Как найти расстояние от предмета до зеркала

Призмой называется прозрачное тело, ограниченное плоскими поверхностями. Угол между гранями призмы (varphi) (рис. (1)) является преломляющим углом.

Рис. (1). Преломляющая призма

Из закона преломления следует:
(sin(alpha_1) =ncdot sin(gamma_1), sin(alpha_2)=frac{1}{n}sin(gamma_2).)  ((1))
Сумма углов треугольника — (180°), поэтому:
(90^{circ}- gamma_1+90^{circ}-alpha_2+ varphi=180^{circ};rightarrow;alpha_2=varphi-gamma_1.)  ((2))
Призма отклоняет луч света к основанию, который тем больше, чем больше преломляющий угол и показатель преломления. 

Рис. (2). Линза

Формула тонкой линзы:

(boxed{frac{1}{d}+frac{1}{f}=frac{1}{F}}),  ((3))
где (d) — это расстояние от линзы до предмета, а (f) — расстояние от линзы до изображения предмета.
В случае если линза является рассеивающей, то под фокусным расстоянием понимается отрицательная величина: (F=-|F|). Если изображение является мнимым, то под расстоянием до изображения имеется в виду отрицательная величина (f=-|f|). Если на линзу падает сходящийся световой пучoк, то под расстоянием до предмета понимается отрицательная величина (d=-|d|).

Рис. (3). Сферическое зеркало

Формула сферического зеркала: 
(boxed{frac{1}{d}+frac{1}{f}=frac{1}{F}}),  ((6))
где (d) — расстояние от предмета до зеркала, (f) — расстояние от изображения до зеркала.   

Принципиально микроскоп можно представить как две короткофокусные линзы (окуляр и объектив). Предмет находится в диапазоне (F_1<d<2 F_1). Его промежуточное изображение — в диапазоне (0<f_1=d_2<F_2).
Таким образом, получается сильно увеличенное мнимое прямое изображение предмета (рис. (4)).

Рис. (4). Микроскоп

Телескоп тоже представим как две линзы (окуляр и объектив). Предмет находится на бесконечности, поэтому на объектив приходит параллельный пучок лучей. Его промежуточное изображение действительное и находится в фокусе обеих линз.
Таким образом, получается сильно увеличенное мнимое прямое изображение предмета (рис. (5)).

Рис. (5). Телескоп

https://vashotvet.com/task/10901626

Решение:

Рассмотрим углы падения и отражения после поворота зеркала. Из рисунка видно, что новый угол падения составляют изначальный угол падения $alpha$ и угол поворота зеркала $varphi$ (так как перпендикуляр повернулся на тот же угол):
$angle DOC_1 = alpha + varphi$.

Теперь рассмотрим новый угол падения:
$angle C_1OE_1 = (beta — varphi) + eta$.

По закону отражения света: $beta = alpha$.

Тогда мы можем записать:
$angle C_1OE_1 = alpha — varphi + eta$.

Закон преломления действует и после поворота зеркала. Значит,
$angle DOC_1 = angle C_1OE_1$.

Подставим выражения полученные выше:
$alpha + varphi = alpha — varphi + eta$.

Выразим отсюда угол, на который отклонился отраженный луч:
$eta = alpha + varphi — alpha + varphi = 2 varphi$.

Рассчитаем этот угол:
$eta = 2 cdot 16 degree = 32 degree$.

Ответ: $eta = 32 degree$.

Решение:

Сделав правильный чертеж, решить такую задачу очень просто. Из него видно, что:
$alpha = 90 degree — varphi = 90 degree — 30 degree = 60 degree$.

По закону отражения света:
$beta = alpha = 60 degree$.

Ответ: $alpha = beta = 60 degree$.

Решение:

Как вам известно, изображение в плоском зеркале любого предмета образуется от поверхности зеркала на том же расстоянии, что и сам предмет. При этом размеры изображения предмета равны по размеру самому предмету. Видим мы это изображение, когда световые лучи попадают нам в глаз.

Используя эту информацию, сделаем чертеж для решения этой задачи (рисунок 4).

• Точка $A$ — это глаз динозавра, в который попадает изображение в зеркале
• $EG$ — плоское зеркало
• $AB$ — световой луч, попадающий в глаз, от верхней точки головы динозавра
• $AD$ — световой луч, попадающий в глаз, от нижней точки ног динозавра
• $AC$ — световой луч, соединяющий глаз динозавра и его изображение в плоском зеркале. Он будет проходить перпендикулярно зеркалу.

Отрезок $BD$ равен росту динозавра. Он состоит из двух отрезков: $BC$ и $CD$.
$BC = 10 space см$ — расстояние от верхней точки головы до глаз.
$CD = 152 space см — 10 space см = 142 space см$ — расстояние от глаз до нижнего края ног.

Сначала рассмотрим треугольники $AEF$ и $ABC$. Они будут подобны друг другу по двум углам: $angle EFA = angle BCA = 90 degree$ и $angle EAF = angle BAC$ (это один и тот же угол для двух треугольников).

Определим коэффициент подобия:
$AF = k cdot AC$.

Расстояния от предмета до зеркала и его изображения до зеркала равны. Поэтому $AC = 2AF$.
Тогда, $AF = k cdot 2AF$. 
Значит, $k = frac{1}{2}$.

Зная коэффициент подобия $k$, запишем соотношение для других сходственных сторон:
$EF = k cdot BC = frac{1}{2} cdot 10 space см = 5 space см$,
т. к. по условия расстояние от глаза до верхней точки головы составляет $10 space см$. Это утверждение справедливо и для изображения динозавра.

Теперь рассмотрим треугольники $AFG$ и $ACD$. Они также будут подобны по двум углам, и коэффициент подобия будет равен $k = frac{1}{2}$.

Тогда, $FG = k cdot CD = frac{1}{2} cdot 142 space см = 71 space см$.

Теперь мы можем найти длину зеркала:
$EG = h = EF + FG = 5 space см + 71 space см = 76 space см$.

Ответ: $h = 76 space см$.

Построение:

Изначально нам необходимо построить изображения этих светящихся точек (лампочек).

Из точки $A$ опустим перпендикуляр на плоское зеркало и продолжим его за зеркало. Отложим на нем расстояние по другую сторону зеркала, равное расстоянию от точки $A$ до зеркала. Получим изображение светящейся точки $A_1$.

То же самое проделаем для точки $B$ и получим ее изображение $B_1$ (рисунок 6).

В условии задачи сказано, что изображения этих точек совпадут друг с другом. Мы же видим изображения, когда нам в глаз попадают световые лучи от этих точек. Это означает, что луч должен быть один сразу для обоих точек.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$ друг с другом и продолжим эту прямую. Со стороны от зеркала, где находятся лампочки, мы можем поставить точку на этой прямой на любом расстоянии от зеркала. Так мы получили точку $E$ — положение глаза наблюдателя, при котором он увидит лампочки совмещенными друг с другом.

Решение:

Условие задачи говорит, что отраженный луч (солнечный зайчик) должен идти горизонтально. В таком случае у него может быть два направления: горизонтально влево и горизонтально вправо. Решим задачу для обоих случаев.

1. Сначала рассмотрим ситуацию, где отраженный луч пойдет горизонтально вправо. Сделаем чертеж (рисунок 8).

• $MN$ — поверхность стола
• $AB$ — плоское зеркало
• $DO$ — падающий луч
• $alpha$ — угол падения
• $varphi$ — угол, образованный падающим лучом и поверхностью стола. Мы обозначили его, используя продолжение отраженного стола, параллельному столу. В этом случае продолжение отраженного луча и поверхность стола — две параллельные прямые, а падающий луч — секущая. Соответственные углы равны
• $OE$ — отраженный луч
• $beta$ — угол отражения
• $OC$ — перпендикуляр, опущенный в точку падения луча на поверхность зеркала
• $eta$ — искомый луч наклона зеркала

Из чертежа видно, что:
$varphi + alpha + beta = 180 degree$.

По закону отражения света: $alpha = beta$. Тогда,
$varphi + 2 alpha = 180 degree$,
$alpha = frac{180 degree — 50 degree}{2} = 65 degree$.

Снова рассматривая $AB$ как секущую двух параллельных прямых, мы можем сказать, что $angle EOB = eta$.

Тогда, $eta = angle EOB = 90 degree — beta = 90 degree — alpha = 90 degree — 65 degree = 25 degree$.

1. Рассмотрим второй случай, когда отраженный луч пойдет горизонтально влево. Так же сделаем чертеж (рисунок 9).

• $MN$ — поверхность стола
• $AB$ — плоское зеркало
• $DO$ — падающий луч
• $alpha$ — угол падения
• $varphi$ — угол, образованный падающим лучом и поверхностью стола. Мы обозначили его, используя продолжение отраженного стола, параллельному столу. В этом случае продолжение отраженного луча и поверхность стола — две параллельные прямые, а падающий луч — секущая. Соответственные углы равны
• $OE$ — отраженный луч
• $beta$ — угол отражения
• $OC$ — перпендикуляр, опущенный в точку падения луча на поверхность зеркала
• $eta$ — искомый луч наклона зеркала

Рассмотрим $angle COA$. Это прямой угол, образованный перпендикуляром $OC$ и поверхностью зеркала $AB$. Он состоит из двух углов: $beta$ и $angle EOA$. Угол $eta$ и $angle EOA$ равны друг другу, т .к. это накрест лежащие углы, образованные секущей и двумя параллельными прямыми.

По закону отражения света: $alpha = beta$.
Из чертежа: $varphi = alpha + beta = 2 alpha$. Т.е., $alpha = frac{varphi}{2}$.

Тогда,
$eta = angle EOA = angle COA — beta =  angle COA — alpha =  angle COA — frac{varphi}{2} = 90 degree — frac{50}{2} = 65 degree$.

Ответ: $eta_1 = 25 degree$, $eta_2 = 65 degree$.

Расстояние между небольшим предметом и плоским зеркалом равно 12 см. Во сколько раз уменьшится расстояние между предметом и его изображением, если расстояние от предмета до зеркала уменьшить на 4 см?

Решение.

Учтем, что расстояние от предмета до зеркала равно расстоянию от зеркала до мнимого изображения. Тогда первоначально расстояние между предметом и изображением было равно 24 см. При уменьшении расстояния от предмета до зеркала его значение будет равно 8 см. Тогда между предметом и изображением расстояние станет равным 16 см и уменьшится в 1,5 раза.

Ответ: 1,5.