Как найти расстояние между корнями квадратного уравнения

Время на прочтение
4 мин

Количество просмотров 38K

Нужен репетитор?

Выбирай лучших преподавателей на сервисе Буки!

Регистрируйся как репетитор на BUKI!

Бесплатная регистрация за 10 минут

Занятия персонально или по Skype

Оплата напрямую от ученика

Содержание

$s=frac{gt^2}{2}$ — путь, которое проходит свободно падающее тело за время t с нулевой начальной скоростью.

В общем виде эту зависимость можно записать так: $y=ax^2$. График этой функции — парабола, вершина которой находится в точке (0,0). Ветви направлены вверх. Четная функция.

Квадратичной называется функция, которую можно задать формулой y=ax² + bx + c, причем а отлично от 0. Здесь a,b,c — некоторые числа, x — переменная.

Корень  — это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.

Обратите внимание: здесь не написано, что график квадратичной функции назвали параболой. Графиком квадратичной функции является парабола — ГМТ точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой. Эту кривую математики открыли и назвали параболой раньше (от греч. παραβολή), до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Можно выделить квадратный двучлен, поэтому это тоже парабола со сдвигом и растяжением.

$$y = a(x-m)^2 + n$$

Вершина параболы в точке (m,n), $m = frac{-b}{2a}, n = frac{-D}{4a}$

Модель desmos

$ax^2 + bx+ c = 0$

a — первый или старший коэффициент

b — второй коэффициент или средний или коэффициент при x

c — свободный член

Дискриминант $D = b^2-4ac$

Корни $x_{1,2} = frac {-b pm sqrt{D}}{2a}$

• Если дискриминант < 0 — корней нет

• Если дискриминант = 0, уравнение имеет 1 корень: $-frac b{2a}$

• Если дискриминант > 0, уравнение имеет 2 корня

Схематическое расположение параболы в зависимости от знаков первого коэффициента и дискриминанта.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Теорема. Cумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни, то их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то есть

$$x_1 + x_2 = –p, \
x_1 cdot x_2 = q$$

Примечание. Любое квадратное уравнение можно привести к такому виду делением на a.

В общем виде:
$$x_1+x_2 = frac{-b+sqrt{D}}{2a}+frac{-b-sqrt{D}}{2a} = frac{-b+sqrt{D}-b-sqrt{D}}{2a} = frac{-2b}{2a}=frac{-b}{a}$$
Аналогично:
$$x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$$

Пример. Найти сумму корней уравнения $x^2-7x+13=0$. Корней нет, поэтому ответ «сумма корней равна 7» — неверный. Для определения количества корней необходимо найти дискриминант.

Таким образом, в формулировку теоремы Виета необходимо добавить условие: если корни существуют, то … Или если дискриминант неотрицателен. Заметим, что при нулевом дискриминанте теорема Виета тоже работает (считать, что уравнение имеет два равных корня).

Пример. (Мерзляк, Алгебра 8 углубл, 2016)

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена (не решая уравнение).

Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно:
$$6 = 2 cdot 3, , 2 + 3 = 5. $$

Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Определение знаков корней без решения уравнения (при условии что D > 0).

Мы привыкли произносить «икс квадрат», «квадрат суммы», «удвоенный квадрат», не придавая этим выражениям геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на алгебру, который сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось решать геометрические задачи на вычисление площадей.

В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена такая задача. «Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего квадрата?»

Решить такую задачу — это все равно, что решить уравнение $x^2+(frac 2 3 x-10)^2=1000$. В клинописном тексте нет формулы для решения этого уравнения, но перечисляются необходимые этапы вычисления, которые приводят к корню $x = 30$.

Фактически вавилонский метод дает решение системы $begin{cases}x+y=p \ xy= qend{cases}$,

которая представляет собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает решение этой системы с решением квадратного уравнения.

Теорема Вієта для зведеного многочлена $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_1x+a_0$
формулюється так: «Якщо $x_1, x_2, x_3, ldots, x_{n-1}, x_n$ — всі комплексні корені
(включаючи рівні) цього многочлена степеня n, то мають місце рівності:

$$ x_1+x_2+ldots+x_n=-a_{n-1} $$
$$ x_1x_2+x_1x_3+ldots+x_1x_n+x_2x_3+ldots+x_{n-1}x_n=a_{n-2} $$
$$ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+ldots+x_1x_{n-1}x_n+ldots+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-a_{n-3} $$
$$x_1x_2x_3 ldots x_n=(-1)^n a_0$$

$$ x_1-x_2 = frac {-b+sqrt{D}-(-b-sqrt{D})}{2a} = frac {sqrt{D}} a $$

Для приведенного уравнения
$$ x_1-x_2 = sqrt{D} $$

Или иначе:

$${(x_1-x_2)^2} = x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

Для приведенного уравнения с учетом теоремы Виета:

$$(x_1-x_2)^2 = (-b)^2-4c = b^2-4ac = D$$

$$|x_1-x_2| = sqrt{D}$$

Таким образом, если корни квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями.

См также Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Дискриминантом многочлена $p(x)$ называется функция, задаваемая его коэффициентами.

Если точнее, то дискриминант — это произведение квадратов разностей корней многочлена, умноженное на старший коэффициент в степени на 2 меньше удвоенной степени многочлена.

$$D(p) = a_n^{2n-2} prod_{i<j} {(x_i-x_j)^2},$$

где $x_1 … x_n$ — все корни многочлена (с учетом кратностей); $a_n$ — старший коэффициент.

То есть для приведенного многочлена корень из дискриминанта — это произведение всех расстояний между корнями. $n=3: ; sqrt{D} = |x_1-x_2||x_2-x_3||x_1-x_3| $

Очевидно, дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда уравнение имеет кратные корни.

Дискриминант кубического многочлена $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ равен

$$ D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.$$

• При D>0 кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.

• При D=0 он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).

• При D<0 кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Дискриминант многочлена 4-й степени — см англ википедию, ласточкин хвост.

см подробнее Кубическое уравнение

Из теоремы Виета вытекает правило разложения квадратного трехчлена на множители:
Если $m$ и $n$ — корни уравнения $x^2 + px+ q = 0 $, то

$$x^2 + px+ q = (x-m)(x-n) $$

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx+ c = 0$, то

• при D > 0: $$ax^2 + bx+ c = a(x-x_1)(x-x_2)$$

• при D = 0: $$ax^2 + bx+ c = a(x-x_1)^2$$

• при D < 0: разложить на множители нельзя

Метод переброски при решении квадратных уравнений — YouTube

Решение по дискриминанту подразумевает деление на $2a$. Теорема Виета также требует деления на $a$.

Чтобы уйти от деления и действий с дробями, рассмотрим вспомогательное уравнение вида
$$ x^2 + bx +ac =0$$

Решим его, полученные корни поделим на $a$ — это будут корни исходного уравнения.

Пример

$$-2х^2+3х+2=0$$

$$y^2+3y-4=0$$

$$D=9+16 = 25; , y_1=2/2=1,, y_2=-8/2=-4$$

$$x_1=-0.5,, x_2=2$$

для доказательства домножить исходное уравнение на a.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю

$$a+b+c=0,$$

то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту $frac {c}{a}$.

Прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить сумму коэффициентов.

Пример: $x^2+5x-6=0$

Доказательство

Заметим, что в случае, когда сумма коэффициентов равна 0, уравнение имеет хотя бы один корень.

Второй способ доказательства. Подставить в уравнение 1 и убедиться, что 1 является корнем. Затем по теореме Виета найти второй корень.

Parabole — по гречески означает «прикладывание», «приложение» (т. к. в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию).

Здание библиотеки в Норвегии

Если a позитивно (>0), то парабола улыбается, если a негативно (<0), то парабола хмурится.

График функции $y=x^2$ имеет специальное название — парабола.
Графики функций $y = ax^2$ легко получаются из графика
функции $y = x^2$ растяжением вдоль оси Oy и тоже называются параболами.
Интересно, что все эти кривые подобны друг другу, так
что одна и та же кривая при подходящем выборе масштаба может служить графиком
любой функции $y = ax^2$.

Чем меньше а, тем парабола шире, чем больше а, тем парабола уже. Образно можно назвать число а «коэффициентом худобы» параболы.

1) Покажите, что подобное преобразование параболы с центром в начале координат и коэффициентом подобия 2 переводит кривую $y = x^2$ в кривую $y =0.5 x^2$.

2) Докажите, что все параболы $y = ax^2 + bx + c$ геометрически
подобны.

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A, B и их образов A’, B’ имеет место соотношение |A’B’|=k|AB|, где k — не равное нулю число, называемое коэффициентом подобия.

Прямая $x = x_0 = -frac{b}{ 2a}$ — ось параболы, которая является одновременно осью ее симметрии.

Точка $(x_0, y_0)$ является вершиной параболы, где $y_0 = f(x_0)$.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот.

Если коэффициент b положительный (при положительном a), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Если коэффициент b положительный (при отрицательном a), то вершина параболы лежит в правой полуплоскости и наоборот.

Макарычев, 9 класс, 2014:

При вращении параболы вокруг ее оси получается фигура, которую называют параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, то отраженные лучи соберутся в одной точке, которую называют фокусом. В то же время если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зеркальной поверхности параболоида лучи окажутся параллельными и не рассеиваются.

Первое свойство позволяет получить в фокусе параболоида высокую температуру. Согласно легенде это свойство использовал древнегреческий ученый Архимед (287-212 гг. до н. э.). При защите Сиракуз в войне против римлян он построил систему параболических зеркал, которая позволила сфокусировать отраженные солнечные лучи на кораблях римлян. В результате температура в фокусах параболических зеркал оказалась настолько высокой, что на кораблях вспыхнул пожар и они сгорели.

Второе свойство используется, например, при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторый точки, называемой фокусом
параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии (например, параболу $y = x^2$
вокруг оси Oy), то получается очень интересная поверхность, которая называется
параболоидом вращения.

Поверхность жидкости, вращающейся в сосуде, имеет форму параболоида
вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если помешаете ложечкой в неполном
стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит
по параболе.

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной
его образующей, то в сечении получится парабола.

5. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид
чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он
стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

6. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет
от далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа,
собирается в фокусе.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить
источник света в фокусе параболоида, то лучи света, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Опыты, описанные в пунктах 2 и 5, основаны на одном и том же свойстве параболоида: если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг его оси, расположенной вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения в любой точке параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности.

Солнечные концентраторы используют энергию солнечной радиации, которая попадает на параболическую поверхность зеркала, в фокусе которой обычно располагается трубка с циркурирующим по ней теплоносителем. Как правило в качестве теплоносителя выступает масло. Теплоноситель нагревает воду, которая испаряясь поступает в турбогенератор в виде пара.

Параболические концентраторы с двигателем Стирлинга представляют собой СЭС с параболическими концентраторами, которые фокусируются на двигатель Стирлинга. Такие электростанции характеризуются высоким КПД (более 31%). В качестве рабочего тела двигателя Стирлинга используется, как правило, водород, или гелий.

Согласно известной исторической легенде, Архимед почти полностью сжег флот римского полководца Марка Марцелла, используя медные параболические зеркала.

8-этажное сооружение, включающее около 10 тысяч отдельных параболических зеркал. На сегодняшний день Солнечная Печь, выстроенная в 1970 году в Восточных Пиренеях – крупнейшая в мире. Массив зеркал действует в качестве параболического отражателя. Свет фокусируется в одном центре. И температура там может достигать 3500 градусов по Цельсию. При такой температуре можно плавить сталь.
Но температуру можно регулировать, устанавливая зеркала под разными углами.

википедия

Вантовый мост — тип висячего моста, состоящий из одного или более пилонов, соединённых с дорожным полотном посредством прямолинейных стальных тросов — вантов. В отличие от висячих мостов, где дорожное полотно поддерживается вертикальными тросами, прикреплёнными к протянутым по всей длине моста основным несущим тросам, у вантовых мостов тросы (ванты) соединяются непосредственно с пилоном.

Русский мост (Владивосток) — вантовый мост с самым длинным основным пролётом в мире (1104 м), при общей длине в 1886 м

Висячий мост — мост, в котором основная несущая конструкция выполнена из гибких элементов (кабелей, канатов, цепей и др.), работающих на растяжение, а проезжая часть подвешена.

Висячие мосты находят наиболее удачное применение в случае большой длины моста, невозможности или опасности установки промежуточных опор (например в судоходных местах).

Золотые Ворота (Сан-Франциско) — один из самых узнаваемых мостов в мире. Мост был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года. Общая длина моста — 2737 м, длина основного пролёта — 1280 м, высота опор — 227 м над водой, масса — 894 500 т. В среднем, по мосту проезжают сто тысяч автомобилей в сутки. 6 полос.

Основные несущие тросы (или цепи) подвешивают между установленными по берегам пилонами. К этим тросам крепят вертикальные тросы или балки, на которых подвешивается дорожное полотно основного пролёта моста. Основные тросы продолжаются за пилонами и закрепляются на уровне земли. Продолжение тросов может использоваться для поддержки двух дополнительных пролётов.

Под действием сосредоточенной нагрузки несущая конструкция может изменять свою форму, что уменьшает жёсткость моста. Для избежания прогибов в современных висячих мостах дорожное полотно усиливают продольными балками или фермами, распределяющими нагрузку.

Используются также конструкции, в которых дорожное полотно поддерживается системой прямолинейных канатов, закреплённых непосредственно на пилонах. Такие мосты называются вантовыми.

Основной пролёт можно сделать очень длинным при минимальном количестве материала. Поэтому использование такой конструкции очень эффективно при строительстве мостов через широкие ущелья и водные преграды. В современных висячих мостах широко применяют проволочные тросы и канаты из высокопрочной стали с пределом прочности около 2—2,5 ГПа(200-250 кгс/мм²), что существенно снижает собственный вес моста.

Отсутствует необходимость ставить промежуточные опоры, что даёт большие преимущества, например, в случае горных разломов или рек с сильным течением.

Будучи относительно податливыми, висячие мосты могут, без ущерба для целостности конструкции, изгибаться под действием сильного ветра или сейсмических нагрузок, тогда как более жёсткие мосты нужно строить более крепкими и тяжёлыми.

Полотно моста сильно прогибается, если на одном участке сосредоточена нагрузка существенно больше, чем на других. Из-за этого висячие мосты реже используются в качестве железнодорожных, чем другие типы.

Основные напряжения в висячем мосте — это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции упрощает расчёт висячих мостов.

Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму т. н. «цепной линии», которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.

Клифтонский мост близ Бристоля (инженер Изамбард Кингдом Брюнель, 1864).

См. также

• Такомский мост — обрушение. При создании проекта моста следует всегда учитывать возможные природные катаклизмы, такие, как сильный ветер или землетрясение. В XIX — начале XX века несколько аварий мостов произошло из-за резонанса, в который входил мост, когда по нему проходили войска.

Акаси-Кайкё — самый длинный подвесной мост в мире. Полная длина составляет 3911 м. Пилоны имеют высоту 298 м, что выше 90-этажного дома.

Вначале были построены два бетонных основания для пилонов на дне пролива Акаси. Для строительства этого моста был разработан специальный бетон, который не растворяется в воде при заливке. Следующим этапом было протягивание тросов. Для этого нужно было с одного пилона на другой протянуть направляющий канат. Он был протянут с помощью вертолёта. Когда в 1995 году оба троса были протянуты, и можно было приступать к монтажу дорожного полотна, произошло непредвиденное: город Кобе стал жертвой крупного землетрясения магнитудой в 7,3 балла. Пилоны выдержали землетрясение, но из-за изменения рельефа дна пролива один из пилонов сдвинулся на 1 м в сторону, таким образом нарушив все расчёты. Инженеры предложили удлинить балки дорожного полотна и увеличить расстояние между вантами, свисающими с основных тросов. Строительные работы, задержанные не более чем на месяц, возобновились. Монтаж дорожного полотна закончился в 1998 году.

В конструкции моста имеется система двухшарнирных балок жёсткости, позволяющая выдерживать скорости ветра до 80 м/с, землетрясения магнитудой до 8,5 и противостоять сильным морским течениям. Для уменьшения действующих на мост нагрузок имеется система динамических гасителей колебаний.

Если вытянуть в длину все стальные нити (диаметром 5,23 мм) несущих тросов моста Акаси-Кайкё, то ими можно опоясать земной шар более семи раз.

модель онлайн, ggb-файл (5.89 KiB, 8y ago, 272 downloads)

Легко получить параболу с помощью обычного карманного фонарика. Световое пятно от вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного повернём его, и пятно будет иметь форму эллипса. При дальнейшем повороте фонарика эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность. Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые, которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения. Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из фонарика, является конусом.

Если радиус окружности, вписанной в параболу $y=x^2$ равен 1, то радиус второй окружности, вписанной в эту же параболу и касающейся первой окружности, равен 2, радиус аналогичной 3-й окружности равен 3 и т. д.

Доказать несложно.

Интересно, что радиусы подобной цепочки окружностей, вписанных в угол, образуют геометрическую прогрессию.

Источник

Задача. Постройте график функции $y = x^2$. Масштаб возьмите покрупней: 1
= 4 клетки. Отметьте на оси Oy точку F(0; 1/4).
Полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь
точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой
точки так, чтобы она стала вертикальной.
Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс. Отметьте на полоске, насколько
она выйдет за ось абсцисс.
Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько
теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат мы Вам сможем сказать заранее: какую бы точку на параболе
вы ни взяли, расстояние от этой точки до точки (0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число — на 1/4.
Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы $y = x^2$ до точки
(0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = −1/4,
параллельной оси Ox.

Замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы, а прямая
y = −1/4 — директрисой (по-русски направляющая) этой параболы. Директриса и фокус есть у всякой
параболы.

Из книги Гельфанд. Функции и графики

Парабола — это множество точек, равноудалённых от данной прямой (директрисы параболы) и не лежащей на директрисе данной точки (фокуса параболы).

Парабола — это множество центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой, касающейся этого круга.

Источник — подробнее, больше картинок

Тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты, за последнюю секунду падения проходит путь в 7 раз больший чем за первую секунду
движения. Найдите высоту, с которой падает тело.

Решение.

За первую секунду тело пройдёт расстояние равное: $S=frac{gt^2}{2}=10 cdot 1/2=5 $ м.

Тогда за последнюю секунду тело пройдёт расстояние равное 35 м. С другой стороны, за последнюю секунду тело пройдет расстояние:
$$ frac{gt^2}{2} — frac{g(t-1)^2}{2}= 35$$

Решив это уравнение получим t = 4 с, откуда S = 80 м

Проверка:

Таким образом, любое падающее тело за первую секунду проходит 5м, за вторую секунду — в 3 раза больше, за третью — в 5 раз больше, за четвертую — в 7 раз больший путь, за пятую — в 9 раз, за шестую — в 11 раз. Арифметическая прогрессия, физики называют это закон нечетных чисел. Путь, пройденный за секунду, тоже образует арифметическую прогрессию с разность 10, что соответствует ускорению свободного падения g.

Задача. Тело, падающее без начальной скорости, за последнюю секунду падения прошло путь s = 35 м. Какую скорость имело тело в момент падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Время падения = 4 с. Скорость $v = s’ = gt = 40$ м/с.

• Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).

• Область значений функции — положительная полупрямая: E(f) = [0; ∞).

• Функция у = x² четная: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

• Ось ординат является осью симметрии параболы.

• На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает.

• На промежутке (0; + ∞) функция монотонно возрастает.

• В точке x = 0 достигает минимального значения.

• Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.

• Функция непрерывна на всей области определения.

• Асимптот не имеет.

• Нули функции: y = 0 при x = 0.

$у = ax^2 + bx + c$

• Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).

• Область значений функции зависит от знака коэффициента a.

• При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее (ymin), но не имеет наибольшего значения: E(f) = [ymin; ∞);

• при a < 0 ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее (ymax), но не имеет наименьшего значения: E(f) = (−∞; ymax].

• В общем случае функция не является ни четной, ни нечетной.

• Осью симметрии параболы является прямая x = −b/2a.

• Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b = 0.

• При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно возрастает на промежутке (−b/2a; ∞).

• При a < 0 функция монотонно возрастает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно убывает на промежутке (−b/2a; ∞).

• В точке x = −b/2a при a < 0 достигается максимум, а при a > 0 — минимум функции.

• Функция непрерывна на всей области определения.

• Асимптот не имеет.

• Парабола пересекает ось ординат в точке (0;c).

• Если квадратный трёхчлен имеет действительные корни x1 ≠ x2, то парабола пересекает ось абсцисс в точках (x1;0) и (x2;0).

• При x1 = x2 парабола касается оси абсциcс в точке (x1;0).

• У параболы нет асимптот, потому что функция $y=x^2$ определена на всей числовой оси, значит, нет таких линий, к которым бы она приближалась, но не пересекала.

График квадратичной функции, заданной общей формулой, лучше всего строить и изучать пользуясь правилами преобразования графиков функций.

Для этого нужно сначала перейти от формулы $у = ax^2 + bx + c$ к виду, удобному для преобразований $у = m(x + l)^2 + n$, где l, m, n — числа, зависящие от a, b, c (можно легко вывести общие формулы):
$$a(x+ frac{b}{2a})^2 — frac{b^2-4ac}{4a}$$

Затем взять за основу параболу y = x² и применить к ней следующие преобразования:

• Параллельный перенос (сдвиг) исходной параболы на l единиц влево (если l < 0, то вправо).

• Растяжение от оси Oх вдоль оси Oy в m раз (при m < 1, получится сжатие к оси Ox).

• При m = a < 0 симметричное отображение полученного графика относительно оси Ox — разворот ветвей параболы вниз.

• Параллельный перенос (сдвиг) графика на n единиц вверх или вниз в зависимости от знака n (при n >0 вверх).

Для такого перехода нужно научиться выделять полный квадрат из трёхчлена с заданными коэффициентами. Это умение весьма полезно также для решения некоторых уравнений и неравенств, для вычисления интегралов и т.д.

Второй способ — найти вершину параболы и точки пересечения с осями.

Точка пересечения с осью Oy — это (0;c). Также следует отметить симметричную ей точку (-b/a;c). Ось симметрии — прямая x=-b/(2a). Провести параболу через найденные точки, учитывая направление ветвей.

Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
$$x^2=kx+b$$

Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой $y=kx+b$ и параболы $y=x^2$.

Оказываются возможными 3 варианта:

1. Подкоренное выражение положительно.

2. Подкоренное выражение равно нулю.

3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:

1. Прямая пересекает параболу.

2. Прямая касается параболы.

3. Прямая не имеет с параболой общих точек.

Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: $x^3=kx+b$. С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано.

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

$ {frac {ax^{2}}{x}}+{frac {bx}{x}}+{frac {c}{x}}={frac {0}{x}};$

$ ax+b+{frac {c}{x}}=0;$

затем

$ax+b=-{frac {c}{x}}.$

Совершив преобразования, строят графики линейной функции $ y=ax+b$ и обратной пропорциональности $ y=-{frac {c}{x}}$, отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если c=0 , то метод не используется.

Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка.

Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке

$S(-{frac {b}{2a}};{frac {a+c}{2a}})$, пересекающую ось y в точке $C(0;1)$.

Далее возможны три случая:

• длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;

• радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;

• радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве $ mathbb {R} $ нет.

Доказательство — рассмотреть три точки $(0,1), (x_1, 0), (x_2, 0)$ и записать уравнение окружности, проходящее через эти три точки. Для радиуса получилась формула (вывела сама, не проверяла):

$R^2 = frac {a^2+b^2+c^2-2ac}{4a^2} = frac {b^2+(c-a)^2}{4a^2} $

Также окружности будет принадлежать точка $(0, frac c a)$ — можно использовать для контроля.

Квант 1972/04

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений.

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.); Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: $ ax^{2}+bx=c$; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a, могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.