Как найти расстояние между точками координатной плоскости - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В), выполняется по формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х_М; у_М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х_М² + у_М²).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1.

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х_А = 2; х_В = -4; у_А = -5 и у_В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²), получим:

d = АВ = √((2 – (-4))² + (-5 – 3)²) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О₁, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О₁А = О₁В = О₁С. Пусть искомая точка О₁ имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) найдем:

О₁А = √((а – 7)² + (b + 1)²);

О₁В = √((а + 2)² + (b – 2)²);

О₁С = √((а + 1)² + (b + 5)²).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 2)² + (b – 2)²),
{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 1)² + (b + 5)²).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 2)² + (b – 2)²,
{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 1)² + (b + 5)².

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О₁(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

АВ = √((а + 5)² + (0 – 6)²) = √((а + 5)² + 36).

Получаем уравнение √((а + 5)² + 36) = 10. Упростив его, имеем

а² + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а₁ = -13; а₂ = 3.

Получаем две точки А₁(-13; 0) и А₂(3; 0).

Проверка:

А₁В = √((-13 + 5)² + (0 – 6)²) = 10.

А₂В = √((3 + 5)² + (0 – 6)²) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О₁(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О₁А = О₁В.

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

О₁А = √((0 – 6)² + (b – 12)²) = √(36 + (b – 12)²);

О₁В = √((а + ² + (b – 10)²) = √(64 + (b – 10)²).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12)²) = √(64 + (b – 10)²) или 36 + (b – 12)² = 64 + (b – 10)².

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О₁(0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р₁ и Р₂ (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР₁ = МР₂, МР₁ = а; МР₂ = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

МА = √((-а + 2)² + (а – 1)²).

Составим уравнение:

√((-а + 2)² + (а – 1)²) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а² – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а₁ = 1; а₂ = 5.

Получаем две точки М₁(-1; 1) и М₂(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) имеем:

МА = √((5 – ² + (b – 6)²).

Составим уравнение:

√((5 – ² + (b – 6)²) = 5. Упростив его, получим: b² – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b₁ = 2; b₂ = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М₁(5; 2) и М₂(5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

Источник

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;

BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Источник

Расстояние между точками на координатной плоскости

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Часто возникающая на практике задача — это поиск расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Рассмотрим подробнее, как это делается.

Допустим, есть необходимость найти расстояние между двумя точками $A$ с координатами $(x_1;y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2; y_2)$. Соединим их отрезком $AB$ (рис. 1). Расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина этого отрезка.

плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ» />

Рисунок 1. Расстояние между точками на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры на ось абсцисс и ось ординат (рис. 2). На пересечении этих перпендикуляров отметим точку $C$. Получается прямоугольный треугольник $ABC$.

Рисунок 2. Перпендикуляры на оси Оx и Oy. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сторона $AC$ этого треугольника — это проекция $AB$ на ось абсцисс, соответственно, её длина представляет собой разность между координатами $x_2$ и $x_1$:

$AC=x_2-x_1$

Сторона $BC$ — это проекция $AB$ на ось ординат, соответственно, её длина равна разности между $y_2$ и $y_1$:

$BC=x_2-x_1$

Теперь вспомним теорему Пифагора:

$AB^2= AC^2 + BC^2$, выражаем $AB$:

$AB=sqrt{AC^2 + BC^2}= sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Так мы получили формулу вычисления расстояния между двумя точками, выпишем её отдельно:

$d= sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}left(1right)$

Пример 1

Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ с координатами и $(8; 8)$ $(10;13)$ соответственно.

Воспользуемся вышеприведённой формулой $(1)$ и подставим в неё координаты точек $A$ и $B$:

$d= sqrt{(10-8)^2+(13-8)^2}=sqrt{29}≈5,38$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 05.03.2023

Источник

Загрузить PDF

Представьте расстояние между двумя точками в виде отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Длину этого отрезка можно найти по формуле: √ $(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}$ .

Шаги

1
Определите координаты двух точек, расстояние между которыми вы хотите вычислить. Обозначим их Точка 1 (x1,y1) и Точка 2 (x2,y2). Неважно, как именно вы обозначите точки, главное, не перепутать их координаты при расчетах.^[1]
- x1 − это горизонтальная координата (вдоль оси x) Точки 1, а x2 − горизонтальная координата Точки 2. Соответственно, y1 − вертикальная координата (вдоль оси y) Точки 1, и y2 − вертикальная координата Точки 2.
- Возьмем, например, точки (3,2) и (7,8). Если мы примем, что (3,2) − это (x1,y1), тогда (7,8) − это (x2,y2).
2

Ознакомьтесь с формулой для вычисления расстояния. Эта формула позволяет найти длину прямого отрезка, соединяющего две точки, Точку 1 и Точку 2. Длина этого отрезка равна квадратному корню от суммы квадратов расстояний между точками по горизонтали и вертикали. Проще говоря, это квадратный корень из $(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}$ .^[2]
3
Найдите, чему равны расстояния между точками по горизонтали и вертикали. Расстояние по вертикали найдем в виде разности y2 — y1. Соответственно, расстояние по горизонтали составит x2 — x1. Не волнуйтесь, если в результате вычитания вы получите отрицательное значение. Следующим шагом будет возведение найденных расстояний в квадрат, что в любом случае даст положительное целое число.^[3]
- Найдите расстояние вдоль оси y. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8), где координаты (3,2) соответствуют Точке 1, а координаты (7,8) − Точке 2, находим: (y2 — y1) = 8 — 2 = 6. Это значит, что расстояние между нашими точками по оси y равно шести единицам длины.
- Найдите расстояние вдоль оси x. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8) получаем: (x2 — x1) = 7 — 3 = 4. Это значит, что по оси x наши точки разделяет расстояние, равное четырем единицам длины.
4

Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 — x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 — y1):
5

Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 — 3) в квадрате равно 36, и (8 — 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.
6
Извлеките квадратный корень из найденной величины. Это последний шаг. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню от суммы квадратов расстояний вдоль оси x и вдоль оси y.^[4]
- Для нашего примера находим: расстояние между точками (3,2) и (7,8) равно корню квадратному из 52, то есть примерно 7,21 единицы длины.
Реклама

Советы

Не страшно, если в результате вычитания y2 — y1 или x2 — x1 у вас получилось отрицательное значение. Поскольку затем разность возводится в квадрат, расстояние все равно будет равно положительному числу.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 89 479 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: AA и BB. Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка ABAB. Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

AB=∣a−b∣AB=|a-b|,

где a,ba, b — координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

То есть:

∣a−b∣=∣b−a∣|a-b|=|b-a|

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка AA, координата которой равна 99 и точка BB с координатой −1-1. Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a=9,b=−1a=9, b=-1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

AB=∣a−b∣=∣9−(−1)∣=∣10∣=10AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10

Ответ

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось OXOX и на ось OYOY. Затем рассматривается треугольник ABCABC. Так как он является прямоугольным (BCBC перпендикулярно ACAC), то найти отрезок ABAB, он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2

Но, исходя из того, что длина ACAC равна xB−xAx_B-x_A, а длина BCBC равна yB−yAy_B-y_A, эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},

где xA,yAx_A, y_A и xB,yBx_B, y_B — координаты точек AA и BB соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками CC и FF, если координаты первой (8;−1)(8;-1), а второй — (4;2)(4;2).

Решение

xC=8x_C=8
yC=−1y_C=-1
xF=4x_F=4
yF=2y_F=2

CF=(xF−xC)2+(yF−yC)2=(4−8)2+(2−(−1))2=16+9=25=5CF=sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5

Ответ

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Пример 3

Найти длину отрезка FKFK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (−1;−1;8)(-1;-1;8) и (−3;6;0)(-3;6;0). Ответ округлить до целого числа.

Решение

F=(−1;−1;8)F=(-1;-1;8)
K=(−3;6;0)K=(-3;6;0)

FK=(xK−xF)2+(yK−yF)2+(zK−zF)2=(−3−(−1))2+(6−(−1))2+(0−8)2=117≈10.8FK=sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=sqrt{117}approx10.8

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Ответ

Источник