Как найти расстояние между прямыми методом координат

Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание 14

В этой статье я хочу показать решение  задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, которую мы уже решали геометрическим способом, но теперь с помощью метода координат. Я специально показываю решение одной задачи разными способами, чтобы у вас была возможность выбрать наиболее удобный для вас.

Итак,  аналитический  способ решения задачи:

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  и :

Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми  и  есть расстояние от точки  , которая является серединой отрезка  до плоскости :

Рассстояние  от точки  до плоскости вычисляется по такой формуле:

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае  призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки  и точек ,   и , задающих плоскость  вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:

Запишем координаты нужных нам точек:

Чтобы найти коэффициенты  ,   ,   и в уравнении  плоскости , примем коэффициент , и подставим координаты точек ,   и в уравнение плоскости. (Мы приняли коэффициент, так как наша плоскость не проходит через начало координат.)

Получим систему уравнений:

Отсюда:

,

,

Подставим значения коэффициентов и координаты точки  в формулу для расстояния. Получим:

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Расстояние между точкой и плоскостью.

Расстояние между точкой и прямой.

Расстояние между двумя прямыми.

Первое, что полезно знать, это как найти расстояние от точки до плоскости: 

Значения A, B, C, D — коэффициенты плоскости

x, y, z — координаты точки

Задача. Найти расстояние между точкой А = (3; 7; −2) и плоскостью 4x + 3y + 13z — 20 = 0.

Все дано, можно сразу подставить значения в уравнение:

Задача. Найдите расстояние от точки К = (1; −2; 7) до прямой, проходящей через точки V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).

1. Находим вектор прямой.
2. Вычисляем вектор, проходящий через искомую точку и любую точку на прямой. 
   
3. Задаем матрицу и находим определитель по двум полученным векторам в 1-ом и 2-ом пункте.
4. Расстояние получим, когда квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов матрицы поделим на длину вектора, который задает прямую (Думаю непонятно, поэтому перейдем к конкретному примеру).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Вектор найдем через точки K и T, хотя так же можно было бы через K и V или любую другую точку на данной прямой.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Получится матрица без коэффициента D (здесь он не нужен для решения):

Если непонятно, как получить матрицу и ее определитель, смотрите здесь более подробный разбор.

4) Плоскость получилась с коэффициентами А = 80, В = 40, С = 12,

x, y, z — координаты вектора прямой, в данном случае — вектор TV имеет координаты (9; 12; −20)

Задача. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и прямой, проходящей через точки M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).

1. Задаем векторы обеих прямых.
2. Находим вектор, взяв по одной точке с каждой прямой.
3. Записываем матрицу из 3-х векторов (две строчки из 1-го пункта, одна строчка из 2-го) и находим ее численный определитель.
4. Задаем матрицу из двух первых векторов (в пункте 1). Первую строчку задаем как x, y, z.
5. Расстояние получим, когда разделим получившееся значение из пункта 3 по модулю на квадратный корень из суммы квадратов пункта 4. 

Перейдем к цифрам:

1) EG = (2−1; 2−0; −1−2) = (1; 2; −3)

ML = (−2−4; 3−(−1); 0−4) = (−6; 4; −4) 

2) Найдем вектор EM (можно было так же найти EL или GM, или GL).

EM = (1−4; 0−(−1); −2−4) = (−3; 1; −6)

3) Составляем матрицу из трех выше найденных векторов и находим определитель.

4) Составляем матрицу из первых двух выше найденных векторов и находим определитель 

без коэффициента D (здесь он не нужен для решения).

Вспомним, что уравнение плоскости задается так:

В нашем случае А = 4, В = 22, С = 16, D = 0.

5) Итоговая формула выглядит так, где L= −86 (из 3 пункта)

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

({color{red}{textbf{Факт 1. Про векторы}}})
(bullet) Если в пространстве заданы две точки (A(x_1;y_1;z_1)) и (B(x_2;y_2;z_2)), то вектор (overrightarrow{AB}) имеет координаты [overrightarrow{AB} = {x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1}]
(bullet) Если в пространстве заданы два вектора (vec{a}
={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}=
{x_2;y_2;z_2}), то:

(qquad blacktriangleright) сумма этих векторов (vec{a}+vec{b}={x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2})

(qquad blacktriangleright) разность этих векторов (vec{a}-vec{b}={x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2})

(qquad blacktriangleright) произведение вектора на число (lambda
vec{a}={lambda x_1;lambda
y_1;lambda z_1})
 
(bullet) Если в пространстве заданы две точки (A(x_1;y_1;z_1)) и (B(x_2;y_2;z_2)), а точка (O) — середина отрезка (AB), то (O) имеет координаты [Oleft(dfrac{x_1+x_2}2;dfrac{y_1+y_2}2;dfrac{z_1+z_2}2right)]
(bullet) Длина вектора (vec{a}={x;y;z}) обозначается (|vec{a}|) и вычисляется по формуле [|vec{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2}]
(bullet) Заметим, что расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина вектора с началом и концом в этих точках.
 

I. Скалярное произведение ненулевых векторов (их длины не равны нулю) равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны: [(vec{a}, vec{b})=0 quadLeftrightarrowquad
vec{a}perp vec{b}]

II. Длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: [|vec{a}|=sqrt{(vec{a},
vec{a})}]

III. Переместительный закон: [(vec{a}, vec{b})=(vec{b},
vec{a})]

IV. Распределительный закон: [(vec{a}+vec{b},
vec{c})=(vec{a}, vec{c})+(vec{b}, vec{c})]

V. Сочетательный закон ((lambda) – число): [lambda(vec{a}, vec{b})=(lambda
vec{a}, vec{b})]
(bullet) Скалярное произведение двух векторов (vec{a}
={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}= {x_2;y_2;z_2}) можно вычислить с помощью координат этих векторов: [{large{(vec{a},
vec{b})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}}]
(bullet) Косинус угла между векторами (vec{a} ={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}= {x_2;y_2;z_2}) вычисляется по формуле: [{large{cosangle(vec{a}, vec{b})=dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}
{sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}cdot
sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2}}}}]
 

({color{red}{textbf{Факт 3. Про уравнение плоскости}}})
(bullet) Если (vec{n}={a;b;c}) – нормаль к плоскости, то уравнение плоскости имеет вид [ax+by+cz+d=0] Для того, чтобы найти (d), нужно подставить в уравнение плоскости вместо (x, y, z) координаты любой точки, лежащей в этой плоскости.
 
Пример: если (vec{n}={1;2;3}) – нормаль к плоскости, (O(4;5;6)) – точка из плоскости, то справедливо: (1cdot 4+2cdot 5+3cdot
6+d=0), откуда (d=-32), следовательно, уравнение плоскости имеет вид (x+2y+3z-32=0).
 
(bullet) Уравнение плоскости можно составить, используя три точки из плоскости, не лежащие на одной прямой.
Пусть (A(1;0;0),
B(0;3;4), C(2;0;5)) – точки из плоскости. Тогда уравнение плоскости можно найти, решив систему: [begin{cases}
1cdot a+0cdot b+0cdot c+d=0\
0cdot a+3cdot b+4cdot c+d=0\
2cdot a+0cdot b+5cdot c+d=0end{cases} quadRightarrowquad
begin{cases}
d=-a\
3b+4c-a=0\
a+5c=0end{cases}quadRightarrowquad begin{cases} d=-a\
a=-5c\
b=-3cend{cases}quadRightarrowquadbegin{cases}a=-5c\
b=-3c\
d=5cend{cases}] Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: [-5ccdot x-3ccdot y+ccdot z+5c=0] Можно разделить обе части на (c), так как (cne 0) (иначе (a=b=c=d=0)), следовательно, уравнение плоскости имеет вид [-5x-3y+z+5=0]
 

({color{red}{textbf{Факт 4. Про углы между прямыми, плоскостями}}})
(bullet) Если векторы (vec{a} ={x_1;y_1;z_1}) и (vec{b}=
{x_2;y_2;z_2}) являются направляющими прямых (p) и (q), то косинус угла между этими прямыми равен: [cos phi=dfrac{|x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2|}
{sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}cdot sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2}}]
(bullet) Если (vec{a}) — направляющий вектор прямой (p), а (vec{n}) — нормаль к плоскости (phi) (перпендикуляр к плоскости), то синус угла между прямой (p) и плоскостью (phi) равен модулю косинуса угла между векторами (vec{a}) и (vec{n}): [sin
angle(p, phi)=|cos angle(vec{a}, vec{n})|]
 
(bullet) Если две плоскости заданы уравнениями (a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0) и (a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0), то косинус угла между плоскостями ищется по формуле: [{large{cos phi=left| dfrac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}
{sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1}cdot
sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}right|}}]
 

({color{red}{textbf{Факт 5. Про расстояния от точки до плоскости,
между скрещивающимися прямыми}}})
(bullet) Если (M(x_0;y_0;z_0)) — некоторая точка вне плоскости (phi), (ax+by+cz+d=0) — уравнение плоскости (phi), то расстояние от точки (M) до плоскости (phi) ищется по формуле: [rho(M, phi)=dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}}]
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно
— построить плоскость, проходящую через одну из них и параллельную другой;
— найти уравнение этой плоскости;
— найти расстояние от любой точки первой прямой до этой плоскости.