Как найти расстояние на карте по долготе

Такая формула, вероятно, уже давненько выведена в математике (или в географии). Это раздел сферической геометрии. Не имею ничего против очень хорошего ответа Сергея Ракитина, он совершенно справедливо заслужил ЛО! И тем не менее попробую добавить ещё свой вариант формулы. Конечно, это не я её придумал.

Даны две точки земной поверхности: пункты 1 и 2. Оказывается, кратчайшее расстояние между ними вдоль поверхности Земли рассчитывается по следующей формуле:

L = R * arccos(sinφ₁ * sinφ₂ + cosφ₁ * cosφ₂ * cos|λ₁ – λ₂|)

где:

L — искомое расстояние между пунктами 1 и 2;

R — усреднённый радиус Земли, это константа: R = 6371 км;

φ₁, φ₂ — географические широ́ты пунктов 1 и 2 — две равноправные величины, можно поменять их в формуле местами;

λ₁, λ₂ — географические долго́ты пунктов 1 и 2; аналогично широтам, можно в формуле поменять их местами.

Кроме того: 1) северная широта — положительное число, берётся для формулы со знаком плюс; 2) южная широта — отрицательное число, берётся для формулы со знаком минус; 3) восточная долгота — плюс; 4) западная долгота — минус; 5) широ́ты и долго́ты, понятно, рационально измерять в угловых градусах — главное, верно взять синусы и косинусы по правилам математики; 6) арккосинус — это функция y = arccos(x), значит, значение, т. е. результат этой функции нужно брать никак не в градусах, а в радианах.

Давайте проверим, работает ли формула.

Я решил взять Киев и Москву (вернее сказать — вероятно, какие-то ключевые точки Киева и Москвы, что-то типа отметок нулевого километра). С угловыми минутами возиться тяжело. Решил взять координаты, выраженные в градусах и десятичных долях градуса. Вычисления делал с помощью гугловского калькулятора.

Имеем: φ₁ = 50,4547° с. ш., φ₂ = 55,7522° с. ш.; λ₁ = 30,5238° в. д., λ₂ = 37,61556° в. д.

Поскольку обе широты северные, а обе долготы восточные, то согласно пп. 1 и 3 доппояснений к формуле берём их как положительные числа.

Имеем:

L = R * arccos(sinφ₁ * sinφ₂ + cosφ₁ * cosφ₂ * cos|λ₁ – λ₂|) = 6371 км * arccos(sin50,4547° * sin55,7522° + cos50,4547° * cos55,7522° * cos|30,5238° – 37,61556°|) = 6371 км * arccos(0,77112 * 0,82661 + 0,63669 * 0,56277 * 0,99235) = 6371 км * arccos0,99298 = 6371 км * 0,11856 = 755,34576 км.

Источники (Гугл) утверждают, что истинное расстояние между Киевом и Москвой по кратчайшему пути вдоль поверхности Земли равно 755,77 км.

Таким образом, абсолютная погрешность у меня получилась равной 755,34576 км – 755,77 км = ок. –0,424 км, или, по модулю, 424 метра. 424 метра, на мой взгляд, ошибка вполне допустимая; конечно, накапливаются ошибочки за счёт погрешностей самих вычислений и количества значащих цифр, но думаю, за это Вы меня как-нибудь простите.

Итак, самый главный вывод: формула верна, она работает для любых двух точек нашей планеты.

С помощью карты можно определять расстояние между точками на земной поверхности, но точность таких вычислений невысока.

Ситуация относительно проста, если точки лежат на одном меридиане. Все меридианы имеют одинаковую длину. Можно подсчитать, что одному градусу широты соответствует примерно 111,3 км реальной длины. Поэтому надо найти разницу в долготе между точками и умножить ее на 111,3 км. Например, если точка А находится на северной широте 50°, а Б располагается на северной широте 32°, и при этом у них совпадает долгота, то расстояние между ними составит.

111,3х(50° – 32°) = 111,3х16 = 1780,8 км

Ситуация меняется, когда одна точка имеет северную, а другая – южную широту. В этом случае широты уже надо складывать. Так, если бы точка Б из предыдущего примера располагалась бы на южной широте 32°, то расстояние от А до Б составило бы:

111,3х(50° + 32°) = 111,3х82 = 9126,6 км

Ситуация усложняется, когда точки находятся на разных меридианах, но на одной параллели. Если у обеих точек долгота западная (или, наоборот, восточная), то сначала надо найти разницу их долгот. Если же одна точка имеет восточную, а другая западную долготу, то их надо суммировать. Далее результат надо умножить на длину 1° параллели. Эта длина у параллелей различна и зависит от их широты. Можно воспользоваться таблицей ниже:

Например, нужно найти расстояние между точками, имеющими координаты:

А – 60° с. ш, 39° з. д.
Б – 60° с. ш, 25° з. д.

Широты у них одинаковы, поэтому смотрим на долготу. Она у обеих точек западная, поэтому надо найти их разницу:

39° – 25° = 14°

Полученный результат надо умножить на длину 1° параллели, широта которой составляет 60°. По табличке определяем, что на широте 60° дуга в 1° имеет длину 55,8 км. Перемножаем два числа:

14°х 55,8 км = 781,2 км

Список использованных источников

• https://www.yaklass.ru/p/geografiya/5-klass/izobrazheniia-zemnoi-poverkhnosti-i-ikh-ispolzovanie-131512/geograficheskie-koordinaty-161116/re-d77ff3cc-0858-4fd8-aabd-69f1fdffb41d
• https://interneturok.ru/lesson/geografy/5-klass/plan-i-karta/gradusnaya-setka-geograficheskaya-dolgota-i-shirota

Инструкция по использованию калькулятора

Широту и долготу двух точек, между которыми необходимо найти расстояние, следует указывать в градусах в виде десятичной дроби.
Например, расстояние между Москвой (55.75059; 37.61777) и Киевом (50.44952; 30.52537) составляет 755 километров.

Южная широта и западная долгота задаются отрицательной величиной от 0° до -90° и от 0° до -180° соответственно.