Как найти расстояние между двумя точками огэ

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах. Прочитайте внимательно текст и выполните задание. На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево, 3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева — гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м. Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 кв. м, вымощенная такой же плиткой. К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение. Расстояние от дома до гаража может быть двояким. Если идти по дорожке — это одно расстояние. Если протянуть между строениями, например, электрический провод-воздушку, то выгоднее это сделать между двумя ближайшими точками строений. В первом случае (идем по дорожке) расстояние подсчитывается легко по числу тротуарных плиток, поскольку указан их масштаб на чертеже (квадрат со стороной 1м). У меня получилось 16 плиток, сначала 6 от дома до площадки, затем по площадке еще 10 плиток. Всего значит 16 метров. Во втором случае кратчайшее расстояние между ближайшими точками надо вычислять с помощью геометрии. Мы видим из рисунка, что расстоянием можно считать гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами 6м на 8м. Вспоминаем теорему Пифагора и вычисляем (на скрине решения другая единица измерения. У нас — метры) Ответ: по прямой от дома до гаража — 10 метров. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Simpl­e Ein [194K] 2 года назад  Обозначение гаража прописано в условии задачи. Гараж обозначен цифрой 7. Жилой дом подписан цифрой 3. Необходимо найти расстояние между двумя ближайшими точками по прямой от дома до гаража. Наикратчайшее расстояние — это прямая. Проще всего найти это расстояние по теореме Пифагора. Ответ 10 метров. Пашен­ька [189K] более года назад  Жилой дом, расстояние от которого до гаража нам необходимо вычислить, обозначен на плане цифрой 3. Гараж обозначен цифрой 7. От нас требуется найти расстояние между ними. Сразу хочется оговориться, что это должно быть расстояние не по проложенным на плане дорожкам, а по законам математики. Исходя из данных, что квадрат на плане — 1 м, то расстояние от угла дома до дорожки снизу — 6 метров. а далее по дорожке к гаражу — 8 метров. Чтобы узнать нужное расстояние, можно условно прорисовать треугольник, значение гипотенузы которого и будет искомым данным, а расстояния от дома до дорожки и по дорожке к гаражу будут катетами. Значение гипотенузы рассчитывается по теореме Пифагора. То есть, нам необходимо извлечь квадратный корень от суммы квадратов 6 и 8. Ответ:10 Дарья­Кап88­88 [24] 3 года назад  Нужно найти расстояние от угла жилого дома до угла гаража. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Т.к. расстояние одной клетки=2м, то сторона а=8, а сторона б=6. Расстояние=корень из 8 в квадрате + 6 в квадрате= корень из 100= 10 Алекс­98 [60K] 2 года назад  На самом деле, это достаточно простая задача, на мой взгляд. Для того чтобы найти расстояние от угла жилого дома до угла гаража нужно использовать теорему Пифагора. А именно, расстояние будет равно корню из 8 в квадрате и прибавить 6 в квадрате (одна клетка — 2 метра, а сторона — 8 метров, сторона б равна шести), то есть корню из ста, а это 10. Ответ: 10. Знаете ответ?

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 303    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 303    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В), выполняется по формуле d = √((х_А –  х_В)² + (у_А – у_В)²), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х_М; у_М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х_М² + у_М²).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1.

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х_А = 2;  х_В = -4; у_А = -5 и у_В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²), получим:

d = АВ = √((2 – (-4))² + (-5 – 3)²) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О₁, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О₁А = О₁В = О₁С. Пусть искомая точка О₁ имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) найдем:

О₁А = √((а – 7)² + (b + 1)²);

О₁В = √((а + 2)² + (b – 2)²);

О₁С = √((а + 1)² + (b + 5)²).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 2)² + (b – 2)²),
{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 1)² + (b + 5)²).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 2)² + (b – 2)²,
{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 1)² + (b + 5)².

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О₁(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и  АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

По формуле d = √((х_А –  х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

АВ = √((а + 5)² + (0 – 6)²) = √((а + 5)² + 36).

Получаем уравнение √((а + 5)² + 36) = 10. Упростив его, имеем

а² + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а₁ = -13; а₂ = 3.

Получаем две точки А₁(-13; 0) и А₂(3; 0).

Проверка:

А₁В = √((-13 + 5)² + (0 – 6)²) = 10.

А₂В = √((3 + 5)² + (0 – 6)²) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на  одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О₁(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О₁А = О₁В.

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

О₁А = √((0 – 6)² + (b – 12)²) = √(36 + (b – 12)²);

О₁В = √((а + ² + (b – 10)²) = √(64 + (b – 10)²).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12)²) = √(64 + (b – 10)²) или 36 + (b – 12)² = 64 + (b – 10)².

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О₁(0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р₁ и Р₂ (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР₁ = МР₂, МР₁ = а; МР₂ = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

МА = √((-а + 2)² + (а – 1)²).

Составим уравнение:

√((-а + 2)² + (а – 1)²) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а² – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а₁ = 1; а₂ = 5.

Получаем две точки М₁(-1; 1) и М₂(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) имеем:

МА = √((5 – ² + (b – 6)²).

Составим уравнение:

√((5 – ² + (b – 6)²) = 5. Упростив его, получим: b² – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b₁ = 2; b₂ = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М₁(5; 2) и М₂(5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

 Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Простейшие расстояния на плоскости

Расстояние – это длина, на которую объекты удалены друг от друга.

Чтобы измерить длину или расстояние используют различные измерительные приборы: линейку, рулетку, ленты и даже лазерные дальномеры. Все они показывают, как далеко находится один объект до другого. Длина всегда измеряется в определенных величинах: миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ:

1. Представим тетрадный лист в клетку. Мы знаем, что длина и ширина каждой клетки равна 5 мм или половине сантиметра (5мм х 5мм). Попробуем найти расстояние между двумя точками:

Проведем отрезок между этими точками. Этот отрезок проходит 5 клеток. Каждая клетка = 5 мм.

Значит расстояние между точками равно длине отрезка, заключенного между ними:

(5мм bullet 5 = 25мм).

2. Добавим еще две точки на наш лист в клетку и посчитаем расстояние между ними:

Расстояние между этими двумя точками (5мм bullet 2 = 10мм). Теперь мы можем сравнить расстояния до разных точек, зная их длину:

(25мм > 10мм)

Значит расстояние между оранжевыми точками больше, чем расстояние между серыми.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ:

Теперь рассмотрим на клетчатой бумаге, клетки которой равны 1см х 1 см точку и прямую линию:

Найдем расстояние между точкой и прямой. Таким расстоянием будет являться наикратчайшее расстояние.

Теперь если мы посчитаем длину перпендикуляра – найдем расстояние между прямой и точкой:

(1см bullet 3 = 3см)

Длины каких отрезков НЕ будут являться расстоянием между прямой и точкой:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ:

Длина любого перпендикуляра между двумя параллельными прямыми везде одинакова, поэтому, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, можно взять любой перпендикуляр между ними и измерить его длину:

Проведем перпендикуляр между прямыми:

Длина перпендикуляра между прямыми будет равна

расстоянию между ними, т.к. перпендикуляр – кратчайшее расстояние:

(1см bullet 5 = 5см)

Длины каких отрезков НЕ будут являться расстоянием между параллельными прямыми: