Найдите расстояние между кривыми 
и 
Спрятать решение
Решение.
Расстояние между графиками функций равно расстоянию между их ближайшими точками. Заметим, что функции, между графиками которых требуется найти расстояние, являются обратными друг к другу, а их графики симметричны относительно прямой 
и, кроме того, находятся по разные стороны от нее̄.
Если мы найдём на графике функции 
точку A, ближайшую к прямой 
то точка 
симметричная ей, очевидно, будет ближайшей к этой прямой на графике функции
Если провести через эти точки прямые, параллельные прямой графики обеих функций окажутся вне полосы, ограниченной этими прямыми, значит, расстояние между любыми двумя точками на этих графиках не меньше расстояния между этими прямыми. С другой стороны, расстояние между этими прямыми равно расстоянию между точками A и значит, 
и есть искомое расстояние.
Пусть координаты точки A это 
тогда 
имеет координаты 
и расстояние между ними
Рассмотрим функцию 
и найдем ее минимум с помощью производной: 
Приравнивая эту производную к нулю в точке 
мы получаем 
Тогда при 
функция 
убывает, а при 
возрастает, следовательно, в точке 
функция достигает минимума.
следовательно, 
при 
Таким образом, 
Заметим, что 
отличается от домножением на 
следовательно, минимум функции достигается в той же точке, что и минимум функции 
Таким образом, минимальное расстояние равно: 
Ответ:
Аналоги к заданию № 730: 738 Все
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
Заголовок сообщения: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
|
|||
|
Функциональный анализ. Метрические пространства. Только начали изучать основы, не могу понять какой дальше алгоритм действий. Пробовал искать производную от последнего выражения которое в модуле, получается ещё большее выражение
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 14 сен 2022, 22:42 
|
Exzellenz |
Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
|
|
Вообще-то в условиях задачи ничего не сказано о характере метрики. Было бы естественнее считать в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. [math]f_1(x)=frac{x^3}{(x+1)^2}; f_2(x)=left( 1-frac{1}{x+1} right)^2=frac{x^2}{(x+1)^2}[/math] [math]U(x)=f_2(x)-f_1(x)=frac{x^2(1-x)}{(x+1)^2}.[/math] На отрезке от 0 до 1 эта функция неотрицательна, поэтому модуль можно опустить и просто искать максимум [math]U(x)[/math] стандартным способом.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
| За это сообщение пользователю Exzellenz «Спасибо» сказали: Elisei |
|
|
|
Elisei |
Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
|
|
Exzellenz писал(а): На отрезке от 0 до 1 эта функция неотрицательна, поэтому модуль можно опустить и просто искать максимум U(x) Вдвойне благодарен за подробный ответ, очень помогло разобраться!
Единственное, не совсем понятно, что меняется в алгоритме решения задачи в зависимости от вариации этого условия: [math]mathsf{C} left[ 0, 1 right][/math]
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
Elisei |
Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
|
| Вернуться к началу |
|
|
Задача.
Провести через точку M(x_0,y_0) прямую L: y=k*(x-x_0)+y_0 так, чтобы длина отрезка этой прямой, заключённой между графиками данных функций y=f(x) и y=g(x), была наименьшей.
План решения задачи.
1) С(x_1,y_1) — точка пересечения прямой L с графиком функции y=f(x),
D(x_2,y_2) -точка пересечения прямой L с графиком функции y=g(x).
Найти координаты точек C и D в зависимости от углового коэффициента k прямой L.
Для этого нужно будет решить две системы уравнений:
Для точки C:
{y=k*(x-x_0)+y_0,
{y=f(x).
Для точки D:
{y=k*(x-x_0)+y_0,
{y=g(x).
2) Выразить квадрат расстояния между точками C и D через их координаты. (CD)^2 будет зависеть от одной переменной — углового коэффициента k прямой L, т.е. (CD)^2 есть некоторая функция R(k).
3) Решить задачу одномерной оптимизации:
R(k)-> min.
Пусть k_0 — оптимальное решение этой задачи.
Тогда уравнение искомой прямой будет таким: y=k_0*(x-x_0)+y_0.
Даны две функции: $$f(x)=-10x(x-4)^3-x^2-15x+50$$ $$f(x)=frac{1}{3}x^4-5(2x-8)^3+(x-6)^2+35x+130$$
- Найти минимальное расстояние между графиками данных функций
- Составить уравнение прямой, на которой лежит данный отрезок (из 1.)
Первое, что приходит в голову: уравнение нормали в каждой точке первой функции приравнять к уравнению второй функции, найти вторую точку(при чём ближайшую, если точек пересечения больше одной). Потом по теореме Пифагора выводим формулу длины отрезка и от неё берём первую производную на интервале $%(-infty;+infty)$% и вычислить минимум? Но по такому пути я что-то заблудился в вычислениях. Тут построил графики, в принципе нужное место из него видно, но как к нему прийти?
Решение
экзаменационных задач
Задача
16
Найти
расстояние между функциями
и
в
.
В
пространстве
расстояние между функциями
ищется как
.
Тогда
Пусть
.
Найдём
стационарные точки (они есть, поскольку
1)
2)
дифференцируема на
;
3)
,
ибо функции
имеют период
Следовательно,
согласно теореме Ролля, имеется точка,
в которой производная равна 0). Найдём
её.
Решаем
уравнение
Делим
обе части на
:
Нас
интересуют точки интервала
– не лежит на
интервале;
Теперь
найдём наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке
. Для этого вычислим значения функции
в стационарных точках и концах отрезка.
То
есть,
-наибольшее
значение
на отрезке
,
а
– наименьшее.
Заметим,
что
Следовательно,
Ответ:расстояние
равно
.
Задача
17
Найдите расстояние
между функциями
и
в
.
В
расстояние вычисляется как
Вычислим
указанный интеграл. Для этого заметим,
что поскольку на отрезке
имеет место неравенство
,
то
и
.
Далее вычисляем интеграл, как обычно.
Ответ:
расстояние равно
.
Задача
18.
Найти
расстояние между функциями
и
в пространствах
(
).
Чтобы
найти расстояние между функциями
в пространствах
,
используем интегральную формулу
Подставляем:
Начнём
с вычисления интеграла. Здесь надо
учесть, что
.
Рассмотрим
два случая:
1)Пусть
Тогда
Тогда
2)
Пусть
Тогда
Итак,
при нечётном p
Ответ:
при
и
при
,
где
