Как найти расстояние между прямыми на графике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b , отметим на прямой а произвольную точку М₁ , опустим перпендикуляр из точки М₁ на прямую b , обозначив его H₁ . Отрезок М₁H₁ соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b .

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые a и b . Отметим на прямой a точку М₁ , опустим из нее перпендикуляр на прямую b . Основание этого перпендикуляра обозначим как H₁ . Тогда длина перпендикуляра М₁H₁ есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что равно , где М₂ – произвольная точка прямой a , отличная от точки M₁ , а H₂ – основание перпендикуляра, проведенного из точки М₂ на прямую b . Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то , а прямая M₂H₂ , перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a . Тогда треугольники М₁H₁H₂ и М₂М₁H₂ прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М₁H₂ – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других — признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

определить координаты некоторой точки М₁ , лежащей на прямой a (или на прямой b );
вычислить расстояние от точки М₁ до прямой b (или a ).

С определением координат точки М₁ , лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М₁ до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида , а прямую b , параллельную прямой a , — общее уравнение прямой , то расстояние между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле .

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М₁ удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид . Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при — по формуле

То есть, при любом значении С₂ расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку .

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: . Теперь вычислим нормирующий множитель: . Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: . Искомое расстояние равно модулю значения выражения , вычисленного при . Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М₁ , лежащей на этой прямой: . Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано . Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны — они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида и .

Очевидно, прямая проходит через точку . Вычислим расстояние от этой точки до прямой — оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая проходит через точку . Обозначим направляющий вектор прямой как , он имеет координаты . Вычислим координаты вектора (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): . Найдем векторное произведение векторов и :

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: .

расстояние между заданными параллельными прямыми равно .

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

m₂<x−x₁)+p₂(y−y₁)+ l₂(z−z₁)=0

(5)

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор =<x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁>=<7, 2, 0>.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

A₁x₁+B₁y₁+C₁z₁+D₁=0.

(27)

где n₁=<A₁, B₁, C₁> − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

Поскольку плоскость α₁ проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и нормальный вектор n₁=<m₁, p₁, l₁> плоскости α₁ перпендикулярна направляющему вектору q₁ прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A₁x₁+B₁y₁+C₁z₁+D₁=0.

(34)

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

A₁·2+B₁·1+C₁·4+D₁=0.

(37)

A₁·1+B₁·3+C₁·(−2)=0.

(38)

A₁·2+B₁·(−3)+C₁·7=0.

(39)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

Поскольку плоскость α₂ проходит через прямую L₂ , то она проходит также через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и нормальный вектор n₂=<m₂, p₂, l₂> плоскости α₂ перпендикулярна направляющему вектору q₂ прямой L₂. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A₂x₂+B₂y₂+C₂z₂+D₂=0.

(44)

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

A₁·6+B₁·(−1)+C₁·2+D₁=0.

(47)

A₁·2+B₁·(−3)+C₁·7=0.

(48)

A₁·1+B₁·3+C₁·(−2)=0.

(49)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

Ответим на этот вопрос конкретной задачей:

Задача 82

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными в декартовой системе координат: .

Решение: расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно найти одну точку, принадлежащую любой прямой. Из уравнения легко усмотреть точку . Вычислим расстояние:

Примечание: последним действием домножили числитель и знаменатель на – чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Ответ:

Как видите, здесь бесконечно много способов решения.

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/rasstojanie-prjamaja-prjamaja-3d.php

http://mathter.pro/angem/2_5_6_kak_nayti_rasstoyanie_mezhdu_parallelnymi_pryamymi_na_ploskosti.html

Источник

Нахождение кратчайшего расстояния между прямыми в пространстве

Содержание:

Что такое расстояние между прямыми в пространстве
Метод координат для определения расстояния
Примеры задач с решением
- Задача 1
- Задача 2

Что такое расстояние между прямыми в пространстве

Для начала дадим определение этому понятию.

Определение

Расстояние между прямыми в пространстве — это отрезок, который соединяет две прямые линии по самому короткому пути. Иными словами, он перпендикулярен обеим этим прямым.

Расстояние между прямыми

Источник: resolventa.ru

Но не всегда две линии могут быть параллельны друг другу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Источник: shkolkovo.net

Таким образом, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, нужно от одной из прямых провести перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Между параллельными прямыми расстояние одинаково на протяжении всей их длины: перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из этих линий, всегда будет одной и той же величины.

Метод координат для определения расстояния

Разберем пошагово способ определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Определить координаты точек (М_1) и (М_2), лежащих соответственно на прямых a и b.
Найти x, y и z направляющих векторов для прямых a и b.
Найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая b с помощью векторного произведения (overrightarrow a) и (overrightarrow b).
Записать общее уравнение плоскости: (A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0) и потом записать к нормированному виду уравнения плоскости, которое выглядит так: (xtimescosleft(alpharight)+ytimescosleft(betaright)+ztimescosleft(gammaright)-p=0), где p — свободный член (число, которое равно расстоянию точки начала координат до плоскости), а (cosleft(alpharight),;cosleft(betaright)) и (cosleft(gammaright)) — координаты единичного нормального вектора плоскости.
Далее, для определения расстояния от точки M до искомой плоскости, воспользуемся следующим уравнением: (M_1H_1=left|x_1timescosleft(alpharight)+y_1timescosleft(betaright)+z_1cosleft(gammaright)-pright|), где (x_1), (y_1) и (z_1) — координаты точки (M_1), лежащей на прямой a, а (H_1) — точка, лежащая на искомой плоскости.

Примеры задач с решением

Задача 1

Куб

Источник: shkolkovo.net

Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1) с ребром равным (sqrt{32}) см. Найти расстояние между прямыми (DB_1) и (CC_1).

Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать в качестве расстояния между прямой (CC_1) и плоскостью, проходящей через (DB_1) параллельно (CC_1). Так как (DD_1parallel CC_1), плоскость ((B_1D_1D)) параллельна (СС_1).

Сначала нужно доказать, что (CO) — перпендикуляр, проведенный к этой плоскости. (COperp BD) (как диагонали квадрата) и (COperp DD_1) (так как ребро (DD_1) перпендикулярно всей плоскости ((ABC))). Получается, (CO) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости. Значит, (COperp(B_1D_1D)).

(AC) — диагонально квадрата — равна (ABsqrt2), то есть (AC=sqrt{32}timessqrt2=sqrt{64}=8) см. Следовательно, (CO=frac12times AC=4) см.

Ответ: 4 см.

Задача 2

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве:

(left{begin{array}{l}x=-2\y=1+2timeslambda\z=4-3timeslambdaend{array}right.)

А прямую b канонические уравнения прямой в пространстве:

(frac x1=frac{y-1}{-2}=frac{z+4}6).

Вычислить расстояние между заданными прямыми.

Решение

Прямая a проходит через точку (M_1(-2, 1, 4)) и имеет направляющий вектор (overrightarrow a=(0, 2, -3)). Прямая b проходит через точку (M_2 (0, 1, -4)), а ее направляющий вектором является вектор (overrightarrow b=(1, -2, 6)).

Найдем векторное произведение векторов( overrightarrow a=(0, 2, -3)) и (overrightarrow b=(1, -2, 6): left[overrightarrow atimesoverrightarrow bright]=begin{vmatrix}overrightarrow i&overrightarrow j&overrightarrow k\0&2&-3\1&-2&6end{vmatrix}=6timesoverrightarrow i-3timesoverrightarrow j-2timesoverrightarrow k).

Так, (overrightarrow n=left[overrightarrow atimesoverrightarrow bright]) плоскости X, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты (6, -3, -2).

Таким образом, уравнение плоскости X есть уравнение плоскости, проходящей через точку (M_2(0, 1, -4)) и имеющей нормальный вектор (overrightarrow n=(6, -3, -2)):

(6times(x-0)-3times(y-1)-2times(z-(-4))=0;leftrightarrow6x-3y-2z-5=0)

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости (6x-3y-2z-5=0) равен (frac1{sqrt{6^2+{(-3)}^2+{(-2)}^2}}=frac17). Значит, нормальное уравнение этой плоскости выглядит как (frac67x-frac37y-frac27z-frac57=0).

Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки (M_1(-2, 1, 4)) до плоскости (frac67x-frac37y-frac27z-frac57=0: left|M_1H_1right|=left|frac67times(-2)-frac37times1-frac27times4-frac57right|=left|frac{-28}7right|=4) см.

Ответ: 4 см.

Источник

Анна Кирпиченкова

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.

Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.

Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.

Определение 1

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.

Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:

Определение 2

Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.

Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.

Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:

«Расстояние между 2 прямыми в пространстве» 👇

Найти координаты точек $M_1$ и $M_2$, лежащих на прямых $a$ и $b$ соответственно.
Вычислить икс, игрек и зет направляющих векторов для прямых $a$ и $b$.
С помощью векторного произведения векторов $overline{a}$ и $overline{b}$ нужно найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая $b$. Затем необходимо записать общее уравнение плоскости: $A (x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$, и от него перейти к нормированному виду уравнения плоскости следующего вида: $ x cdot cos α + y cdot cos β + z cdot cos{γ} – p = 0$, где $cos α, cos β$ и $cos γ$ — координаты единичного нормального вектора плоскости, а $p$ — свободный член, это число равно расстоянию от точки начала координат до плоскости.
Для вычисления расстояния от точки $M$ до искомой плоскости, нужно воспользоваться следующим уравнением:
$M_1H_1 = |x_1 cdot cos α + y_1 cdot cos β + z_1 cdot cos{γ} – p|$, где $x_1, y_1, z_1$ – координаты точки $M_1$, лежащей на прямой $a$, а $H_1$ — точка, лежащая на искомой плоскости.

Пример 1

Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями:
$d_1$:
$frac {x-2}{2} = frac {y + 1}{-3} = frac{z}{-1}$

и $d_2$: $begin{cases} frac{x + 1}{1} = frac{y}{-2} \ z – 1 = 0 end{cases}$

Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве

Для этого воспользуемся следующей формулой:

$ ρ(d_1d_2) = frac{| overline{p_1} cdot overline{p_2} cdot overline{M_1M_2}|}{[overline{p_1} × overline{p_2}]}$

Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:

$d_1$: $frac {x-2}{2} = frac {y + 1}{-3} = frac{z}{-1}$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $overline{p_1}$ с координатами $(2; -3; -1)$

$d_2$: $begin{cases} frac{x + 1}{1} = frac{y}{-2} \ z – 1 = 0 end{cases}$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,

а её направляющий вектор — $overline{p_2}$ с координатами $(1; -2; 0)$

Теперь найдём вектор $overline{M_1M_2}$:

$overline{M_1M_2} = (-1-2;0-(-1);1-0) = (-3; 1; 1)$

Найдём смешанное произведение векторов:

$overline{p_1} cdot overline{p_2} cdot overline{M_1M_2} = begin{array}{|ccc|} 2& 1 & -3 \ -3& -2 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ end{array} = — begin{array}{|cc|} 1 & -3 \ -2 & 1 \ end{array} + begin{array}{|cc|} 2 & 1 \ -3 & -2 \ end{array} = -(1 — 6) + (4 + 3) = 4$

Теперь найдём векторное произведение векторов:

$[|overline{p_1} × overline{p_2}|] = begin{array}{|ccc|} i& j & k \ 2 & -3 & -1 \ 1 & -2 & 0 end{array} = begin{array}{|cc|} -3 & -1 \ -2 & 0 end{array} cdot overline{i} — begin{array}{|cc|} 2 & -1 \ 1 & 0 end{array} cdot overline{j} + begin{array}{|cc|} 2 & -3 \ 1 & -2 end{array} cdot overline{k}$

$[|overline{p_1} × overline{p_2} |]= -2 overline{i} — overline{j} — overline{k}$

Длина этого векторного произведения составит:

$overline{p_1} × overline{p_2} = sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = sqrt{6}$

Соответственно, длина между скрещивающимися прямыми составит:

$ ρ(d_1d_2) = frac{|4|}{sqrt{6}} ≈ 1,63$

Пример 2

Даны две параллельные несовпадающие прямые $g$ и $m$, ниже приведены уравнения для них. Определить расстояние между ними.

$g$: $frac{x-1}{4} = frac{y + 1}{6}= frac{z+3}{8}$

$m$: $frac{x+1}{2} = frac{y — 1}{3}= frac{z — 3}{4}$

Расстояние в этом случае для них вычисляется по следующей формуле:

$ρ(m;g) =frac{|[overline{r_2} — overline{r_1} × overline{s_1}]|}{|overline{s_1}|}$, где

$overline{r_2}, overline{r_1}$ — радиус-векторы для каждой прямой, а $s_1$ — направляющий вектор.

Радиус-вектор для первой прямой будет $r_1={1; -1; -3}$, а направляющий вектор $s_1 = {4; 6; 8}$.

Радиус-вектор для второй прямой будет $r_2={-1; 1; 3}$, а направляющий вектор $s_2 = {2; 3; 4}$.

Найдём векторную разность радиус-векторов:

$overline{r_2} — overline{r_1} = {-1; 1; 3} — {1; -1; -3} = {-2;0;0}$

Теперь найдём её произведение с направляющим вектором для первой прямой:

$[overline{r_2} — overline{r_1} × overline{s_1}] = begin{array}{|ccc|} i & j & k \ -2 & 0 & 0 \ 4 & 6 & 8 \ end{array} = — 16j – 12k = {0;-16;-12}$

$|[overline{r_2} — overline{r_1} × overline{s_1}]| = sqrt{(-16)^2 + (-12)^2} = 20$

$|overline{s_1}| = sqrt{4^2 + 6^2 +8^2} = 2sqrt{29}$

$ρ(m;g) = frac{20}{2sqrt{29}} = frac{10}{sqrt{29}} ≈ 1.85$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Взаимное расположение прямых и их направляющие векторы

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

$l_{1}colon~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}}, quad l_{2}colon~frac{x-x_{2}}{a_{2}}=frac{y-y_{2}}{b_{2}}=frac{z-z_{2}}{c_{2}},.$

где $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ — точки, принадлежащие прямым $l_{1}$ и $l_{2}$ соответственно, a $vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k},$ $vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k}$ — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через $vec{m}=overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})vec{i}+(y_{2}-y_{1})vec{j}+(z_{2}-z_{1})vec{k}$ вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых $l_{1}$ и $l_{2}$ соответствуют следующие признаки:

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ скрещивающиеся Leftrightarrow векторы $vec{m},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ не компланарны;

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются Leftrightarrow векторы $vec{m},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ компланарны, а векторы $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ не коллинеарны;

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ параллельные Leftrightarrow векторы $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ коллинеарны, а векторы $vec{m},,vec{p}_{2}$ не коллинеарны;

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ совпадают Leftrightarrow векторы $vec{m},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

$leftlanglevec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rightrangle= begin{vmatrix} x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\ a_{2}&b_{2}&c_{2} end{vmatrix}.$

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ скрещивающиеся Leftrightarrow определитель отличен от нуля;

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются Leftrightarrow определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е. $operatorname{rang}!begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{pmatrix}=2,;$

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ параллельные Leftrightarrow вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. $operatorname{rang}!begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{pmatrix}=1,,$ а первые две строки не пропорциональны, т.е. $operatorname{rang}!begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}end{pmatrix}=2,;$

– прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ совпадают Leftrightarrow все строки определителя пропорциональны, т.е. $operatorname{rang}!begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{pmatrix}=1,.$

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

Расстояние d между параллельными прямыми

$lcolon~frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}, quad l_{1}colon~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}},$

где $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),,M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ — произвольные точки на прямых и $l_{1}$ соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны: $frac{a}{a_{1}}=frac{b}{b_{1}}=frac{c}{c_{1}},.$

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} и $vec{m}=overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}$ , и может быть найдено по формуле (4.35).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Расстояние d между скрещивающимися прямыми

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

$lcolon_{1}~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}}, quad l_{2}colon~frac{x-x_{2}}{a_{2}}=frac{y-y_{2}}{b_{2}}=frac{z-z_{2}}{c_{2}},$

где $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ — произвольные точки на прямых $l_{1}$ и $l_{2}$ соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах $vec{m}=overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})vec{i}+(y_{2}-y_{1})vec{j}+(z_{2}-z_{1})vec{k},$ $vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k},$ $vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k},$ (рис.4.36), т.е.

$d=frac{|langlevec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle|}{|[vec{p}_{1},vec{p}_{2}]|},,$

(4.38)

где

$langlevec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle= begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}, quad [vec{p}_{1},vec{p}_{2}]= begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}$

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы $vec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}$ некомпланарные, т.е.

$begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}ne0,.$

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы $vec{p}_{1},vec{p}_{2}$ неколлинеарные, т.е. $|,[vec{p}_{1},vec{p}_{2}],|ne0$ и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина varphi острого угла между прямыми

$l_{1}colon~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}}, qquad l_{2}colon~frac{x-x_{2}}{a_{2}}=frac{y-y_{2}}{b_{2}}=frac{z-z_{2}}{c_{2}}$

вычисляется по формуле

$cosvarphi= frac{|,langlevec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle,|}{|vec{p}_{1}|cdot|vec{p}_{2}|}= frac{|a_{1}cdot a_{2}+b_{1}cdot b_{2}+c_{1}cdot c_{2}|}{sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2}cdotsqrt{a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2}},.$

(4.39)

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6) , и осью абсцисс. Найти величину varphi острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид $frac{x}{1}=frac{y}{0}=frac{z}{0},,$ так как ось проходит через точку O(0;0;0) а vec{i} — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»: $frac{x-3}{1}=frac{y}{1}=frac{z-2}{1}.$

Полагая vec{m}=overrightarrow{OB}=(3-0)vec{i}+(0-0)vec{j}+(2-0)vec{j}=3vec{i}+2vec{k}, $vec{p}_{1}=vec{i},$ $vec{p}_{2}=vec{i}+vec{j}+vec{k}$ по формуле (4.38) получаем:

$begin{gathered} langle,vec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2},rangle= begin{pmatrix}3&0&2\1&0&0\1&1&1end{pmatrix}=2, quad [,vec{p}_{1},vec{p}_{2},]= begin{pmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\1&0&0\1&1&1end{pmatrix}= -vec{j}+vec{k},\[4pt] d=frac{|,langle,vec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2},rangle,|}{|,[,vec{p}_{1},vec{p}_{2},],|}= frac{2}{sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=sqrt{2},.end{gathered}$

Острый угол varphi находим по формуле (4.39):

$cosvarphi=frac{|,langle,vec{p}_{1},vec{p}_{2},rangle,|}{|,vec{p}_{1},|cdot|,vec{p}_{2},|}= frac{|1cdot1+0cdot1+0cdot1|}{sqrt{1^2+0^2+0^2}cdotsqrt{1^2+1^2+1^2}}= frac{1}{sqrt{3}}quad Rightarrow quad varphi=arccosfrac{1}{sqrt{3}},.$

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость rho заданы уравнениями:

$lcolon,frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}; qquad rhocolon,Acdot x+Bcdot y+Ccdot z+D=0,$

т.е. прямая проходит через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ коллинеарно вектору vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} а плоскость rho перпендикулярна вектору vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k},.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости rho соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость rho пересекаются Leftrightarrow векторы vec{p} и vec{n} не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость rho параллельны Leftrightarrow векторы vec{p} и vec{n} ортогональны, а точка $M_{0}$ не принадлежит плоскости rho (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости rho~Leftrightarrow векторы vec{p} и vec{n} ортогональны, а точка $M_{0}$ принадлежит плоскости rho (рис.4.37,в).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Учитывая свойство скалярного произведения векторов langle,vec{p},vec{n},rangle=acdot A+bcdot B+ccdot C получаем:

– прямая и плоскость rho пересекаются Leftrightarrow acdot A+bcdot B+ccdot Cne0 ;

– прямая и плоскость rho параллельны $Leftrightarrow~ begin{cases}acdot A+bcdot B+ccdot C=0,\ Acdot x_{0}+Bcdot y_{0}+Ccdot z_{0}+Dne0;end{cases}$

– прямая лежит в плоскости $rho~Leftrightarrow~ begin{cases}acdot A+bcdot B+ccdot C=0,\ Acdot x_{0}+Bcdot y_{0}+Ccdot z_{0}+D=0;end{cases}$

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью rho определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов varphi и varphi' , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным $textstyle{frac{pi}{2}}$ . Если обозначить psi и psi' углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

sinvarphi=sinvarphi'=|cospsi|=|cospsi'|,.

Поскольку угол psi (или psi' ) равен углу между направляющим вектором vec{p} прямой и нормалью vec{n} к плоскости rho , то $sinvarphi= |cospsi|= frac{|langlevec{p},vec{n}rangle|}{|vec{p}|{cdot}|vec{n}|}$ . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла varphi между прямой и плоскостью:

$sinvarphi= frac{|acdot A+bcdot B+ccdot C|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}cdotsqrt{A^2+B^2+C^2}},.$

(4.40)

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие acdot A+bcdot B+ccdot C=0 параллельности прямой и плоскости.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Угол
между прямыми (наименьший из двух смежных
углов, полученных при пересечении
прямых)

Прямые заданы общим уравнением	Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом
А₁х+В₁у+С₁=0 А₂х+В₂у+С₂=0	у=к₁x+b₁ y=k₂x+b₂
	tg𝛗=

Условие
параллельности двух прямых.

Прямые заданы общим уравнением	Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом
А₁х+В₁у+С₁=0 А₂х+В₂у+С₂=0	у=к₁x+b₁ y=k₂x+b₂
(1)(2)	(1)(2)

Условие
перпендикулярности двух
прямых.

Прямые заданы общим уравнением	Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом
А₁х+В₁у+С₁=0 А₂х+В₂у+С₂=0	у=к₁x+b₁ y=k₂x+b₂
(1)(2)	(1)(2)

Нормальное
уравнение прямой.

x;+(²=1;
p>0
(параметр «р» определяет расстояние
прямой от точки начала координат)

Примечание:

Если
известно общее уравнение прямой, то
нормальное уравнение можно получить
по следующему правилу:

Ах+Ву+С=0;
находим нормирующий множитель 𝛍=-,
гдеозначает знак числа «С» в заданной
формуле, тогда

𝛍*B;
p=-𝛍*C.

Пример.

Найти
нормальное уравнение прямой и расстояние
прямой до начала координат.

(L):
3x-4y+10=0.

𝛍=-=-=-

—

-0,6x+0.8y-2=0

расстояние
до начала координат

2.Расстояние
от точки М₀(х₀;у₀)
до прямой (L)
Ax+By+C=0.

𝛒(M₀;L)=

3.Расстояние
между параллельными прямыми.

Обозначим
расстояние между параллельными прямыми
d

ρ₁

ρ₂

L₁

L₂

d=𝛒₁+𝛒₂
если прямые лежат по разные стороны от
начала координат, то нужно сложить
расстояния для каждой прямой от точки
начала координат.

L₂

ρ₂

L₁

ρ₁

d=𝛒₂—𝛒₁
если прямые лежат по одну сторону от
начала координат, то нужно найти модуль
разности расстояний этих прямых до
начала координат.

Для
нахождения расстояния между параллельными
прямыми можно придерживаться следующей
последовательности действий.

1.Так как прямые параллельны, приведите уравнения прямых к виду так, чтобы коэффициенты у переменных были равны:

(L₁):
Ax+Вy+C₁=0;
(L₂):
Ax+By+C₂=0;
C₁≠C₂

2.
Обратите внимание на знаки свободных
членов, а именно: если знаки разные
(С₁*С₂0),
то прямые лежат по разные стороны от
начала координат, а , если одного знака
(С₁*С₂>0),
то по одну сторону от начала координат.

3.Для
нахождения расстояния между параллельными
прямыми можете использовать следующие
формулы:

.
d=;
(С₁*С₂0);
d=;
(С₁*С₂>0),

Пример
1:

Найти
расстояние между прямыми (L₁):4х-10у+9=0;
(L₂):
2x-5y-6=0.

Решение:

={4;-10};

={2;-5}
прямые
параллельны.

(L₁):4х-10у+9=0
2х-5у+4.5=0С₁=4,5;С₂=-6.
d=;(С₁*С₂0)d=

Пример
2.

Найти
расстояние между прямыми (L₁):3х-2у-5=0;
(L₂):
12x-8y-6=0

Решение:

={3;-2};

={12;-8}
прямые
параллельны.

(L₂):
12x-8y-6=03х-2у-1,5=0

d=;
(С₁*С₂>0)d=

§4.Взаимное
положение двух плоскостей.

Определение:

Углом
между плоскостями называют наименьший
из двух смежных двугранных углов.

Напомним,
что двугранный угол измеряется линейным
углом.

Нам
удобнее измерять двугранный угол углом
между нормалями данных плоскостей,
который равен соответствующему линейному
(углы с соответственно перпендикулярными
сторонами)

P₂

n₁

n₂

P₁

(P₁):
A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0;

={A₁;B₁;C₁}

(P₂)
):
A₂x+y+C₂z+D₂=0;

={A₂;B₂;C₂}

=

(угол должен быть острым, поэтому значение
косинуса берём по модулю)

Условия
параллельности двух плоскостей.

(P₁)(P₂)


Условия
перпендикулярности двух плоскостей.

(P₁)(P₂)
A₁*A₂+B₁*B₂+C₁*C₂=0

Нормальное
уравнение плоскости.

x;+(²+=1;p>0
(параметр «р» определяет расстояние
плоскости от точки начала координат)

Примечание:

Если
известно общее уравнение плоскости, то
нормальное уравнение можно получить
по следующему правилу:

Ах+Ву+Сz+D=0;
находим нормирующий множитель 𝛍=-,
гдеозначает
знак числа «D»
в заданной формуле, тогда

𝛍*B;
=𝛍*C;
p=-𝛍D

Пример.

Найти
нормальное уравнение плоскости и
расстояние плоскости до начала координат.

(L):
3x-4y+10z-8=0.

𝛍=-=-=



х-у+z—0
p=

расстояние
до начала координат

2.Расстояние
от точки М₀(х₀;у₀;z₀)
до плоскости (P)
Ax+By+Cz+D=0.

𝛒(M₀;P)=

3.Расстояние
между параллельными плоскостями.

Обозначим
расстояние между параллельными
плоскостями d

По
аналогии с формулами, полученными для
расстояния между параллельными прямыми
, получим аналогичные формулы для
определения расстояния между параллельными
плоскостями.

1.Так
как плоскости параллельны, приведите
уравнения плоскостей к виду так, чтобы
коэффициенты у переменных были равны:

(L₁):
Ax+Dy+Cz+D₁=0;
(L₂):
Ax+By+Cz+D₂=0;
D₁≠D₂

2.
Обратите внимание на знаки свободных
членов, а именно: если знаки разные
(D₁*D₂0),
то плоскости лежат по разные стороны
от начала координат, а , если одного
знака (D₁*D₂>0),
то по одну сторону от начала координат.

3.Для
нахождения расстояния между параллельными
плоскостями можете использовать
следующие формулы:

.
d=;
(D₁*D₂0);
d=;
(D₁*D₂>0),

Пример
1.

Найти
расстояние между плоскостями:

(P₁):
3x-2y+5z-8=0;
(P₂):
-12x+8y-20z+7=0

Решение:

(P₁):
3x-2y+5z-8=0
;
={3;-2;5};

(P₂):
-12x+8y-20z+7=0;
={-12;8;-20}

(P₂):
-12x+8y-20z+7=03x-2y+5z-7/4=0

D₁=-8;
D₂=-7/4
D₁*D₂>0
d==

Пример
2.

Найти
расстояние между плоскостями:

(P₁):
6x-2y+10z+15=0;
(P₂):
3x—y+2z-4=0

Решение:

(P₁):
6x-2y+10z+15=0;
{6;-2;10};
(P₂):
3x—y+5z-4=0;

={3;-1;5}

(P₁):
6x-2y+10z+15=03x-y+5z+7,5=0D₁=7,5;
D₂=-4

D₁*D₂0);
d==

Пример
3.

Найти
расстояние от точки М₀(0;-1;2)
до плоскости (P),
проходящей через три точки М₁(0;2;-4);
М₂(-1;5;2);
М₃(1;3;2).

Решение.

M₀

M₂

(Р)

M₁

M₃

Найдём
координаты направляющих векторов данной
плоскости (Р)

=={-1;3;6};

=={1;1;6}===12+12-4

={12;12;-4}
{3;3;-1}уравнение
плоскости ищем в виде:

A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=03(x-0)+3(y-2)-(z+4)=03x+3y-z-10=0
(P)

Расстояние
от точки М₀(0;-1;2)
до плоскости (Р) находим по формуле:

𝛒(M₀;P)===

Лекция
2.

Прямая
в пространстве. Взаимное положение
прямой и плоскости в пространстве.

§1Различные
уравнения прямой в пространстве.

П⁰1.
Общее уравнение прямой в пространстве.

Р₂

Р₁

Если
плоскости не параллельны , то прямую
можно задать пересечением двух плоскостей,
т. е. системой уравнений:
;

={A₁;B₁;C₁}нормаль
плоскости (Р₁);={A₂;B₂;C₂}нормаль
плоскости (Р₂)
(L)=(P₁)∩(P₂)

П⁰2.
Каноническое уравнение прямой.

Задача.

Дано:
М₀(x₀;y₀;z₀);

={l;m;k}

Найти
уравнение прямой (L):
M₀(L);

(L)

Решение:

M₀

M(x;y;z)

Возьмём
произвольную точку M(x;y;z)(L)={x—x₀;y—y₀;z—z₀}

По
условию

(L)

каноническое уравнение прямой (уравнение
прямой через точку с направляющем
вектором)

П⁰3.
Параметрическое уравнение прямой.

tR

(параметрическое
уравнение прямой в пространстве)

П⁰4Уравнение
прямой через две точки.

(L)

M₂

M₁

Используем
каноническое уравнение прямой:

=={x₂—x₁;y₂—y₁;z₂—z₁}

уравнение прямой через две точки.

П⁰5.Связь
между общим и каноническим уравнениями
прямой в пространстве.

Задача.

Пусть
прямая (L)
задана общим уравнением:

Найти
каноническое уравнение прямой:

Решение

Т.к.
прямая получается при пересечении двух
плоскостей, то

(L)
; (L);

=={l;m;k}

Чтобы
найти точку, через которую проходит
прямая, достаточно найти частное решение
данной системы M₀(x₀;y₀;z₀)

Пример

Дано
:прямая (L)
задана общим уравнением:

(L)

Найти
каноническое уравнение прямой.

Решение:

={2;-3;4};

={5;1;-3}==5+26+17

={5;26;17}

Т.к.система
имеет бесконечное множество решений
(ранги матриц расширенной и системы
равны r(A)=r()=2;
число неизвестных равно трём), то имеем
две базисных и одну свободную переменные.
Пусть свободной переменной будет
переменнаяz.
Для нахождения частного решения зададим
числовое значение, например, z=0

17x+16=0
x=-

M₀(;;0)(L):

Примечание:
Очевидно, что это не единственное
уравнение прямой, т.к. частных решений
бесконечно много и коллинеарных
направляющих векторов тоже бесконечно
много.

Соседние файлы в папке Линейка

Источник