Как найти радиус зная угловое ускорение

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу для определения искомой величины.
3. Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

• Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
• Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Определить, что нужно найти.
3. Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
4. Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
5. Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Решение №878 Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) вычисляется …

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с 2 ) вычисляется по формуле a = ω 2 R, где ω – угловая скорость (в с -1 ), R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9 с -1 , а центростремительное ускорение равно 243 м/с 2 . Ответ дайте в метрах.

ω = 9 с -1
a = 243 м/с 2
R – ?

a = ω 2 R
243 = 9 2 ·R
243 = 81·R
R = 243/81 = 3

Ответ: 3.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 7

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Из формулы, приведённой в условиях задачи, следует, что радиус R окружности, по которой осуществляется движение, равен частному от деления центростремительного ускорения а на квадрат угловой скорости ω:

R = a/ω².

Подставляя в эту формулу числовые значения, находим:

R = 18/6² = 18/36 = 0,5.

Конечно, при выполнении расчёта надо обращать внимание на единицы, в которых выражены используемые величины (если центростремительное ускорение задано в м/с² и угловая скорость — в рад/с, то значение искомого радиуса будет получено в м).

Ответ: 0,5.

Угловое ускорение – что это?

Угловое ускорение (varepsilon) – физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости при движении тела.

Единица измерения: (lbrackvarepsilonrbrack=frac1{с^2}) или (с^{-2})

Угловая скорость

Круговым движением точки вокруг оси называют движение, где траектория точки – окружность с центром, который лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угловая скорость (omega) – векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения угла поворота при круговом движении точки или твердого тела.

При движении по окружности (круговом движении) скорость меняет свое направление, значит такое движение не может считаться равномерным, оно ускоренное или равноускоренное (в частных случаях).

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Для равномерного вращения (когда за равные отрезки времени тело поворачивается на один и тот же угол):

1. (omega=frac nt), где (n) – количество оборотов за единицу времени (t).
2. (omega=fracvarphi t), где (varphi) – угол поворота, (t) – время, за которое он совершен.
3. (omega=frac{2pi}T), где (Т) – период обращения (время, за которое тело/точка совершает один оборот).
4. (omega=2pinu), где (nu) – числом оборотов в единицу времени.

Единица измерения угловой скорости в СИ: (lbrackomegarbrack=frac{рад}с)

Связь между угловой скоростью и нормальным (центростремительным) ускорением

Центростремительное (нормальное) ускорение (a_n) – это составляющая полного ускорения, которая характеризует изменение направления вектора скорости при криволинейном движении. Другим компонентом полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно характеризует изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

 (a_n=frac{V^2}R),

где (V) – скорость движения, (R) – радиус окружности.

Единица измерения в СИ: (lbrack a_nrbrack=frac м{с^2})

Итак, формула связывающая эти две величины:

(a_n=omega^2R)

Основные формулы для расчета углового ускорения

Угловое ускорение маховика

(varepsilon=fracomega t=frac{2pi n}t), где (n) – количество оборотов за единицу времени (t).

Среднее угловое ускорение

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к отрезку времени, за который оно совершилось.

(leftlanglevarepsilonrightrangle=frac{triangleomega}{triangle t})

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением (a_tau) называют ту составляющую полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения в данной точке. Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

(a_tau=varepsilon r), где (varepsilon) – угловое ускорение, (r) –  радиус кривизны траектории в заданной точке.

Мгновенное угловое ускорение

Мгновенное угловое ускорение (alpha) есть первая производная угловой скорости по времени или вторая производная углового перемещения по времени.

(alpha=tg(varepsilon)=frac{;domega}{dt}=frac{d^2phi}{dt^2})

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Нам уже известно понятие ускорения тела. Так именуют величину, характеризующую изменение его скорости. Также нам известно понятие угловой скорости. Для характеристики этого изменения используют величину, называемую угловым ускорением. Рассмотрим его особенности и использование.

Определения углового ускорения тела. Среднее и мгновенное угловое ускорение

Слово «кинематическая» означает, что движение рассматривается без учёта действия на тело сил, независимо от них. Обозначим промежуток времени как Δt. Изменение угловой скорости за этот промежуток обозначим как Δω. Отношение Δω/Δt называют средним угловым ускорением. Среднее угловое ускорение равно угловой скорости за определённый интервал времени. Однако, как она себя вела, например, в самом его начале, середине или конце ничего не скажешь.

Если мы будем выбранный нами интервал времени постоянно уменьшать, изменение скорости получится описывать всё более и более точно. В идеале, чтобы Δt вообще стремился к нулю:

ε = lim (Δt→0)(Δω/Δt) = dω/dt = d²φ /d²t

Так мы перешли ко второму определению углового ускорения, только оно уже не среднее, а, как говорят, мгновенное.

Угловое ускорение тела равно:

ε = dω/dt = d²φ /d²t

Размерностью величины будет 1/T² (1/время²). Измеряют его обычно в радианах на секунду в квадрате, рад/с² или 1/с² (с^-2).

Обязательно следует отметить, что ε может рассматриваться, в качестве вектора, т. е. ему приписывается направление. Хотя в отличие от направления обычной скорости, воспринимается это несколько сложнее, ведь наглядность отсутствует.

Угловое ускорение через радиус выражается как a = ε*R, где a – ускорение, направленное по касательной траектории.

Угловое ускорение и формула закона движения при равнопеременном вращении

Выведем его закон. Пусть в начальный момент времени (t=0) равен φ₀, а его начальная скорость ω_0.

Из определений выше следует

ε = dω/dt следует, что dω = ε dt.

Чтобы найти угловую скорость нам нужно найти первообразную от этого выражения по времени. Получаем

 ω = εt + С1.

С1 – некоторая постоянная. В нашем случае, по начальным условиям, она равна начальной угловой скорости тела, ω₀.

Поэтому

ω = εt + ω₀

Напомним, что мгновенная угловая скорость равна: ω = dφ /dt

Отсюда

dφ /dt = εt + ω₀

φ = (εt + ω₀)dt

Находим первообразную по времени

φ = εt²/2 + ω₀t + С2

С2 – некоторая постоянная. Исходя из начальных условий она равна φ₀. Приходим к выражению

φ = εt²/2 + ω₀t + φ₀

Это и есть закон равнопеременного вращательного движения.

Примеры

Пример. 1

Колесо стало вращаться с постоянным угловым ускорением и, спустя 10 оборотов от начала вращения, получило скорость 20 рад/с. Чему равно угловое ускорение?

Решение:

Применим к вращению колеса формулу равнопеременного движения, исходя из того, что его начальная угловая скорость ω₀ была равна нулю. Формулы, с которыми нам придётся иметь дело:

φ = εt²/2; ω = εt;  φ = 2πN

Из первой формулы выражаем ε

ε = (φ/t²)

Из второй формулы выражаем время

t = ω/ε

Подставляем его в формулу выше.

ε = (2*φ)/(ω/ε)² = ( 2* φ * ε²)/ω²

Проводим необходимые сокращения и приходим к формуле углового ускорения:

ε = ω²/2φ

Вместо угла φ подставляем в выражение третью формулу

ε = ω²/2*2πN = ω²/4πN

После подстановки численных значений получим ε = 3,2 рад/c²

Ответ: Угловое ускорение колеса равно 3,2 рад/c².

Пример. 2

Тело вокруг собственной оси вращается по следующему закону:

φ = 10 + 20*t – 2*t²

Нужно найти угловое и полное ускорение точки, находящейся в 109 см. от оси вращения через 4 секунды после начала движения.

Решение:

Формулы, с которыми нам придётся иметь дело:

[a=sqrt{a_{n}^{2}+a_{T}^{2}}]

A_t = dv/dt = Rε

a_n = v²/R = ω²R

Если известен закон движения, то ω и ε не составляет труда выразить через производные. Сначала находим ω.

ω = d(10 + 20t – 2t²)/dt = 20 – 4t

Ускорение находим, дифференцируя последнее полученное выражение:

ε = d(20 — 4t)/dt = (- 4 )рад/с²

Смотрим на формулу нахождения полного a и выражение ε через радиус, после чего делаем соответствующие подстановки.

[a=sqrt{R^{2} varepsilon^{2}+omega^{4} R^{2}}]

После численных подстановок выясняем, что a точки равно 1,65 м/с².

Ответ: Угловое ускорение точки равно (-4) рад/с², а полное её ускорение – 1,65 м/с².