Как найти расстояние между вершинами в треугольнике

В данной статье хочу рассказать вам об определённом типе задач по стереометрии, одну из которых, возможно, предстоит решить именно вам на ЕГЭ по математике. Это задачи на решение составных многогранников:

Обычно требуется найти расстояние (или квадрат расстояния) между двумя точками; какой-либо угол, либо значение одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла.

Для решения  необходимо знать совсем не много теории: теорему Пифагора; определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике; значения углов тригонометрических функций.

Рассмотрим задачи:

Найдите расстояние между вершинами А и С₂  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Результат умножьте на  корень из шести  и запишите ответ.

Соединим точки  А и С₂   и рассмотрим  прямоугольный треугольник АА₂С₂:

По теореме Пифагора:

Ответ: 6

Найдите угол САD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Соединим точки C, А, D₂:

Рассмотрим треугольник CАD₂:  AC = CD₂ = AD₂, так как являются диагоналями квадратов со сторонами равными 8. Следовательно, треугольник CАD₂ – равносторонний, то есть все его  углы равны 60°.

Таким образом, угол CАD₂ = 60°.

Ответ: 60

Найдите квадрат расстояния между вершинами В₂ и D₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки B₂, B₃ и D₃. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₂B₃D₃:

По теореме Пифагора:

Ответ: 12

Найдите тангенс угла АBB₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки В и B₃, из точки B₃ опустим перпендикуляр на ребро АВ, точку пересечения обозначим как К. Рассмотрим прямоугольный треугольник КВB₃:

Ответ: 2

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки В  и C₂, а так же C₂  и С:

Рассмотрим прямоугольный треугольник СВС₂.  По теореме Пифагора:

Ответ: 46

245376. Найдите квадрат расстояния между вершинами В₂ и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

245380. Найдите тангенс угла AВB₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

245382. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

При решении подобных заданий главное – это «увидеть» треугольник, в который входит искомый элемент (отрезок, угол) и построить этот треугольник.  А далее уже использовать указанную в начале статьи теорию.

Есть ещё задачи с параллелепипедами:

245359   245360   245361   245362   245363

Процесс решения в них сводится к решению прямоугольного треугольника: нужно найти расстояние между вершинами (квадрат расстояния), либо заданный угол.

Мы продолжим рассматривать задачи по стереометрии? не пропустите! На этом всё. Как видите, ничего сложного. Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Как найти расстояние между двумя точками?

Расстоянием между точками также называют прямую,
у которой одна из точек это начало, а соответственно
другая конец. Найти расстояние между этими
двумя точками, значит найти длину прямой,
связывающей точки.

Есть много разных способов найти расстояние между
двумя точками, но самый универсальный, на мой взгляд,
это найти расстояние взяв за основу Теорему Пифагора.
Исходя из этой теоремы, можно сказать, что в нашем
случае расстоянием(прямой), является гипотенуза,
а чем тогда являются точки, сейчас разберемся.

Формулировка великой Теоремы Пифагора звучит так:
в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов. Или же кратко, формулой:
( c^2 = a^2 + b^2 ) где c — это гипотенуза, a и b — катеты.

Формулировка этой теоремы применяется почти всегда и везде,
где нужно найти расстояние от чего-то до чего-то. Сейчас, мы
используя эту теорему найдем расстояние между точками.

Итак, для примера возьмем точки с координатами
первой точки — x1 = 0; y1 = 4, второй точки — x2 =3; y2 = 0.
Как же нам теперь выразить точки через катеты a и b ?
Читайте дальше, все гениальное просто.

На рисунке 1 мы изобразили для наглядности
прямоугольный треугольник, с координатами
которые мы взяли для примера. На рисунке 2
тот же самый прямоугольный треугольник,
только без координат! Эти два прямоугольных
треугольника идентичные, поэтому вернемся
к Теореме Пифагора.

Заменяем длины катетов a и b, из Теоремы Пифагора,
на разность координат точек. ​Взгляните на формулу,
которая получилась:

Подставляем наши координаты:

В итоге получилось, что расстояние в нашем примере
равно 5(корень из 25). Как видите все просто, и вы можете
смело применять эту формулу, решая не только задачи,
но и на практике, находя расстояние зная только две точки.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Расстояние от точки до прямой

Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.

Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.

№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.

Дано: A∉a,

BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:

5) Зная k, найдем AB:

№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

Дано: A∉a,

AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,

BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см

1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:

5) Зная x, найдем AB:

№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.

Дано: A∉a,

Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.

Пример 1:

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Уравнение АЕ

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

Уравнение СК

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

Уравнение AN

4) Площадь треугольника

Длина ВС

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Сделать чертеж.

А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

Требуется найти:

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Сделать чертёж.

А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

       

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой,  – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой 
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 
   
   Уравнение прямой AB 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇ или 7y + 3x — 16 = 0 
2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 
   
   
   M(3;1) 
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому: 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-1/₁₁x + ¹⁴/₁₁ или 11y + x — 14 = 0 
3. Уравнение высоты через вершину C 
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 
   
   Найдем уравнение высоты через вершину C 
   
   y = ⁷/₃x + ⁶²/₃ или 3y -7x — 62 = 0
4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y — y₀ = k(x — x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = ^-3/₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = ^-3/₇(x-(-8))
   или
   y = ^-3/₇x — ¹⁰/₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5). 

Решение от преподавателя:

4) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y +x -30 = 0 
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB. 
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4 
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1. 
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим: 
4k = -1, откуда k = ^-1/₄ 
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = ^-1/₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀). 
Подставляя x₀ = 10, k = ^-1/₄, y₀ = 5 получим: 
y-5 = ^-1/₄(x-10) 
или 
y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y + x — 30 = 0 
Найдем точку пересечения с прямой AB: 
Имеем систему из двух уравнений: 
y -4x +3 = 0 
4y + x — 30 = 0 
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. 
Получаем: 
x = ⁴²/₁₇ 
y = ¹¹⁷/₁₇ 
D(⁴²/₁₇;¹¹⁷/₁₇) 
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C 
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: 

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0) 

5,7) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам. 


Е(7;9) 
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁴/₃x ^-1/₃ или 3y -4x +1 = 0 
Найдем длину медианы. 
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: 

6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности  (x-x₀)²+(y-y₀)²=r²

(x-106/17)²+(y-101/17)²=256/17 

Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A 

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4),  С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

Решение.

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Даны вершины A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃)    треугольника.

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник  с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9). 
1) Уравнение прямой 
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой AB 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ³/₂x -9 или 2y -3x +18 = 0 

2) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(4;-3) 
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁶/₇x ^-45/₇ или 7y -6x +45 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-2/₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0 
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9) 
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0 
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле: 

Или     2y -3x +9 = 0 

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(-1;0) 
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому: 

или 

или 
y = ¹/₉x + ¹/₉ или 9y -x — 1 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину B

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Сделать чертеж.

А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Треугольник задан вершинами А(-6; -2);  В(4; 8); С(2; -8). Найти:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

б) уравнение медианы CD;

в) уравнение высоты АЕ;

Решение от преподавателя:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

Уравнение прямой AC:

Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-3/₄x ^-13/₂ или 4y + 3x +26 = 0

Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y₀ = k(x — x₀)
Подставляя x₀ = 4, k = ^-3/₄, y₀ = 8 получим:
y-8 = ^-3/₄(x-4)
или
y = ^-3/₄x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0

б) уравнение медианы CD;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-11/₃x ^-2/₃ или 3y + 11x +2 = 0

в) уравнение высоты АЕ;

Прямая, проходящая через точку Е₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = ^-1/₈x — ¹¹/₄ или 8y +x + 22 = 0

Пример 17:

A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).

Решение от преподавателя:

Пример 18:

В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).

Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК)  и медианы (CМ).

Решение от преподавателя:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-1/₄x + 3 или 4y + x — 12 = 0

Найдем уравнение высоты через вершину B

y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;¹/₂), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ¹/₂₄x + ²/₃ или 24y -x — 16 = 0

Пример 19:

Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).

Решение от преподавателя:

Let us prove that
$$PA+PB+PClt AB+BC$$
always holds for any point $P$ inside $triangle{ABC}$ satisfying $ABge BCge CA$.

Proof :

Consider an ellipse whose foci are $A,C$ that passes through $P$. Let $Q,R$ be the intersection point between the ellipse and the side $AB,BC$ respectively. Here, we have
$$PA+PC=QA+QC=RA+RC.$$

So, if $P$ is on the ellipse, we have that $PA+PC$ is constant and that $PB$ is max when $P$ is either on $Q$ or on $R$.

Hence, we have $(1)$ or $(2)$ :

$$PA+PB+PClt QA+QB+QC=AB+QCtag1$$
$$PA+PB+PClt RA+RB+RC=BC+RAtag2$$

For $(1)$, we have $QClt BC$ because
$$angle{QBC}leangle{QAC}ltangle{QAC}+angle{ACQ}=angle{BQC}.$$

For $(2)$, we have $RAlt AB$ because
$$angle{ABR}leangle{ACR}ltangle{ACR}+angle{RAC}=angle{ARB}.quadblacksquare$$

ответы

ваш ответ

похожие темы

похожие вопросы 5