Как найти расстояние до точки пересечения высот - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Правильно я поняла условие: $%AB=BC=13; AC=10$% ? Обозначим $%AK, BM$% — высоты треугольника, их точка пересечения $%H$%. Тогда $%MC=5$%, из треугольника $%BMC: BM=12$%. Треугольники $%BMC, AKC$% подобны как прямоугольные треугольники с общим углом $%C$%, коэффициент подобия есть отношение соответственных сторон: $%frac{MC}{KC}=frac{BC}{AC}$%, т.е. $%frac{5}{KC}=frac{13}{10}$%, откуда $%KC=frac{50}{13}$%. Тогда $%BK=BC-CK=13-frac{50}{13}=frac{119}{13}$%. Прямоугольные треугольники $%BHK, BCM$% подобны (общий острый угол $%B$%). $%frac{BH}{BC}=frac{BK}{BM}$%, т.е. $%frac{BH}{13}=frac{119}{13}:12$%, откуда $%BH=frac{119}{12}$%.

Источник

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Расстояние от вершины А до точки пересечения высот

Добавлено: 18 май 2013, 13:03

Профи

Зарегистрирован:
30 янв 2013, 14:15
Сообщений: 401
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Найдите от точки пересечения высот до вершины А треугольника АВС, в котором а=14, b=15 c=13.
С чего начать, может по теореме косинусов найти угол А, а дальше? Спасибо.

Вернуться к началу

lika01	Заголовок сообщения: Re: Расстояние от вершины А до точки пересечения высот Добавлено: 18 май 2013, 14:09
	andrei А как его можно применить?
Вернуться к началу

lika01	Заголовок сообщения: Re: Расстояние от вершины А до точки пересечения высот Добавлено: 18 май 2013, 18:15
	andrei Спасибо! Я вот только не знаю как 4 и 5 пункты найти
Вернуться к началу

lika01	Заголовок сообщения: Re: Расстояние от вершины А до точки пересечения высот Добавлено: 18 май 2013, 18:19
	andrei А центр описанной окружности как раз является точкой пересечения серединных перпендикуляров? Удвоенный радиус как раз будет искомым отрезком?
Вернуться к началу

lika01	Заголовок сообщения: Re: Расстояние от вершины А до точки пересечения высот Добавлено: 18 май 2013, 18:34
	MihailM У меня не получается сюда вставить картинки. Но у меня рисунок есть на листочке.
Вернуться к началу

Источник

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

BD – высота, опущенная на сторону AC;
BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

внутри;
снаружи;
в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

H — ортоцентр в ABC;
О — центр описанной окружности.

Тогда:

окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/ortotsentr.html

Свойства равностороннего треугольника

Источник

Как найти расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты остроугольного треугольника до вершины?

Расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты остроугольного треугольника до вершины может быть определено с помощью формулы угла между биссектрисой и стороной треугольника.

Определение остроугольного треугольника

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого каждый угол меньше 90 градусов. Угол между биссектрисой и стороной остроугольного треугольника также острый, поэтому расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты до вершины будет определяться по следующей формуле:

Формула определения расстояния

h = (2 * p * q * sin(angle)) / (p + q)

где:

h — расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты до вершины
p и q — отрезки стороны треугольника, граничащие с углом между биссектрисой и стороной треугольника
angle — угол между биссектрисой и стороной треугольника

Пример

Допустим у нас есть остроугольный треугольник ABC, у которого стороны AB, AC и BC составляют 3, 4 и 5 соответственно.

Тогда, чтобы найти расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты до вершины, необходимо выполнить следующие шаги:

Найти угол между биссектрисой и стороной треугольника, используя теорему косинусов:

cos(angle) = (b^2 + c^2 — a^2) / 2bc

где:

a, b и c — длины сторон треугольника
angle — угол между биссектрисой и стороной треугольника

Для нашего треугольника:

cos(angle) = (3^2 + 5^2 — 4^2) / 2 * 3 * 5 = 7 / 15

angle = arccos(7 / 15) ≈ 1.14 радиан

Найти отрезки p и q, граничащие с углом между биссектрисой и стороной треугольника. Для этого можно использовать формулы:

p = 2bc * cos(angle/2) / (b + c)

q = 2bc * sin(angle/2) / (b + c)

где:

p и q — отрезки стороны треугольника, граничащие с углом между биссектрисой и стороной треугольника
a, b и c — длины сторон треугольника
angle — угол между биссектрисой и стороной треугольника

Для нашего треугольника:

p = 2 * 3 * 5 * cos(1.14/2) / (3 + 5) ≈ 1.91

q = 2 * 3 * 5 * sin(1.14/2) / (3 + 5) ≈ 0.91

Подставить найденные значения в формулу:

h = (2 * p * q * sin(angle)) / (p + q)

Для нашего треугольника:

h = (2 * 1.91 * 0.91 * sin(1.14)) / (1.91 + 0.91) ≈ 1.31

Таким образом, расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты остроугольного треугольника до вершины равно примерно 1,31.

Источник

Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC:
O — ортоцентр,
∠ BAC = a,
∠ ABC = b,
∠ ACB = c.

Утверждения.
1. Треугольник ABC подобен треугольнику, образованному вершиной B и основанием двух высот:
Δ ABC ∼ Δ H₃BH₂,
коэффициент подобия:
H₃B / AB = H₂B / CB = H₃H₂ / AC = cos b.

2. Соотношение отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, можно вычислить по формуле:
BO / OH₁ = cos b / (cos a * cos c).

3. Высоты треугольника можно вычислить по формуле:
BH₁ = AC * sin a * sin c / sin b.

4. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника:
OB = AC / tg b.

5. 1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = 1 / r,
r — радиус вписанной окружности.

Докажем эти утверждения.
1.

В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE.
Докажем, что треугольник ABC подобен треугольнику ADE.

Решение.
Рассмотрим Δ ABD:
cos A = AD / AB.
Рассмотрим Δ ACE:
cos A = AE / AC.
Таким образом,
cos A = AD / AB = AE / AC.
Значит, Δ ABC ∼ Δ ADE по двум сторонам и углу между ними.

2.

Диагонали трапеции ABCD пересекаются под прямым углом.
CH – высота, проведенная к большему основанию AD.
∠ CAD = a,
∠ ACD = c,
∠ ADC = d.
Найдем отношение, в котором диагональ трапеции делит высоту CH.

Решение.
Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции,
O — точка пересечения диагонали BD и высоты CH.
Найдем соотношение CO / OH.

Δ BOC подобен Δ DOH по двум углам,
так как ∠ BCO = ∠ DHO = 90,
∠ BOC = ∠ DOH как вертикальные.
Значит,
CO / OH = BC / DH. (*)

Рассмотрим Δ CKD:
KC = CD * cos c.
Рассмотрим Δ BCK:
BC = KC / cos a = (CD * cos c) / cos a.
Рассмотрим Δ CHD:
HD = CD * cos d.

Из (*) и последних трех равенств получаем:
CO / OH = BC / DH =
( (CD * cos c) / cos a ) : (CD * cos d) =

Таким образом, мы нашли соотношение отрезков, на которые ортоцентр O треугольника ABD делит высоту CH:

3.

Найдем расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины, и высоту, проведенную из этой вершины, если известны углы треугольника и противолежащая сторона.