Как найти расстояние между двумя точками онлайн

Этот калькулятор определяет расстояние (называемое также метрикой) между двумя точками в одномерном, двумерном, трехмерном и четырехмерном евклидовом, чебышёвском и манхэттенском пространствах.

Пример: Рассчитайте евклидово расстояние между точками (3; 3,5) and (-5,1; -5.2) в двумерном пространстве.

Размерность пространства

1D2D3D4D

Координаты первой точки

Координаты второй точки

Евклидово расстояние

Манхэттенское расстояние

Чебышёвское расстояние

Введите значения для расчета и нажмите кнопку Рассчитать

Определения и формулы

Прямоугольная (декартова) система координат

Прямоугольная система координат носит имя французского философа и математика Рене Декарта, так как именно он ввел эту систему в своей работе «Геометрия» (фр. La Géométrie), опубликованной на французском языке в 1637 г. в Лейдене (Нидерланды) совестно с тремя другими книгами, включая «Рассуждения о методе» (фр. Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la verité dans les sciences), которая больше всего известна по знаменитой цитате «Je pense, donc je suis» — «Я мыслю, следовательно, я существую».

В прямоугольной системе координат каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числовыми координатами, которые являются расстояниями до точки от двух перпендикулярных осей, измеренными в одинаковых единицах. Ось x называется абсциссой, а ось y — ординатой. Эти два числа называется соответственно координатами x и y заданной точки.

Изобретение прямоугольной системы координат дало толчок к развитию аналитической геометрии — науки, использующей систему координат для построения фигур или тел. В аналитической геометрии кривые и формы описываются алгебраическими функциями, которые облегчают расчеты. Декартова система координат позволяет использовать относительно простые алгебраические уравнения для простых линий, плоскостей и трехмерных фигур. Числовое представление кривых и объемных фигур в аналитической геометрии удобно для их последующей компьютерной обработки.

Декартова система координат часто используются в реальных жизненных ситуациях — например, в вашем смартфоне двумерная система прямоугольных координат используется для показа изображений и отслеживания движений пальцев.

А трехмерная прямоугольная система координат с тремя осями может использоваться для описания положения точки на Земле или над Землей. Эта система вращается вместе с Землей. Начало такой системы координат (нулевая точка с координатами 0; 0; 0) находится в центре масс Земли. Ось z направлена от центра на Северный полюс. Ось x направлена от центра на экватор в точку его пересечения с нулевым меридианом и перпендикулярна оси z. Она указывает на долготу 0°и широту 0°. Ось y геоцентрической системы координат направлена от центра Земли вдоль линии, перпендикулярной осям z и x и, в соответствии с правилом правой руки, указывает на долготу 90° и широту 0°.

Поскольку метр вначале определялся как одни десятимиллионная часть расстояния от экватора до Северного полюса (10 000 км или ¼ длины окружности Земли, приблизительно равной 40 000 км), а километр является одной десятитысячной частью этого расстояния, километр представляется хорошим выбором единицы измерения для геоцентрической системы координат. Описанная выше система координат получила название привязанная к Земле геоцентрическая система координат.

Метрики и метрические пространства

Когда мы говорим о расстоянии в математике, мы всегда упоминаем метрику, которая также называется функцией расстояния. Метрикой называется функция, которая определяет расстояние между каждой парой элементов во множестве, которое является коллекцией объектов и само рассматривается как объект. Множество, в котором определена метрика, называется метрическим пространством. Метрическое пространство — математический объект, в котором расстояние между двумя точками точно определено и имеет смысл. Множество, в котором такая функция не определена, не является метрическим пространством.

Метрика, как числовая функция, удовлетворяет минимальным требованиям к расстоянию, которое мы обычно представляем себе как длину перемещения между двумя точками

• две точки с нулевым расстоянием между ними считаются идентичными (аксиома тождества);
• расстояние между двумя точками в обоих направлениях одинаково (аксиома симметрии);
• расстояние между двумя точками всегда положительно;
• прямое расстояние между двумя точками всегда меньше, чем непрямое расстояние между ними (аксиома неравенства треугольника)

Знакомое нам евклидово пространство с метрикой в форме евклидова расстояния, которое мы изучали в средней школе — это один из примеров метрического пространства. Другими примерами является метрические пространства с метриками расстояния городских кварталов (манхэттенское расстояние, метрика такси), чебышёвского расстояния и расстояния Минковского. Есть даже такая экзотическая метрика как метрика SNCF (Национальная компания французских железных дорог), в которой, если нужно добраться на поезде из точки А в точку В, наиболее эффективным способом будет добраться из точки А до Парижа, а оттуда добраться до точки В.

Метрики расстояния широко используются в алгоритмах машинного обучения для улучшения процессов классификации и информационного поиска. Например, они помогают классифицировать и узнавать изображения в системах распознавания изображений. Эта статья была написана во время пандемии COVID-19 и поэтому мы можем даже сказать, что использование метрик расстояния в системах распознавания лиц помогает отслеживать распространение вируса, так как эта технология обеспечивает быстрый неконтактный метод идентификации лиц, которые известны как носители вируса COVID-19, а также людей, которые были с ними в контакте.

Отметим, что, хотя мы говорим о расстоянии, «расстояние» в этом контексте означает не только то, как далеко друг от друга находится объекты в пространстве. Метрика расстояния между объектами — это одна из основных вычислимых функций, используемых в программах машинного обучения. В приложениях машинного обучения часто необходимо определить как близко друг к другу находятся два объекта данных. Например, апельсин похож на яблоко, потому что он сферический. В то же время апельсин похож на баскетбольный мяч, потому что они оранжевые. Цвет и форма — характеристики объектов, их можно выразить в цифровом виде и различие между ними будет являться «расстоянием» между объектами.

Для надежного сравнения предметов нужно описать их математически, в виде чисел, и тогда мы превратим нашу задачу в набор объектов, различные характеристики которых будут описываться числами. Затем, чтобы определить насколько они похожи, мы определим «расстояние» между ними. В нашем случае мера расстояния — это численная оценка, которая описывает относительное различие между объектами в наборе.

В компьютерной науке расстояния между объектами множества можно определять с использованием любых количественных мер или переменных, например, высоты, возраста, веса или температуры. Годится любая переменная, которую можно измерить и выразить числом. Например, если имеется набор нескольких объектов с различными температурами, мы можем сказать, что «расстояние» между объектами с разницей температур в 1 °С меньше, чем расстояние между объектами с разницей температур 2 °С. Или можно рассмотреть объекты с различными температурами и весами и измерить «расстояния» между ними с использованием этих двух количественных переменных для каждого объекта в наборе. Конечно, в этом контексте можно рассматривать и реальные расстояния между объектами, выраженные в единицах длины.

Евклидово расстояние

Евклидово расстояние между двумя точками в двумерном и трехмерном пространстве представляет собой прямую линию, соединяющую две точки. Это очевидный способ представить расстояние между двумя точками. Поскольку в евклидовом пространстве имеется функция, определяющая евклидово расстояния в виде прямой линии, евклидово пространство считается метрическим. Это исторически первое метрическое пространство в математике. Позднее, с развитием математической и физической наук появились другие метрические пространства. Евклидово расстояние, называется также расстоянием L², так как это частный случай расстояния Минковского второго порядка, которое мы рассмотрим ниже.

Для определения расстояния в двумерном пространстве можно использовать теорему Пифагора. Для точек p и q с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) в двумерном пространстве (на плоскости) евклидово расстояние определяется по формуле

В трехмерном пространстве евклидово расстояние между двумя точками p и q с координатами (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) определяется как

Обобщая эту формулу для n-мерного евклидова пространства, получаем расстояние d(p,q) между двумя точками p = (p₁, p₂, …, p_n) и q = (q₁, q₂, …, q_n):

Конечно, трудно понять даже четырехмерное пространство, не говоря уже об n-мерном пространстве, потому что наши чувства слишком ограничены. Если, например, в трехмерном пространстве многогранник составляется из плоских многоугольников, то в четырехмерном пространстве политопы (многогранники в n-мерном пространстве) составляются из трехмерных многогранников. Например, «гиперграни» гиперповерхности четырехмерного куба, называемого тессерактом, представляют собой трехмерные кубы.

Интересно сравнить сечения двумерных, трехмерных и четырехмерных объектов. Если двумерный объект пересекает одномерная прямая, мы наблюдаем сечение, которое представляет собой отрезок этой линии. Если рассмотреть сечение плоскостью трехмерного объекта, например, куба, мы можем наблюдать один из нескольких многоугольников: треугольник, трапецию, пятиугольник и шестиугольник. Тип многоугольника зависит от количества пересекаемых поверхностей: если плоскость пересекает три поверхности куба, получается треугольник, если четыре — трапеция (помним, что квадрат и прямоугольник — частные случаи трапеции); пять пересекаемых граней куба дают пятиугольник и шесть — шестиугольник.

А что получится, если «разрезать» четырехмерный объект трехмерным объектом, например, если мы возьмем трехмерный куб и разрежем им четырехмерный куб, называемый тессерактом? Мы оставляем читателям возможность ответить на этот вопрос самостоятельно. Подсказка: при построении сечения четырехмерной сферы трехмерной сферой получается трехмерная сфера.

До начала XIX в. считалось, что единственным правильным способом определения расстояния является способ, которым пользовался Евклид. Однако в XIX веке математики начали исследовать другие версии геометрии, которые выглядели необычно. Конечно, в таких привычных областях техники как архитектура или геодезия без евклидовой геометрии не обойтись. В то же время, физики и математики поняли, что пришло время создания неевклидовых геометрий. Во многих случаях бывает удобно не применять евклидову геометрию и измерять расстояния иным образом.

Немецкий математик Герман Минковский ввел несколько других видов геометрии, основанных на различных методах измерения расстояния между точками пространства. Выступая перед делегатами съезда немецких естествоиспытателей и врачей в Кёльне, Минковский начал доклад ставшими знаменитыми словами, что «Отныне пространство само по себе и время само по себе должны сделаться всецело тенями и только особого рода их сочетание должно еще сохранить самостоятельность».

Ниже мы очень кратко рассмотрим несколько неевклидовых геометрий. Отметим, что мы не будем здесь затрагивать пространство-время Минковского и поговорим только о расстоянии Минковского.

Расстояние Чебышёва

Расстояние Чебышёва между двумя n-мерными точками или векторами — это максимальный модуль разности координат этих точек. Для прямоугольной системы координат расстояние Чебышёва между двумя точками можно определить как сумму абсолютных значений разностей их прямоугольных координат. Расстояние Чебышёва называется также максимальной метрикой и метрикой L_∞. Метрика названа в честь русского математика Пафнутия Чебышёва, который известен работами по механике, статистике, аналитической геометрии и теории чисел.

Расстояние Чебышёва оценивает абсолютный максимум значения разности между координатами (или иными количественными свойствами) пары объектов. Расстояние Чебышёва между двумя точками p и q с координатами p_i и q_i равно

Например, рассмотрим две точки в трехмерном пространстве p (x₁,y₁,z₁) = p (2,3,4) и q (x₂,y₂,z₂) = q (5,9,11). Чебышёвское расстояние между этими точками p and q равно

Расстояние Чебышёва называют также метрикой шахматной доски, так как минимальное число ходов, которое нужно сделать королю, чтобы перейти из одного поля в другое, равно расстоянию Чебышёва между центрами полей при условии, что поля шахматной доски имеют единичную длину стороны квадрата и координатные оси выровнены с краями шахматной доски. Это связано с тем, что король может делать ход на соседнее поле в любом направлении: влево, вправо, вверх, вниз и по диагонали. Отметим, что расстояние Чебышёва для ходов по диагонали равно расстоянию для ходов по вертикали и горизонтали. Например, расстояние Чебышёва для перемещения короля e4—g6 равно 2.

Расстояние Чебышёва также широко применяется в программировании промышленных роботов, если их манипуляторы могут с одинаковой скоростью двигаться в восьми направления вдоль осей y и y, а также по диагонали.

Манхэттенское расстояние

Формула евклидова расстояния удобна для измерения теоретических расстояний. Однако в реальной жизни, например, в городе, в большинстве случаев невозможно двигаться от одной точки до другой по прямой. Заборы, здания, улицы не позволяют это сделать и приходится двигаться по улицам, которые часто бывают расположены в виде регулярной сетки. В городе удобнее пользоваться манхэттенским расстоянием, так как оно позволяет рассчитывать расстояние между двумя точками данных на регулярной координатной сетке, например, среди городских кварталов или на шахматной доске, где между двумя точками может быть много путей с одинаковым манхэттенским расстоянием. Оно называется манхэттенским, потому что большинство улиц на Манхэттене расположены в строгом порядке, за исключением, разве что, Бродвея, который появился до создания регулярной планировки улиц.

Манхэттенское расстояние известно также под названием «метрика такси», «расстояние городских кварталов». метрика L¹, расстояние L₁, метрика прямоугольного города и другими. Формула для манхэттенского расстояния между двумя точками p и q с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) имеет вид:

Обобщенная формула для манхэттенского расстояния в n-мерном векторном пространстве имеет вид:

Расстояние Минковского

Расстояние Минковского между двумя точками в n-мерном пространстве — обобщение манхэттенского, евклидова и чебышёвского расстояний:

где λ — порядок метрики Минковского. Для различных значений λ расстояние Минковского рассчитывается тремя способами:

• λ = 1 — манхэттенское расстояние (метрика L¹)
• λ = 2 — евклидово расстояние (метрика L²)
• λ = ∞ — чебышёвское расстояние (метрика L_∞)

Можно рассчитывать и с промежуточными значениями λ, например λ = 1,5, при которых получается нечто среднее между двумя метриками.