Онлайн калькулятор. Расстояние между плоскостями.
Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления расстояния между плоскостями.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление расстояния между плоскостями и закрепить пройденный материал.
Найти расстояние между плоскостями
Уравнение 1-ой плоскости:
x + y + z + = 0
Уравнение 2-ой плоскости:
x + y + z + = 0
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор
Страница обновляется. Могут возникнуть ошибки. Спасибо за понимание!
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние между плоскостями − теория
Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.
Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:
- Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
- Нахождение некоторой точки M0 на первой плоскости.
- Вычисление расстояния между точкой M0 и второй плоскостью.
Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.
Запишем уравнения двух плоскостей:
1. Проверяем коллинеарность нормальных векторов n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2).
Очевидно, что нормальные векторы n1 и n2 не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A1,A2),(B1,B2), (C1,C2) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n1 и n2 неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.
Пусть A1≠0, A2≠0. Уравнение плоскости (2) не изменится, если умножим на A1/A2:
Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:
Для коллинеарности векторов n1 и n’2(или n1 и n2) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:
или
Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n1 и n’2(или n1 и n2) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:
где
2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).
Легко убедится, что точка
принадлежит плоскости (1):
3. Расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости (2») вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):
Подставляя координаты точки M0 из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2») (или (1) и (2)):
где
Расстояние между плоскостями − примеры и решения
Пример 1. Найти расстояние между плоскостями
и
Решение.
Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Нормальный вектор плоскости (7) равен n1=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n2=(1, 2, −4). n1=n2. Следовательно эти плоскости параллельны.
Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:
Подставим значения A, B, C, D1, D2 в (9):
Упростим и решим:
Ответ. Расстояние между плоскостями равен:
Пример 2. Найти расстояние между плоскостями
и
Решение.
Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.
Пример 3. Найти расстояние между плоскостями
и
Решение.
Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.
Нормальный вектор плоскости (12) равен n1=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n2=(4, 16/3, 64/3). n1≠n2. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.
Вы здесь
-
Расстояние между двумя плоскостями
Чтобы найти расстояние между двумя плоскостями, необходимо для начала убедиться в том, что они параллельны. Это значит, что система, составленная из уравнений, задающих данные плоскости, должна быть несовместной, так как коэффициенты одного уравнения можно беспрепятственно трансформировать в коэффициенты другого уравнения (за исключением свободного члена). В примере указаны два таких уравнения, где при умножении первого на два можно получить идентичные коэффициенты.
В связи с этим, формула для расстояния между двумя плоскостями представляет собой разность свободных коэффициентов уравнений плоскостей под модулем, за счет которого последовательность не имеет значения, деленную на квадратный корень из суммы квадратов свободных коэффициентов.
Смотрите также
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. Точку выбирают произвольно, поскольку все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости, если обе плоскости параллельны.
Пример: Найти расстояние между плоскостями x+2y-3z+9=0 и 2x+4y-6z+1=0.
Решение: Проверим, параллельны ли плоскости, для этого умножим уравнение первой плоскости на 2 приведя их к такому виду, чтобы коэффициенты при x,y,z были одинаковы.
2x+4y-6z+18=0
Вводим полученные данные в онлайн калькулятор, получаем ответ: Расстояние между параллельными плоскостями равно 2.27172056.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Расстояние между параллельными плоскостями равняется величине перпендикуляра, проведенного из точки, принадлежащей одной плоскости, на другую плоскость. Определить расстояния между двумя параллельными плоскостями можно при помощи метода координат.
.
Расстояние между параллельными плоскостями
Введите коэффициенты плоскости:
Примеры задач на вычисление расстояния между плоскостями
Пример №1: Найти расстояние между плоскостями 4x + 8y — 8z — 12 = 0 и 2x + 4y — 4z + 18 = 0.
В начале необходимо проверить равны ли плоскости, для этого необходимо умножить уравнение второй плоскости на 2: 4x + 8y — 8z + 36 = 0. Теперь вводим необходимые данные в калькулятор.
Ответ: расстояние между плоскостями равно 4.
Пример №2: Найти расстояние между плоскостями 3x + 5y — 7z — 12 = 0 и 1.5x + 2.5y — 3.5z + 9 = 0.
В начале необходимо проверить равны ли плоскости, для этого необходимо умножить уравнение второй плоскости на 2: 3x + 5y — 7z + 18 = 0. Теперь вводим необходимые данные в калькулятор.
Ответ: расстояние между плоскостями равно 3.29