Как найти ранг матрицы по методу гаусса - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований (алгоритм Гаусса).

Под элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы понимают следующие действия:

Перемена мест двух строк (столбцов).
Умножение всех элементов строки (столбца) на некоторое число $aneq 0$.
Суммирование всех элементов одной строки (столбца) с соответствующими элементами иной строки (столбца), умноженными на некое действительное число.

Если применить к строкам или столбцам матрицы $A$ некое элементарное преобразование, то получим новую матрицу $B$. В этом случае $rang{A}=rang{B}$, т.е. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Если $rang A=rang B$, то матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными. Тот факт, что матрица $A$ эквивалентна матрице $B$, записывают так: $Asim B$.

Часто используется и такая запись: $Arightarrow B$, которая означает, что матрица $B$ получена из матрицы $A$ применением некоего элементарного преобразования.

При нахождении ранга методом Гаусса работать можно как со строками, так и со столбцами. Удобнее работать со строками, поэтому в примерах на этой странице преобразования выполняются именно над строками матриц.

Отмечу, что транспонирование не изменяет ранг матрицы, т.е. $rang{A}=rang{A^T}$. Этим свойством в некоторых случаях удобно пользоваться (см. пример №3), так как при необходимости строки легко сделать столбцами и наоборот.

Краткое описание алгоритма

Введём несколько терминов. Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Ранг любой нулевой матрицы равен 0, поэтому станем рассматривать матрицы, отличные от нулевых. Конечная цель преобразований матрицы – сделать её ступенчатой. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Рассматриваемый метод нахождения ранга матрицы состоит из нескольких шагов. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Когда под той строкой, которую мы используем на текущем шаге, остаются лишь нулевые строки, или же не остаётся строк вовсе, то алгоритм прекращается, так как полученная матрица будет ступенчатой.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеются ненулевые строки, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки, а $k_{min}$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

Если $klt{k_{min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
Если $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы. Затем переходим к следующему шагу алгоритма.
Если $kgt{k_{min}}$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы.

Как конкретно происходит обнуление ведущих элементов, рассмотрим на практике. Буквами $r$ (от слова «row») станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова «column») станем обозначать столбцы: $c_1$ – первый столбец, $c_2$ – второй столбец и так далее.

В примерах на данной странице буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_{min}$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
-2 & 3 & 1 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
4 & -11 & -5 & 12 & 18 \
-9 & 6 & 0 & -2 & 21 \
-5 & 5 & 1 & 1 & 1
end{array} right)$.

Решение

Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4, 1, 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_{min}=1$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы третьей, четвёртой и пятой строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число -2. Чтобы заменить «неудобное» число единицей (или числом (-1)) есть несколько вариантов. Можно, например, умножить первую строку на 2, а затем от первой строки вычесть пятую. А можно просто поменять местами первый и третий столбцы. После перестановки столбцов №1 и №3 получим новую матрицу, эквивалентную заданной матрице $A$:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-2 & 3 & 1 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
4 & -11 & -5 & 12 & 18 \
-9 & 6 & 0 & -2 & 21 \
-5 & 5 & 1 & 1 & 1
end{array}right)overset{c_1leftrightarrow{c_3}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
boldred{1} & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
normblue{-5} & -11 & 4 & 12 & 18 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
normgreen{1} & 5 & -5 & 1 & 1
end{array}right)
$$

Ведущим элементом первой строки стала единица. Номер ведущего элемента первой строки не поменялся: $k=1$. Номера ведущих элементов строк, расположенных ниже первой, таковы: 4, 1, 2, 1. Наименьший номер $k_{min}=1$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и пятой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

$$
begin{aligned}
&r_3-frac{normblue{-5}}{boldred{1}}cdot{r_1}=r_3+5r_1;\
&r_5-frac{normgreen{1}}{boldred{1}}cdot{r_1}=r_5-r_1.
end{aligned}
$$

Запись $r_3+5r_1$ означает, что к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место третьей строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$
r_3+5r_1
=(-5;;-11;;4;;12;;18)+5cdot(1;;3;;-2;;0;;-4)=\

=(-5;;-11;;4;;12;;18)+(5;;15;;-10;;0;;-20)
=(0;;4;;-6;;12;;-2).
$$

Действие $r_5-r_1$ выполняется аналогично. В результате преобразований строк получим такую матрицу:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
-5 & -11 & 4 & 12 & 18 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
1 & 5 & -5 & 1 & 1
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+5r_1 \ phantom{0} \ r_5-r_1 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 4 & -6 & 12 & -2 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
$$

На этом первый шаг можно считать законченным. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу. Единственный нюанс: в третьей строке полученной матрицы все элементы делятся нацело на 2. Чтобы уменьшить числа и упростить себе расчёты, умножим элементы третьей строки на $frac{1}{2}$, а затем уже перейдём ко второму шагу:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 4 & -6 & 12 & -2 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ 1/2cdot{r_3} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
$$

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 2, 2 и 2. Наименьшим из этих номеров есть $k_{min}=2$. Так как $kgt{k_{min}}$, то нужно поменять местами текущую вторую строку с одной из тех строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Иными словами, надо поменять вторую строку с третьей, четвёртой или пятой. Я выберу пятую строку (это позволит избежать появления дробей), т.е. поменяю местами пятую и вторую строки:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
overset{r_2leftrightarrow{r_5}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & boldred{2} & -3 & 1 & 5 \
0 & normblue{2} & -3 & 6 & -1 \
0 & normgreen{6} & -9 & -2 & 21 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
$$

Опять обратимся ко второй строке. Теперь ведущим в ней является второй элемент (он выделен красным цветом), т.е. $k=2$. Наименьшим из номеров ведущих элементов нижележащих строк (т.е. из чисел 2, 2 и 4) будет $k_{min}=2$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.

Отмечу, что на предыдущем шаге ведущим элементом текущей строки с помощью перестановки столбцов была сделана единица. Это было выполнено, чтобы избежать работы с дробями. Здесь тоже можно поставить единицу на место ведущего элемента второй строки: например, поменяв местами второй и четвёртый столбцы. Однако делать это мы не станем, так как дробей и так не возникнет. Действия со строками будут такими:

$$
begin{aligned}
&r_3-frac{normblue{2}}{boldred{2}}cdot{r_2}=r_3-r_2;\
&r_4-frac{normgreen{6}}{boldred{2}}cdot{r_2}=r_4-3r_2.
end{aligned}
$$

Выполняя указанные операции, придём к такой матрице:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-r_2 \ r_4-3r_2 \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & -5 & 6 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
$$

Второй шаг закончен. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. В третьей строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4 и 4, наименьший из которых $k_{min}=4$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы четвёртой и пятой строк. Преобразования, которые выполняются с этой целью, полностью аналогичны тем, что осуществлялись ранее:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & -5 & 6 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ phantom{0} \ r_4+r_3 \ r_5-r_3 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Под третьей строкой остались лишь нулевые строки. Это значит, что преобразования закончены. Мы привели матрицу к ступенчатому виду. Так как приведённая матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $rang A=3$. Полное решение без пояснений таково:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-2 & 3 & 1 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
4 & -11 & -5 & 12 & 18 \
-9 & 6 & 0 & -2 & 21 \
-5 & 5 & 1 & 1 & 1
end{array}right)overset{c_1leftrightarrow{c_3}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
-5 & -11 & 4 & 12 & 18 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
1 & 5 & -5 & 1 & 1
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+5r_1 \ phantom{0} \ r_5-r_1 end{array}sim
$$

$$
simleft(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 4 & -6 & 12 & -2 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ 1/2cdot{r_3} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
overset{r_2leftrightarrow{r_5}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-r_2 \ r_4-3r_2 \ phantom{0} end{array}sim
$$

$$
simleft(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & -5 & 6 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ phantom{0} \ r_4+r_3 \ r_5-r_3 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Ответ: $rang A=3$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
11 & -13 & 61 & 10 & -11\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)$.

Решение

Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 1, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{min}=1$. Так как $k=k_{min}$, то нужно произвести обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй, третьей и четвёртой строк.

Для удобства расчётов сделаем так, чтобы ведущим элементом первой строки стала единица. В предыдущем примере для этого мы меняли местами столбцы, однако с этой матрицей такое действие не пройдёт – в данной матрице нет элементов, равных единице. Выполним одно вспомогательное действие: $r_1-5r_2$. Тогда ведущий элемент первой строки станет равен 1.

$$
left(begin{array}{ccccc}
11 & -13 & 61 & 10 & -11\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-5r_2\ phantom{0}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
$$

Ведущим элементом первой строки стала единица. Обнулим ведущие элементы нижележащих строк:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-2r_1\ r_3+3r_1 \ r_4-4r_1 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & -4 & 1 & -2 & 0\
0 & 12 & 0 & 7 & -4
end{array} right)
$$

Первый шаг закончен. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу.

Второй шаг

На втором шаге работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Ведущие элементы в нижележащих строках имеют тот же номер 2, поэтому $k_{min}=2$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк.

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & -4 & 1 & -2 & 0\
0 & 12 & 0 & 7 & -4
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+r_2 \ r_4-3r_2 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4
end{array} right)
$$

Появилась нулевая строка. Опустим её в низ матрицы:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4
end{array} right)
overset{r_3leftrightarrow{r_4}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array} right)
$$

Второй шаг закончен. Заметьте, что мы уже получили ступенчатую матрицу. Впрочем, мы можем формально закончить наш алгоритм. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то следует перейти к третьему шагу и работать с третьей строкой, однако под третьей строкой ненулевых строк нет. Следовательно, преобразования завершены.

К слову, полученная нами матрица является трапециевидной. Трапециевидная матрица – это частный случай ступенчатой матрицы.

Так как данная матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $rang{A}=3$. Полное решение без пояснений таково:

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-2r_1\ r_3+3r_1 \ r_4-4r_1 end{array}sim
$$

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4
end{array}right)overset{r_3leftrightarrow{r_4}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array} right)
$$

Ответ: $rang A=3$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccc}
0 & 2 & -4 \
-1 & -4 & 5 \
3 & 1 & 7 \
0 & 5 & -10 \
2 & 3 & 0
end{array} right)$.

Решение

Иногда в процессе решения удобно транспонировать матрицу. Так как ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы, то такая операция вполне допустима. В этом примере будет рассмотрен как раз такой случай. В ходе преобразований возникнут две одинаковые строки $(0;;1;;-2)$ (первая и четвёртая). В принципе, можно выполнить действие $r_4-r_1$, тогда четвёртая строка обнулится, однако это лишь удлинит решение на одну запись, поэтому выполнять обнуление четвёртой строки не станем.

$$
left(begin{array}{ccc}
0 & 2 & -4 \
-1 & -4 & 5 \
3 & 1 & 7 \
0 & 5 & -10 \
2 & 3 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} 1/2cdot{r_1}\ phantom{0}\ phantom{0} \ 1/5cdot{r_4} \phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccc}
0 & 1 & -2 \
-1 & -4 & 5 \
3 & 1 & 7 \
0 & 1 & -2 \
2 & 3 & 0
end{array} right)sim
$$

$$
simleft(begin{array}{ccccc}
0&-1&3&0&2\
1&-4&1&1&3\
-2&5&7&-2&0
end{array} right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1&-4&1&1&3\
0&-1&3&0&2\
-2&5&7&-2&0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+2r_1 end{array}sim
$$

$$
left(begin{array}{ccccc}
1&-4&1&1&3\
0&-1&3&0&2\
0&-3&9&0&6
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-3r_2 end{array}sim
left(begin{array}{ccccc}
1&-4&1&1&3\
0&-1&3&0&2\
0&0&0&0&0
end{array} right)
$$

Ранг преобразованной матрицы равен 2, поэтому и ранг исходной матрицы $rang{A}=2$. В принципе, можно было найти ранг и без транспонирования матрицы: поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой и продолжить обычные преобразования со строками. Метод сведения матрицы к ступенчатому виду допускает вариации процесса решения.

Ответ: $rang A=2$.

Пример №4

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{cccccc}
0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \
0 & 0 &5 &0 &2 &3 \
0 & 0 & 10 & 0& -4&1
end{array} right)$.

Решение

Данная матрица не является нулевой, т.е. её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=2$. Рассмотрим строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 3, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{min}=3$. Так как $klt{k_{min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке ведущим является третий элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Под второй строкой расположена лишь одна третья строка, номер ведущего элемента которой равен 3, поэтому $k_{min}=3$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$
left(begin{array}{cccccc}
0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \
0 & 0 &5 &0 &2 &3 \
0 & 0 & 10 & 0& -4&1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-2r_2 end{array}sim

left(begin{array}{cccccc}
0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \
0 & 0 &5 &0 &2 &3 \
0 & 0 & 0 & 0& -8&-5
end{array} right)
$$

Получена ступенчатая матрица. Ранг преобразованной матрицы, а следовательно и ранг исходной матрицы, равен 3.

Ответ: $rang A=3$.

Пример №5

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
0&0&0&0&6\
9&0&0&0&-11\
5&2&0&0&-5.
end{array} right)$.

Решение

Иногда можно свести матрицу к ступенчатой с помощью одних лишь перестановок строк или столбцов. Это бывает, разумеется, крайне редко, однако удачная перестановка позволяет существенно упростить решение.

$$
left(begin{array}{ccccc}
0&0&0&0&6\
9&0&0&0&-11\
5&2&0&0&-5
end{array} right)
overset{r_1leftrightarrow{r_3}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
5&2&0&0&-5\
9&0&0&0&-11\
0&0&0&0&6
end{array} right)
overset{с_1leftrightarrow{с_4}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
0&2&0&5&-5\
0&0&0&9&-11\
0&0&0&0&6
end{array} right)
$$

Матрица приведена к ступенчатой, $rang{A}=3$.

Ответ: $rang A=3$.

Источник

Перед тем как начать знакомство с темой, необходимо повторить правила нахождения определителей второго, третьего и высших порядков. Также необходимо знать, что детерминант 1-го порядка — число. Рассмотрим 2 метода вычисления ранга матриц.

Онлайн-калькулятор

Метод окаймляющих миноров

Для нахождения ранга матрицы данным методом требуется уметь находить миноры матриц.

Ранг матрицы

Рангом матрицы QQ называется наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от 00.

При этом ранг матрицы не может превышать порядка матрицы: 0⩽rang Qm×n⩽min(m,n)0leqslant rang Q_{mtimes n}leqslant min (m, n).

Обозначить ранг матрицы QQ можно следующим образом: rang Qrang Q или r(Q)r(Q).

Если ранг матрицы QQ равен rr, то это означает, что в матрице QQ имеется отличный от нуля минор порядка rr. При этом всякий минор порядка больше, чем rr равен нулю.

Исходя из определения ранга матрицы, следует, что если все миноры первого порядка (т. е. элементы матрицы QQ) равны 00, то rang Q=0rang Q=0. Если один из миноров первого порядка отличен от 00, а все миноры второго порядка равны 00, то rang Q=1rang Q=1. Если все миноры kk-го порядка равны 00, или миноров kk-го порядка не существует, то rang Q=k−1rang Q=k-1.

Рассмотрим примеры нахождения ранга матриц данным методом.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 3×33times3, поэтому ее ранг не может быть больше 33, т.е. rang F⩽3rang Fleqslant3.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang F≥1rang Fgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣0321∣=0⋅1−2⋅3=0−6=−6begin{vmatrix}0&3\2&1end{vmatrix}=0cdot1-2cdot3=0-6=-6. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang F≥2rang Fgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Минор 3-го порядка — определитель матрицы FF, поскольку она состоит из 3 строк и 3 столбцов: ∣03−1210−2−10∣=0begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0. Значит, ранг матрицы FF равен 22, или rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 5×45times4. Из чисел 55 и 44 минимальным является 44, поэтому ее ранг не может быть больше 44, а значит rang K⩽4rang Kleqslant4.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang K≥1rang Kgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣21−12∣=2⋅2−(−1)⋅1=4+1=5begin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}=2cdot2-(-1)cdot1=4+1=5. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥2rang Kgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №3 и №5 и столбцов №2, №3 и №4 получим минор:

∣1−233−153−31∣=1⋅(−1)⋅1+(−2)⋅5⋅3+3⋅(−3)⋅3−3⋅(−1)⋅3−(−2)⋅1⋅3−1⋅5⋅(−3)=−1−30−27+9+6+15=−28begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\3&-3&1end{vmatrix}=1cdot(-1)cdot1+(-2)cdot5cdot3+3cdot(-3)cdot3-3cdot(-1)cdot3-(-2)cdot1cdot3-1cdot5cdot(-3)=-1-30-27+9+6+15=-28.

Значит, среди миноров 3-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥3rang Kgeq3.

Перейдем к проверке миноров 4-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №2, №3 и №4 и столбцов №1, №2, №3 и №4 получим минор:

∣21−23−121213−15−2−212∣=2(−1)1+1∣2123−15−212∣−(−1)2+1∣1−233−15−212∣+(−1)3+1∣1−23212−212∣−2(−1)4+1∣1−232123−15∣=2(−1)2∣2123−15−212∣−(−1)3∣1−233−15−212∣+(−1)4∣1−23212−212∣−2(−1)5∣1−232123−15∣=2∣2123−15−212∣+∣1−233−15−212∣+∣1−23212−212∣+2∣1−232123−15∣=2(−4+6−10−4−10−6)−2+9+20−6−5+12+2+6+8+6−2+8+2(5−6−12−9+2+20)=−56+56+0=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2end{vmatrix}=2(-1)^{1+1}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{2+1}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{3+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{4+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-1)^{2}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{3}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{5}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}+2begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-4+6-10-4-10-6)-2+9+20-6-5+12+2+6+8+6-2+8+2(5-6-12-9+2+20)=-56+56+0=0.

Остальные миноры 4-го порядка также равны нулю:
∣21−23−121213−1543−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−23−1212−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−2313−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣−121213−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0.

Значит, ранг матрицы KK равен 33, или rang K=3rang K=3.

Данный метод не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого количества определителей. Рассмотрим метод нахождения ранга матриц, который наиболее часто применяется на практике.

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований)

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется количество ненулевых строк матрицы после ее приведения к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками и столбцами.

Рассмотрим суть данного метода на примерах.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом Гаусса F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Приведем матрицу FF с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(03−1210−2−10)∼(21003−1−2−10)begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 1:

(21003−1−2−10)∼(21003−1000)begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}simbegin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу FF к ступенчатому виду. В ней остались 2 ненулевые строки, следовательно, rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом Гаусса

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Приведем матрицу KK с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(21−23−121213−15−2−21243−31)∼(−121221−2313−15−2−21243−31)begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №2 и №4:

(−121221−2313−15−2−21243−31)∼(−1212−2−21213−1521−2343−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №3 и №4:

(−1212−2−21213−1521−2343−31)∼(−1212−2−21221−2313−1543−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №4 и №5:

(−1212−2−21221−2313−1543−31)∼(−1212−2−21221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(−1212−2−21221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

(−12120−6−1−221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−2050743−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 4:

(−12120−6−1−2050743−3113−15)∼(−12120−6−1−205070111913−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №1, умноженную на 1:

(−12120−6−1−205070111913−15)∼(−12120−6−1−20507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на 1:

(−12120−6−1−20507011190507)∼(−12120−1−150507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на -1:

(−12120−1−150507011190507)∼(−12120−1−150507011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

(−12120−1−150507011190000)∼(−12120−1−1500−532011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 11:

(−12120−1−1500−532011190000)∼(−12120−1−1500−53200−10640000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на -2:

(−12120−1−1500−53200−10640000)∼(−12120−1−1500−53200000000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&0&0\0&0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу KK к ступенчатому виду. В ней остались 3 ненулевые строки, следовательно, rang K=3rang K=3.

Любым из рассмотренных методов можно найти ранг матрицы.

Наши эксперты готовы оказать вам помощь с решением задачи онлайн по самым низким ценам!

Тест по теме «Ранг матрицы»

Источник

Для того что бы вычислить ранг матрицы можно применить метод окаймляющих миноров или метод Гаусса.
Рассмотрим метод Гаусса или метод элементарных преобразований.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.

Метод Гаусса использует элементарные преобразования, которые не изменяют ее ранг:

Транспонирование.
Перестановка местами строк или столбцов.
Прибавление одной строки/столбца к другой строке/столбцу умноженного на ненулевое число.
Умножение строки или столбца на ненулевое число.

С помощью данного метода нужно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество строк, в которых есть хоть один не нулевой элемент.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы:

Для облегчения дальнейших расчетов поменяем местами строку №1 со строкой №2.

Сделаем элемент a_3,1 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №1, умноженную на 3/2.

Сделаем элемент a_4,1 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №1, умноженную на 2.

Сделаем элемент a_3,2 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №2, умноженную на -1/4. Мы его получили разделив элимент a_3,2 = -0.5 на элимент a_2,2 = 2.

Сделаем элемент a_4,2 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №2, умноженную на -1/2.

Сделаем элемент a_4,3 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №3, умноженную на 2.

В получившейся матрице одна строка содержит нулевые элементы, а три строки имеют не нулевые элементы. Ответ: Ранг=3.

Источник

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук.

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2×1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)×2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(-7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(-7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)×6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор Mok(k+1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору Mok , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mok , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М=2-141

Записываем все окаймляющие миноры:

12-1-207341,20-10374-21,2-13071411,12-1341006,20-14-21036,2-13411065.

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Поскольку элемент а11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2041.

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их(4-2)×(5-2)=6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00, Rank(A)=n

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Rank(A)=p

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0

для квадратных матриц А порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, Rank(A)=n

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k, k<n

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент а11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1а11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~А(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~А(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1)(-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(-5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент а22(2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А(2) на 1а22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320-92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-2203000000000000

К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 32;
к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 92;
к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 32.

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Источник

Методы вычисления ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Находить ранг матрицы по определению — вычисляя миноры всех порядков — очень трудоемкая операция. Следующий алгоритм позволяет уменьшить число рассматриваемых миноров.

Пусть дана матрица размеров mtimes n . Будем говорить, что минор $M_{i_1i_2ldots i_ki_{k+1}}^{j_1j_2ldots j_kj_{k+1}}$ (k+l)-ro порядка окаймляет (содержит в себе) минор $M_{i_1i_2ldots i_k}^{j_1j_2ldots j_k}$ k-го порядка. При описании метода индексы выбранных строк и столбцов, в которых располагается минор, будем указывать, не упорядочивая их по возрастанию. При этом рассматриваемый минор и минор с упорядоченными индексами равны по абсолютной величине и, быть может, отличаются по знаку, но это для метода окаймляющих миноров не имеет никакого значения, поскольку нас интересует только ответ на вопрос: равен минор нулю или нет.

1. Выбираем строку i_1 и столбец j_1 так, чтобы минор 1-го порядка $M_{j_1}^{i_1}=a_{i_1j_1}$ был не равен нулю. Если это возможно, то operatorname{rg}Ageqslant1 , иначе процесс завершается и operatorname{rg}A=1 .

2. Окаймляем минор $M_{j_1}^{i_1}ne0$ , добавляя к выбранным i_1 -ой строке и j_1 -му столбцу еще строку i_2ne i_1 и столбец j_2ne j_1 так, чтобы минор

$M_{j_1j_2}^{i_1i_2}=begin{vmatrix}a_{i_1j_1}&a_{i_1j_2}\ a_{i_2j_1}& a_{i_2j_2} end{vmatrix}ne0.$

Если это возможно, то operatorname{rg}Ageqslant2 , иначе процесс завершается и operatorname{rg}A=2 .

3. Окаймляем минор $M_{j_1j_2}^{i_1i_2}ne0$ , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцам новую строку i_3 и новый столбец j_3 так, чтобы получить минор $M_{j_1j_2j_3}^{i_1i_2i_3}ne0$ . Если это удалось, то operatorname{rg}Ageqslant3 , иначе процесс завершается и operatorname{rg}A=3 .

Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r-го порядка $M_{j_1ldots j_r}^{i_1ldots i_r}ne0$ , т.е. operatorname{rg}Ageqslant r . Однако, все миноры (r+l)-ro порядка, окаймляющие его, равны нулю $M_{j_1j_2ldots j_rj_{r+1}}^{i_1i_2ldots i_ri_{r+1}}=0$ или не существуют (при r=m или r=n ). Тогда процесс завершается и operatorname{rg}A=r .

Пример 3.6. Методом окаймляющих миноров найти ранги матриц

$O=begin{pmatrix}0&0\0&0end{pmatrix}!,quad A=begin{pmatrix}3&9\ 2&4 end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}0&2&3\ 2&4&6end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix} 1&0&2&1&3\ 2&0&1&1&3\ 3&0&3&2&5end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица . 1. В этой матрице нет отличных от нуля миноров первого порядка, так как все ее элементы равны нулю. Поэтому operatorname{rg}O=o .

Матрица . 1. Выбираем первую строку (i_1=1) и первый столбец (j_1=1) матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент $a_{11}=3ne0$ . Получили минор M_1^1=3ne0 . Следовательно, operatorname{rg}Ageqslant1 .

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i_2=2 и еще один столбец j_2=2 . Получаем отличный от нуля минор второго порядка

$M_{12}^{12}= det{A}= begin{vmatrix}3&9\2&4end{vmatrix}=-6ne0$ Следовательно, operatorname{rg}Ageqslant2 .

3. Поскольку исчерпаны все строки и все столбцы матрицы , миноров, окаймляющих $M_{12}^{12}ne0$ , нет. Следовательно, operatorname{rg}A=2 .

Матрица . 1. Выбираем первую строку и второй столбец матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент $b_{12}=2ne0$ . Получили минор M_2^1=2ne0 . Следовательно, operatorname{rg}Bgeqslant1 .

2. Добавляем к уже выбранным вторую строку и третий столбец. Получаем минор второго порядка $M_{23}^{12}=begin{vmatrix}2&3\4&6end{vmatrix}=0$ . Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вместо третьего столбца возьмем первый. Тогда получим отличный от нуля минор второго порядка $M_{21}^{12}= begin{vmatrix}2&0\4&2end{vmatrix}=4ne0$ . Следовательно, operatorname{rg}Bgeqslant2 .

3. Все строки матрицы исчерпаны. Миноров третьего порядка нет. Поэтому operatorname{rg}B=2 .

Матрица . 1. Выбираем первую строку (i_1=1) и первый столбец (j_1=1) матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент $a_{11}=1ne0$ . Получили минор $M_{1}^{1}=1ne0$ . Следовательно, operatorname{rg}Cgeqslant1 .

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i_2=2 и еще один столбец j_2=2 . Получили минор второго порядка $M_{12}^{12}= begin{vmatrix}1&0\2&0end{vmatrix}$ . Выбор второго столбца оказался неудачным, так как получили минор, равный нулю. Возьмем вместо второго третий столбец (j_2=3) . Получим минор $M_{13}^{12}= begin{vmatrix}1&2\2&1end{vmatrix}=-3ne0$ . Следовательно, operatorname{rg}Cgeqslant2 .

3. Окаймляем минор $M_{13}^{12}ne0$ . Имеется три окаймляющих минора

$M_{134}^{123}= begin{pmatrix}1&2&1\ 2&1&1\ 3&3&2end{pmatrix}=0,quad M_{135}^{123}= begin{pmatrix}1&2&3\ 2&1&2\ 3&3&5end{pmatrix}=0,quad M_{132}^{123}= begin{pmatrix}1&2&0\ 2&1&0\ 3&3&0end{pmatrix}=0.$

Три определителя равны нулю, так как третья строка равна сумме первых двух строк. Следовательно, нельзя найти отличный от нуля окаймляющий минор 3-го порядка, т.е. ранг матрицы равен 2.

Замечание 3.4. Метод окаймляющих миноров позволяет уменьшить по сравнению с определением количество рассматриваемых миноров. Если в матрице размеров mtimes n выбран минор r-го порядка (r<min{m,n}) , то количество окаймляющих его миноров (r+l)-ro порядка равно (m-r)(n-r) , а общее количество миноров (r+1)-го порядка гораздо больше.

Метод Гаусса нахождения ранга матрицы

Пусть дана матрица размеров mtimes n . Для нахождения ее ранга нужно выполнить следующие действия.

1. Привести матрицу к ступенчатому виду (см. метод Гаусса).

2. В полученной матрице вычислить количество ненулевых строк. Это число равно рангу матрицы .

Замечания 3.5.

1. Обоснованием этого метода служит следствие 2 теоремы 3.4. Базисным минором в матрице ступенчатого вида (см. рис. 1.4) является минор

$M=begin{vmatrix}1&ast&cdots&ast\ 0&1&cdots&ast\ vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&cdots&1 end{vmatrix},$

составленный из столбцов, содержащих единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»). Этот определитель треугольного вида отличен от нуля (равен 1), а любой его окаймляющий минор (если такой найдется) равен нулю, так как содержит нулевую строку.

2. Метод Гаусса для нахождения ранга произвольной матрицы наиболее экономичен, так как требует меньше вычислений, чем другие методы. Конечно, для матриц какого-либо специального вида (блочных, разреженных и т.п.) можно предложить более эффективные методы.

Пример 3.7. Методом Гаусса найти ранги матриц

$O=begin{pmatrix}0&0\0&0end{pmatrix}!,quad A=begin{pmatrix}3&9\2&4 end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}0&2&3\2&4&6end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix} 1&0&2&1&3\ 2&0&1&1&2\ 3&0&3&2&5end{pmatrix}!,quad D=begin{pmatrix}1&2&3\ 0&0&0\ 2&1&3\ 1&1&2\ 3&2&5 end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица . 1. Нулевая матрица уже имеет ступенчатый вид (см. п.2 замечаний 1.8).

2. Количество ненулевых строк равно нулю. Следовательно, operatorname{rg}O=0 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

$Asim begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}!.$

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}A=2 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

$Bsim begin{pmatrix}1&2&3\0&1&1,!5end{pmatrix}!.$

В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}B=2 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Взяв в качестве ведущего элемента $a_{11}=1$ , делаем равными нулю остальные элементы первого столбца: ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (-2), к третьей строке — первую, умноженную на (-3). Получаем матрицу

$C=begin{pmatrix}1&0&2&1&3\ 2&0&1&1&2\ 3&0&3&2&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&2&1&3\ 0&0&-3&-1&-4\ 0&0&-3&-1&-4end{pmatrix}!,$

У которой имеются две равные строки. По следствию 1 теоремы 3.3 одну из равных строк вычеркиваем:

$Csim begin{pmatrix}1&0&2&1&3\ 0&0&-3&-1&-4end{pmatrix}!.$

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}C=2 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Вычеркнув предварительно нулевую строку, берем в качестве ведущего элемента $a_{11}=1$ , и делаем равными нулю остальные элементы первого столбца:

$Dsim begin{pmatrix}1&2&3\ 2&1&3\ 1&1&2\ 3&2&5 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2&3\ 0&-3&-3\ 0&-1&-1\ 0&-4&-4end{pmatrix}!.$

Последние три строки матрицы пропорциональны. По следствию 1 теоремы 3.3 две из них можно вычеркнуть:

$Dsim begin{pmatrix}1&2&3\ 0&-1&-1end{pmatrix}!.$

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}D=2 .

Заметим, что operatorname{rg}C=operatorname{rg}D , так как D=C^T (см. следствие 1 теоремы 3.4).

Пример 3.8. Даны матрицы

$A=begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}0&0\0&1 end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}!.$

Найти ранги матриц: A+B;~A+C;~AB;~AC .

Решение. По определению имеем operatorname{rg}A=1,~ operatorname{rg}B=1,~ operatorname{rg}C=2 . Находим суммы и произведения данных матриц, а также их ранги:

$A+B= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}+ begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}= operatorname{rg}(A+B)=2$ , то есть operatorname{rg}(A+B)= operatorname{rg}A+ operatorname{rg}B ;

$A+C= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}+ begin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}= operatorname{rg}(A+C)=1$ , то есть operatorname{rg}(A+C)< operatorname{rg}A+ operatorname{rg}C ;

$Acdot B= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}!cdot !begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}0&0\0&0end{pmatrix}= operatorname{rg}(Acdot B)=0$ , то есть operatorname{rg}(Acdot B)< min{operatorname{rg}A, operatorname{rg}B} ;

$Acdot C= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}!cdot !begin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}= operatorname{rg}(Acdot C)=1$ , то есть operatorname{rg}(Acdot C)= min{operatorname{rg}A, operatorname{rg}C} ;

Полученные результаты иллюстрируют справедливость теорем 3.5, 3.6.

См. также Ранг системы столбцов (строк)

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник