Как найти расстояние остроугольного треугольника

Как найти расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты остроугольного треугольника до вершины?

Расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты остроугольного треугольника до вершины может быть определено с помощью формулы угла между биссектрисой и стороной треугольника.

Определение остроугольного треугольника

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого каждый угол меньше 90 градусов. Угол между биссектрисой и стороной остроугольного треугольника также острый, поэтому расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты до вершины будет определяться по следующей формуле:

Формула определения расстояния

h = (2 * p * q * sin(angle)) / (p + q)

где:

• h — расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты до вершины
• p и q — отрезки стороны треугольника, граничащие с углом между биссектрисой и стороной треугольника
• angle — угол между биссектрисой и стороной треугольника

Пример

Допустим у нас есть остроугольный треугольник ABC, у которого стороны AB, AC и BC составляют 3, 4 и 5 соответственно.

Тогда, чтобы найти расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты до вершины, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти угол между биссектрисой и стороной треугольника, используя теорему косинусов:

cos(angle) = (b^2 + c^2 — a^2) / 2bc

где:

• a, b и c — длины сторон треугольника
• angle — угол между биссектрисой и стороной треугольника

Для нашего треугольника:

cos(angle) = (3^2 + 5^2 — 4^2) / 2 * 3 * 5 = 7 / 15

angle = arccos(7 / 15) ≈ 1.14 радиан

1. Найти отрезки p и q, граничащие с углом между биссектрисой и стороной треугольника. Для этого можно использовать формулы:

p = 2bc * cos(angle/2) / (b + c)

q = 2bc * sin(angle/2) / (b + c)

где:

• p и q — отрезки стороны треугольника, граничащие с углом между биссектрисой и стороной треугольника
• a, b и c — длины сторон треугольника
• angle — угол между биссектрисой и стороной треугольника

Для нашего треугольника:

p = 2 * 3 * 5 * cos(1.14/2) / (3 + 5) ≈ 1.91

q = 2 * 3 * 5 * sin(1.14/2) / (3 + 5) ≈ 0.91

1. Подставить найденные значения в формулу:

h = (2 * p * q * sin(angle)) / (p + q)

Для нашего треугольника:

h = (2 * 1.91 * 0.91 * sin(1.14)) / (1.91 + 0.91) ≈ 1.31

Таким образом, расстояние от точки пересечения биссектрисы и высоты остроугольного треугольника до вершины равно примерно 1,31.

Как найти расстояние между двумя точками?

Расстоянием между точками также называют прямую,
у которой одна из точек это начало, а соответственно
другая конец. Найти расстояние между этими
двумя точками, значит найти длину прямой,
связывающей точки.

Есть много разных способов найти расстояние между
двумя точками, но самый универсальный, на мой взгляд,
это найти расстояние взяв за основу Теорему Пифагора.
Исходя из этой теоремы, можно сказать, что в нашем
случае расстоянием(прямой), является гипотенуза,
а чем тогда являются точки, сейчас разберемся.

Формулировка великой Теоремы Пифагора звучит так:
в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов. Или же кратко, формулой:
( c^2 = a^2 + b^2 ) где c — это гипотенуза, a и b — катеты.

Формулировка этой теоремы применяется почти всегда и везде,
где нужно найти расстояние от чего-то до чего-то. Сейчас, мы
используя эту теорему найдем расстояние между точками.

Итак, для примера возьмем точки с координатами
первой точки — x1 = 0; y1 = 4, второй точки — x2 =3; y2 = 0.
Как же нам теперь выразить точки через катеты a и b ?
Читайте дальше, все гениальное просто.

На рисунке 1 мы изобразили для наглядности
прямоугольный треугольник, с координатами
которые мы взяли для примера. На рисунке 2
тот же самый прямоугольный треугольник,
только без координат! Эти два прямоугольных
треугольника идентичные, поэтому вернемся
к Теореме Пифагора.

Заменяем длины катетов a и b, из Теоремы Пифагора,
на разность координат точек. ​Взгляните на формулу,
которая получилась:

Подставляем наши координаты:

В итоге получилось, что расстояние в нашем примере
равно 5(корень из 25). Как видите все просто, и вы можете
смело применять эту формулу, решая не только задачи,
но и на практике, находя расстояние зная только две точки.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Расстояние от точки до прямой

Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.

Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.

№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.

Дано: A∉a,

BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:

5) Зная k, найдем AB:

№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

Дано: A∉a,

AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,

BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см

1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:

5) Зная x, найдем AB:

№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.

Дано: A∉a,

Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.

Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC:
O — ортоцентр,
∠ BAC = a,
∠ ABC = b,
∠ ACB = c.

Утверждения.
1. Треугольник ABC подобен треугольнику, образованному вершиной B и основанием двух высот:
Δ ABC ∼ Δ H₃BH₂,
коэффициент подобия:
H₃B / AB = H₂B / CB = H₃H₂ / AC = cos b.

2. Соотношение отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, можно вычислить по формуле:
BO / OH₁ = cos b / (cos a * cos c).

3. Высоты треугольника можно вычислить по формуле:
BH₁ = AC * sin a * sin c / sin b.

4. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника:
OB = AC / tg b.

5. 1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = 1 / r,
r — радиус вписанной окружности.

Докажем эти утверждения.
1.

В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE.
Докажем, что треугольник ABC подобен треугольнику ADE.

Решение.
Рассмотрим Δ ABD:
cos A = AD / AB.
Рассмотрим Δ ACE:
cos A = AE / AC.
Таким образом,
cos A = AD / AB = AE / AC.
Значит, Δ ABC ∼ Δ ADE по двум сторонам и углу между ними.

2.

Диагонали трапеции ABCD пересекаются под прямым углом.
CH – высота, проведенная к большему основанию AD.
∠ CAD = a,
∠ ACD = c,
∠ ADC = d.
Найдем отношение, в котором диагональ трапеции делит высоту CH.

Решение.
Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции,
O — точка пересечения диагонали BD и высоты CH. 
Найдем соотношение CO / OH.

Δ BOC подобен Δ DOH по двум углам,
так как ∠ BCO = ∠ DHO = 90,
∠ BOC = ∠ DOH как вертикальные.
Значит,
CO / OH = BC / DH. (*)

Рассмотрим Δ CKD:
KC = CD * cos c.
Рассмотрим Δ BCK:
BC = KC / cos a = (CD * cos c) / cos a.
Рассмотрим Δ CHD:
HD = CD * cos d.

Из (*) и последних трех равенств получаем:
CO / OH = BC / DH =
( (CD * cos c) / cos a ) : (CD * cos d) =

Таким образом, мы нашли соотношение отрезков, на которые ортоцентр O треугольника ABD делит высоту CH:

3.

Найдем расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины, и высоту, проведенную из этой вершины, если известны углы треугольника и противолежащая сторона.

Решение.
Рассмотрим треугольник ABC.
O – ортоцентр.
∠ BAC = a,
∠ ABC = b,
∠ ACB = с,
также известна величина стороны AC. 
Найдем BH и OB.

Обозначим AH за x, тогда HC = AC – x.

Рассмотрим Δ AHB:
BH = x * tg a.
Рассмотрим Δ CHB:
BH = (AC – x) * tg c.

Таким образом,
BH = x * tg a = (AC – x) * tg c.

Рассмотрим Δ AHB:

Таким образом высоту можно вычислить по формуле, 

4.
Найдем теперь расстояние от вершины B до ортоцентра.

Так как BH = BO + OH, получаем:

Выражаем из уравнения (1) OH и подставляем в уравнение (2):

Значит, расстояние от ортоцентра до вершины можно вычислить по формуле: 

5.
1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = 1 / r.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле:
S = ½ * AC * BH₁ = ½ * AB * CH₂ = ½ * BC * AH₃,

Значит,
BH₁ = 2S / AC
CH₂ = 2S / AB
AH₃ = 2S / BC

1 / BH₁ = AC / 2S
1 / CH₂ = AB / 2S
1 / AH₃ = BC / 2S

1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = (AC + BC + AB) / 2S = p / S, (*)
где p — полупериметр.

Еще одна формула площади треугольника:
S = p * r,

откуда r = S / p
1 / r = p / S.

Из (*) и последнего равенства получаем нужное нам равенство.

Содержание 👉

Я воспользовалась тем, что AH = 2OM.
В итоге я нашла, что:
sin(OBM) = OM/BO. Т.к. BO = R, то OM = R * sin(OBM). Т.к. MO = 1/2AH, то
AH = 2 * R * sin(OBM).
sin(OBM) = cos(BOM), отсюда следует, что:
OM = R * cos(BOM);
AH = 2 * R * cos(BOM).

Выходит, надо доказать, что cos(BOM) = cos(A)?

Ко второму пункту пока не переходила