Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.
Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).
Рис.1. Так выглядит формула, по которой можно вычислить путь тела, не зная, сколько времени занимало движение
Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.
Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.
Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.
Выводим формулу пути без времени
Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.
В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).
Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.
Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:
[ large begin{cases} S = v_{0} cdot t + displaystylefrac{a}{2} cdot t^{2} \ v = v_{0} + a cdot t end{cases} ]
( large v_{0} left( frac{text{м}}{c} right)) – начальная скорость тела;
( large v left( frac{text{м}}{c} right)) – конечная скорость;
( large a left( frac{text{м}}{c^{2}} right)) – ускорение тела;
( large S left( text{м} right)) – путь, пройденный телом;
(large t left( c right)) – время, за которое тело прошло этот путь.
В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.
Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:
- сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;
- затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.
Выражаем время из формулы для скорости
Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:
[ large v = v_{0} + a cdot t ]
Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом ( v_{0}). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число ( v_{0}). Получим такую запись:
[ large v — v_{0} = a cdot t ]
Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:
[ large frac{ v — v_{0}}{a} = t ]
Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».
В формулу пути подставим выражение для времени
Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:
[ large begin{cases} S = v_{0}cdot t + displaystyle frac{a}{2}cdot t^{2}\ displaystyle frac{v — v_{0}}{a} = t end{cases} ]
В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:
[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.
Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части
Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:
[large v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} ]
Умножим числитель дроби на число (v_{0}).
Для этого:
- сначала числитель обособим скобками;
- затем запишем число (v_{0}) перед скобками;
- а потом внесем это число внутрь скобок.
В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число (v_{0}):
[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} ]
Теперь необходимо умножить скобку на число (v_{0}). На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.
Рис. 2. Чтобы умножить скобку на число, нужно умножить каждое слагаемое в скобке на это число
Нужно к каждой скорости в скобках дописать число (v_{0}), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:
[large frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v — v_{0} cdot v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]
То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:
[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]
Возводим в квадрат дробь
После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:
[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.
Рис. 3. Дробь возводим в степень, отдельно возводя в эту степень ее числитель и знаменатель
В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:
[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}}]
В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.
Рис. 4. Удобный для запоминания вид формул сокращенного умножения
Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:
[large ( v — v_{0})^{2} = (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})]
Теперь можем записать полученную дробь:
[large frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} ]
Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»
Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:
[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:
[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}}]
Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.
Итак, поменяем местами знаменатели дробей:
[large frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} = frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]
Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:
[large frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]
А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:
[large frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:
[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».
Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.
Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения
Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:
[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]
Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:
[large S = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Сравним знаменатели дробей.
Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.
Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:
[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1]
Примечания:
- Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
- Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).
Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:
[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1 = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2}]
Получим такую дробь:
[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2} = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} ]
Поместим ее в выражение для пути:
[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Дроби с одинаковыми знаменателями складываем
Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:
[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} ) + (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]
Раскроем скобки в числителе полученного выражения:
[large S = frac{ 2v_{0} v – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0}}{2a}]
Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член (2v_{0} v), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа (2v_{0}v) вычитается такое же число (2vv_{0}). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:
[large S = frac{ – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0}}{2a}]
Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:
[large S = frac{ v^{2} + v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0}}{2a}]
Вычтем подобные члены, содержащие ( v^{2}_{0}):
[large v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0} = – v^{2}_{0} ]
В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:
[large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
Примечания:
- Это формула, с помощью которой можно рассчитать путь тела, когда известны его начальная и конечная скорость, а, так же, ускорение.
- Видно, что время t в правой части этого выражения отсутствует.
- Мы выводили эту формулу для случая, когда тело увеличивало скорость.
Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается
Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:
[large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]
Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:
[ large begin{cases} S = v_{0} cdot t — displaystyle frac{a}{2} cdot t^{2} \ v = v_{0} — a cdot t end{cases} ]
Выводы
Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:
- Когда движение равноускоренное и скорость тела увеличивается: [large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
- А когда движение равнозамедленное и скорость уменьшается: [large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Формула перемещения
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
- Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
- Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
v = v0 ± at
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
t1 = t – t2
Когда тело тормозит, через некоторое время t1 оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
0 = v01 – at1
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
t2 = t – t1
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
v = at2
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
s = |s1 – s2|
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
l = s1 + s2
Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с2. Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
v02 = v01 + a1t1 = a1t1 (так как v01 = 0)
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с2. Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
- Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
- Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
- 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
- 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Задание EF18553
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t2(все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.
2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.
3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.
4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.
5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
x(t)=x0+v0t+at22
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).
Перемещение тела определяется формулой:
s=v0t+at22
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
x(t)=v0t+at22=5t−3t2
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Ek=mv22
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v=v0+at=5−6t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18774
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
- Определить величины, которые характеризуют такое движение.
- Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
- Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
- перемещение и путь;
- скорость;
- ускорение.
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
Ответ: 24
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 25.6k
В кинематической теории расстояние, скорость, ускорение, смещение и время являются фундаментальными понятиями для вывода уравнения движения в 2-мерном пространстве.
Как правило, расстояние, пройденное телом за единицу времени, дает скорость. Если скорость изменяется со временем во время движения, тело обладает термином ускорение. В этом посте, как скорость, ускорение расстояние связаны подробно, и мы узнаем, как найти скорость с ускорением и расстоянием.
Как найти скорость с учетом ускорения и расстояния?
Предположим, тело начинает двигаться с начальной скоростью, равной нулю. Тело движется с ускорением «а» и преодолевает расстояние «d» метров; тогда нам нужно найти скорость при котором тело движется. Теперь возникает вопрос, как найти скорость с ускорением и расстоянием?
Скорость показывает, насколько быстро объект может перемещаться на расстояние за определенный период времени.
Выражение дается
v=х/т
Но из рассмотрения уравнения
v = а * т
т=в/а
Подставляя значение t и переставляя, получаем
v=x/(v/а)
v2 = а * х
v = √ топор
Полученное выше уравнение применимо, если тело начинает двигаться из нулевая скорость а потом разгоняется. Тело движется с постоянным ускорением, преодолев расстояние d.
Используя общее выражение, мы можем найти скорость тела с помощью ускорение и расстояние с учетом или без учета времени.
Как найти скорость из ускорения и расстояния без учета времени?
Скорость тела всегда измеряется с помощью время принято телом пройти определенное расстояние. Если к тому времени не указано время, как найти скорость с ускорением и расстоянием?
Мы следуем двум методам, чтобы найти скорость с заданными ускорением и расстоянием. Обычно мы рассматриваем время в самом первом уравнении; исключив фактор времени, мы получим уравнение скорости без время.
Алгебраическим методом:
Чтобы вычислить скорость без учета времени, рассмотрим уравнение скорости с ускорением и временем,
v = а * т
Отношение пройденного расстояния и времени дает скорость тела. Он задается уравнением,
v=х/т
Где x — пройденное расстояние, а t — время, необходимое для преодоления расстояния d,
х/т=при
Подставляя значение v в первое уравнение; мы получили,
х = при2
Из кинематической теории, если скорость тела изменяется со временем, то мы берем среднее значение скорости;
х= в2/2
Но мы можем сказать, что t= v/a, подставляя в вышеприведенное уравнение
Решая и переставляя термины, мы получаем,
х=v2/2а
v2 = 2 оси
v=√2ax
Приведенное выше уравнение отвечает как найти скорость с ускорением и расстояние.
Методом интегрального исчисления:
Ускорение можно записать как,
а=дв/дт
Скорость — это не что иное, как производная по времени от расстояния, пройденного телом; это дается,
dt=dx/v
Подставляя значение dt в уравнение ускорения, получаем
а=вдв/дх
a dx = v dv Так как мы считали, что исходное тело обладает нулевая скорость, мы интегрируем приведенное выше уравнение с предельным нулем до максимального значения скорости и расстояния.
топор=v2/2
v2 = 2 топора
v=√2ax
Как найти скорость по графику ускорения и расстояния?
График зависимости ускорения от расстояния дает уравнение движение в течение определенного периода времени.
Площадь под ускорение – расстояние график дает квадрат скорости движущегося тела. Согласно определению ускорения, это производная второго порядка от расстояния, так что скорость будет в два раза больше площади.
Например, график ускорения-смещения для тела, движущегося с постоянным ускорением, по истечении определенного времени тело замедляется и преодолевает определенное расстояние, приведенный ниже, скорость тела может быть рассчитана с помощью графика.
Область, покрываемая рекламным графом, представляет собой треугольник; следовательно, площадь треугольника определяется выражением
А=1/2 чб
А=1/2 5*7
A = 17. 5 единиц
Скорость можно записать как
А=√2*площадь
А=√35
Потому что 2А = 35 единиц.
v = 5.91 м / с.
Как найти начальную скорость по ускорению и расстоянию?
Начальная скорость — скорость, с которой тело начинает движение.
Чтобы вычислить начальную скорость, мы должны рассмотреть основное уравнение скорости; это дается;
v=х/т
Таким образом, расстояние задается как; х = v * т
Здесь скорость не постоянна; следовательно, мы можем взять среднее значение скорости как
v=vi+vf/2
Итак, уравнение будет
х=vi+vf/2т
Но уравнение движения vf = Vi + at, подставив значение vf, мы получаем
х=vi+(vi+ат)/2т
х=2вi+ат/2т
х=2вi+at/2
2х = 2вit + в2
После преобразования приведенного выше уравнения,
vi = х/т – 1/2ат
Приведенное выше уравнение дает начальную скорость с ускорением и расстоянием.
Как найти конечную скорость по ускорению и расстоянию?
Конечная скорость — это скорость, достигаемая телом до того, как движение остановится из-за какого-либо препятствия.
Когда движущееся тело начинает ускоряться, это означает, что скорость изменилась. Это изменение скорости определяется начальной и конечной скоростью тела. Предположим, мы предоставили только начальную скорость, тогда как найти скорость с ускорением и расстоянием в конечной точке движения, будет дан ответ ниже.
Чтобы вывести уравнение для конечная скорость, рассмотрим движение автомобиля. Автомобиль движется с начальной скоростью vi, и через некоторое время t автомобиль начинает разгоняться. Автомобиль достигает ускорения «а» и преодолевает расстояние x.
Вывод можно сделать тремя способами
- Алгебраическим методом
- Расчетным методом
- Графическим методом
Остановимся на детальном изучении трех указанных выше методов.
Алгебраическим методом:
Путь, пройденный телом, определяется выражением
х=vi+vf/2т
Скорость не постоянна; она изменяется с периодом времени, поэтому выберите усреднение скоростей.
Из кинематического уравнения движения имеем
vf = vi + при
Давайте изменим приведенное выше уравнение, чтобы получить время как
т = vf-vi/2а
Подставляя значение в первое уравнение,
х=vf-vi/2 Вf+vi/a
Вышеприведенное уравнение аналогично (a + b) (ab) = a2-b2, то искомое решение будет
х=vf-vi/2а
vf2— vi2 = 2 оси
vf2= Vi2 — 2ax
Полученное выше уравнение является требуемым уравнением конечной скорости. Мы можем еще больше упростить его, взяв квадратный корень с обеих сторон; мы получили
vf2=√(vi2-2акс)
Расчетным методом:
Мы знаем, что ускорение определяется первой производной скорости по времени t.
а=дв/дт
И скорость как
v=dx/dt
Перемножая оба уравнения крест-накрест, а затем интегрируя, выбирая предел от x = 0 до x = x и v = vi к v = vf мы получили;
vf2— vi2 = 2 оси
Изменение условий;
vf2= Vi2 — 2ax
Графическим методом:
График зависимости скорости от время может помогает найти конечную скорость тела.
Обычно расстояние, пройденное телом, можно определить, найдя область, покрытую телом. Используя эти доступные данные, мы можем рассчитать пройденное расстояние, чтобы можно было вычислить уравнение конечной скорости.
Из приведенного выше графика площадь трапеции OABD дает расстояние, пройденное телом,
х=ОА+BD/2* ОД
OA — начальная скорость vi, BD — конечная скорость vf, OD — время, поэтому уравнение можно изменить как
х=vf+vi/2* т
Но мы знаем, что ]t = vf-vi/a
х=vi+vf/2* вf-vi/a
х=vf2-vi2/2а
vf2— vi2 = 2 оси
vf2= Vi2 — 2ax
Графическим методом получено требуемое уравнение конечной скорости.
Окончательное уравнение скорости на основе ускорения и расстояния может быть преобразовано для вычисления начальной скорости тела; это показано ниже:
vi2= Vf2 — 2ax
Как найти среднюю скорость с учетом ускорения и расстояния?
Если скорость продолжает меняться, то нам нужно найти среднюю скорость для описания движения.
Чтобы установить уравнение для средней скорости, мы должны знать начальную и конечную скорости. Но мы можем найти среднюю скорость, даже если начальная и конечная скорости неизвестны, зная ускорение и расстояние. Сообщите нам, как найти среднюю скорость.
Предположим, что автомобиль движется с начальной скоростью vi и поскольку он начинает ускоряться после прохождения некоторого расстояния xi и проходит расстояние xf при которой он имеет конечную скорость vf.
Расстояние, которое преодолевает тело — от xi до xf, т.е. на расстоянии xi, скорость тела vi, а в точке xf, скорость тела vf, тогда.
Общее выражение средней скорости дается как,
va=vi+vf/2
Уравнение движения для конечной скорости vf = Vi+ в
Подставляя в общее уравнение, имеем
va=vi+vi+в/2
va= 2 Вi+в/2
va=vi+1/2 в
Рассматривая исходное выражение для скорости, получаем
vi = x/t-1/2 при
va= x/t-1/2at+1/2 at
Но t=√2x/a
Подставляя указанное выше выражение, получаем
va=х/√2х/а
Квадрат с обеих сторон, получаем
va2=x2/2x/в
va2= топор2/ 2x
va2= топор / 2
va=√ax/2
Вышеприведенное уравнение дает среднюю скорость движущегося тела.
Решенные задачи о том, как найти скорость через ускорение и расстояние
Приведено как найти скорость с ускорением и расстояние, если автомобиль движется с постоянным ускорением 12 м / с.2 и преодолевает расстояние 87 м и, следовательно, определяет время, за которое автомобиль преодолевает такое же расстояние.
Решение:
Приведенные данные — Расстояние, пройденное транспортным средством x = 87 м.
Ускорение автомобиля а = 12 м / с2.
Чтобы найти скорость автомобиля,
v = √ топор
v=√12*87
v=√1044
v = 32.31 м / с.
Из связи между скоростью, ускорением, расстоянием и временем мы получаем уравнение скорости.
v= х/т
т = х / v
т= 87/32.31
t = 2.69 с.
В гонке гонщик едет на байке с начальной скоростью 9 м / с. По истечении времени t скорость меняется, а ускорение составляет 3 м / с.2. Гонщик преодолевает дистанцию 10 м. рассчитать конечную скорость велосипеда для достижения заданного расстояния и, следовательно, найти среднюю скорость велосипеда.
Решение:
Уравнение для определения конечной скорости велосипеда имеет вид:
vf2= Vi2 — 2ax
vf2= (9) 2 — 2 (3 * 10)
vf2= 81 — 60
vf2= 21
vf = 4.58 м / с.
Средняя скорость определяется выражением
va=vi+vf/2
va=9+4.58/2
va= 13.58 / 2
v = 6.79 м / с.
Спортсмен бежит с начальной скоростью 10 м / с. Он преодолевает 10 м с постоянным ускорением 4 м / с.2. Найдите начальную скорость.
Решение:
Данные приведены для расчета — начальная скорость vi = 10 м / с.
Ускорение a = 4 м / с2.
Расстояние x = 10 м
vf2= Vi2 — 2ax
vf2= (10)2 — 2 (4 * 10)
vf2= 100 — 80
vf2= 100 — 80
vf2= 20
vf = 4.47 м / с.
Рассчитайте среднюю скорость движения частицы с ускорением 12 м / с.2 а расстояние, которое проходит частица, составляет 26 метров.
Решение:
Компания формула дает среднюю скорость для заданного ускорения и расстояния.
va=√ax/2
Приведены данные — Ускорение частицы а = 12 м / с.2.
Расстояние, пройденное частицей x = 26 м.
Подставляя заданные значения в уравнение
√12*26/2
va=√156
va = 12.48 м / с.
Автомобиль преодолевает расстояние 56 метров за 4 секунды. Ускорение автомобиля за указанное время составляет 2 м / с.2. Вычислите начальную скорость автомобиля.
Решение:
Дано — расстояние, пройденное автомобилем x = 56 м.
Автомобиль преодолевает расстояние xt = 4 с за время.
Разгон автомобиля a = 2 м / с2.
Начальная скорость автомобиля находится по формуле
vi = x/t-1/2 при
Подставляя данные значения в приведенное выше уравнение,
vi = 56/4-1/2*2*4
vi = 14 — 4
vi = 10 м / с.
Построен график ускорения и расстояния, затем на графике показано, как найти скорость с учетом ускорения и расстояния.
Расстояние, пройденное с ускорением, указанное на графике, образует трапецию, площадь трапеции определяется как
А=а+b/2*ч
Где a и b — смежная сторона трапеции, а h — высота.
Из приведенного выше графика
а = 4.5 единицы
b = 9 единиц
h = 4 шт.
Подставляя в данное уравнение,
А=(4.5+9/2)4
А = 27 шт.
Скорость задается как
v=√2*площадь
v=√2*27
v=√56
v = 7.34 м / с.
Андрей Геннадьевич Блохин
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
В физике следует различать траекторию, путь и перемещение.
Определение 1
Траектория — форма линии, описываемая телом. Ее длина представляет собой путь и является скалярной величиной. Перемещением же называется вектор, соединяющий точки начала и конца пути, и направленный от начала к концу.
Длина пути измеряется в системе СИ в метрах, в СГС (сантиметр, грамм, секунда) — в сантиметрах. Применяются и другие единицы измерения длины, в том числе внесистемные (дюйм, фут, ярд, миля и т.д.).
При движении без ускорения путь равен произведению скорости на расстояние:
$S = v cdot (t_2 — t_1) = v cdot Delta t$,
где $v_0$ – скорость тела, $t_2$ — момент времени окончания движения, $t_1$ — момент времени начала движения, $Delta t$ — время движения. График зависимости пути от времени на координатной плоскости в случае такого, называемого равномерным, движения является прямой линией.
Замечание 1
Поскольку скорость — векторная величина, равномерным можно считать только движение по прямой, т.к. при изменении направления движения вектор не остается неизменным даже при сохранении его длины.
Если равноускоренное движение начато с нулевой скорости и известно ускорение, то формула пути имеет вид
$S = frac{a cdot t^{2}}{2}$
где $a$ – ускорение тела.
Объединив два условия, получим общую формулу нахождения пути при равноускоренном движении с произвольной начальной скоростью:
$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$.
Если движение не равномерное и известна средняя скорость движения, то путь можно выразить и другим способом:
$S = v_{ср.} cdot Delta t$,
где $v_{ср.}$ — средняя скорость движения.
На практике движение бывает равномерным или равноускоренным лишь на небольших фрагментах пути, поэтому для вычисления его длины траекторию разбивают на участки, где тело движется по простым закономерностям, вычисляют длину каждого из них и суммируют. Если известна траектория, то ее разбивают на фрагменты, каждый из которых имеет простую геометрическую форму. Сложив их длины, можно найти путь.
Пример 1
Найти путь, пройденный при движении с ускорением 2 $м/с^2$ в течение 20 с, если скорость на момент начала измерения была равна 10 м/с.
Подставим в формулу численные значения:
$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$
$S = frac{2 cdot 20^2}{2} + 10 cdot 20 = 600 м$.
Ответ: длина пути составила 600 метров.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Рассмотрим некоторые особенности перемещения тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости. Уравнение, которое описывает это движение, было выведено Галилеем в (XVI) веке. Необходимо помнить, что при прямолинейном равномерном или неравномерном движении модуль перемещения совпадает по своему значению с пройденным путём. Формула выглядит следующим образом:
, где (а) — это ускорение.
Сравним графики равномерного и равноускоренного движения.
Графики прямолинейного равномерного движения
Зависимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость (a(t)) — прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени. Скорость со временем не изменяется, график (v(t)) — прямая линия, параллельная оси времени.
Правило определения пути по графику (v(t)): численное значение перемещения (пути) — это площадь прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость пути от времени. График (s(t)) — наклонная линия.
Рис. (1). График зависимости скорости от времени при равномерном прямолинейном движении
Рис. (2). График зависимости пути от времени при равномерном прямолинейном движении
Графики равноускоренного движения
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график (a(t)) — прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени. Скорость изменяется согласно линейной зависимости.
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется согласно квадратной зависимости:
s=v0t+at22
. В координатах зависимость имеет вид:
x=x0+v0xt+axt22
.
Графиком является ветка параболы.
Рис. (3). График зависимости пути от времени при равноускоренном движении
Источники:
Рис. 1. График зависимости скорости от времени при равномерном прямолинейном движении. © ЯКласс.
Рис. 2. График зависимости пути от времени при равномерном прямолинейном движении. © ЯКласс.
Рис. 3. График зависимости пути от времени при равноускоренном движении. © ЯКласс.