Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Периметр многоугольника по его координатам
Координаты многоугольника, разделенные пробелами в формате x+iy |
В данной статье мы окажем помощь в расчете периметра многоугольника, заданного координатами его вершин. Несмотря на то, что сам принцип расчета прост, при большом количестве вершин, Вам придется делать несколько раз одни и те же вычисления, то есть выполнять рутинную операцию. А я страсть как не люблю рутину и Вам ей заниматься не советую.
Формула которая используется проста:
Если извеcтны две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2) то расстояние между ними
эту формулу необходиом применить к каждой паре координат соседних вершин многоугольника. И как только мы закончим обход и просуммировав все длины мы получим наш периметр.
Теперь что касается ввода данных. В предыдущем материале Площадь многоугольника по координатам онлайн ввод координат осуществляется через двоеточие и пробел, что не совсем удобно.
В этой статье, для упрощения и для обощения ( на комплексное представление) коодинаты будут задаватся в виде комплексных чисел.
Для тех кто с комплексными числами никогда не сталкивался, хочу успокоить — ничего страшного.
И если Вы координату раньше представляли как (x,y), то в комплексном представлении эта же координата видится уже как x+iy
Для ввода это немного проще, так как в дальнейшем при написании статьи про линейные преобразования фигуры на плоскости, это форма ввода нам пригодится, да и понимать ту статью Вам будет уже намного проще.
Теперь немного примеров:
Определим периметр многоугольника заданного координатами А (0; 0); В (8; 2); С (–2; 6).
Так как три вершины то это треугольник.
Введем данные в поле ввода( разделяя каждую координату вершины пробелом) в таком формате 0+0i 8+2i -2+6i
Решение задач. День третий. Задачи Begin21-30
Здравствуйте, дорогие читателинашего сайта. На этой недели счетчик посещаемости наконец-то сдвинулся с мертвой точки. Это не может не радовать. Если вы новоиспеченный постоянный посетитель этого сайта, оставьте комментарий к любому посту, чтобы мы не думали, что на нашем сайте обитают только боты 🙂 Ну что ж, приступим к решению задач Begin21-30.
Begin21. Даны координаты трех вершин треугольника: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Найти его периметр и площадь, используя формулу для расстояния между двумя точками на плоскости (см. задание Begin20). Для нахождения пло щади треугольника со сторонами a, b, c использовать формулу Герона: S = √(p ⋅ ( p − a) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c)), где p — полупериметр.
На первый взгляд задача может показаться весьма и весьма трудной, и для того, чтобы не заблудиться в решении, составим план наших действий:
- Для того, чтобы найти периметр треугольника, находим расстояния между всеми вершинами (ведь расстояния между вершинами это и есть стороны) по формуле √((x2 — x1) 2 +(y2 — y1) 2 ), а затем суммируем их.
- Для того, чтобы найти площадь, используем формулу Герона.
Begin22°. Поменять местами содержимое переменных A и B и вывести новые значения A и B.
Эта классическая задача является основой более сложных алгоритмов. Представьте, у Вас есть два кувшина: первый наполнен водой, второй — соком. Требуется поменять жидкости местами, то есть, перелить воду во второй кувшин, а сок — в первый. Как Вы решите данную проблему? Скорее всего, Вы возьмете третий кувшин и временно перельете в него содержимое одного из кувшинов. Так и в Паскале: сначала мы присваиваем значение любой из двух переменных третьей, а уже потом перемещаем значения переменных.
Вода и персиковый сок
Begin23. Даны переменные A, B, C. Изменить их значения, переместив содер жимое A в B, B — в C, C — в A, и вывести новые значения переменных A, B, C.
И снова мы используем дополнительную переменную.
Begin24. Даны переменные A, B, C. Изменить их значения, переместив содержимое A в C, C — в B, B — в A, и вывести новые значения переменных A, B, C.
Задача, противоположная предыдущей.
Begin25. Найти значение функции y = 3·x 6 – 6·x 2 – 7 при данном значении x.
И снова мы прибегаем к помощи функций power и sqr .
Begin26. Найти значение функции y = 4·(x–3) 6 – 7·(x–3) 3 + 2 при данном значе нии x.
Begin27°. Дано число A. Вычислить A 8 , используя вспомогательную перемен ную и три операции умножения. Для этого последовательно находить A 2 , A 4 , A 8 . Вывести все найденные степени числа A.
В данной задачи требуется использовать вспомогательную переменную и три операции умножения, поэтому мы не можем использовать функцию power.
Begin28. Дано число A. Вычислить A 15 , используя две вспомогательные пере менные и пять операций умножения. Для этого последовательно находить A 2 , A 3 , A 5 , A 10 , A 15 . Вывести все найденные степени числа A.
Эта задача аналогична предыдущей, но немного сложнее .
Begin29. Дано значение угла α в градусах (0 этого же угла в радианах, учитывая, что 180° = π радианов. В качестве зна чения π использовать 3.14.
Две следующие задачи является актуальными для нас. Ведь функции sin, cos, arctan работают только с радианами. И программа, которая быстро переводит градусы в радианы или радианы в градусы, очень ценна. А теперь формула: Радианы = Градусы * pi / 180.
Begin30. Дано значение угла α в радианах (0 этого же угла в градусах, учитывая, что 180° = π радианов. В качестве зна чения π использовать 3.14.
Формула нахождения градусов следует из предыдущей формулы : Градусы = Радианы * 180 / pi. Кстати, в решении данной задачи я использую стандартное значение Pi = 3.14159265358979
На сегодня все! Мы с вами решили целых десять задач. Конечно, они не очень сложные, но ведь цель этих задач познакомить вас с основными функциями, вводом и выводом и показать вам то, как легко и интересно программировать на любом из языков программирования.
http://abakbot.ru/online-2/332-perimetr
http://learnpascal.ru/reshenie-zadach/begin/begin21-30.html
Пример 1:
Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:
1) уравнения сторон треугольника АВС;
2) координаты точки пересечения медиан;
3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
4) площадь треугольника.
Решение от преподавателя:
Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС
2) Координаты точки пересечения медиан
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Координаты т. E как середины отрезка ВС.
Уравнение АЕ
Координаты т. К как середины отрезка АВ.
Уравнение СК
3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А
Расстояние от точки до прямой
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой
Уравнение AN
4) Площадь треугольника
Длина ВС
Пример 2:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
По координатам вершин треугольника ABC найти:
- периметр треугольника;
- уравнения сторон AB и BC;
- уравнение высоты AD; угол ABC;
- площадь треугольника.
Сделать чертеж.
А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.
Требуется найти:
1) уравнение и длину стороны ВС;
2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;
3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;
4) площадь треугольника.
Сделать чертёж.
А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Решение от преподавателя:
1)
2)
3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:
Определяем длину медианы АМ:
4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:
5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:
и подставляем в формулу, ,
6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:
7) Площадь треугольника АВС:
Находим угол ВАС треугольника:
9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:
Ответ:
Пример 6:
Решение от преподавателя:
- Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/7x + 16/7 или 7y + 3x — 16 = 0 - Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(3;1)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -1/11x + 14/11 или 11y + x — 14 = 0 - Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = 7/3x + 62/3 или 3y -7x — 62 = 0 - уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
Уравнение прямой AB: y = -3/7x + 16/7
Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = -8, k = -3/7, y0 = 2 получим:
y-2 = -3/7(x-(-8))
или
y = -3/7x — 10/7 или 7y + 3x +10 = 0
Пример 7:
Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).
Решение от преподавателя:
4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = -1/4x + 15/2 или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k1 = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1/4
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1/4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 10, k = -1/4, y0 = 5 получим:
y-5 = -1/4(x-10)
или
y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42/17
y = 117/17
D(42/17;117/17)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)
5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.
Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 4/3x -1/3 или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD
Уравнение окружности (x-x0)2+(y-y0)2=r2
(x-106/17)2+(y-101/17)2=256/17
Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A
Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1/4, ( так как уравнение CD:y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 1, k = -1/4, y0 = 1получим:
y-1 = -1/4(x-1)
или
y = -1/4x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0
Пример 8:
Решение от преподавателя:
Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)
Пример 9:
Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).
Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;
2) периметр (сумму длин) треугольника;
3) уравнение высоты СН;
4) расстояние d от точки С до прямой АВ;
5) сделайте чертеж.
Решение от преподавателя:
Решение.
1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС
Уравнение, прямой проходящей через две точки
2) периметр (сумму длин) треугольника
Расстояние между двумя точками
3) уравнение высоты СН
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой
4) расстояние d от точки С до прямой АВ
Расстояние от точки до прямой
Пример 10:
Даны вершины A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) треугольника.
Найти: 1) уравнение стороны AB;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;
3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;
4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .
A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Дан треугольник с координатами вершин найти:
а) длину стороны AB;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Решение от преподавателя:
Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 3/2x -9 или 2y -3x +18 = 0
2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 6/7x -45/7 или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = -2/3x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:
Или 2y -3x +9 = 0
Пример 14:
Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.
Решение от преподавателя:
Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
4y + x — 12 = 0
2)Уравнение медианы (АD)
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:
или
или
y = 1/9x + 1/9 или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B
Найдем уравнение высоты через вершину B
Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.
Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:
или
или
y = 2/5x -11/5 т.е. k1 = 2/5
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
2/5k = -1, откуда k = -5/2
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5/2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 0, k = -5/2, y0 = 3 получим:
y-3 = -5/2(x-0)
или
y = -5/2x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)
Пример 15:
Дан треугольник АВС. Найти:
а) величину угла А;
б) уравнение стороны АС;
в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.
Сделать чертеж.
А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Треугольник задан вершинами А(-6; -2); В(4; 8); С(2; -8). Найти:
а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
б) уравнение медианы CD;
в) уравнение высоты АЕ;
Решение от преподавателя:
а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
Уравнение прямой AC:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/4x -13/2 или 4y + 3x +26 = 0
Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = 4, k = -3/4, y0 = 8 получим:
y-8 = -3/4(x-4)
или
y = -3/4x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0
б) уравнение медианы CD;
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -11/3x -2/3 или 3y + 11x +2 = 0
в) уравнение высоты АЕ;
Прямая, проходящая через точку Е0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину A
y = -1/8x — 11/4 или 8y +x + 22 = 0
Пример 17:
A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).
Решение от преподавателя:
Пример 18:
В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).
Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ).
Решение от преподавателя:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -1/4x + 3 или 4y + x — 12 = 0
Найдем уравнение высоты через вершину B
y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 1/24x + 2/3 или 24y -x — 16 = 0
Пример 19:
Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).
Решение от преподавателя:
ответы
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
похожие вопросы 5
В данной статье хочу рассказать вам об определённом типе задач по стереометрии, одну из которых, возможно, предстоит решить именно вам на ЕГЭ по математике. Это задачи на решение составных многогранников:
Обычно требуется найти расстояние (или квадрат расстояния) между двумя точками; какой-либо угол, либо значение одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла.
Для решения необходимо знать совсем не много теории: теорему Пифагора; определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике; значения углов тригонометрических функций.
Рассмотрим задачи:
Найдите расстояние между вершинами А и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Результат умножьте на корень из шести и запишите ответ.
Соединим точки А и С2 и рассмотрим прямоугольный треугольник АА2С2:
По теореме Пифагора:
Ответ: 6
Найдите угол САD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Соединим точки C, А, D2:
Рассмотрим треугольник CАD2: AC = CD2 = AD2, так как являются диагоналями квадратов со сторонами равными 8. Следовательно, треугольник CАD2 – равносторонний, то есть все его углы равны 60°.
Таким образом, угол CАD2 = 60°.
Ответ: 60
Найдите квадрат расстояния между вершинами В2 и D3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Соединим точки B2, B3 и D3. Рассмотрим прямоугольный треугольник B2B3D3:
По теореме Пифагора:
Ответ: 12
Найдите тангенс угла АBB3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Соединим точки В и B3, из точки B3 опустим перпендикуляр на ребро АВ, точку пересечения обозначим как К. Рассмотрим прямоугольный треугольник КВB3:
Ответ: 2
Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Соединим точки В и C2, а так же C2 и С:
Рассмотрим прямоугольный треугольник СВС2. По теореме Пифагора:
Ответ: 46
245376. Найдите квадрат расстояния между вершинами В2 и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Посмотреть решение
245380. Найдите тангенс угла AВB3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Посмотреть решение
245382. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Посмотреть решение
При решении подобных заданий главное – это «увидеть» треугольник, в который входит искомый элемент (отрезок, угол) и построить этот треугольник. А далее уже использовать указанную в начале статьи теорию.
Есть ещё задачи с параллелепипедами:
245359 245360 245361 245362 245363
Процесс решения в них сводится к решению прямоугольного треугольника: нужно найти расстояние между вершинами (квадрат расстояния), либо заданный угол.
Мы продолжим рассматривать задачи по стереометрии? не пропустите! На этом всё. Как видите, ничего сложного. Успеха вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Let us prove that
$$PA+PB+PClt AB+BC$$
always holds for any point $P$ inside $triangle{ABC}$ satisfying $ABge BCge CA$.
Proof :
Consider an ellipse whose foci are $A,C$ that passes through $P$. Let $Q,R$ be the intersection point between the ellipse and the side $AB,BC$ respectively. Here, we have
$$PA+PC=QA+QC=RA+RC.$$
So, if $P$ is on the ellipse, we have that $PA+PC$ is constant and that $PB$ is max when $P$ is either on $Q$ or on $R$.
Hence, we have $(1)$ or $(2)$ :
$$PA+PB+PClt QA+QB+QC=AB+QCtag1$$
$$PA+PB+PClt RA+RB+RC=BC+RAtag2$$
For $(1)$, we have $QClt BC$ because
$$angle{QBC}leangle{QAC}ltangle{QAC}+angle{ACQ}=angle{BQC}.$$
For $(2)$, we have $RAlt AB$ because
$$angle{ABR}leangle{ACR}ltangle{ACR}+angle{RAC}=angle{ARB}.quadblacksquare$$