Как найти расстояние между диагоналями боковых граней

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  (типовые задания С2) — 4
  Многогранники:
  виды задач и методы их решения
  Методическая разработка Амачкиной А.А.
  МОУ СОШ №12,
  г. Балашиха, Московской области.

• 

  2 слайд

  Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться одним из приведенных ниже четырех способов.
  1. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину.

  Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

  1.4. Расстояние между
  скрещивающимися прямыми
  Поэтапно-вычислительный метод

• 

  3 слайд

  2. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй.
  Тогда искомое расстояние будет равно расстояние от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости.
  3. Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через
  данные скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.
  4. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой

• 

• 

  5 слайд

  Пример 19. В кубе, длина ребра которого равна a, найти расстояние между ребром и диагональю, не пересекающей его грани.
  Решение. В качестве примера найдем расстояние между ребром AA1 и диагональю D1C .Прямые AA1 и D1C — скрещивающиеся. Используя каждый из отмеченных способов, покажем, что расстояние между ними равно a .

• 

  6 слайд

  1-й способ.
  Так как
  то A1D1 –общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых AA1 и D1C . Расстояние между AA1 и DD1C1 равно A1D1 = a
  А
  C
  А1
  B1
  C1
  D1
  B
  D

• 

  7 слайд

  2-й способ. Так как
  плоскость DD1C1 , содержащая D1C , параллельна AA1 , то расстояние от AA1
  до DD1C1 равно a .
  А
  C
  А1
  B1
  C1
  D1
  B
  D

• 

  8 слайд

  А
  C
  А1
  B1
  C1
  D1
  B
  D
  3-й способ. Плоскость
  DD1C1 , содержащая , D1 C параллельна
  плоскости AA1B1 , содержащей , AA1 и
  Расстояние между ними равно a .

• 

  9 слайд

  А
  C
  А1
  B1
  C1
  D1
  B
  D
  4-й способ. Плоскость
  ABC перпендикулярна прямой . AA1 Точка A-проекция AA1 на эту плоскость.
  Проекцией D1C на плоскость ABC является DC. Расстояние от точки A до DC. равно a .

• 

  10 слайд

  Пример 20. Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна a .
  Решение. Найдем расстояние между диагоналями A1C1 и AD1 куба
  ABCDA1 B1 C1 D1 .

• 

  11 слайд

  А
  C
  А1
  B1
  C1
  D1
  B
  D
  Q
  K
  P
  N
  1-й способ. Пусть отрезок PQ есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A1C1 и AD1 , а PN и KQ — его ортогональные проекции на плоскости A1B1C1 и AA1D1 соответственно
  На основании теоремы о трех перпендикулярах

• 

  12 слайд

  Треугольники A1PN и KQD1 — прямоугольные и равнобедренные, поэтому
  Тогда из прямоугольного треугольника PNQ получим расстояние между A1C1 и AD1:

• 

  13 слайд

  2-й способ. Построим плоскость, содержащую AD1 и параллельную A1C1 .Искомой плоскостью является AD1C Найдем расстояние до нее от какой-либо точки прямой A1C1 . Для этого опустим из точки O на указанную плоскость перпендикуляр. Плоскости BB1D1 и AD1C перпендикулярны
  C
  C1
  B1
  А
  А1
  D1
  B
  D
  O1
  O
  N
  B1
  B
  O
  O1
  D
  D1
  N

• 

  14 слайд

  Замечание. Для нахождения расстояния от точки О до плоскости AD1C можно воспользоваться результатом примера 10.

• 

  15 слайд

  3-й способ. Построим параллельные плоскости AD1C и BA1C1 содержащие прямые AD1 и A1C1 соответственно. Диагональ B1D куба перпендикулярна обеим плоскостям и точками K и N делится на три равные части (опорная задача 20). Расстояние между плоскостями AD1C и BA1C1 равно длине
  отрезка KN, т.е.
  N
  C
  C1
  B1
  А
  А1
  D1
  B
  D
  O1
  O
  N
  K
  B1
  B
  O
  O1
  D
  D1
  N
  K

• 

  16 слайд

  4-й способ. Плоскость BB1D1 перпендикулярна прямой A1C1и плоскости

  AD1C
  C
  C1
  B1
  А
  А1
  D1
  B
  D
  O1
  O
  N
  B1
  B
  O
  O1
  D
  D1
  N

• 

  17 слайд

  D1O1 — проекция AD1 на плоскость BB1D1 . Расстояние от точки O (проекции A1C1 на плоскость BB1D1 ) до D1O1 равно длине отрезка
  ON
  Пример 21. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA1 B1 C1 D1
  со сторонами оснований равными a и b( a > b ), и высотой h найти расстояние между диагональю BD1 и диагональю большего основания AC .

• 

  18 слайд

  А
  B1
  D
  C
  B
  O
  K
  C1
  D1
  A1
  O1
  B1
  D1
  B
  D
  N
  O
  K
  Решение. Прямые BD1 и AC скрещиваются.Точки O и O1 — точки пересечения диагоналей оснований пирамиды.
  как отрезок, соединяющий середины оснований
  равнобедренных трапеций BB1D1D и AA1C1C.

• 

  19 слайд

  так как AC перпендикулярна двум
  Построим плоскость перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых BD1 и AC . Плоскость
  пересекающимся прямым этой плоскости:
  ( ABCD — квадрат) и (OO1 — высота пирамиды). Прямая BD1 лежит в плоскости BB1D1 , поэтому искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки O на BD1 .
  OK найдем из подобия прямоугольных треугольников BD N 1 и BKO, имеющих общий острый угол. В треугольнике BD N 1 : D1N = h ,

• 

• 

  21 слайд

  Пример 22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA.
  Решение. Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на ребро SA. Так как прямая BD перпендикулярна плоскости AOS, то
  А
  E
  B
  S
  C
  D
  O

• 

  22 слайд

  Таким образом, ОЕ – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BD и SA. Найдем его длину, вычислив двумя способами площадь треугольника AOS. Из равенства AO* SO = AS *OE, где
  Пример 23. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1 .
  Решение. Введем прямоугольную систему координат, тогда А(0; 0; 0) , В(0;1; 0) , В1(0;1;1), D1 (1; 0;1).
  Bекторно-координатный метод

• 

  23 слайд

  Пусть EF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и AB1 , то есть
  ПричемОбозначим
  А
  D
  C
  x
  z
  E
  А1
  B1
  C1
  D1
  B
  y
  F
  и воспользуемся формулами для
  координат точки (опорная задача 1), которая делит данный отрезок в заданном
  отношении.

• 

  24 слайд

  Тогда E(0, p, p) , F(q, 1- q, q) . Так как вектор

  должен быть перпендикулярным векторам
  то имеем систему уравнений:

• 

  25 слайд

  В1
  А
  А1
  В
  N
  D
  С
  D1
  С1
  M
  Пример 24. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между прямыми AB1 и BD .
  Решение. Пусть
  Если M и N – основания общего перпендикуляра прямых AB1и BD соответственно, то имеем
  Векторный метод

• 

  26 слайд

  Вектор
  поэтому имеем

• 

• 

  28 слайд

  Если AB и CD – скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды ABCD, d – расстояние между ними, АВ = а ,
  CD =b ,– угол между AB и CD, V – объем пирамиды

  ABCD, то
  Пример 25. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найти расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1 .
  Решение. Найдем искомое расстояние по формуле
  Опорная задача

• 

  29 слайд

  где V –объем пирамиды ABB1 D1

  — угол между прямыми

  BD1 и AB1 . Так как площадь основания АВВ1 пирамиды

  ABB1 D1 равна
  В1
  А
  А1
  В
  D
  С
  D1
  С1

• 

  30 слайд

  Используемая литература:
  Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 265 405 материалов в базе

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация технической поддержки клиентов при установке и эксплуатации информационно-коммуникационных систем»

• Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Финансовые инструменты»

• Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»

• Курс профессиональной переподготовки «Гражданско-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»