в тоже время равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Поэтому
радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.

ОТВЕТ:  4 см.

Основные свойства пирамиды, описанной вокруг шара:

– если в пирамиде все двугранные углы при основании равны
между собой, то в эту пирамиду можно вписать сферу; центр сферы принадлежит
высоте пирамиды, точка касания шара с основанием пирамиды совпадает с центром
вписанной в основание окружности, а точки касания с боковыми гранями принадлежат
высотам этих граней;

– в любую правильную пирамиду можно вписать шар; центр шара принадлежит
высоте пирамиды;

В правильной четырёхугольной пирамиде
центры вписанного и описанного шара совпадают. Определите плоский угол при
вершине пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

ОВ = ОС = SО = R –
радиусы описанного шара.

ОО₂ = ОО₁ =
r – радиусы вписанного шара.

Тогда прямоугольные

∆ОО₂В,
∆ОО₁В,
∆ОО₂С  и  ∆ОО₁С 

равны между собой. Из их равенства
выходит, что 

ВО₂ = СО₂ = ВО₁ = СО₁  и 

∆ВО₂С  и  ∆ВО₁С  равны.

В таком случае 

∠ ВО₂С = ∠ ВО₁С = 90°.

Далее  SО₁ = ВО₁ =
СО₁  как радиусы окружности, описанной вокруг  ∆SВС.

Из равнобедренного  ∆ВО₁S  по свойству внешнего угла

∠
BSE = ¹/₂ ∠ BO₁E

Тогда

∠
BSC = ¹/₂ ∠ BO₁C = 45°.

ОТВЕТ:  45°.

Многогранник, вписанный в шар.

Если шар находится в середине многогранника, то он называется вписанным, а если снаружи многогранника – внешне вписанным.

– шар можно описать вокруг прямой призмы, если её основание
будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность;

– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет
центры окружностей, описанных вокруг многоугольников оснований призмы;

– основания призмы вписаны в равные параллельные сечения шара.

ЗАДАЧА:

Вокруг  правильной треугольной призмы, сторона основания
которой равна  5√͞͞͞͞͞3  см, описан шар. Радиус шара равен  13
см. Найти высоту призмы.

РЕШЕНИЕ:

QQ₁ = 2×12 = 24
см.

ОТВЕТ:  24 см.

Основные свойства пирамиды, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг пирамиды, если её основанием будет
многоугольник, вокруг которого можно описать окружность; центр шара,
описанного вокруг пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания,
проведённого через центр окружности, описанной вокруг основания;

– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды,
лежит на прямой, которая совпадает с высотой пирамиды;

ЗАДАЧА:

РЕШЕНИЕ:

Продолжим  QK  до второго пересечения с шаром в точке  Q₁.

Тогда  QQ₁ = 2R – диаметр окружности, и поэтому 

∠ QAQ₁ = 90°  и  QQ₁ – гипотенуза прямоугольного треугольника  QAQ₁.

∆QKA (∠ K
= 90°), 

AQ² = QK² +
AK², 

AQ² = H² +
r².

По свойству катета прямоугольного
треугольника  ∆QAQ₁  имеем 

AQ² = QQ₁× QK,
то есть  AQ² = 2R × H.

Поэтому,  

AQ² = H² +
r²  и  AQ² = 2RH.

Откуда

Применение тригонометрических функций к
решению стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при
вершине равняется  α. Высота  h  пирамиды является
диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей и вычислить ее
при  


α
= 0,46 рад, h = 10,7 см.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная
четырехугольная пирамида  SABCD  и шар  O₁, диаметром которой служит
высота пирамиды  SO = h, плоский угол при вершине пирамиды  ∠ BCD =
α.

Найти длину линии, по которой поверхность шара пересекается
с поверхностью пирамиды.

Искомая линия состоит из четырех ровных дуг кругов, по
которым пересекаются плоскости боковых граней пирамиды с поверхностью шара.

Найдем длину дуги  B₁C₁, по
которой грань пирамиды  BSC  пересекается с
поверхностью шара.

Плоскость грани  BSC  пересекается с
поверхностью по кругу, центр какого  O₂  получим, опустив
из центра шара перпендикуляр  O₁O₂  на плоскость этой грани.

Угол  B₁SC₁ = α  является вписанным в круг  O₂  и опирается на дугу  B₁C₁, потому длина искомой дуги  B₁C₁  определяется по
формуле

∪ B₁C₁ =
2α r,

где  α –
данный угол в радианах, а  r = O₂S – радиус окружности  O₂.

для определения радиуса 
r 
рассмотрим подобные прямоугольные

∆ SO₁O₂   и  ∆ SOM.

Из подобия этих треугольников

откуда, учитывая

SO = h  и  SO₁ = ¹/₂ h, находим

Апофему пирамиды  SM  определим так.
Обозначим сторону основы пирамиды  ВС = 2х, тогда  ОМ = х. Из  ∆ВSM  имеем

SM = x ctg α/₂.

Дальше из прямоугольного  ∆ SOM  по теореме Пифагора находим

SO² + OM²
= SM², или

h² + x²
= x²ctg² α/₂.

Откуда

и, поэтому

Тогда

Подставляя найденное значение  r  в
формулу для длины дуги  B₁C₁  имеем

Длина искомой линии пересечения поверхности пирамиды с поверхностью пули
равняется учетверенной длине дуги  B₁C₁, поэтому
окончательно получим

где  α  есть угол при
вершине пирамиды, измеренный в радианах.

При  


h = 10,7 см  и  α = 0,46 рад, 


ограничиваясь при вычислении четырьмя значимыми
цифрами, имеем

cos
α/₂ ≈ 0,9737; 

cos
α ≈ 0,8961;

√͞͞͞͞͞cos α ≈ 0,9466;

l ≈ 19,14 cм.

ОТВЕТ:  l ≈ 19,14 cм


Задания к уроку 17