1.Если производная функции y
= f(x)
положительна (отрицательна) во всех
точках промежутка, то функцияy
= f(x)
монотонно возрастает (убывает)на этом промежутке.
2.Точкаx0называется точкоймаксимума (минимума)
функцииy = f(x),
если существует интервал, содержащий
точкуx0, такой,
что для всехxиз этого
интервала имеет место неравенствоf(x0)≥ f(x),(f(x0)≤ f(x)).
Точки максимума и точки минимума
называются точкамиэкстремума.
3. Необходимое условие экстремума:
в точке экстремума функции ее производная
либо равна нулю(f
′(x)=0), либо
не существует.
4.Первое достаточное условие
экстремума: если в точке x0функцияy = f(x)
непрерывна, а производная f
′(x)при
переходе через точкуx0меняет знак, то точкаx0– точка экстремума: максимума, если
знак меняется с «+» на «-», и минимума,
если с «–» на «+».
Если при переходе через точку x0производная не меняет знак, то в точкеx0экстремума нет.
5.Второе достаточное условие
экстремума: если в точкеx0
,
а
,
тоx0является точкой
максимума функции. Если
,
а
,
тоx0является точкой
минимума функции.
6.Схема исследования функции
на экстремум:
1) найти производную
;
2) найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или не
существует;
3) исследовать знак производной слева
и справа от каждой критической точки и
сделать вывод о наличии экстремумов
функции;
4) найти экстремальные значения функции.
При исследовании функции на экстремум
с помощью 2-го достаточного условия п.
1), 2), 4) сохраняются, а в п. 3) необходимо
найти вторую производную
и определить ее знак в каждой критической
точке.
7.Чтобы найтинаибольшее и наименьшее
значение(глобальный максимум и
минимум) функции
на отрезке [a,b]
следует выбрать наибольшее (наименьшее)
из значений функции в критических
точках, находящихся в интервале (a,b)
и на концах отрезка (в точкахaиb).
8.Если дифференцируемая на интервале
(a,b) функция
имеетединственнуюточку экстремума,
то в этой точке достигается наибольшее
или наименьшее значение (глобальный
максимум или минимум) функции на интервале
(a,b).
8.35. Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции
.
Решение. В соответствии со схемой
исследования (п. 6) найдем
.Очевидно, производная существует при
всех значенияхx. Приравниваяy′ к нулю, получаем
уравнение
откуда
и
— критические точки. Знаки производной
имеют вид (рис. 8.1):
Рис. 8.1
На интервалах
и
производная
и функция возрастает, на интервале
и функция убывает;
Рис. 8.2
— точка максимума и
— точка минимума и
,
так как при переходе через эти точки
производная меняет свой знак соответственно
с «+» на «-» и с «-» на «+».
Замечание.Установить
существование экстремума в критических
точках
и
,
в которых
можно было и с помощью второй производной
(см.
п. 5). Так как
,
а
,
то
— точка максимума, а
— точка минимума.
График данной функции схематично показан
на рисунке 8.2.
8.36. Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции
.
Решение.
.
Производная существует во всех точках,
в которых существует и сама функция,
т.е. при x> 0. Точки, в
которых производная обращается в нуль,
задаются равенствамиlnx=0,lnx-1
= 0, откудаx1 =1,x2
= е – критические точки. Знаки
производной указаны на рис. 8.3.
Рис.8.3
Таким образом, функция монотонно
возрастает на промежутках (0;1) и (е;+
)
и монотонно убывает на промежутке (1;е).
Точкаx= 1 – точка максимума
и
,
точка х = е – точка минимума и
.
8.37. Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции
Решение.
.
Производная не существует приcosx=1 т.е. при
и равна нулю при
.
Знак производной совпадает со знакомsin(x); таким
образом у’ >0 при
иy'<0 при
.
Это, соответственно, интервалы возрастания
и убывания функции.
— точки максимума
,
— точки минимума
.
8.38. Найти наибольшее значение
(глобальный максимум) функции
на интервале (10;18).
Решение. Найдем
.
На интервале (10;18) имеется всего одна
критическая точкаx= 6.
Производная при переходе через эту
точку меняет знак с «+» на «-», т.е.x= 6 – точка максимума. Следовательно,
функция достигает наибольшего значения
приx= 16, т.е.
.
(Заметим, что наименьшего значения
(глобального минимума) данной функции
на указанном интервале не существует.)
8.40. Забором длиной 24 метра требуется
огородить с трех сторон прямоугольный
палисадник наибольшей площади. Найти
размеры палисадника.
Решение.Пусть длины сторон палисадникаx,y. Тогда
2x+y= 24, т.е.y= 24-2x.
Площадь палисадникаS=xy=x(24-2x)
= 24x-2x2,
где 0<x<12 (ибо 24-2x>0).
Таким образом, задача свелась к отысканию
значенияx, при которомS(x) принимает
наибольшее значение на интервале (0;12).
НайдемS'(x)
= 24-4x= 0 приx= 6. Легко видеть, чтоx= 6
– единственная точка экстремума –
максимума функцииS(x).
Это означает, что на интервале (0;12)S(x)
принимает наибольшее значение приx= 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м
и 24- 2 — 6 = 12 м.
Найти интервалы
монотонности и экстремумы функции:
8.41.
.8.42.
.8.43.
.
8.44.
.8.45.
8.46.
.
8.47.
.8.48.
.8.49.
.
8.50.
.8.51.
.8.52.
.
8.53.
.8.54.
.8.55.
.
8.56.
.8.57.
.8.58.
.
8.59.
.8.60.
.
Найти наибольшее
и наименьшее значение (глобальный
максимум и минимум) функции
на отрезке [a,b]:
8.61.
8.62.
8.63.
8.64.
8.65.
8.66.
8.67.
8.68.
Найти наибольшее
или наименьшее значение (глобальный
максимум или минимум) функции
на интервале(a,b):
8.69.
8.70.
8.71.
8.72.
8.73.
8.74.
8.75. Рассматриваются всевозможные
прямоугольные параллелепипеды, основания
которых являются квадратами, а каждая
из боковых сторон имеет периметр, равный
6 см. найти среди них параллелепипед с
наибольшим объемом и найти этот объем.
8.76. Определить размеры открытого
бассейна с квадратным дном, при которых
на облицовку стен и дна пойдет наименьшее
количество материала. Объем бассейнаVфиксирован.
8.77. Требуется огородить два участка:
один в форме правильного треугольника,
другой в форме полукруга. Длина изгороди
фиксирована и равна Р. Определить размеры
участков (сторону треугольника и радиус
полукруга) так, чтобы сумма площадей
этих участков была бы наименьшей.
8.78. В треугольнике с основаниемaи высотойh вписан
прямоугольник, основание которого лежит
на основании треугольника, а две вершины
— на боковых сторонах. Найти наибольшую
площадь вписанного прямоугольника.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание:
- Необходимое условие экстремума
- Первое достаточное условие экстремума
- Второе достаточное условие экстремума
Определение
Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности
выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_{0}right)$.
Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой
точки, что для всех $x$ из этой окрестности
$f(x) geq fleft(x_{0}right)$.
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.
Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Необходимое условие экстремума
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке
$x_{0}$, то ее производная
$f^{prime}left(x_{0}right)$ либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Первое достаточное условие экстремума
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:
- функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
- $f^{prime}left(x_{0}right)=0$ или $f^{prime}left(x_{0}right)$ не существует;
- производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.
Тогда в точке $x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если
при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой
знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$
производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:
- найти производную $f^{prime}(x)$;
- найти критические точки, то есть такие значения $x$,
в которых $f^{prime}(x)=0$ или
$f^{prime}(x)$ не существует; - исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
- найти значение функции в экстремальных точках.
Пример
Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
$y^{prime}=left(x^{4}-1right)^{prime}=4 x^{3}$
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{prime}(x)=0$:
$y^{prime}=4 x^{3}=0 Rightarrow x=0$
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку
$x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и
исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное
значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку $x=0$ производная
сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
$y_{min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.
Замечание. Также можно определить интервалы
монотонности функции: так как на интервале
$(-infty ; 0)$ производная
$y^{prime}(x) lt 0$, то на этом интервале функция
$y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале
$(0 ;+infty)$ производная
$y^{prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$
Второе достаточное условие экстремума
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:
- она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
- первая производная $f^{prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
- $f^{prime prime}(x) neq 0$ в точке $x_{0}$ .
Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум,
причем, если $f^{prime prime}left(x_{0}right)>0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет минимум; если
$f^{prime prime}left(x_{0}right) lt 0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ достигает максимум.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Исследовать функцию $y(x)=frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.
Решение. Находим первую производную заданной функции:
$y^{prime}(x)=left(frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}right)^{prime}=frac{2 xleft(x^{2}+1right)-left(x^{2}-1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}$
Находим точки, в которых первая производная равна нулю:
$y^{prime}(x)=0 Rightarrow frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=0 Rightarrow x=0$
Вторая производная заданной функции:
$y^{prime prime}(x)=left(frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}right)^{prime}=frac{4left(x^{2}+1right)^{2}-4 x cdot 2left(x^{2}+1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{4}}=$
$=-frac{4left(3 x^{2}-1right)}{left(x^{2}+1right)^{3}}$
В стационарной точке $x=0$ вторая производная
$y^{prime prime}(0)=-frac{4 cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает
минимум, причем $y_{min }=y(0)=frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.
Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Что подразумевается под понятием «экстремум»?
Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в
момент достижения им минимального или максимального показания. Под
понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается
значение функции (у).
Точка экстремума – что это такое?
Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами,
максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта
точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при
достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и,
наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой
максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или
минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются
минимальные или максимальные значения.
Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?
Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x)
при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой
окрестность (x₀ — V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого
значения x <> x₀ действительно следующее неравенство:
f(x)>f(x₀).
Как описать точку минимума функции?
Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой
функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений,
приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это
означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки,
прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и
представляет собой точку ее минимума.
Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она
достигает в точке своего минимума?
Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной
функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать
следующим образом:
y’ = 4x³ — 12x² + 12x – 4
Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно
переписать равенство в следующем виде:
4x³ — 12x² + 12x — 4 = 0
Сократим данное уравнение на 4:
x³ — 3x² + 3x — 1 = 0
Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после
перемены местами слагаемых:
(x³ — 1) + (-3x² + 3x) = 0
Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:
(x — 1)(x² + x + 1) -3x(x — 1) = 0
Это же уравнение может выглядеть так:
(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0
Произведем сложение слагаемых х и -3х:
(x — 1) (x² -2x + 1) = 0
Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:
(x — 1)(x-1)² = 0
Получившееся равенство:
(x — 1)³ = 0
В этом случае х = 1
-∞ 1 +∞
Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.
После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является
точкой минимума функции:
у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² — 4*1 = 1 — 4 +6 — 4 = -1
Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для
функции y = -x/x²+484?
Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная
начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к
поиску точки максимума для функции, указанной в задании.
Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:
(U/V)’ = (U’V — UV’)/V²
Подставляем приведенные в задании значения и получаем:
y’ = (-(x² + 484) — 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²
Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся
уравнение:
(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0
Упростим уравнение и получим:
(-x²-484 -2x) = 0
(x² +484)² ≠ 0
-x²-484 -2x = 0
Избавимся от минусов в уравнении:
x² + 2x +484 = 0
D < 0
В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что
невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки
производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать
вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.
Что представляет собой точка максимума функции?
Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает
значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в
соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой
функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее
максимум.
Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее
максимума и минимума?
В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется
определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого
графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями»
производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график
производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в
это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также
изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая
пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если
же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из
положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется
на убывание, то речь идет о точке ее максимума.
Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?
Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно
приравнять функцию к 0:
у = 0
Это же означает, что:
4X⁴ + 2X² + 1 = 0
Введем обозначения:
Х2 = А, при этом А больше 0.
С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:
4A² + 2A + 1 = 0
D = 4 — 4 = 0 ; √ D = 0
A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (< 0) 1
Очевидно, что корней нет.
Ответ: х = 0, у = 1.
Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?
Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем
виде:
у = -0,25+ (x-1,5)²
Отсюда следует, что:
miny = — 0,25 при условии, что х-1,5 = 0
Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.
Запишем производную данной функции:
y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3
А затем приравняем ее к 0:
y ‘ = 0, значит:
2x -3 = 0.
Это позволяет сделать вывод о том, что:
x = 3/2.
Получается, что, если x < 3/2, то производная y’ < 0, и при этом функция убывает.
Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.
x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой
минимума.
miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.
Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?
Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с
которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не
существует.
Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x — 3/x не
может иметь критической точки?
Для начала нужно определить, что под критической точкой функции
подразумевается та точка, при пересечении с которой производная
приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует
в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно
дифференцировать.
Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:
f ‘(x) =(sin2x — 3x)’ = 2sin2x-3
Приравняем производную функции к 0:
f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.
Следовательно:
sin2x= 3 2 не имеет решения
Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых
х.
Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?
Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее
производная равна 0 или вовсе не существует.
В задании дана функция:
y=|x|/(1+x²)
Предположим, что x<0, тогда:
y=-x/(1+x²)
Запишем производную функции и приравняем ее к 0:
y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0
х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.
Теперь предположим, что x≥0.
Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:
y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0
х = — 1 не отвечает условию, значит х = 1.
Ответ: х = 1, х = -1.
Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.
Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.
(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.
(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
(-7): минимум.
(3): максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции (f'(x)).
- Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
- Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
— если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
— если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
— если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).
Ответ. (-2).
Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Скачать статью
Как найти точки минимума и максимума функции
Содержание:
-
Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
- Исследование функций на экстремумы
- Примеры задач
Минимум и максимум функции
Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:
- (y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
- (x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
- (y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.
Точка минимума, минимум функции
Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))
Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.
Точка максимума, максимум функции
Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))
Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)
Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.
Точки максимума и минимума на графике:
Исследование функций на экстремумы
Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.
Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:
-
Найти область определения функции — D(y).
-
Определить производную — f ‘(x).
-
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
-
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
-
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
-
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Примеры задач
Задача 1
Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)
Решение задачи по алгоритму:
1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.
2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .
3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:
Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)
4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 — точка максимума, а x=2 — минимума.
5) Найдем значение экстремумов функции.
(f(0)=0-3times0=0)
(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)
Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) — минимум функции, (2;-4) — максимум.
Задача 2
Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).
1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)
2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})
3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.
Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.
Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).
Задача 3
Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.
1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.
2) (f'(x)=5x^4+6x)
3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.
Утверждение доказано
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Экстремумы функции
Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.
Определение 1
Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.
Определение 2
Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)le f(x'{rm })$.
Определение 3
Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)ge f(x'{rm })$.
Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.
Определение 4
Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:
- Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
- $f’left(x'{rm }right)=0$ или не существует.
Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.
Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.
«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇
Теорема 2
Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $left(a,x'{rm }right) и (x'{rm },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:
- Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright) >0$, а в $(x'{rm },b)$ $f’left(xright)
- Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright)0$, то $x’$ —будет точкой минимума для этой функции.
- Если и в $(a,x'{rm })$, и в $(x'{rm },b)$ производная $имеет один и тот же постоянный знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.
На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.
Рисунок 1.
Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.
Рисунок 2.
Правило исследования на экстремум
- Найти $D(f)$;
- Найти $f'(x)$;
- Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
- Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
- Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
- Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.
Понятие наибольшего и наименьшего значений
Определение 5
Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется
[fleft(xright)le f(x’)]
Определение 6
Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется
[fleft(xright)ge f(x’)]
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:
- Найти $f'(x)$;
- Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
- Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
- Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
- Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
- Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
Примеры задач
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]: $fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$
Решение.
- $f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
- $f’left(xright)=0$;
- [3x^2-6x-45=0]
- [x^2-2x-15=0]
- [x=5, x=-3]
- $f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
- $5in left[0,6right]$;
-
Значения:
[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
-
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$
Ответ: $max=225, min=50$.
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения на [-1,1]:$fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}$
Решение.
[fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}=frac{{(x-2)}^2}{x-2}=x-2, xne 2]
-
$f’left(xright)=(x-2)’=1$;
Точек экстремума нет.
-
Значения:
[fleft(-1right)=-3] [fleft(1right)=-1]
Ответ: $max=-1, min=-3$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме