Как найти расстояние формула физика 9 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Физика — одна из самых главных наук, которой под силу описать практически все физические процессы, которые мы можем наблюдать в мире. В статье расскажем обо всех основных формулах, с которыми предстоит иметь дело школьникам 7-9-х классов, и дадим пояснения к ним.

Формулы по физике за 7-9 класс

Формулы по физике

Источник: fgoskomplekt.ru

Все формулы за 7 класс

Учебники физики за 7 класс знакомят школьников с формулами, при помощи которых вычисляют:

скорость равномерного движения;
среднюю скорость неравномерного движения;
плотность вещества;
силу тяжести;
равнодействующую сил, направленных в одну сторону;
вес тела;
давление;
давление жидкости;
силу Архимеда.

Скорость равномерного движения

Скорость равномерного прямолинейного движения — это постоянная скорость объекта при движении по прямой линии, которая будет одинакова в любой момент движения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Рассчитывается она так:

(V=frac St)

где (V) — искомая нами скорость объекта, (S) — путь, пройденный объектом, (t) — время, за которое был пройден путь.

Скорость измеряется в км/ч, когда речь идет о больших расстояниях, и м/с, когда о маленьких.

Средняя скорость неравномерного движения

Средняя скорость — это скорость, которую мог бы иметь объект, если бы преодолел этот же самый путь за это же самое время, но двигаясь равномерно.

Зависит от тех же параметров, что и скорость при равномерном движении: от (S) и (t). Чтобы рассчитать среднюю скорость движения нужно полный путь, пройденный объектом, разделить на все время движения:

(V=frac{S_1+S_2}{t_1+t_2})

где (V) — средняя скорость, (S_1, S_2) — участки пути, из которых состоит полный путь объекта, (t_1) — время, потраченное на преодоление первого участка пути, (t_2) — время, потраченное на преодоление второго участка пути.

Средняя скорость также измеряется в км/ч.

Плотность вещества

Плотность вещества — это физическая величина, которая показывает зависимость массы вещества от его объема.

Формула для определения плотности вещества:

(p=frac mV)

где (p) — плотность, (m) — масса вещества, (V) — его объем.

Измеряется плотность в (кг/м^3).

Сила тяжести

Сила тяжести — эта та сила, с которой все объекты притягиваются к поверхности нашей планеты.

Определяется по формуле:

(F=gtimes m)

где (F) — сила тяжести, (m) — масса объекта, а (g) — коэффициент силы тяжести, равный 9,8 м/с.

Измеряется сила тяжести в ньютонах.

Равнодействующая сил, направленных в одну сторону

Равнодействующая сила — это сила, которая воздействует на тело так же, как несколько других одновременно воздействующих на объект сил.

Если силы, воздействующие на объект, направлены по одной прямой и в одну сторону, равнодействующая этих сил будет направлена в эту же сторону, а ее модуль будет равен сумме модулей этих сил.

Исходя из трактовки этого понятия, следует, что:

(R=F_1+F_2)

где (R) — равнодействующая сил ( F_1) и (F_2), действующих на тело.

Измеряется в ньютонах.

Вес тела

Вес — это сила, с которой объект воздействует на опору или подвес под ним вследствие притяжения к планете Земля.

Вес тела численно равен силе тяжести и вычисляется по той же самой формуле:

(F=gtimes m)

Так же, как и сила тяжести, измеряется в ньютонах.

Давление

Давление — это физическая величина, характеризующая степень воздействия силы, действующей перпендикулярно поверхности на площадь этой поверхности.

(P=frac FS)

где (P) — давление, (F) — сила, направленная перпендикулярно площади поверхности, (S) — площадь поверхности, на которую действует сила.

Давление измеряется в паскалях.

Давление жидкости

Давление в жидкости или газе зависит:

От уровня жидкости или газа в емкости. Это происходит из-за того, что верхние слои «давят» на нижние слои жидкости.
От плотности жидкости / газа. Чем больше плотность, тем больше давление.

В виде формулы эту зависимость записывают так:

(P=ptimes gtimes h)

где (P) — давление в жидкости, (p) — плотность жидкости, (g) — коэффициент силы тяжести, равный 9,8 м/с, (h) — высота (уровень) жидкости в емкости.

Давление в жидкости измеряется в паскалях.

Согласно закону Паскаля, давление в жидкости и газах передается одинаково по всем направлениям.

Сила Архимеда

Архимедова сила — сила выталкивания, действующая на тело, которое погружено в жидкость или газ.

Эта сила всегда направлена вверх и равна по модулю весу жидкости, вытесненной телом. В уравнении зависимость выглядит так:

(F_a=ptimes gtimes V)

где (F_a) — сила Архимеда, (p) — плотность жидкости или газа, (g) — коэффициент силы тяжести, (V) — объем погруженного в жидкость объекта.

Сила Архимеда измеряется в ньютонах.

Все формулы за 8 класс

В 8 классе школьники изучают следующие физические разделы, понятия и формулы, к ним относящиеся:

количество теплоты при нагревании (охлаждении);
количество теплоты при сгорании топлива;
количество теплоты плавления (кристаллизации);
КПД теплового двигателя;
сила тока;
электрическое напряжение;
закон Ома для участка цепи;
последовательное соединение проводников;
параллельное соединение проводников;
мощность электрического тока;
закон преломления света.

Количество теплоты при нагревании (охлаждении)

Количество теплоты — это физическая величина, характеризующая количественное значение энергии, которое тело получает (при нагревании) или отдает (при охлаждении).

Количество теплоты определяют по формуле:

(Q=ctimes mtimesDelta t)

где (Q) — количество теплоты, (m) — масса тела объекта, (c) — удельная теплоемкость того вещества, из которого состоит объект, (Delta t) — изменение температуры тела объекта.

Если (Q>0), то объект нагревается, если (Q<0) — остывает.

Количество теплоты измеряется в джоулях.

Количество теплоты при сгорании топлива

Количество теплоты при сгорании топлива — это физическая величина, которая равна количеству теплоты (энергии), которая выделяется при полном сгорании топлива.

(Q=qtimes m)

где (Q) — количество теплоты при сгорании топлива, (q) — удельная теплота сгорания топлива (количество теплоты, выделяемое при сгорании 1 килограмма топлива), (m) — масса топлива.

Как и любая энергия измеряется в джоулях.

Количество теплоты плавления (кристаллизации)

Количество теплоты плавления или кристаллизации — количество теплоты, необходимое для плавления тела, которое находится в условиях температуры плавления и нормальном атмосферном давлении.

Формула для определения количества теплоты плавления выглядит так:

(Q=lambdatimes m)

Формула для определения количества теплоты кристаллизации — так:

(Q=-lambdatimes m)

где (Q) — количество теплоты плавления или кристаллизации, (m) — масса тела, (lambda) — удельная теплота плавления (количеств теплоты, нужное для того, чтобы расплавить 1 килограмм вещества).

Джоуль — единица измерения количества теплоты плавления (кристаллизации).

КПД теплового двигателя

КПД (коэффициент полезного действия) теплового двигателя — это количественный показатель, зависящий от работы, которую двигатель совершает за один цикл, и количества теплоты, полученной телом от нагревателя.

Формула для вычисления КПД выглядит так:

(eta=frac A{Q_1}times100%)

где (eta) — КПД, (A) — полезная работа, (Q_1) — количество теплоты, полученное телом от нагревателя.

Можно встретить и другой вариант формулы:

(eta=frac{Q_1-Q_2}{Q_1}times100%)

где (Q_1) — количество теплоты, полученное телом от нагревателя, (Q_2) — количество теплоты, отданное холодильнику.

Коэффициент полезного действия измеряется в процентах.

Сила тока

Сила тока — физическая величина, которая характеризует заряд, проходящий через проводник за единицу времени.

Сила тока в проводнике определяется уравнением:

(I=frac q{Delta t})

где (I) — сила тока в проводнике, (q) — электрический заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, (Delta t) — время прохождения заряда.

Сила тока измеряется в амперах.

Электрическое напряжение

Электрическое напряжение — это физическая величина, характеризующая действие электрического поля на заряженные частицы.

Электрическое напряжение определяют по формуле:

(U=frac Aq)

где (U) — напряжение на участке цепи, (A) — работа электрического поля, (q) — величина заряда на участке цепи.

Напряжение измеряют в вольтах.

Закон Ома для участка цепи

Закон, экспериментально доказанный Георгом Омом, формулируется таким образом: сила тока на определенном участке электроцепи прямо пропорциональна напряжению на этом же участке и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка электроцепи.

Формула закона:

(I=frac UR)

где (I) — сила тока на данном участке цепи, (U) — напряжение на этом же участке электроцепи, (R) — сопротивление данного участка цепи.

Ампер — единица измерения силы тока.

Последовательное соединение проводников

Последовательное соединение в электроцепи — это такое соединение элементов, при котором конец одного элемента соединяется с началом другого.

Для последовательного соединения характерны такие закономерности для вычисления основных параметров электрической цепи: силы тока ((I)), напряжения ((U)) и сопротивления ((R)):

(I=I_1=I_2)

(U=U_1+U_2)

(R=R_1+R_2)

где (I_1, U_1, R_1) — электрические характеристики первого участка цепи, а (I_2, U_2, R_2) — электрические характеристики второго участка цепи.

Сила тока измеряется в амперах, напряжение — в вольтах, сопротивление — в омах.

Параллельное соединение проводников

Параллельным соединением называется такое соединение проводников, при котором начала всех проводников присоединяются к одной точке цепи, а их концы — к другой.

При параллельном соединении основные характеристики электроцепи вычисляются по следующим формулам:

(I=I_1+I_2)

(U=U_1=U_2)

(R=frac{R_1times R_2}{R_1+R_2})

Единицы измерения те же: амперы, вольты, омы.

Мощность электрического тока

Мощность электротока — это физическая величина, определяющая, какую работу совершает ток за определенный временной промежуток.

Для вычисления мощности тока верно следующее уравнение:

(P=frac At)

где (P) — мощность тока, (A) — работа электротока на участке цепи, (t) — время, в течение которого электроток совершал работу.

Другим вариантом вычисления мощности является такая формула:

(P=Itimes U)

где (I) — сила тока, (U) — электрическое напряжение на участке цепи.

Мощность электротока измеряется в ваттах.

Закон преломления света

Закон преломления

Источник: en.ppt-online.org

Все формулы за 9 класс

В 9 классе сложность учебного материала возрастает. Школьникам необходимо освоить следующие физические понятия и уравнения:

проекция вектора перемещения;
скорость равномерного движения;
уравнение движения (зависимость координаты от времени) при равномерном движении;
движение тела по окружности;
закон всемирного тяготения;
импульс тела;
связь между периодом и частотой колебаний;
скорость волны;
электрическая ёмкость конденсатора;
энергия связи (формула Эйнштейна).

Проекция вектора перемещения

Проекция вектора перемещения на ось равна разности между конечной и начальной координатами тела по заданной оси.

Проекция вектора перемещения

Источник: presentacii.ru

Скорость равномерного движения

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, которая равна отношению перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло.

Рассчитывается она так:

(vec V=frac{vec S}t)

где (vec V) — искомая нами скорость объекта, (vec S) — путь, пройденный объектом, (t) — время, за которое был пройден путь.

Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.

Единицы измерения — м/с или км/ч.

Уравнение движения (зависимость координаты от времени) при равномерном движении

Уравнение движения при равномерном движении

Источник: znanie.site

Движение тела по окружности

Движение по окружности — это такое движение, траектория которого представляет собой окружность. Такой вид движения осуществляется под воздействием центростремительного ускорения ((a)). Также оно характеризуется угловой скоростью.

Период обращения — это время, за которое точка делает полный оборот по окружности.

Частота — это количество обращений точки по окружности за определенный период времени.

Движение тела по окружности

Источник: light-fizika.ru

Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном, гласит, что два любых тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна массе каждого из них и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула, иллюстрирующая эту закономерность, выглядит так:

(F=Gtimesfrac{m_1times m_2}{r^2})

где (F) — сила тяготения, (m_1, m_2) — массы тел, (r) — расстояние между ними, (G) — гравитационная постоянная, которая равна (6,67times10^{-11} Нм^2/кг^2)

Сила, с которой два тела притягиваются друг к другу, измеряется в ньютонах.

Импульс тела

Импульсом тела называют векторную физическую величину, которая равна произведению массы тела на скорость тела.

В виде формулы эта закономерность выражается так:

(vec p=mtimesvec V)

где (vec p) — это импульс тела, (m) — масса тела, (vec V) — скорость движения.

Единицей измерения импульса тела является (frac{кгtimes м}с.)

Связь между периодом и частотой колебаний

Для начала разберемся с главными определениями, которыми оперируют, когда говорят о колебаниях

Период — это время одного полного колебания.

Частота — это число полных колебаний за единицу времени (1 секунду).

Частота и период свободных колебаний нитяного маятника зависит от длины его нити.

Между периодом и частотой колебаний существует обратно-пропорциональная зависимость: чем больше период колебаний, тем меньше частота, и чем меньше период, тем больше частота колебаний.

Таким образом,

(T=frac1v)

(v=frac1t)

где (T) — период колебаний, (v) — частота колебаний.

Частота колебаний измеряется в герцах, период — в секундах.

Скорость волны

Скорость волны — это скорость распространения колебаний в упругой среде.

Рассчитывается по формуле:

(V=lambdatimes v)

где (V) — скорость волны, (lambda) —длина волны (расстояние, на которое распространяется волна за время равное одному периоду), (v) — частота волны.

Скорость волны измеряется в м/с.

Электрическая емкость конденсатора

Начнем с определений:

Конденсатор — это совокупность двух проводников, находящихся на небольшом расстоянии друг от друга и разделенных слоем диэлектрика. Электроемкость — это физическая величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд.

Электроемкость конденсатора зависит от:

размеров проводников;
формы проводников;
расстояния между ними;
электрических свойств диэлектрика.

Электрическая емкость конденсатора не зависит от:

величины заряда;
напряжения;
материала проводников.

Электрическая емкость системы двух проводников определяется как отношение заряда одного из проводников к напряжению между ними. Уравнение выглядит так:

(C=frac qU)

где (С) — электроемкость конденсатора, (q) — заряд проводника, (U) — напряжение.

Емкость электрического конденсатора измеряется в фарадах.

Энергия связи (формула Эйнштейна)

Немецкий физик Альберт Эйнштейн вывел зависимость между энергией тела и его массой — закон, который называется законом взаимосвязи массы и энергии.

Согласно этому закону:

вещество имеет массу и обладает энергией;
поле имеет энергию и обладает массой.

Формула, выражающая эту взаимосвязь, — самая известная формула в мире:

(E=mtimes c^2)

где (E) — это энергия, (m) — масса, (c) — скорость света в вакууме, равная (3times10^8) м/с.

Энергия связи — это энергия, равная работе, которую необходимо совершить для расщепления ядра на составляющие его отдельные нуклоны.

Энергия связи вычисляется по формуле:

(E=Delta mtimes c^2)

где (Delta m) — это дефект массы ядра (равен разности между общей массой свободных нуклонов и массой ядра); (c) — скорость света в вакууме.

Энергия связи измеряется в мегаэлектронвольтах.

Источник

Формулы

1.Скорость
равномерного прямолинейного движения: , где – вектор скорости (м/с),
— перемещение (м), t
– время движения (с).

2. Ускорение
тела при прямолинейном движении: , где – вектор ускорения (м/с²),
t
– время движения (с), – конечная скорость (м/с),
– начальная скорость (м/с).

3.Скорость при
движении с ускорением: , где – вектор ускорения (м/с²),
t
– время движения, – конечная скорость (м/с),
– начальная скорость (м/с).

4.Путь при
движении с ускорением: , где
– ускорение (м/с²),
t
– время движения, – начальная скорость
(м/с), – путь (м).

5.Второй закон
Ньютона: , где
– вектор ускорения (м/с²),
m
– масса (кг), – сила (Н).

6.Третий закон
Ньютона: , где –
одинаковые силы, направленные в разные стороны
(Н).

7.Закон
всемирного тяготения: , где
F
– сила притяжения тел во вселенной (Н), G
— гравитационная постоянная, r
– расстояние между телами (м), — массы
тел (кг).

8.Центростремительное
ускорение: , где
– скорость (м/с), r
– расстояние между центрами тел (м), – центростремительное
ускорение (м/с²).

9.Центростремителная
сила: , где
– скорость (м/с), r – расстояние
между центрами тел (м), – центростремительная
сила (Н), m – масса, вращающегося
тела (кг).

10.Импульс тела:
, где – импульс тела (кг*м/с),
– масса тела (кг), – скорость тела (м/с).

11.Закон
сохранения импульса: .

12. Связь
периода и частоты: , где T — период колебаний (измеряется в секундах), – частота (измеряется в
герцах).

13.Формула
длины волны: где – длина волны (читается
как «лямбда») (м), – частота (измеряется в
герцах), – скорость волны (м/с).

14.Скорость
волны: , где – длина волны (читается
как «лямбда») (м), – частота (измеряется в
герцах), – скорость волны (м/с).

15.Индукция
магнитного поля: , где В – вектор
магнитной индукции (измеряется в теслах), I
– сила тока (А), — длина проводника (м),
F
– сила, которая действует на проводник с током (Н).

16. Энергия
магнитного поля тока: , где – энергия магнитного
поля (Дж), – индуктивность
проводника (Гн), – сила тока (А).

17.Формула
Томсона: , где Т – период
свободных колебаний (с), С – емкость конденсатора (Ф), – индуктивность
проводника (Гн).

18. Энергия
кванта: , где Е – энергия кванта
(Дж), h
– постоянная Планка, – частота (Гц).

19.Энергия
покоя: , где – энергия покоя (Дж), m – масса
(кг), с – скорость света (м/с).

20.Дефект масс:
, где – дефект масс (кг), Z –
зарядовое число, N – число
нейтронов, – масса протона (кг), – масса нейтрона (кг), – масса ядра (кг).

21.Поглащенная
доза: , где D – поглощённая доза (измеряется в греях), m
— масса (кг), E – поглощённая
энергия.

22.Эквивалентная
доза: , где H
— эквивалентная доза (измеряется в зивертах), D – поглощённая доза, К – коэффициент качества.

Источник

Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.

Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).

Рис.1. Так выглядит формула, по которой можно вычислить путь тела, не зная, сколько времени занимало движение

Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.

Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.

Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.

Выводим формулу пути без времени

Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.

В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).

Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.

Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:

[ large begin{cases} S = v_{0} cdot t + displaystylefrac{a}{2} cdot t^{2} \ v = v_{0} + a cdot t end{cases} ]

( large v_{0} left( frac{text{м}}{c} right)) – начальная скорость тела;

( large v left( frac{text{м}}{c} right)) – конечная скорость;

( large a left( frac{text{м}}{c^{2}} right)) – ускорение тела;

( large S left( text{м} right)) – путь, пройденный телом;

(large t left( c right)) – время, за которое тело прошло этот путь.

В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.

Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:

сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;

затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.

Выражаем время из формулы для скорости

Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:

[ large v = v_{0} + a cdot t ]

Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом ( v_{0}). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число ( v_{0}). Получим такую запись:

[ large v — v_{0} = a cdot t ]

Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:

[ large frac{ v — v_{0}}{a} = t ]

Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».

В формулу пути подставим выражение для времени

Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:

[ large begin{cases} S = v_{0}cdot t + displaystyle frac{a}{2}cdot t^{2}\ displaystyle frac{v — v_{0}}{a} = t end{cases} ]

В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:

[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.

Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части

Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:

[large v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} ]

Умножим числитель дроби на число (v_{0}).

Для этого:

сначала числитель обособим скобками;
затем запишем число (v_{0}) перед скобками;
а потом внесем это число внутрь скобок.

В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число (v_{0}):

[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} ]

Теперь необходимо умножить скобку на число (v_{0}). На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.

Рис. 2. Чтобы умножить скобку на число, нужно умножить каждое слагаемое в скобке на это число

Нужно к каждой скорости в скобках дописать число (v_{0}), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:

[large frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v — v_{0} cdot v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]

То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:

[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]

Возводим в квадрат дробь

После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:

[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.

Рис. 3. Дробь возводим в степень, отдельно возводя в эту степень ее числитель и знаменатель

В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:

[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}}]

В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.

Рис. 4. Удобный для запоминания вид формул сокращенного умножения

Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:

[large ( v — v_{0})^{2} = (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})]

Теперь можем записать полученную дробь:

[large frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} ]

Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»

Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}}]

Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.

Итак, поменяем местами знаменатели дробей:

[large frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} = frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]

Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:

[large frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]

А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:

[large frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».

Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.

Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения

Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:

[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:

[large S = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Сравним знаменатели дробей.

Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.

Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1]

Примечания:

Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).

Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1 = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2}]

Получим такую дробь:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2} = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} ]

Поместим ее в выражение для пути:

[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Дроби с одинаковыми знаменателями складываем

Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:

[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} ) + (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Раскроем скобки в числителе полученного выражения:

[large S = frac{ 2v_{0} v – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0}}{2a}]

Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член (2v_{0} v), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа (2v_{0}v) вычитается такое же число (2vv_{0}). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:

[large S = frac{ – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0}}{2a}]

Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:

[large S = frac{ v^{2} + v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0}}{2a}]

Вычтем подобные члены, содержащие ( v^{2}_{0}):

[large v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0} = – v^{2}_{0} ]

В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:

[large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]

Примечания:

Это формула, с помощью которой можно рассчитать путь тела, когда известны его начальная и конечная скорость, а, так же, ускорение.
Видно, что время t в правой части этого выражения отсутствует.
Мы выводили эту формулу для случая, когда тело увеличивало скорость.

Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается

Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:

[large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]

Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:

[ large begin{cases} S = v_{0} cdot t — displaystyle frac{a}{2} cdot t^{2} \ v = v_{0} — a cdot t end{cases} ]

Выводы

Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:

Когда движение равноускоренное и скорость тела увеличивается: [large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
А когда движение равнозамедленное и скорость уменьшается: [large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]

Источник

Понятие о времени

Существует характеристика, с которой приходится сталкиваться каждый день вне зависимости от возраста, социального статуса, различных способностей и умений. С её помощью определяют будущее, прошедшее и настоящее. По сути, это маркер, определяющий событие. Называют его временем. Рассматривая движение, всегда учитывают эту характеристику, как и её прогрессию.

Время является частью пространственной координаты. Но если относительно других осей можно перемещаться в различных направлениях, относительно него движение определяется только вперёд или назад. Неотъемлемой частью, связанной со временем, является пространство, благодаря которому и возможно понять суть параметра.

Исследованием характеристики занимались философы и учёные в различные периоды существования человечества. Видеть и слышать время невозможно, в отличие от осязаемого пространства, которое возможно наблюдать сразу и везде. Причём в нём можно перемещаться.

Дискуссии, как правильно воспринимать время, не утихают до сих пор. Платон считал, что оно есть не что иное, как движение. Аристотель предполагал, что время — количественное измерение перемещения. Оно было добавлено к классической геометрии Евклида, действующей на ограниченное число измерений. В итоге стало рассматриваться четырёхмерное пространство.

Сегодня так и нет ответов на следующие вопросы о времени:

из-за чего происходит его течение;
почему оно определяется только в одном направлении;
является ли параметр одномерным, как многие учёные считают;
можно ли обнаружить кванты характеристики.

В классической физике для определения временного изменения используется специальная координата пространство-время. Принято будущие события обозначать знаком плюс, а прошедшие минусом. Единица измерения времени связана с вращением планеты вокруг своей оси и Солнца. Этот выбор был сделан условно и привязан к удобству жизнедеятельности человечества.

В Международной системе единиц принято за секунду принимать интервал, равный 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия-133 в покое при нуле градусов по Кельвину. Обозначают параметр латинской буквой t. Таким образом, время — физическая величина, связанная с перемещением какого-либо тела относительно выбранной системы координат.

Расстояние и скорость

Положение каждой физической точки можно описать с помощью координатных осей. Другими словами, системой, которая по отношению к исследуемому телу остаётся неизменной. Изменение положения относительно другого объекта можно представить пройденным расстоянием. Фактически это путь, для которого известно начало и конец. С физической точки зрения, расстояние — величина, являющаяся размерностью длины, и выражающаяся в её единицах.

В математике мера пройденного пути тесно связана с метрическим пространством, то есть положением, где существует пара (x, d), определённая в декартовом произведении. Соответственно, если координату принять за x, y, можно сказать следующее:

начало пути и его конец обозначают точками с координатами d (x, y) и p (x, y);
пройденное расстояние можно определить, отняв из конечных координат начальные;
изменение положения будет нулевым, когда d = p.

В физике расстояние измеряют единицами длины. В соответствии с СИ за размерность берут метр. Расстояние — мера пройденного пути, то есть длина. Если необходимо просто определить изменение положения без учёта, когда и как оно произошло, используют координатные оси. Но при нахождении пройденного пути за время в формуле для расстояния должна учитываться ещё одна величина — скорость.

Обозначают эту характеристику символом V. Характеризует она быстроту перемещения в выбранной системе отсчёта. По определению скорость равняется производной радиус-вектора точки по времени. Иными словами, это значение, задающееся положением в пространстве относительно неизменной координаты, за которую чаще всего принимается начало.

Одно и то же расстояние можно преодолеть за разное время. Например, чтобы пройти 7 километров человеку понадобится затратить порядка одного часа, на автомобиле же этот путь можно преодолеть за 10 минут, а то и меньше. Вот как раз эти отличия и зависят от скорости движения.

Но на самом деле не всё так однозначно. Скорость необязательно должна быть одинаковой на всём пути. На определённых промежутках она может увеличиваться или уменьшаться, поэтому в математике под её значением понимают среднюю величину. Считается, что тело движется равномерно при прохождении установленного расстояния.

Общая формула

Скорость, время, расстояние — это 3 фундаментальных величины, связанные друг с другом. Исследуя одну характеристику, обязательно нужно учитывать две других. Фактически скорость — это физическая величина, определяющая, какую длину преодолеет физическое тело за единицу времени. Например, значение 120 км/ч показывает, что объект сможет преодолеть 120 километров за один час. В математическом виде связь между тремя характеристиками может быть записана в виде следующей формулы:

S = V * t, где:

S — пройденное объектом расстояние;
V — средняя скорость тела;
t — время, затраченное на преодоление пути.

Зная это равенство и любых 2 параметра, можно выполнить расчёт третьего, так для времени она будет иметь вид t = S / V, а скорости V = S / t. Проверить правильность формулы для скорости времени и расстояния можно путём анализа размерности. Если в выражение подставить единицы измерения, то после сокращения должна получиться величина, соответствующая определяемой. S = V * t = (м / с) * с = м (метр). Что и требовалось получить. Аналогично можно проверить и 2 оставшиеся формулы: t = s / v = м / (м/с) = м * с / м = с (секунда) и V = S / t = м / с (метр на секунду).

Действительно, пусть имеется физическое тело, находящееся в каком-то месте. Через некоторое время, неважно по каким причинам, оно переместилось в другую точку, при этом не выходя за пределы установленного пространства. Если тело представить в декартовой плоскости, причём за начало принять координату (0, 0), через время объект изменит своё положение, определяющееся значением (x1, y2). В двухмерном же пространстве это изменение можно описать как переход из точки A в Б.

Значит, чтобы тело достигло второй координаты, ему необходимо затратить время. При этом пройденный путь будет находиться в прямой зависимости от него. Расстояние и время должны связываться третьей величиной, которой как раз и является скорость. То есть параметр, определяющий, за сколько тело сможет преодолеть определённую длину.

Как видно, выражение, связывающее 3 величины, довольно простое. Но оно не учитывает, что скорость может быть непостоянной, поэтому если объект проходит свой путь неравномерно, в выражение подставляют среднее значение. Находится оно как сумма всех отдельных скоростей на неравномерных участках: Vср = ΔS / Δt.

Решение задач

Чтобы уметь решать простые задания в средних классах по математике, связанных с движением, нужно знать всего одну формулу. При этом необходимо пристальное внимание уделять размерности. Все вычисления осуществляются в СИ. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в четвёртом классе средней школы:

Из населённого пункта А в точку Б выехала колонна грузовиков. Навстречу им отправился легковой автомобиль. Скорость грузоперевозчиков составляет 80 км/ч, а пассажирской машины 60 км/ч. Встретились они в точке C через полтора часа. Определить расстояние между А и Б. Решение этой задачи будет состоять из нескольких шагов. На первом можно найти путь, который проехала колона: 80 * 1,2 = 96 км. На втором вычислить пройденное расстояние второй: 60 * 1,2 = 72 км. Отсюда общий путь будет равен сумме: АС + СБ = 72 + 96 = 168 км.
Корабль, скорость которого в стоячих водах равна 30 км/ч, идёт по течению, а после возвращается. Скорость реки равняется трём километрам в час, промежуточная остановка занимает 5 часов. Путь от начала до возврата корабль проходит за 30 часов. Найти, сколько километров составляет весь рейс. Чтобы решить задачу, удобно составить таблицу. В столбцах нужно записать расстояние, скорость и время, а в строках расчётные данные для таких событий, как стоянка, ход по и против течения. Учитывая условие, рабочая формула примет вид: (S / 28) + (S / 22) + 5 = 30. Выражение можно упростить. В итоге должно получиться: 25 * S / 308 = 25 → S = 308. Так как путь корабля состоял из двух одинаковых расстояний, искомое расстояние будет: P = 2 * S = 308 * 2 = 616 км.
Железнодорожный состав проезжает мост за 45 секунд. Длина переправы составляет 450 метров. При этом стрелочник, смотря прямо, видит проходящий поезд всего 15 секунд. Найти длину состава и скорость его движения. Если принять, что поезд движется со скоростью V, то его длина будет равняться D = 15 * V. Так как состав за 45 секунд проходит расстояние 45 * V = 450 + 15 * V, из равенства легко определить скорость: V = 45 * V – 15 * V = 450 → V = 450 / 3 0 = 15 м / с. Следовательно, длина состава: D = 15 * 15 = 225 м.

Все задачи на движение можно разделить на несколько типов: перемещение навстречу, движение вдогонку, нахождение параметров относительно неподвижного объекта. Но, несмотря на их виды, все они решаются по одинаковому алгоритму, поэтому для удобства можно сделать памятку, указав в ней формулы и размерность величин.

Источник

9класс Механика Кинематика
Физическая величина	Обозн	Ед.изм	Формула	Величины входящие в формулу
Ускорение	а	м/с²		а -ускорение [м/с²] —начальная скорость[м/с] -конечная скорость[м/с] t—время[с] S— перемещение [м] х -координата тела
Скорость		м/с
Перемещение	S	м
Координата тела	х	м
Скорость тела при свободном падении		м/с		g =10 м/с² -конечная скорость[м/с] t—время[с] S— перемещение [м]
Перемещение тела при свободном падении тела	S	м
Скорость тела брошенного вертикально вверх		м/с
Перемещение	S	м
Центростремительное ускорение	а	м/с²		а –ускорение [м/с²] R—радиус окружности[м] Т –период[с]
Скорость тела движущегося по окружности		м/с
Первая космическая скорость		м/с		-первая космическая скорость[м/с] — R— радиус планеты[м] h-высота[м] М— масса планеты [кг] g =10 м/с²
Динамика
Сила тяжести	F_т	Н	F=mg	F_т-сила тяжести m-масса g=10Н/кг
Вес тела	P	Н	P =mg	P-вес тела m-масса g=10Н/кг
Сила упругости	F_упр	Н		F_упр-сила упругости k-жесткость[Н/м] —удлинение[м]
Сила реакции опоры	N	Н	Е сли тело движется по горизонтальной поверхности то:	m-масса g=10Н/кг
Сила трения	F_тр	Н
Сила всемирного тяготения	F	Н		R— расстояние м/у телами[м]

Механические колебания и волны. Звук
Физическая величина	Обозначение	Ед.измерения	Формула	Величины входящие в формулу
Период	T	с		T—период -частота t—время N-число колебаний
Частота		Гц
Амплитуда	А	м	—	—
Период колебаний нитяного маятника	T	с		l-длина нити g=10м/с² =3,14
Период колебаний нитяного маятника	T	с		k-жестокость m— масса тела g=10м/с² =3,14
Дина волны		м		—длина волны —частота —скорость распространения волны T—период
Скорость волны		м/с
Скорость звуковой волны		м/с		—скорость звука S—расстояние t— промежуток времени