Как найти расстояние от провода магнитной индукции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Закон Био – Савара – Лапласа

В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:

магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.

Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа. Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию

Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.

Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl, с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением

где I – сила тока, протекающая по проводнику,

r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,

dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ₀/(4π)

Так как [dl r] является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом

Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения

где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.

Магнитная индукция прямолинейного проводника

Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током.

Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения

В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.

Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по dα в пределах от 0 до π.

Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.

Магнитная индукция кольца

Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.

В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.

Магнитная индукция в центре кругового тока.

В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид

Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник.

Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х, которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности.

В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dB_X, которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB

Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции

Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник,

х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.

Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру.

Представим некоторый контур l, который перпендикулярный току I. В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением

Так как угол dφ достаточно мал, то векторов dl_В определяется, как длина дуги

Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции

Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура

В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.

Магнитное поле соленоида и тороида

С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.

Магнитная индукция соленоида.

Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4. Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид

Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4, который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид

где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,

I – ток, протекающий по соленоиду.

Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.

Магнитная индукция тороида.

В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R, на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r, центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид

где r – радиус контура магнитной индукции.

Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид

где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,

r – радиус контура магнитной индукции,

R – радиус тороида.

Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.

Источник

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:

Магнитное поле прямого тока: .

Магнитное поле кругового тока: .

Обозначения:

dB — магнитная индукция;

dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;

— магнитная постоянная;

μ — относительная магнитная проницаемость (среды);

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;

α — угол между вектором dl и r.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ₀ — магнитная постоянная; r,r₀ — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Пример решения задачи закона Био Савара Лапласа.

Применим закон Био — Савара — Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r₀ от провода. Из рис. 1 видно, что

r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin²α.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

dB = (μ₀μ/4π) I Rsinα sin²α dα /R² sin²α =(μ₀μ/4π) I sinα dα /R.

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно,

B = ∫ dB = (μ₀μ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ₀μ/4π) 2I/R.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = (μ0 μ/4π) 2I/R,

где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.

Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 2). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

dB=(μ₀μ/4π) I/R²dl. Тогда

B=∫dB=(μ₀μ/4π) I/R²∫dl=(μ₀μ/4π) I/R²2πR=μ₀μI/2R

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна B = μ0 μI/2R.

Источник

Магнитное поле прямого тока — создается током, текущего по тонкому прямому бесконечному проводу

$Large B=int dB=frac{mu mu _0I}{4pi R}int_{0}^{pi }{sinalpha dalpha }=frac{mu mu _02I}{4pi R}$

Вывод формулы для магнитного поля прямого тока :

За постоянную интегрирования возьмем угол α (угол между векторами dl и r) и выразим через него все остальные величины

$Large r=frac{R}{sinalpha } ; dl=frac{rdalpha }{sinalpha }$

Магнитная индукция, которая создавается одним элементом проводника, равна

$Large dB=frac{mu mu _0}{4pi R}sinalpha dalpha$

Поскольку угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то

$Large B=frac{mu mu _0I}{4pi R}int_{0}^{pi }{sinalpha dalpha }$

Посчитаем интеграл, и получим формулу Магнитной индукции поля прямого тока

$Large B=frac{mu mu _02I}{4pi R}$

Так же есть :

Магнитное поле кругового тока: $large B=int dB=frac{mu mu _0I}{4pi R^2}int{dl }=frac{mumu _0 I }{2pi R}$

В Формуле мы использовали :

— Магнитная индукция прямого тока

— Магнитная проницаемость среды

$mu _0=1.2566times 10^{−6}$ — Магнитная постоянная

— Сила тока

— Расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию

— Угол между вектором dl и r

Источник

Содержание:

Магнитное поле окружает движущиеся элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом, и связано с ними. В проводнике с током и пространстве вокруг него магнитное поле создается этим током, а внутри и вне намагниченного тела (постоянного магнита) — внутриатомным и внутримолекулярным движением элементарных заряженных частиц (например, вращением электронов вокруг собственной оси и ядра атома).

Магнитное поле характеризуется воздействием на движущуюся электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.

Закон ампера и магнитная индукция

Магнитное поле обнаруживается благодаря магнитным явлениям: притяжению и отталкиванию проводов с токами или намагниченных тел, действию проводника с током на магнитную стрелку, электромагнитной индукции.
В основе этих явлений лежит характерное свойство магнитного поля — силовое действие на движущиеся заряженные частицы. Силы взаимодействия магнитного поля с движущимися заряженными частицами (токами) называются электромагнитными.

Изучение магнитных явлений и расчеты, связанные с их использованием, невозможны без количественной оценки магнитного поля.
Выбирая необходимую для этого величину, можно исходить из силового взаимодействия двух проводов с токами.

Закон Ампера

Опыт показывает, что на каждый из двух проводов действуют силы, притягивающие друг к другу провода с одинаковым направлением токов и отталкивающие провода с противоположными направлениями токов (рис. 8.1).
Магнитные поля, обусловленные каждым из токов, распределены в одной и той же области пространства. Поэтому в соответствии с принципом наложения можно полагать, что оба провода окружены общим магнитным полем, которое получается в результате наложения двух полей. Каждое поле связано со своим током, когда соответствующий провод уединен.

Рис. 8.1. К закону Ампера

В таком случае притяжение или отталкивание проводов нужно рассматривать как результат силового действия общего магнитного ноля на заряженные частицы, образующие ток в каждом из проводов. Количественные соотношения для этого случая определены законом Ампера, согласно которому силовое действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы рассматривается как взаимодействие двух элементов линейного тока.

Величина силы взаимодействия между двумя элементами линейных токов в вакууме пропорциональна произведению элементов линейных токов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Элементом линейного тока называется произведение Idl, где dl — длина участка провода с током I, весьма малая (так же как и диаметр провода) по сравнению с расстоянием от него до точек, в которых рассматривается магнитное поле тока I.

Если элементы линейных токов расположены параллельно, то сила взаимодействия между ними

В Международной системе единиц (СИ) магнитная постоянная

— единица индуктивности.

Заметим, что формула (8.1) и последующие формулы, относящиеся к магнитному полю в вакууме, справедливы и для магнитного поля в воздухе.

Магнитная индукция

Предположим, что элемент линейного тока I₂dl₂ столь мал, что его поле практически не изменяет поле тока I₁. Тогда этот элемент линейного тока можно рассматривать как пробный, служащий лишь для регистрации электромагнитной силы, которая в этом случае является результатом действия магнитного поля первого тока на пробный элемент линейного тока.
Величина тока I₁ определяет интенсивность магнитного поля: чем больше ток, тем «сильнее» его магнитное поле.

Для оценки интенсивности магнитного поля введено понятие магнитной индукции В.

Магнитная индукция — векторная величина, характеризующая магнитное поле и определяющая силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

В численном выражении магнитная индукция равна отношению силы, действующей на заряженную частицу, к произведению заряда Q и скорости частицы υ, направленной так, что эта сила максимальна:

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно векторам силы и скорости и совпадает с поступательным перемещением правого винта (или буравчика), если вращать его в направлении от вектора силы к вектору скорости частицы с положительным зарядом.
За некоторое время dt, согласно (2.2), заряд а скорость
, поэтому — элемент линейного тока.
Из формулы (8.1) следует

Магнитное поле в окружающем проводник пространстве создается не только выбранным элементом линейного тока, но и другими элементами, на которые может быть разделен реальный проводник (рис. 8.2).

Рис. 8.2. К закону Био — Савара

Магнитная индукция В в данной точке является векторной суммой элементарных векторов dВ.

Формула (8.3), по которой определяется элементарная магнитная индукция, является математическим выражением закона Био — Савара.
Из нее следует единица измерения магнитной индукции:

В расчетах применяется также единица магнитной индукции — гаусс (Гс) (1 Гс = 10^-4 Тл).

Линии магнитной индукции

Графически магнитное поле можно изобразить с помощью линий магнитной индукции.

Линию магнитной индукции проводят так, чтобы в каждой точке этой линии касательная к ней совпадала с вектором магнитной индукции.
Пользуясь этим правилом, можно изобразить магнитное поле для различных случаев.

Магнитное поле тока прямолинейного провода имеет линии магнитной индукции в виде окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных направлению тока, с центром на оси провода (рис. 8.3).

Направление магнитной индукции в этом случае определяется с помощью правила буравчика: если направление поступательного движения буравчика совместить с направлением тока в проводе, то вращение рукоятки покажет направление линий магнитной индукции.

Большой практический интерес представляет картина магнитного поля тока катушек, так как во многих электротехнических устройствах (трансформаторы, электрические машины, электромагнитные реле и т. д.) магнитное поле создается токами в катушках различной формы.

Магнитное поле тока цилиндрической катушки изображено на рис. 8.4. Если длина катушки значительно больше ее диаметра, то линии магнитной индукции имеют внутри катушки одинаковое направление (вдоль оси катушки) и величина магнитной индукции во всех точках одинакова, за исключением точек, расположенных у краев.

Рис. 8.3. Магнитное поле прямого тока

Рис. 8.4. Магнитное поле тока в цилиндрической катушке

Магнитное поле, имеющее во всех точках одинаковую по величине и направлению магнитную индукцию, называется однородным (равномерным).
По форме магнитного поля цилиндрическая катушка подобна постоянному магниту кругового сечения (рис. 8.5). На конце катушки, где линии магнитной индукции выходят из нее, образуется северный полюс, а на противоположном конце — южный.

Кольцевая катушка с обмоткой на тороидальном сердечнике (рис. 8.6) создает магнитное поле только внутри витков. Направление линий индукции магнитного поля тока катушки или контура тоже определяется правилом буравчика, но в другой формулировке: если рукоятку буравчика вращать по направлению тока в витках, то поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением линий магнитной индукции внутри катушки.

Рис. 8.5. Магнитное поле прямого постоянного магнита

Рис. 8.6. Кольцевая катушка

С помощью линий магнитной индукции можно выразить не только направление магнитного поля, но и величину магнитной индукции, подобно тому, как это делается при исследовании электрического поля.
Неравномерное магнитное поле изображается замкнутыми линиями, проведенными с неодинаковой плотностью в различных областях.
В отличие от линий напряженности электростатического ноля, которые начинаются на положительных, а оканчиваются на отрицательных заряженных телах или уходят в бесконечность, линии индукции магнитного поля всегда замкнуты на себя, т. е. не имеют ни начала, ни конца.

Проводник с током в магнитном поле

Большой практический интерес представляет выражение силы, действующей на проводник с током в равномерном магнитном поле. На рис. 8.7 показан прямолинейный провод в пространстве между полюсами постоянного магнита или электромагнита (катушки, со стальным сердечником), расположенный так, что между направлениями вектора магнитной индукции В и тока в проводе I угол α = 90°.

В равномерном магнитном поле на элемент длины провода в любом месте действует одинаковая электромагнитная сила, поэтому на основании формул (8.2) и (8.3) можно записать выражение силы, действующей на часть провода, расположенную в пределах магнитного поля:

где В — магнитная индукция, Тл; I —ток в проводе, А; l — длина части провода, расположенной в магнитном поле, м; F_м — величина электромагнитной силы, Н.

Рис. 8.7. Прямой провод с током в магнитном поле

Если провод располагается так, что между направлениями вектора магнитной индукции поля и тока в проводе угол а ≠ 90°, то электромагнитная сила определяется той же формулой (8.4), но вместо полной длины провода берется ее проекция на направление, перпендикулярное направлению поля:

На провод с током, расположенный вдоль линий магнитной индукции, магнитное поле не действует.

Сила F_м направлена всегда перпендикулярно плоскости, в которой лежит провод и находятся линии магнитной индукции. Направление электромагнитной силы наиболее удобно определять по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы вытянутые четыре пальца (кроме большого) показывали направление тока в проводе, а линии магнитной индукции «входили» в ладонь, то большой палец, отогнутый перпендикулярно остальным четырем, покажет направление электромагнитной силы.

Задача 8.3.

В равномерное магнитное поле с индукцией В = 1,2 Тл помешен прямолинейный проводник длиной l = 80 см с током I = 20 А. Определить силу, действующую на проводник, если он расположен перпендикулярно направлению линий магнитной индукции.
Решение. Подставим в формулу (8.5) заданные величины, от которых зависит сила:

Примеры расчета магнитных полей с помощью закона Био — Савара

Определим с помощью закона Био — Савара магнитную индукцию и напряженность магнитного поля в ряде конкретных случаев.

Поле кругового тока

На рис. 8. 10 изображен кольцевой провод (виток) с током I. Требуется определить индукцию магнитного поля в центре этого витка (точка О).

Рис. 8.10. К определению магнитной индукции поля кругового тока

Согласно закону Био — Савара [см. формулу (8.3)], каждый элемент тока создает в точке О магнитную индукцию

При этом имеется в виду, что угол α = 90° и составляющие результирующей магнитной индукции В в центре витка от каждого элемента имеют одно и то же направление, перпендикулярное плоскости витка.
Поэтому

Постоянные величины вынесем, за знак интеграла:

где — длина витка.

Следовательно,

или

Рис. 8.11. К определению магнитной индукции поля прямого тока

Поле прямого тока

Определим индукцию магнитного поля в точке А (рис. 8.11), если оно создается током I прямолинейного провода конечной длины.

Элемент длины провода dl создает в точке А элементарный вектор магнитной индукции dВ [см. формулу (8.3)]. Для того чтобы найти полную величину магнитной индукции, следует сложить элементарные векторы dВ от всех элементов dl, из которых складывается длина провода.

Учитывая, что провод и отрезки r, проведенные от любого элемента провода в точку А, лежат в одной плоскости, можно заключить, что все векторы dВ в точке А направлены по одной прямой перпендикулярно этой плоскости, в данном случае за чертеж.

Поэтому полную величину магнитной индукции можно найти интегрированием:

Из рис. 8.11 видно, что
Отсюда
Кроме того,

Полная величина магнитной индукции в точке А

Задача 8.4.

В витке, имеющем форму прямоугольника со сторонами b = 10 см и c = 20 см, ток I = 10 А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей прямоугольника (точка А на рис. 8.12, а).
Решение. Магнитную индукцию поля прямолинейного провода конечной длины определяют по формуле (8.7).
Подставив в эту формулу обозначения величин по рис. 8.12, а, получим выражения для составляющих магнитной индукции. От участков провода, расположенных по сторонам b,

В данном случае α₁ = α₂ = α, поэтому

Аналогично, от участков провода, расположенных по сторонам с, при γ₁ = γ₂ = γ

Рис. 8.12. К задачам: а —8.4; б —8.5; в — 8.6

Магнитная индукция в точке А(В_А) складывается из составляющих В₁ (от двух сторон b) и В₂ (от двух сторон c): При этом учитывается, что по отношению к каждому из двух участков провода b или c точка А расположена одинаково и все составляющие магнитной индукции направлены в одну сторону (по правилу буравчика — за плоскость чертежа):

Из чертежа следует, что

Учитывая эти выражения, после преобразования получим:

Расчет симметричных магнитных полей

Связь тока с его магнитным полем ранее выражена формулой закона Био — Савара, который можно применять для определения основных характеристик магнитного поля в любом случае. Подобные задачи решаются более просто на основе понятий о циркуляции вектора магнитной индукции и полном токе.

Циркуляция вектора магнитной индукции и полный ток

Для выяснения смысла этих понятий в магнитном поле системы токов выберем произвольный замкнутый контур (рис. 8.13).

В каждой точке этого контура вектор магнитной индукции В может иметь любое направление. Обозначим через В_l проекцию этого вектора на направление элемента длины dl около выбранной точки контура.

Выражение взятое по всему замкнутому контуру, называют циркуляцией вектора магнитной индукции по данному контуру.
Алгебраическую сумму токов пронизывающих поверхность, ограниченную контуром, называют полным током.

На основе закона Био — Савара можно доказать, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру пропорциональна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 8.13):

Для магнитного поля в вакууме коэффициентом пропорциональности между циркуляцией вектора магнитной индукции и полным током является магнитная постоянная μ₀.

При составлении уравнения (8.8) для конкретного случая знак произведения В_ldl берется положительным, если в данной точке направление В_l совпадает с направлением обхода контура; знак тока принимается положительным, если направление линий индукции магнитного поля данного тока, определенное по правилу буравчика, совпадает с направлением обхода.

Выражение можно представить алгебраической суммой произведений В_ldl, составленной из бесконечно большого числа слагаемых.

Рис. 8.13. К вопросу о циркуляции вектора магнитной индукции

Для рис. 8.13

Если выбрать контур, совпадающий с линией магнитной индукции, то вместо проекции вектора магнитной индукции В_l в формулу (8.8) можно подставить полную его величину В. .

В отдельных случаях магнитное поле обладает симметрией, при которой магнитная индукция во всех точках такого контура имеет одинаковую величину. Для этих случаев формула (8.8) имеет более простое выражение.
вынесем за знак суммы:

где — длина контура;

тогда

Формула (8.8) справедлива для магнитного поля, созданного замкнутыми токами. Ее нельзя применить для определения составляющей магнитной индукции поля, образуемого током на участке провода конечной длины, как это сделано при выводе формулы (8.7) на основании закона Био — Савара.

Поле прямого тока

Наметим на произвольном расстоянии а от оси провода точку А (рис. 8.14, а) и проведем через нее замкнутый контур, совпадающий с линией магнитной индукции. Как известно, эта линия — окружность с центром на оси провода. Все точки контура находятся на одинаковом расстоянии от оси провода, поэтому магнитная индукция поля в них имеет одинаковую величину.

Согласно формуле (8.8),

Формула (8.10) совпадает с выводами, полученными из закона Био — Савара [см. формулу (8.7)] при α₁ и α₂, равных нулю.

Для определения магнитной индукции поля внутри провода выберем произвольный контур радиуса r и будем полагать плотность тока во всех точках сечения провода одинаковой и равной

где r₀— радиус провода.

Рис. 8.14. К определению магнитной индукции поля прямого тока
Полный ток, пронизывающий часть сечения, ограниченную выбранным контуром, имеет величину

отсюда

На рис. 8.14, б показан график изменения магнитной индукции внутри и вне линейного провода большой протяженности, построенный по формулам (8.10) и (8.11).

Поле тока кольцевой катушки

Выберем замкнутый контур, совпадающий с линией магнитной индукции в центре сечения сердечника (см. рис. 8.6). Предполагая намотку витков равномерной, по соображениям симметрии применим формулу (8.9).
Поверхность, ограниченная выбранным контуром, пронизывается током I столько раз, сколько витков N имеет катушка, поэтому

магнитная индукция

Эта формула пригодна для определения магнитной индукции и в других точках, расположенных внутри катушки дальше или ближе к центру, если в них подставить соответствующий радиус.

Поле тока цилиндрической катушки

Если витки катушки навиты вплотную друг к другу, то при бесконечной ее протяженности все точки на любой линии, параллельной оси, находятся в одинаковых условиях (рис. 8.15).

Магнитная индукция поля внутри катушки во всех точках этой линии одинакова и направлена вдоль оси катушки. Вне катушки магнитного поля нет.
Выделим замкнутый контур а-6-в-г прямоугольной формы и применим к нему формулу (8.8). При обходе контура нужно учитывать, что на участке б-в поля нет (В = 0); на участках а-б и в-г вне катушки поля нет, а внутри катушки магнитная индукция направлена перпендикулярно направлению обхода, поэтому проекция вектора В на направление обхода равна нулю. На участке г-а В_l = В.
Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции имеет величину
Полный ток контура а-б-в-г

где N — число витков, уложенных на участке длиной l.
Согласно выражению (8.9),

Из этой формулы следует, что магнитное поле внутри бесконечно длинной катушки равномерно.

Рис. 8.15. К определению магнитной индукции поля цилиндрической катушки с током

Формулу (8.13) можно применить, допуская некоторую погрешность, для определения магнитной индукции цилиндрической катушки конечной длины l_к, если она значительно больше диаметра витка

Применение закона Био — Савара к цилиндрической катушке конечной длины дает для определения В в любой точке М на оси катушки выражение

Формулы (8.12)—(8.15), определяющие магнитное поле катушек, имеют в числителе произведение тока и числа витков IN. Магнитное поле данной интенсивности можно получить при относительно малом числе витков, но большом токе, или при малом токе, но относительно большом числе витков.
Это дает основание при расчете магнитных полей пользоваться произведением IN как единой величиной, которая называется намагничивающей силой. В практике эту величину называют также ампер-витками.

Магнитный поток и потокосцепление

Понятие о магнитном потоке как характеристике магнитного поля имеет в электротехнике большое значение. Его применяют при рассмотрении принципов работы и расчетах электромагнитных устройств {электрических машин, трансформаторов, электромагнитов различного назначения).

Магнитный поток

Любой проводник с током создает магнитное поле. Рассмотрим для примера в качестве источника магнитного поля виток провода кольцевой формы с током l (рис. 8.16).

Линии магнитной индукции этого неравномерного поля сцеплены с самим витком и часть их пронизывает некоторую поверхность S.
Выделим на этой поверхности элемент площади dS, в пределах которой магнитную индукцию В можно считать одинаковой. Вектор магнитной индукции в общем случае направлен под некоторым углом β к нормали n этой поверхности. Проекция вектора В на направление нормали дает вектор В_n, направленный перпендикулярно выделенной элементарной площадке dS.
Величина выражает элементарный поток вектора магнитной индукции.

Сложив элементарные потоки по всей поверхности, получим выражение полного потока вектора магнитной индукции или магнитного потока через заданную поверхность S:

Рис. 8.16. К определению магнитного потока

Рис. 8.17. К определению магнитного потока

Аналогично можно выразить магнитный поток через любую другую поверхность, в том числе и через поверхность, ограниченную самим витком, т. е. магнитный поток, сцепленный с ним.

В практике бывают случаи, когда магнитное поле можно считать равномерным, а поверхность, через которую определяется магнитный поток, — плоскостью (рис. 8.17).

В этих величинах В и В_n остаются одинаковыми для всех точек плоскости, поэтому

где S_n — проекция площади S на плоскость, перпендикулярную направлению вектора магнитной индукции.

Если плоскость S расположена перпендикулярно линиям магнитной индукции, то магнитный поток

Согласно формулам (8.18) и (8.16), магнитная индукция В является плотностью магнитного потока в данной точке поля.
Единица измерения магнитного потока — вебер:
[Ф] = [ВS] = тесла • метр² = вольт • секунда = вебер (Вб).

Работа при перемещении проводника с током в магнитном попе

Рассмотрим проводящий контур прямоугольной формы, одна сторона которого находится в равномерном магнитном поле. При токе I в магнитном контуре на провод действует электромагнитная сила F_м (рис. 8.18).

Незакрепленный контур перемещается в направлении действия силы; при этом на пути b сторона его описывает плоскую поверхность S, перпендикулярную линиям магнитной индукции S = bl.

Произведение магнитной индукции и площади этой поверхности выражает магнитный поток Ф равномерного поля через данную площадь S [см. (8.18)].
При движении контура с током в магнитном поле электромагнитная сила F_м на пути b совершает работу

В этом случае работа считается положительной. При движении провода против силы (при наличии внешней механической силы) работа отрицательна.

Рис. 8.18. Замкнутый виток с током в магнитном поле

Учитывая формулу (8.18), работу, совершенную в результате взаимодействия магнитного поля и тока в проводнике, движущемся в магнитном поле, можно определить произведением тока в проводнике и магнитного потока сквозь поверхность, очерченную проводником при его движении: А = ФI.

Магнитный поток через поверхность, очерченную проводником, является разностью потоков, пронизывающих проводящий контур в конечном и начальном положениях, т. е. положительным приращением магнитного потока, сцепленного с контуром:

где

Работа, затраченная на перемещение контура,

На основании рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любой электромагнитной системы (см. также задачу 8.10).

Работа электромагнитных сил, затраченная на перемещение контура с током, равна произведению тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
Всякий контур с током в магнитном поле стремится занять положение, при котором магнитный поток, пронизывающий контур, оказывается положительным и наибольшим (положительным считается магнитный поток, совпадающий внутри контура с потоком, созданным током этого контура).

Приведем такой пример. Стальной .сердечник втягивается внутрь катушки с током. При этом магнитный поток катушки увеличивается, так как добавляется действие контуров тока внутри стального сердечника, которые образуются внутриатомным и внутримолекулярным движением заряженных частиц. Если перемещение сердечника ничем не ограничено, то он втягивается до тех пор, пока поток не увеличится до максимальной величины для этой системы.

Сказанное относится к любым электромагнитным устройствам с подвижным стальным якорем (реле, тяговые электромагниты и т. п.).

Магнитное потокосцепление

При определении работы, совершаемой электромагнитными силами, была взята рамка, имеющая один виток. Но на рамку можно намотать несколько витков, тогда работа электромагнитных сил при перемещении рамки увеличится.

Если предположить, что все N витков сцеплены с одним и тем же потоком, то работа электромагнитных сил увеличится в N раз: А = NΔФI.
Произведение числа витков и сцепленного с этими витками магнитного потока называют потокосцеплением:

Следовательно, работа электромагнитных сил выражается произведением тока в витках и приращения магнитного потокосцепления:

В общем случае витки катушки могут быть сцеплены с разными потоками, тогда общее потокосцепление определяется алгебраической суммой потоков, сцепленных с каждым витком:

При этом имеется в виду, что потокосцепление одного витка численно равно потоку через поверхность, ограниченную этим витком.

Рис. 8.19. Потокосцепление цилиндрической катушки

Отдельные потоки (Ф₁, Ф₂ и т. д.) могут быть сцеплены с несколькими витками (рис. 8.19), тогда потокосцепление будет выражено алгебраической суммой следующего вида:

Если в уединенном контуре любой формы имеется ток, то его магнитное поле сцеплено с самим контуром. Потокосцепление такого контура называется собственным (потокосцеплением самоиндукции). Собственное потокосцепление характеризует связь тока с собственным магнитным полем.
Потокосцепление имеет ту же размерность, что и магнитный поток.

Задача 8.10.

Прямоугольная рамка с током I расположена в магнитном поле, как показано на рис. 8.20. Найти выражение для работы, совершенной при повороте рамки из положения I в положение II.

Рис. 8.20. Прямоугольная рамка с током в магнитном поле

Решение. По правилу левой руки найдем направления сил, действующих на стороны рамки в положении I.
На стороны аб и вг рамки действуют силы F_1м и F_2м, на две другие стороны силы не действуют, так как ток в них направлен вдоль линий магнитной индукции. Силы F_1м и F_2м образуют вращающий момент, под действием которого рамка поворачивается из положения I в положение II.
В положении II вращающий момент равен нулю, так как силы F_1м и F_2м направлены противоположно вдоль линии, проходящей через ось вращения рамки.
Стороны рамки аб и вг переместились в направлении действия силы на d/2, где d — ширина рамки.
Работа по перемещению каждой стороны рамки составляет

а всей рамки —

где ld — площадь рамки; ВS = Ф_m — наибольшая величина магнитного потока, пронизывающего рамку.
Величина Ф_m в данном случае определяет изменение потока, сцепленного с рамкой при повороте ее из положения I (Ф₁ = 0) в положение II (Ф_II = Ф_m).
Изменение потока в зависимости от угла поворота рамки происходит по закону

так как в любом промежуточном положении проекция площади рамки на плоскость, перпендикулярную направлению линий магнитной индукции, равна Ssinα.

Задача 8.11.

В обмотке тороидальной катушки, имеющей длину l_к = 40 см, площадь поперечного сечения S = 6 см², число витков N = 400, ток I = 20 А, определить магнитный поток внутри катушки.
Решение. Магнитную индукцию внутри катушки определим по формуле (8.12), учитывая, что длина катушки 2πr = l_k:

Магнитный поток определим приближенно, полагая поле внутри катушки равномерным:

Индуктивность собственная и взаимная

При изменении тока в контуре или катушке изменяется потокосцепление самоиндукции или собственное потокосцепление, обусловленное током в этом контуре (катушке), а также взаимное потокосцепление с другим контуром или катушкой.

Опыт показывает, что одинаковое изменение тока в двух контурах или катушках приводит в общем случае к различному изменению их потокосцепления. Особенности данного контура или катушки в отношении образования потокосцепления характеризуются индуктивностью собственной и взаимной.

Индуктивность собственная

На зависимость между потокосцеплением и током уединенного контура влияют форма, размеры контура и среда, в которой создается его магнитное поле, т. е. факторы, обусловленные конструкцией контура или катушки.
Для выражения этого влияния введено понятие индуктивности контура или катушки.

Собственная индуктивность уединенного контура (или катушки) есть величина, характеризующая связь потокосцепления самоиндукции и тока, численно равная отношению потокосцепления самоиндукции контура к току в нем:

В вакууме и неферромагнитных веществах это отношение для данного контура (катушки) остается неизменным независимо от величин тока и потокосцепления.

Единица индуктивности

В практических расчетах индуктивность часто выражается в долях генри: миллигенри (мГн) и микрогенри (мкГн); 1 Гн = 10³ мГн = = 10⁶ мкГн.

Индуктивность взаимная

Рассмотрим магнитную связь двух катушек с токами, расположенных друг от друга так, что магнитный поток, вызванный током первой катушки I₁ сцеплен с витками обеих катушек.

Предположим, что потоков магнитного рассеяния нет, т. е. все магнитные линии одной катушки сцеплены с другой катушкой (рис. 8.21, а).
Собственное потокосцепление первой катушки

где N₁ — число витков первой катушки.

Магнитный поток, созданный током первой катушки, сцеплен с витками второй катушки.

Взаимное потокосцепление, как и собственное, пропорционально току, создающему поток:

Рис. 8.21. Магнитная связь двух катушек

Коэффициент пропорциональности М_1.2— величина постоянная (в неферромагнитных средах), зависит от конструктивных особенностей рассматриваемой системы катушек и называется взаимоиндуктивностью.

Из уравнений (8.24) и (8.25) следует, что

Магнитная связь может осуществляться потоком второй катушки, имеющей ток I₂.
По аналогии с первой катушкой, собственное потокосцепление второй катушки

взаимное потокосцепление

Отношение индуктивности L₂ к взаимоиндуктивности М_2.1

Из отношений индуктивностей катушек к взаимоиндуктивности находим

Нетрудно доказать, что коэффициенты М_1.2 и М_2.1 одинаковы.

Для этого предположим, что вторая катушка с током I₂ удаляется в бесконечность. Потокосцепление этой катушки изменяется на величину взаимного потокосцепления. Работа, совершаемая при удалении катушки, согласно формуле (8.21), определяется произведением Учитывая относительность движения, ту же работу можно определить произведением т.е.

Отсюда

или

Взаимоиндуктивность выражается через индуктивности катушек:

Коэффициент связи

Формула (8.26) справедлива при отсутствии рассеяния магнитных потоков, т. е. когда между катушками существует наибольшая магнитная связь. В действительности некоторая часть линий магнитной индукции поля данной катушки сцеплена только с собственными витками (на рис. 8.21, б это относится к первой катушке). Этими линиями определяется магнитный поток рассеяния Ф_s, который не образует магнитной связи катушек; поэтому в реальных устройствах, где используется магнитная связь, поток рассеяния должен быть по возможности уменьшен.

Из-за потоков рассеяния магнитная связь катушек оказывается неполной (Ф_1.2<Ф₁). При этом взаимоиндуктивность будет меньше величины что учитывается коэффициентом связи k:

Коэффициент связи теоретически может изменяться от 0 до 1.
Потоки рассеяния уменьшить до нуля практически невозможно, поэтому коэффициент связи k всегда меньше единицы.

В системе магнитносвязанных контуров или катушек различают согласное и встречное включение.

Рис. 8.22. Согласное и встречное включение катушек

Если направления намагничивающих сил двух катушек, определенные по правилу буравчика, совпадают, то включение катушек называется согласным (рис. 8.22, а). При несовпадении этих направлений включение называется встречным (рис. 8.22, б).

Для изменения направления намагничивающей силы катушки можно, согласно правилу буравчика, изменить направление тока или направление хода витков (правая или левая намотка).

Изменяя направление тока или направление намотки одной из катушек, получают согласное или встречное включение.

При встречном включении катушек можно добиться такого положения, когда потоки обеих катушек, определенные порознь, равны, а результирующий поток в соответствии с принципом наложения равен нулю.

Если требуется получить катушку без индуктивности, можно применить бифилярную намотку, которая выполняется проводом, сложенным вдвое.
Магнитный поток, а следовательно, и индуктивность бифилярно намотанной катушки равны нулю, так как каждый виток ее состоит из двух проводников с противоположным направлением тока.

Вычисление индуктивностей

Проводящие контуры, катушки — наиболее распространенные элементы электротехнических устройств, а индуктивность является конструктивной характеристикой этих элементов и применяется при расчетах. Поэтому важно не только само понятие об индуктивности, но и вычисление ее для различных случаев.

Индуктивность катушки

Определим индуктивность участка l бесконечно длинной цилиндрической катушки, имеющей на этом участке N витков диаметром D (см. рис. 8.15).
Магнитное поле такой катушки равномерное. В этом случае по формуле (8.13)

Если витки катушки плотно прилегают друг к другу, можно считать поток всех витков одинаковым:

где S = πD²/4 — площадь поперечного сечения катушки.

Согласно формуле (8.23), индуктивность

Выражение (8.28) можно использовать для приближенного вычисления индуктивности цилиндрической катушки конечной длины, если

Точность результата тем больше, чем больше отношение Индуктивность кольцевой катушки на тороидальном сердечнике (см. рис. 8.6, где l = 2πr) приближенно определяют по этой же формуле.

В практике (например, радиотехнической) применяются катушки различной формы, для которых условие чаще всего не выполняется. Для определения индуктивности применяются расчетные кривые или эмпирические формулы, поправочные коэффициенты к формуле (8.28), приводимые в справочниках.

Индуктивность двухпроводной линии

Для определения индуктивности участка двухпроводной линии (рис. 8.23) нужно применить формулу (8.23), для чего предварительно следует подсчитать потокосцепление.

Поток, сцепленный с контуром, образованным прямым и обратным проводами линии, нужно подсчитать по формуле (8.16), учитывая, что магнитное поле линейного тока неравномерное.

Выделим между проводами элемент площади dS = ldx, в пределах которой магнитную индукцию можно считать постоянной:

или

Рис. 8.23. К определению индуктивности двухпроводной линии

Поток, образованный током прямого провода, определим суммированием элементарных потоков на всем расстоянии между проводами в свету:

Учитывая, что вместо a — r₀ можно взять a:

Точно такой же поток и в том же направлении создается током обратного провода, поэтому общий поток

Двухпроводная линия, имея прямой и обратный провода, образует один виток; поэтому потокосцепление численно равно определенному магнитному потоку:

Индуктивность

Подсчет по формуле (8.29) дает неточный результат, так как не была учтена внутренняя индуктивность, образованная магнитным потоком внутри проводов.

Задача 8.17.

Определить индуктивность кольцевой катушки прямоугольного поперечного сечения S = 6 см², имеющей наружный радиус r2 = 11 см, внутренний r₁ = 9 см, а число витков N = 500 (см. рис. 8.6).
Решение. Магнитная индукция по формуле (8.12)

При плотной намотке тонким проводом магнитный поток можно считать одинаковым для всех витков, поэтому потокосцепление

Индуктивность катушки

Магнитные свойства вещества

Ранее магнитное поле рассматривалось в вакууме, где из-за отсутствия вещества оно не испытывает на себя его влияния и определяется только токами в проводах. Эти токи будем называть внешними.

Если магнитное поле внешних токов создается в веществе, то поле воздействует на него, а вещество определенным образом изменяет магнитное поле.

Намагничивание вещества

Любое вещество, находящееся в магнитном поле внешних токов, приходит в особое состояние намагниченности, характеризующееся возникновением в нем добавочного магнитного поля.

Движение заряженных частиц внутри атома можно рассматривать как элементарные внутриатомные токи, поэтому добавочное магнитное поле, возникшее в результате намагничивания, будем называть полем элементарных (внутренних) токов.

Магнитные свойства элементарного кругового тока (рис. 8.24, а) можно характеризовать магнитным моментом, величина которого определяется произведением элементарного кругового тока и площади описанного им круга, а направление — по правилу буравчика:

Рис. 8.24. Магнитный момент элементарных токов

При отсутствии магнитного поля внешних токов элементарные токи внутри вещества ориентированы беспорядочно, поэтому общий магнитный момент даже малых объемов вещества оказывается равным нулю, а магнитное поле элементарных токов не обнаруживается.

Влияние магнитного поля внешних токов на круговые элементарные токи в веществе состоит в том, что изменяется ориентация осей вращения частиц так, что их магнитные моменты оказываются направленными в одну сторону.
Интенсивность и характер намагничивания у различных веществ в одинаковом магнитном поле внешних токов значительно отличаются. Поэтому все вещества делятся на три группы.

К первой группе относятся диамагнитные вещества, в которых магнитное поле элементарных токов направлено против вызвавшего его поля внешних токов. Иначе говоря, результирующее магнитное поле в веществах этой группы слабее магнитного поля внешних токов. К диамагнитным веществам относятся вода, водород, кварц, серебро, медь и др.

Ко второй и третьей группам относятся соответственно парамагнитные (алюминий, кислород, воздух и т. д.) и ферромагнитные вещества (железо, никель, кобальт и Некоторые их сплавы). Общим для веществ этих групп является то, что при намагничивании магнитные моменты элементарных токов в них ориентируются в направлении ноля внешних токов. В результате магнитное поле усиливается.

Ферромагнитные вещества имеют особое значение в электротехнике, поэтому их магнитные свойства. Здесь отметим лишь, что магнитная индукция в ферромагнитном веществе во много (сотни и тысячи) раз больше, чем в парамагнитном, при одинаковой намагничивающей силе внешних токов.

Намагниченность вещества

Из сказанного ранее ясно, что результирующее магнитное поле в веществе складывается из двух полей: поля внешних токов (токов в проводах) и поля элементарных внутренних токов.

В связи с этим для равномерного магнитного поля катушки (рис. 8.24, б) при наличии внутри ее какого-либо сердечника, например стального, можно записать уравнение, аналогичное уравнению (8.9) (это можно сделать и при неравномерном поле; равномерное поле взято для упрощения рассуждения):

где I_в — полный элементарный ток, сцепленный с контуром а-6-в-г.

Сравнивая (8.31) с (8.13), видим, что магнитная индукция в веществе (парамагнитном или ферромагнитном) больше, чем в вакууме, в связи с действием элементарных токов, т. е. благодаря намагничиванию вещества.
Степень намагничивания вещества оценивается вектором намагниченности М.

Для однородного по всем направлениям вещества величина вектора намагниченности равна геометрической сумме магнитных моментов элементарных токов в единице объема вещества:

Напряженность магнитного поля

Найдем величину общего магнитного момента элементарных токов, сцепленных с контуром а-б-в-г, учитывая, что при одинаковой ориентации токи с контуром сцеплены только на участке а-г длиной l (рис. 8.24, б):

где i_в — элементарный ток, сцепленный с контуром а-б-в-г; S — площадь, ограниченная контуром элементарного тока. Подставив в формулу (8.32), получим

откуда

Равенство (8.31) можно представить в виде

или

Из формулы (8.33) следует, что магнитное поле в веществе можно рассматривать как результат действия только токов в проводах (в витках катушки), если в качестве характеристики поля принять новую векторную величину Н, которая называется напряженностью магнитного поля:

С введением этого понятия формула (8.33) примет вид

Это уравнение подобно уравнению (8.13), полученному на основе представления о циркуляции вектора магнитной индукции в поле тока бесконечно длинной катушки.

Напряженность Н как характеристика магнитного поля не зависит от свойств среды, а определяется только величиной токов в проводах, что значительно облегчает расчеты магнитных полей.

Магнитная проницаемость вещества

Из уравнения (8.34) можно выразить величину магнитной индукции в веществе:

Намагниченность вещества является результатом действия внешнего магнитного поля токов. Коэффициент пропорциональности между напряженностью поля Н и намагниченностью М называется магнитной восприимчивостью

Магнитная восприимчивость выражает способность вещества намагничиваться под действием внешнего магнитного ноля. Учитывая выражение (8.35), запишем

В этой формуле величина μ₀Н характеризует только магнитное поле в вакууме, обозначается В₀, а называется магнитной индукцией в вакууме:

Магнитную индукцию в веществе можно выразить формулой

Величина

характеризует магнитные свойства вещества, в котором существует магнитное поле, и называется абсолютной магнитной проницаемостью,
На основе формулы (8.37) абсолютную магнитную проницаемость можно определить отношением модуля магнитной индукции к модулю напряженности магнитного поля.

В практике удобно пользоваться отношением абсолютной магнитной проницаемости вещества μ_a к магнитной постоянной μ₀:

Величина называется относительной магнитной проницаемостью и показывает, во сколько раз магнитное поле в веществе получается сильнее (или слабее), чем в вакууме, при прочих равных условиях, т. е.

Магнитная восприимчивость ферромагнитных веществ велика, поэтому их величина Для остальных веществ а

Задача 8.21.

На кольцевой неферромагнитный сердечник, средний радиус которого r = 48 см, намотана обмотка, имеющая N₁ = 2000 витков. На эту обмотку концентрично наложена вторая обмотка с числом витков N₂ = 3500. Площадь поперечного сечения сердечника S = 20 см². Определить взаимную индуктивность обмоток, если коэффициент магнитной связи между ними k = 0,9. При последовательном соединении обмоток и токе I = 3 А определить магнитный поток в сердечнике в двух случаях: а) обмотки включены согласно; б) обмотки включены встречно.
Решение. Для определения взаимной индуктивности воспользуемся формулой (8.27). Но предварительно найдем индуктивность каждой катушки.
Индуктивность первой катушки

Индуктивность второй катушки

Взаимная индуктивность

Для определения магнитного потока найдем намагничивающую силу:
а) при согласном включении

б) при встречном включении

Напряженность магнитного поля

Магнитная индукция

Магнитный поток

Закон полного тока и его применение

Введение понятия о магнитной проницаемости вещества позволяет все формулы, полученные ранее для магнитного поля в вакууме, применить и для магнитного поля в веществе, заменив в них магнитную постоянную магнитной проницаемостью μ_a. О такой возможности свидетельствует полная аналогия формул (8.36) и (8.37).

Это обстоятельство вместе с понятием о напряженности магнитного поля является основой для формулировки закона полного тока.

Закон полного тока

В формуле (8.8)

вместо μ₀ запишем μ_a, а вместо магнитной индукции подставим равную ей величину Получим

Уравнение (8.40) выражает закон полного тока:
циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром.

В тех случаях, когда напряженность магнитного поля имеет одинаковую величину по всему контуру, а выбранный контур совпадает с линией магнитной индукции, уравнение (8.40) оказывается более простым: а для катушек

Если контур содержит несколько участков с различными величинами напряженности поля (Н₁, Н₂, .., Н_n), но в пределах каждого участка напряженность не меняется, то уравнение (8.40) можно записать так:

где n — номер участка контура.
В таком выражении закон полного тока напоминает второй закон Кирхгофа и применяется при расчете магнитных цепей.

Рис. 8.25. Изменение характеристик магнитного поля на границе двух сред

Изменение магнитного поля на границе двух сред

Выделим на границе двух сред, имеющих относительные магнитные проницаемости μ_r1 и μ_r2, замкнутый контур а-б-в-г-д-е-а (рис. 8.25) около некоторой точки А.

Магнитная индукция и напряженность магнитного поля в этой точке характеризуются векторами B₁ и Н₁, в первой и В₂ и Н₂ во второй среде.
Разложим векторы В и Н в обеих средах на нормальные В_n, Н_n и тангенциальные В_t и H_t составляющие.

При отсутствии на поверхности раздела сред токов проводимости по закону полного тока для указанного контура

Учитывая равенство соответствующих отрезков контура, получим Н_1t = H_2t или

На границе двух сред тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля не изменяется.

Магнитный поток сквозь поверхность раздела сред создают только нормальные составляющие магнитной индукции. Учитывая же непрерывность линий магнитной индукции, можно заключить, что магнитный поток на границе двух сред не изменяется. Таким образом,

где ΔS — любой элемент площади на границе раздела сред.

Сокращая на ΔS, получим B_1n = B_2n или

Разделим равенство (8.43) на (8.44):

Отсюда

Равенство (8.45) выражает закон преломления линий магнитной индукции на границе двух сред.

В частном случае, когда линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости раздела, тангенциальные составляющие напряженности и индукции равны нулю. Магнитная индукция на границе двух сред в этом случае не изменяется [см. формулу (8.44)]: B₁ = B₂.

Напряженность магнитного поля изменяется скачком:

или
и оказывается больше в среде с меньшей магнитной проницаемостью.

Задача 8.24.

Определить изменение направления линий магнитной индукции на границе стали с воздухом, если известны для стали μ_r1 = 1000; α₁ = 89°.
Решение. По формуле (8.45),

Случай изменения магнитного поля на границе ферромагнитной среды и воздуха часто встречается в электромагнитных устройствах, где магнитный поток замыкается по стальным участкам, чередующимся с воздушными зазорами.
Магнитная проницаемость стали во много раз больше магнитной проницаемости воздуха, поэтому при значениях α₁ даже близких к 90°, α₂ получается близким к нулю.
Практически можно считать, что линии магнитной индукции в воздухе у границы со сталью перпендикулярны поверхности раздела.

Свойства и применение ферромагнитных материалов

Ферромагнитные вещества широко применяются в электротехнике благодаря их способности намагничиваться и значительно усиливать внешнее магнитное поле. Для практики большое значение имеют особые свойства ферромагнитных веществ, выявляющиеся в процессе намагничивания. Эти свойства можно проследить на опыте, измеряя напряженность поля Н и магнитную индукцию В катушки со стальным сердечником (рис. 8.26).

Рис. 8.26. Схема для намагничивания ферромагнитного сердечника

Намагничивание ферромагнитных материалов

С ростом напряженности поля Н магнитная индукция В увеличивается по закону

График В(Н), соответствующий первоначальному намагничиванию и показанный на рис. 8.27, называется кривой первоначального намагничивания. Там же даны зависимости от напряженности поля обоих слагаемых μ₀М и μ₀Н, из которых складывается магнитная индукция в ферромагнитной среде.
Получив состояние магнитного насыщения, уменьшим напряженность внешнего магнитного поля Н. Магнитная индукция уменьшается по кривой 1-2 (рис. 8.28), которая не совпадает с кривой первоначального намагничивания (кривая 0-1). При Н = 0 магнитная индукция имеет остаточное значение В_r.

Рис. 8.27. Зависимость магнитной индукции и намагниченности от напряженности поля

Рис. 8.28. График циклического перемагничивания ферромагнитного сердечника

Размагничивание сердечника как бы запаздывает по сравнению с уменьшением напряженности поля. Это явление называют магнитным гистерезисом.

Особенностью ферромагнитных веществ является наличие сильных магнитных связей молекул, вследствие чего в них образуются весьма малые (микроскопические) области, внутри которых магнитные моменты молекул ориентированы в одну сторону. Такие области имеют значительный общий магнитный момент и называются самопроизвольно намагниченными.
В отсутствие внешнего магнитного поля ферромагнитные вещества не проявляют своих магнитных свойств, так как магнитные моменты самопроизвольно намагниченных областей направлены беспорядочно. Общий магнитный момент всего объема тела оказывается равным нулю.
Усиление магнитного поля в ферромагнитной среде, а также явления магнитного насыщения и остаточного магнетизма хорошо объясняются изменением ориентации магнитных моментов областей самопроизвольной намагниченности под действием внешнего поля.

В образовании внутреннего магнитного поля участвуют не отдельные молекулы, как в диамагнитных и парамагнитных веществах, а целые области, обладающие магнитным моментом.

Магнитное насыщение означает, что все магнитные моменты ориентированы по направлению внешнего поля. Остаточный магнетизм объясняется тем, что при снятии внешнего поля определенная часть магнитных моментов сохраняет приобретенное при намагничивании направление, так что результирующий магнитный момент объема сердечника не уменьшается до нуля.

Магнитный гистерезис

Изменив направление тока в катушке и, следовательно, направление внешнего поля в сердечнике, увеличим напряженность поля (вектор Н изменил направление). Магнитная индукция уменьшается до нуля (отрезок кривой 2-3), а затем изменит направление на обратное.

Величину напряженности поля Н, необходимую для уничтожения поля в сердечнике, называют коэрцитивной (задерживающей) силой. В точке 3 внешнее поле скомпенсировало остаточное поле намагниченности сердечника (—Н_с = М). В дальнейшем результирующее поле в сердечнике изменяет направление и усиливается, пока не наступает насыщение (участок 3-4). Аналогично можно получить данные и начертить нижнюю часть графика 4-5-6-1. Полученную замкнутую кривую В(Н) называют петлей магнитного гистерезиса.

Циклическое перемагничивание вещества в области значений В и Н, меньших тех, которые соответствуют полному насыщению, тоже образует петлю гистерезиса, полностью заключенную внутри предельной петли.
Ряд таких петель гистерезиса показан на рис. 8.29. Кривую 0-1- 2-3-4, проведенную через вершины всех петель гистерезиса, называют основной кривой намагничивания. Она проходит близко к кривой первоначального намагничивания, но не совпадает с ней.

Основную кривую намагничивания используют при технических расчетах магнитных систем. На рис. 8.30 изображены основные кривые намагничивания некоторых ферромагнитных материалов.

Рис. 8.29. Петли магнитного гистерезиса

Рис. 8.30. Основные кривые намагничивания некоторых ферромагнитных материалов

Свойства ферромагнитных материалов

На основе опыта намагничивания и перемагничивания ферромагнитных материалов можно сформулировать основные их свойства.

Ферромагнитные вещества относительно легко и сильно намагничиваются. Относительная магнитная проницаемость μ_r для некоторых ферромагнитных материалов достигает значений 10⁵ и выше.
С ростом напряженности внешнего магнитного поля намагниченность и магнитная индукция увеличиваются; однако намагниченность и магнитная индукция не пропорциональны напряженности поля (см. рис. 8.27). Это значит, что магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость μ_r — не постоянные величины, а зависят от намагниченности М.
Начиная с некоторой напряженности поля Н при ее увеличении происходит магнитное насыщение, т. е. такое состояние ферромагнитных веществ, при котором рост напряженности поля не влечет за собой увеличения намагниченности.
При уменьшении напряженности поля Н после достижения состояния насыщения намагниченность и магнитная индукция уменьшаются. Однако величины М и В отличаются от тех, которые были зафиксированы для одинаковых Н при увеличении напряженности.
При устранении внешнего поля (Н = 0) обнаруживается остаточная намагниченность (М и В не равны нулю).
При увеличении напряженности поля Н в обратном направлении происходит сначала размагничивание намагниченного образца, а затем намагничивание в обратном направлении (М и В меняют знак) до насыщения.
При циклическом перемагничивании с определенной частотой ферромагнитное вещество нагревается, что свидетельствует о затрате энергии на перемагничивание.

Абсолютная магнитная проницаемость ферромагнитного вещества определяется в каждой точке основной кривой намагничивания (рис. 8.31) отношением

где m_В и m_Н — масштабы по осям координат.

Рис. 8.31. К определению магнитной проницаемости

Магнитная проницаемость, определяемая этим отношением, называется статической.

Как видим, с ростом напряженности поля магнитная проницаемость вначале увеличивается, а при переходе в область насыщения уменьшается.
Кроме статической магнитной проницаемости μ_a определяется дифференциальная магнитная проницаемость μ_aдиф. Последняя пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к основной кривой намагничивания в каждой точке:

Что касается затрат энергии на перемагничивание, то, как будет показано дальше, величина их пропорциональна площади, ограниченной петлей магнитного гистерезиса.

Магнитно-мягкие и магнитно-твердые материалы

Для всех ферромагнитных материалов отмеченные свойства являются общими, однако проявляются они по-разному в зависимости от их химического состава.
В связи с этим различают две основные группы ферромагнитных материалов: магнитно-твердые и магнитно-мягкие.

Магнитно-твердые материалы имеют большие величины остаточной магнитной индукции и коэрцитивной силы, широкую петлю магнитного гистерезиса. Магнитно-твердыми являются хромовольфрамовые, хромомолибденовые стали (В_r = 1 Т, Н_с = 60 А/см); сплав алнико (Al, Ni, CO) и др.

Для магнитно-мягких материалов характерны большая магнитная проницаемость и малая коэрцитивная сила (узкая петля магнитного гистерезиса).

К магнитно-мягким материалам относятся электротехническая сталь (малоуглеродистая с присадкой кремния от 1,7 до 4%), чистое электролитическое железо, электротехнический чугун, пермаллой (80% Ni и 20% Fe) и др.
Магнитно-мягкие материалы применяются для устройства магнитных цепей электрических машин, аппаратов, электромагнитов и т. п. Свойства материалов обеспечивают в этих устройствах создание сильных магнитных полей при относительно небольших величинах намагничивающих сил IN и относительно малые потери энергии при перемагничивании.

Задача 8.27.

Решить задачу 8.21, если сердечник выполнен из электротехнической стали, характеристика намагничивания которой приведена на рис. 8.30.
Решение. Магнитную проницаемость стали можно принять постоянной условно в предположении, что в тех пределах изменения магнитной индукции, какие имеют место при переключении обмоток, характеристика намагничивания стали близка к прямой. Если характеристику намагничивания нельзя хотя бы приближенно считать прямолинейной, то формула (8.27) в этом случае непригодна. Взаимную индуктивность обмоток можно определить по формуле (8.25), предполагая без тока сначала одну, а затем другую обмотки.
В этом случае
Для определения индуктивности катушки нельзя воспользоваться и формулой (8.28), так как неизвестна магнитная проницаемость стали.
При разомкнутой второй обмотке найдем индуктивность L₁ и взаимоиндуктивность М_1.2.
Намагничивающая сила обмотки

Напряженность поля

Магнитную индукцию находят по кривой намагничивания электротехнической стали в следующем порядке (см. рис. 8.30 и 8.31). На оси абсцисс определяют точку 1, отстоящую от начала координат на расстоянии 0-1, выражающем в принятом масштабе найденную величину напряженности поля. Из этой точки проводят прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с кривой намагничивания в точке 2. Эту точку проектируют на ось ординат, где и читают ответ — величину магнитной индукции (отрезок 0-3).
Для H₁ = 20 А/см

Магнитный поток

Собственное потокосцепление первой обмотки

Индуктивность первой обмотки

Найдем взаимное потокосцепление, считая поток рассеяния

Взаимная индуктивность

Расчет электрических полей

В рабочем состоянии электрических устройств и установок между токоведущими частями имеется разность потенциалов, т. е. существует электрическое поле.

Кроме основного (разрешенного) канала тока имеется бесчисленное множество потенциальных каналов, которые закрыты электрической изоляцией. Таким образом, электрическая изоляция находится под действием электрического поля и должна быть рассчитана на то, чтобы надежно выполнять свои функции. Для расчета необходимо определить характеристики электрического поля.
Эти и другие вопросы, относящиеся к электрическому полю, рассматриваются в данной главе.

Применение закона кулона для расчета электрического поля

Расчет электрических полей на основе закона Кулона применяется в тех случаях, когда электрические заряды тел можно рассматривать сосредоточенными в весьма малом объеме, т. е. полагать заряженные тела точечными.

Электрическое поле уединенного заряженного тела

Из закона Кулона следует, что напряженность элегического поля уединенного точечного заряженного тела

где Q — величина заряда тела; Q₀ — заряд пробного тела; r — расстояние от заряженного тела до точки, в которой определяется напряженность поля.
Электрическое поле уединенного точечного заряженного тела неравномерно. Найдем потенциал поля в некоторой точке 1 (см. рис. 7.3), используя выражение (1.3), с помощью которого выразим работу в поле на пути от некоторой точки 1 до бесконечности:

где r₁ — расстояние от заряженного тела до точки 1.
Положение точки 1 выбрано произвольно, поэтому полученное выражение можно записать для любой точки

Напряжение между точками 1 и 2

Между напряженностью электрического поля и потенциалом в некоторой точке имеется определенная связь, которую выразим в общем виде.
Из выражения (1.3) следует:

Знак минус в этих выражениях указывает на то, что энергия убывает, если перемещение происходит в направлении напряженности поля.
Отсюда

Е_n — величина проекции вектора Е на направление dl.

Электрическое поле группы заряженных тел

При рассмотрении электрического поля в вакууме (а также в воздухе) установили, что напряженность поля линейно зависит от заряда тела [в выражении (7.1) Q = const]. Поэтому при определении напряженности результирующего поля от действия нескольких заряженных тел можно пользоваться принципом наложения полей.

В каждой точке пространства, окружающего заряженные тела, электрическое поле одного тела накладывается на поле другого.

Для определения общей напряженности нужно найти величину и направление вектора напряженности каждого из составляющих полей, а затем сложить векторы:

Принцип наложения действителен и при определении потенциала в некоторой точке результирующего поля. Но потенциалы складываются алгебраически, так как они скалярные величины:

Задача 7.1. Два точечных тела, заряды которых Q₁ = 3,2 • 10^-11 Кл и Q₂ = -4,267 • 10^-11 Кл, расположены в воздухе в противоположных вершинах воображаемого прямоугольника со сторонами 6 и 8 см (рис. 7.1). Определить напряженность и потенциал в двух других вершинах и в точках 5, 6, 7, 8.

Рис. 7.1. К задаче 7.1
Решение. Определим в заданных точках напряженность электрического поля каждого заряженного тела в отдельности по формуле (7.1), обозначая напряженность буквой Е с индексами. Первая цифра индекса указывает, с каким заряженным телом связано поле, вторая — точку, где определяется напряженность этого поля.
В точке 3

По формуле (7.2),

Согласно принципу наложения, общую напряженность поля найдем геометрическим (векторным) сложением составляющих.
По условию задачи векторы Е_1.3 и Е_2.3 направлены под углом 90° друг к другу. Поэтому напряженность результирующего поля можно подсчитать как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются эти векторы:

В общем случае определение напряженности результирующего поля можно выполнить графически, по правилам векторного сложения или по теореме косинусов.
В точке 5

По условию задачи векторы Е_1.5 и Е_2.5 направлены по прямой 1-2 в одну сторону. Поэтому величину напряженности результирующего поля можно найти как сумму численных значений Е_1.5 и Е_2.5:
Е₅ = Е_1.5 + Е_2.5 = 180 + 106,7 = 286,7 В/м;
V₅ = V_1.5 + V_2.5 = 13,6 В.

Напряженность и потенциал результирующего поля в точках 4, 6, 7, 8 определите самостоятельно.

Теорема Гаусса и ее применение

В практике чаще встречаются случаи, когда заряд тела распределен по его поверхности с некоторой плотностью. В таких случаях задачи решаются более просто на основе теоремы Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля

Рассматривая электрическое поле, изображенное на рис. 7.3, выделим элемент поверхности площадью dS. Он представляет собой маленькую часть сферы радиусом r, в центре которой помещено точечное тело с положительным зарядом Q.

Рис. 7.3. К определению потока вектора напряженности электрического поля

В силу геометрической симметрии поля вектор напряженности Е по величине одинаков во всех точках поверхности и направлен перпендикулярно ей. Произведение ЕdS выражает величину элементарного потока dN вектора напряженности электрического поля через элемент поверхности dS, если линии напряженности перпендикулярны пронизываемой ими поверхности:

Определим полный поток N вектора напряженности электрического поля, для чего сложим элементарные потоки по всей поверхности сферы:

Вынося постоянную величину Е за знак суммы и учитывая, что вектор Е всюду перпендикулярен поверхности сферы, получаем

где — площадь сферы; следовательно,

Подставляя напряженность поля в формулу (7.1), получим

Теорема Гаусса

Приведенные рассуждения справедливы и при отрицательном заряде с той лишь разницей, что поток вектора напряженности в этом случае отрицательный.

Из формулы (7.8) следует, что поток N не зависит от радиуса сферической поверхности.

Потоку вектора напряженности электрического поля можно придать некоторую наглядность с помощью линий напряженности.

Вследствие симметрии электрического поля в рассматриваемом случае линии напряженности пронизывают всю поверхность сферы и их плотность (число линий на единицу площади) одинакова. Предположим, что эта плотность выбрана численно равной напряженности поля. Тогда общее число линий, пронизывающих поверхность сферы, будет численно равно полному потоку вектора напряженности поля N.

Число линий напряженности, а следовательно, и поток вектора напряженности остаются одинаковыми для сферы любого радиуса. Это справедливо и для элементов dS^‘ и dS^» сферических поверхностей, через которые проходят одни и те же линии напряженности (рис. 7.3), образующие конус с вершиной в центре сферы.

Элементарный поток вектора напряженности заключен внутри указанного конуса и пронизывающие элемент поверхности dS линии напряженности образуют элементарную трубку поля. Сложив потоки всех трубок по всему объему шара, получим полный поток вектора напряженности электрического поля точечного заряженного тела.

Можно доказать, что формула (7.8) справедлива не только для сферы, окружающей точечное заряженное тело, но и для любой замкнутой поверхности.

В общем случае направление вектора напряженности Е может быть не перпендикулярно элементу поверхности dS около выбранной точки А (рис. 7.4). Угол между направлением вектора Е и внешней нормалью n к поверхности в точке А обозначим а (внешняя нормаль — это линия, перпендикулярная поверхности в выбранной точке, направленная от этой поверхности с внешней стороны). Для определения потока через элемент поверхности нужно взять проекцию вектора Е на направление внешней нормали

где

Тогда

Рис. 7.4. К определению потока вектора напряженности электрического поля

Рис. 7.5. К определению напряженности электрического поля заряженной плоскости

Суммирование элементарных потоков по всей замкнутой поверхности дает полный поток

Если внутри замкнутой поверхности находится любое число тел с разноименными зарядами, в формулы (7.8) и (7.9) следует ввести алгебраическую сумму всех зарядов:

Алгебраическая сумма зарядов берется в данном случае потому, что линии напряженности при положительных и отрицательных зарядах направлены противоположно.

Формула (7.10) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая формулируется так: поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности к электрической постоянной.

Поле заряженной плоскости

Бесконечная плоскость (рис. 7.5) имеет заряд, распределенный с плотностью а. Выделим вокруг части этой плоскости замкнутую поверхность, которая образована двумя плоскими поверхностями S, параллельными заряженной плоскости, и цилиндрической боковой поверхностью, перпендикулярной ей. Вследствие симметрии все точки поверхности S имеют одинаковую напряженность поля.

Кроме того, вектор напряженности направлен перпендикулярно заряженной плоскости, т. е. перпендикулярно поверхности S и параллельно цилиндрической боковой поверхности. В этом случае поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность равен нулю и, следовательно, общий поток равен потоку через поверхности S.
Заряд, заключенный внутри выделенной поверхности, составляет σS.
Согласно теореме Гаусса,

Отсюда

Рис. 7.6. К определению напряженности и потенциала электрического поля между двумя заряженными плоскостями

Электрическое поле двух параллельных бесконечных плоскостей, несущих разноименные заряды одинаковой плотности (рис. 7.6), определяется наложением полей положительной и отрицательной пластин.
Как видно из формулы (7.11), напряженность поля бесконечной плоскости не связана с расстоянием от нее. Поэтому вне пластин (точка А) поля положительной и отрицательной пластин взаимно скомпенсированы, т. е. результирующая напряженность поля равна нулю (Е = 0).
Между пластинами (точка В) поля их складываются, поэтому

Таким образом, между двумя бесконечными плоскостями, заряженными противоположно с одинаковой плотностью заряда, напряженность поля одинакова во всех точках по величине и направлению, т. е. электрическое поле равномерно.

Поле заряженного шара

Наметим в пространстве, окружающем заряженный шар, произвольную точку 1, отстоящую от центра шара на расстоянии r (рис. 7.7) Выделим сферическую поверхность, концентричную с поверхностью заряженного шара, так, чтобы точка 1 лежала на этой поверхности. Вследствие симметрии все точки выделенной поверхности имеют одинаковую напряженность. В данном случае вектор напряженности Е направлен радиально в каждой точке, т. е. перпендикулярно выбранной сферической поверхности.
Поток вектора напряженности поля через выделенную сферическую поверхность

Заряд шара

где σ — поверхностная плотность заряда; R — радиус шара.

Согласно теореме Гаусса [см. формулу (7.8)],

Отсюда для напряженности поля получим выражение

Напряженность поля заряженного шара имеет такое же выражение, какое получено из закона Кулона для точечного заряженного тела. Следовательно, заряд шара можно считать сосредоточенным в центре и рассматривать заряженный шар как точечное заряженное тело. При r = R

На рис. 7.7 показаны графики зависимости напряженности и потенциала поля уединенного заряженного шара от расстояния r.

Поле заряженного прямого провода

Проведем через некоторую точку 1 пространства цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с осью провода круглого сечения (рис. 7.8).
Вследствие симметрии во всех точках выделенной поверхности линии напряженности перпендикулярны ей, а напряженность поля одинакова:

Рис. 7.7. К определению напряженности и потенциала электрического поля заряженного шара

Рис. 7.8. К определению напряженности электрического поля прямого заряженного провода

Поток вектора напряженности

где 2πrl — боковая поверхность цилиндра.
Поток через основания цилиндра равен нулю, так как линии напряженности не пронизывают их.

Согласно теореме Гаусса,

где Q = τl; τ — линейная плотность заряда на проводе.

Задача 7.3.

Построить графики напряженности электрического поля заряженного шара (поверхностная плотность заряда σ = 2 • 10^-8 Кл/м², радиус шара R = 5 см) и заряженного прямого провода (линейная плотность заряда τ = 4 • 10^-8 Кл/м).
Решение. Для построения графиков нужно задаться несколькими значениями расстояния r от центра шара или оси провода до точек, в которых предполагается определить напряженность поля. По формуле (7.13) определяют напряженность электрического поля заряженного шара E₁, по формуле (7.14) — заряженного провода E₂.

При r = 10 см

Определите напряженность электрического поля в обоих случаях в точках, положение которых определяется расстоянием r = 5, 20, 50, 100 см и ∞; постройте графики Е(r) в прямоугольной системе координат.

Электрическое поле в однородном диэлектрике

По сравнению с проводниками количество свободных заряженных частиц в единице объема диэлектрика очень мало. Поэтому при наличии электрического поля направленным движением свободных заряженных частиц можно пренебречь и считать, что в диэлектрике преобладают электростатические явления.

При этом электрическое поле воздействует на вещество диэлектрика, которое определенным образом изменяет электрическое поле.

Поляризация диэлектрика

Различают диэлектрики с полярными и неполярными молекулами. Полярные молекулы в электрическом отношении можно уподобить электрическому диполю (рис. 7.9, а). Электрическим диполем называют совокупность двух точечных заряженных тел, обладающих равными по величине и противоположными по знаку зарядами, расстояние между которыми очень мало по сравнению с расстоянием от них до точек, в которых рассматривается поле диполя.

Рис. 7.9. Диэлектрик в электрическом поле

Электрической характеристикой диполя является его электрический момент р, численное значение которого равно произведению величины заряда точечных тел на расстояние между ними:
.
Вектор электрического момента направлен от отрицательного заряда к положительному.

Полярные молекулы в диэлектрике расположены так, что электрические моменты их направлены беспорядочно. Поэтому тела, в состав которых входят полярные молекулы, в целом нейтральны, хотя каждая полярная молекула создает свое электрическое поле.

Рассмотрим диэлектрик, помещенный в равномерное электрическое поле с напряженностью Е между двумя заряженными металлическими пластинами (рис. 7.9).

Во внешнем электрическом поле полярная молекула (диполь) испытывает действие пары сил, которая поворачивает ее таким образом, что электрический момент диполя оказывается направленным так же, как и напряженность поля (рис. 7.9, б).

В неполярных молекулах диэлектрика под действием внешнего электрического поля происходит смещение заряженных частиц вдоль его направления, в результате чего они приобретают свойство диполей. Это явление называется поляризацией диэлектрика.

Поляризованность диэлектрика

Степень поляризации диэлектрика оценивают вектором поляризованности P. Для однородного по всем направлениям диэлектрика величина вектора поляризованности представляет геометрическую сумму электрических моментов р молекул, заключенных в единице объема:

Поляризованность тем больше, чем сильнее электрическое поле. Зависит она и от свойства диэлектрика. Поэтому поляризованность можно выразить произведением

где — диэлектрическая восприимчивость (относительная ) — величина, характеризующая способность диэлектрика поляризоваться под действием электрического поля.

В результате поляризации диэлектрика диполи стремятся располагаться вдоль линий напряженности электрического поля. При этом внутри диэлектрика в любом объеме, не меньшем объема молекулы, сохраняется равенство общих зарядов того и другого знака, так что диэлектрик остается нейтральным. По поверхностям диэлектрика, прилегающим к металлическим пластинам, распределены частицы, имеющие заряд одного знака: отрицательный — на границе с положительной пластиной и положительный— на границе с отрицательной пластиной (рис. 7.9, в).

На обеих поверхностях заряд распределен равномерно с одинаковой плотностью σ. Таким образом, на границе между металлической пластиной и диэлектриком распределены два вида заряженных частиц: свободные частицы металлической пластины с общим зарядом Q₀ и связанные частицы диэлектрика с общим зарядом Q_п противоположного знака.

Электрическое поле в диэлектрике соответствует общему заряду частиц Q = Q₀ — Q_п; оно физически существует в пространстве между молекулами диэлектрика. Это поле можно также представить как результат наложения двух полей — внешнего (напряженность Е₀) и внутреннего (напряженность Е_п).

В данном случае внешним полем называется поле свободных заряженных частиц металлических пластин при отсутствии диэлектрика, а внутренним — поле связанных заряженных частиц диэлектрика, существующее независимо от внешнего поля. Независимое существование внутреннего поля диэлектрика до некоторой степени условно, так как оно возникает только при наличии внешнего поля и в большинстве случаев исчезает при его отсутствии.
Однако имеются такие диэлектрики, которые, будучи поляризованными внешним электрическим полем, сохраняют остаточную поляризацию (сегнетоэлектрики и электреты).

Электрическое смещение

На основании теоремы Гаусса [см. формулу (7.8)] для равномерного поля свободных заряженных частиц

а для поля в диэлектрике

Найдем величину вектора поляризованности Р (рис. 7.9, в). Электрический момент элементарного поверхностного заряда имеет значение σdSl, где l — расстояние между пластинами или толщина диэлектрика; σSl — момент всего объема диэлектрика.

Таким образом числитель выражения (7.16) в данном случае имеет величину σSl, а знаменатель — Sl.
Тогда поляризованность

Величина поляризованности равна плотности заряда на поверхности диэлектрика.

Вместе с тем заряд связанных частиц на поверхности диэлектрика равен общему заряду частиц, которые смещаются в диэлектрике через любую плоскость, параллельную обкладкам.

Согласно выражению (7.19),

Общий заряд связанных частиц с учетом выражения (7.20)

Тогда

или

Из этого выражения следует, что электрическое поле в диэлектрике можно рассматривать только в связи с зарядом Q₀ свободных заряженных частиц и не учитывать явление поляризации, если в качестве характеристики поля принять другую векторную величину D, называемую электрическим смещением:

С введением этого понятия формула (7.21) упрощается:

Электрическое смещение как характеристика электрического поля не зависит от свойств среды, а определяется только зарядом свободных частиц, что значительно облегчает расчеты электрических полей.
В выражение (7.22) подставим численное значение вектора поляризованности согласно (7.17):

В этой формуле величина ε₀Е характеризует только электрическое поле в вакууме, обозначается D₀ и называется электрическим смещением в вакууме:

Слагаемым учитывается явление поляризации диэлектрика.

Диэлектрическая проницаемость

Сравнивая выражения (7.18) и (7.19), нетрудно установить, что при внесении диэлектрика в пространство между металлическими пластинами электрическое поле становится слабее того поля, которое создается при отсутствии диэлектрика и прочих одинаковых условиях, т. е. Е < Е₀.
Это обстоятельство формально можно учесть, введя в выражения, определяющие напряженность поля, вместо электрической постоянной ε₀ величину ε_a > ε₀, считая заряд по-прежнему равным заряду Q₀ свободных частиц.

Величина ε_a, называемая диэлектрической проницаемостью веществ, наряду с диэлектрической восприимчивостью характеризует электрические свойства диэлектрика.
Из выражения (7.23) электрическое смещение можно выразить формулой

Величина характеризующая свойства диэлектрика, и есть упомянутая ранее диэлектрическая проницаемость.
Диэлектрическая проницаемость имеет такую же размерность, что и электрическая постоянная.

Рис. 7.10. Вольт-кулоновые характеристики конденсаторов

Обычно электрические свойства веществ оценивают отношением их диэлектрической проницаемости ε_a к электрической постоянной ε₀:

Диэлектрическая восприимчивость диэлектриков — величина положительная, поэтому ε_r > 1, а ε_a > ε₀.

Величина ε_r называется относительной диэлектрической проницаемостью и показывает, во сколько раз электрическое поле в диэлектрике слабее, чем в пустоте, при прочих равных условиях.

Емкость конденсаторов, изготовленных с применением таких диэлектриков, не зависит от величины напряжения между его обкладками. Такие конденсаторы называются, линейными, так как зависимость их заряда от напряжения — Q(U) — прямолинейная (рис. 7. 10, а). Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков сильно зависит от напряженности электрического поля, что видно из рис. 7.10, б, на котором эта зависимость показана вместе с графиком D (Е). Конденсатор с сегнетоэлектриком имеет нелинейную вольт-кулоновую характеристику Q(U). Такие конденсаторы применяются в устройствах автоматики.

Электрическая емкость

Связь уединенного проводника, имеющего электрический заряд Q, с собственным электрическим полем характеризуется величиной заряда. В этом поле поверхность проводника является поверхностью равного потенциала V; такой же потенциал имеют все точки в объеме проводника, поэтому можно говорить о потенциале проводника.

При увеличений или уменьшении заряда совершается работа и энергетическая характеристика (потенциала) проводника соответственно увеличивается или уменьшается.

Однако при равном изменении зарядов двух проводников, каждый из которых уединен, изменения их потенциалов могут быть неравными. На зависимость между потенциалом и зарядом уединенного проводника влияют форма и размеры его поверхности, а также среда, в которую проводник помещен. Для выражения этого влияния введено понятие электрической емкости уединенного проводника С.

Общее выражение емкости

Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

Связь потенциала и заряда проводника в данном случае выражена в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены, а потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю.

В вакууме это отношение для данного проводника остается неизменным независимо от величины заряда. Во многих диэлектриках, используемых в практике, емкость проводника тоже постоянна в широких пределах изменения заряда.

Единица емкости
[С] = кулон/вольт = фарад (Ф).
Фарад — очень крупная единица емкости, поэтому в практических расчетах часто выражают емкость в долях фарада — микрофарадах (мкФ) и пикофарадах (пФ): 1Ф = 10⁶ мкФ = 10¹² пФ.

В системе заряженных проводников на заряд и потенциал каждого проводника влияют форма, расположение и величина зарядов других проводников. В этом случае применяется понятие о емкости системы проводников.

Наибольшее значение для практики имеют системы из двух проводников, получающих равные по величине, но противоположные по знаку заряды. Устройства из двух изолированных друг от друга проводников, которые получают равные по величине, но противоположные по знаку заряды, называются конденсаторами.

Проводники конденсатора, имея равные по величине, но противоположные по знаку заряды (см. рис. 1.6, а), имеют разные потенциалы V₁ и V₂. Следовательно, между проводниками имеется напряжение U = V₁ — V₂.

Величина, характеризующая связь заряда конденсатора с напряжением между его обкладками, численно равная отношению заряда к напряжению, называется емкостью конденсатора:

Емкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, расстояния и свойств среды между обкладками.

Проводимость диэлектриков, используемых для заполнения пространства между обкладками конденсатора, ничтожно мала. Поэтому конденсаторы могут служить для накопления и сохранения электрического поля и его энергии.

Емкость плоского конденсатора

Конденсатор называется плоским, если его обкладками являются две плоскопараллельные металлические пластины (см.рис. 1.6, а).
Обычно расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, поэтому электрическое поле плоского конденсатора можно считать равномерным.

Для определения емкости воспользуемся формулой (7.12), в которой электрическую постоянную ε₀ заменим диэлектрической проницаемостью ε_a диэлектрика. С учетом формулы (1.5) получим

Умножим обе части равенства на S — площадь одной пластины:

Емкость плоского конденсатора

Емкость цилиндрического конденсатора

Обкладками цилиндрического конденсатора служат две цилиндрические поверхности, оси которых совпадают (рис. 7.11). Электрическое поле неравномерное, но имеет радиальную симметрию.

Рис. 7.11. К определению емкости цилиндрического конденсатора

Полагая и в этом случае расстояние между обкладками малым по сравнению с длиной конденсатора, т. е. пренебрегая искажением поля у его краев, для определения емкости используем выводы [формулу (7.14)]. Обозначим радиусы обкладок: внутренней — r₁, внешней — r₂; потенциалы— V₁ и V₂. Потенциал внутренней обкладки V₁ можно найти, если к потенциалу V₂ прибавить работу по перемещению заряженных частиц между обкладками конденсатора, отнесенную к единице заряда.

Напряженность электрического поля на пути между обкладками не постоянна, поэтому работу определим как сумму работ на элементарных участках пути dr, столь малых, что в пределах таких участков напряженность поля можно считать постоянной:

Напряжение между обкладками

Емкость цилиндрического конденсатора

Емкость двухпроводной линии

Определим емкость двухпроводной линии, у которой радиус проводов r₀, расстояние между осями проводов а, длина проводов l, напряжение между проводами U, а заряд этой системы проводов Q (рис. 7.12).

При а >> r₀ будем полагать, что заряд каждого провода распределен равномерно по его поверхности. Это значит, что взаимное влияние проводов на распределение зарядов по поверхности не учитывается.

Для определения разности потенциалов между проводами воспользуемся формулой (7.14). В некоторой точке А, находящейся между проводами в плоскости, проведенной через их оси, напряженность поля:

первого провода

второго провода

Рис. 7.12. К определению емкости двухпроводной линии

Заряды проводов имеют противоположные знаки, поэтому между проводами векторы E₁ и E₂ направлены в одну сторону. Общая напряженность поля в точке А

Напряженность поля зависит от расстояния r, поэтому напряжение между проводами

Учитывая, что а >> r₀, напряжение между проводами

Емкость двухпроводной линии

Задача 7.8.

Определить емкость и заряд плоского воздушного конденсатора, у которого площадь обкладки S = 100 см², расстояние между обкладками l = 5 мм, напряжение между обкладками U = 100 В.
Решение.

Задача 7.9.

Определить емкость цилиндрического воздушного конденсатора, имеющего радиусы обкладок r₁ = 40 мм; r₂ = 50 мм и длину l = 0,5 м.
Решение.

Электрическая прочность диэлектрика

Диэлектрик, разделяющий проводники с разными электрическими потенциалами (электроизоляция), находится в электрическом поле и несет электрическую нагрузку, величина которой ограничена электрической прочностью диэлектрика.

В электрических устройствах электрическую изоляцию часто выполняют из нескольких диэлектриков с различной диэлектрической проницаемостью. Например, обмотки силового трансформатора, изолированные хлопчатобумажной изоляцией, погружают в трансформаторное масло, которое также является изолятором и одновременно охлаждающей средой. Между обмотками устанавливаются барьеры из электротехнического картона.
Таким образом, электрическая изоляция, имеющая различные конструктивные формы, должна быть не только сконструирована, но и рассчитана на электрическую прочность.

Пробивная напряженность

Напряженность электрического поля в диэлектрике зависит, как уже известно, от напряжения между проводниками (электродами), расстояния между ними, формы и размеров электродов, свойств диэлектрика.

При увеличении напряженности электрического поля, т. е. увеличении электрической нагрузки изоляции, наступает в конце концов разрушение диэлектрика (пробой).

Величина напряженности электрического поля, при которой начинается пробой диэлектрика и изоляционные свойства его нарушаются, называют пробивной напряженностью или электрической прочностью диэлектрика.
Отношение электрической прочности к действительной величине напряженности поля называют запасом прочности:

Изменение электрического поля на границе двух диэлектриков

Рассмотрим плоский конденсатор, между обкладками которого имеется два слоя диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε_r1 и ε_r2 (рис. 7.13).
Величина и направление вектора напряженности электрического поля на границе раздела диэлектриков изменяются тем больше, чем больше отличаются их диэлектрические проницаемости.

Плоскость раздела диэлектриков параллельна плоскости обкладок. В этом случае линии напряженности поля перпендикулярны плоскости раздела, т. е. в обоих диэлектриках их направления совпадают.

На основании теоремы Гаусса напишем выражения для электрического смещения в диэлектриках:

Как видно, при направлении поля, перпендикулярном плоскости раздела диэлектриков, электрическое смещение в обоих диэлектриках одинаково: численно оно равно поверхностной плотности заряда обкладок конденсатора:

Нетрудно убедиться в том, что напряженность поля в обоих диэлектриках не будет одинакова:

или

Рис. 7.13. Конденсатор с двумя слоями разнородных диэлектриков

Напряженность поля больше в диэлектрике с меньшей диэлектрической проницаемостью.

Скачкообразное изменение напряженности поля на границе раздела двух диэлектриков, имеющих разные диэлектрические проницаемости, физически объясняется тем, что вследствие разной поляризованности диэлектриков на границе образуется избыточный связанный заряд плотностью это приводит к усилению поля в одном диэлектрике и ослаблению в другом.
Наличие заряда на границе раздела диэлектриков дает основание считать конденсатор с двумя или несколькими слоями составленным из двух или нескольких конденсаторов.
Устройство изоляции из нескольких слоев различных диэлектриков в неравномерном электрическом поле позволяет в определенной мере выравнять напряженность электрического поля и тем создать более благоприятные условия для работы изоляции и сократить ее размеры.

Задача 7.12.

Между обкладками плоского воздушного конденсатора, имеющими площадь S = 1800 см² и напряжение U₀ = 1,2 кВ, расстояние l составляет 0,5 см. Определить напряженность электрического поля и заряд конденсатора. Как изменятся эти величины, если конденсатор отключить от источника напряжения, а пространство между обкладками заполнить парафином (ε_r = 2)?
Решение. Напряженность электрического поля плоского конденсатора определяется отношением напряжения к расстоянию между обкладками [см. формулу (1.5)]:

Для определения заряда найдем емкость конденсатора по формуле (7.29):

заряд

После отключения конденсатора от источника напряжения заряд Q сохраняется неизменным и в том случае, если воздух как диэлектрик между пластинами заменить парафином. При этом предполагается, что утечки заряда нет.
Емкость конденсатора с парафином будет уже другой, так как в формулу (7.29) вместо ε₀ должна быть подставлена величина ε_a = ε₀ [см. формулу (7.26)]:

При этом же заряде Q₀ и увеличении емкости напряжение между обкладками уменьшится:

Напряженность поля также уменьшится:

Вывод. При замене диэлектрика заряд конденсатора, отключенного от источника напряжения, сохраняется неизменным; напряжение между обкладками и напряженность поля изменяются обратно пропорционально относительной диэлектрической проницаемости.

Задача 7.13.

Решить задачу 7.12 при условии, что конденсатор остается подключенным к источнику напряжения.
Решение. Если конденсатор после замены диэлектрика остается подключенным к источнику напряжения, то напряженность поля при любом диэлектрике остается неизменной (геометрические размеры конденсатора также не изменились):

Изменение емкости конденсатора (в данном случае увеличение в два раза) приведет к увеличению заряда в два раза:

Рис. 7.14. К задаче 7.16

Задача 7.16.

Плоский воздушный конденсатор находится под напряжением 20 кВ. Расстояние между обкладками равно 2 см, площадь обкладок 200 см². Определить емкость, запас электрической прочности конденсатора, если электрическая прочность воздуха 30 кВ/см.
Определить емкость конденсатора, распределение напряжения между слоями и запас электрической прочности, если, не отключая конденсатора от источника заряда, в воздушный промежуток между обкладками параллельно им внести лист стекла толщиной 0,5 см (рис. 7.14) с относительной диэлектрической проницаемостью ε_r1 = 7. Электрическая прочность стекла больше, чем воздуха.
Решение. Напряженность электрического поля воздушного конденсатора [см. формулу (1.5)]:

Запас прочности

После внесения в воздушный промежуток стекла найдем распределение напряжения между слоями, имея в виду, что общее напряжение конденсатора равно сумме напряжений слоев:

где l₁ и l₂ — толщина слоев.
Согласно формулам (7.33) и (7.25),

Отсюда

Запас электрической прочности конденсатора определяется по менее электрически прочному диэлектрику, в данном случае воздуху:

Таким образом, при внесении в воздушный промежуток стекла запас электрической прочности конденсатора уменьшился, несмотря на то что электрическая прочность стекла сама по себе больше, чем воздуха.

Емкость воздушного конденсатора

Емкость конденсатора после внесения стекла определим из выражения, полученного раньше для напряжения на конденсаторе, умножив и разделив правую его часть на S:

Соединения конденсаторов

Система заряженных проводников может содержать не два, а больше проводников. Каждая пара проводников, полностью изолированных друг от друга, характеризуется электрической емкостью.

Практический интерес обычно представляет вопрос о распределении заряда и потенциалов в системе проводников, когда она заряжена от источника постоянного напряжения. Во многих случаях системы заряженных проводников по отношению к источнику можно рассматривать как последовательное, параллельное или смешанное соединение конденсаторов.

Последовательное соединение

На рис. 7.15 изображены три конденсатора, соединенные последовательно. К зажимам источника постоянного напряжения (точки 1, 2, 3, 4) присоединены две крайние обкладки последовательной цепочки конденсаторов, другие обкладки с источником непосредственно не соединяются и заряжаются вследствие электростатической индукции. Поэтому заряд всех конденсаторов и каждого в отдельности один и тот же:

Для упрощения расчетов можно группу конденсаторов заменить одним с эквивалентной емкостью.

Рис. 7.15. Последовательное соединение конденсаторов

Рис. 7.16. Параллельное соединение конденсаторов

Напряжение на эквивалентном конденсаторе равно общему напряжению группы последовательно соединенных конденсаторов:

Учитывая (7.28) и (7.36), получим:

Если в последовательную цепь соединяются n конденсаторов одинаковой емкости С_n, то эквивалентная емкость

Параллельное соединение

При параллельном соединении все конденсаторы соединены одной обкладкой в общей точке 1, а другой обкладкой — в общей точке 2 (рис. 7.16). К этим точкам подводится напряжение источника. В таком случае группу конденсаторов тоже можно заменить одним с эквивалентной емкостью С.

Все конденсаторы имеют между обкладками одно и то же напряжение U, а заряды получаются разными:

Каждый конденсатор получает заряд независимо от другого, поэтому общий заряд равен сумме зарядов конденсаторов:

Подставляя сюда выражения зарядов (7.39) и сокращая на U, получим

Эквивалентная емкость равна сумме емкостей. При параллельном соединении n конденсаторов одинаковой емкости С_n эквивалентная емкость

Задача 7.18. Определить заряд и напряжение каждого конденсатора в схеме рис. 7.17, а, если емкости их С₁ = 8 мкФ, С₂ = 5 мкФ, С₃ = 3 мкФ, а общее напряжение U = 100 В.
Решение. Такого типа задачу нужно решать, начав с определения эквивалентной емкости. Конденсаторы С₂ и С_з соединены параллельно относительно точек 1, 2 схемы. Заменим эти два конденсатора одним с эквивалентной емкостью С_2.3 (рис. 7.17, б). Согласно формуле (7.40),

В новой, упрощенной схеме между точками 1, 2 вместо двух конденсаторов включен один С_2.3. Емкость его равна емкости двух конденсаторов С₂ и С₃. При такой замене распределение напряжений в схеме не изменилось, не изменился и общий заряд в системе. По отношению к точкам 1 и 3 конденсаторы С_2.3 и С₁ соединены последовательно.
Заменим эти два конденсатора одним с эквивалентной емкостью С, которая является общей емкостью между точками 1 и 3 в схеме рис. 7.17, а. После замены получим схему рис. 7.17, в, где к зажимам источника напряжения (точки 1, 3) подключен один конденсатор.

Рис. 7.17. к задаче 7.18

Согласно формуле (7.37),

Общий заряд системы конденсаторов в схеме рис. 7.17, а

Общий заряд системы равен заряду конденсаторов С₁ и С_2.3:

На основании этого определяют напряжения:

Напряжение U₂ является общим для конденсаторов С₂ и С₃. Заряды этих конденсаторов:

Проверка:

Задача 7.19.

Определить емкость каждого конденсатора в цепи рис. 7.17, а, если известно, что общий заряд ее Q = 1 Кл при напряжении U = 200 В, а заряд третьего конденсатора Q₃ = 0,4 Кл при напряжении U₂ = 40 В.

Решение. Эквивалентная емкость всей цепи

Емкость третьего конденсатора

Заряд, напряжение и емкость второго конденсатора:

Заряд, напряжение и емкость первого конденсатора:

Проверка определения емкостей для схемы рис. 7.17:

Электрическое поле

Каждый химический элемент (вещество) состоит из совокупности мельчайших материальных частиц — атомов.

В состав атомов любого вещества входят элементарные частицы, часть которых обладает электрическим зарядом. Атом представляет собой систему, состоящую из ядра, вокруг которого вращаются электроны.

В ядре атома сосредоточены протоны, несущие в себе положительный заряд. Электроны имеют отрицательный электрический заряд. В электрически нейтральном атоме заряд электронов равен по абсолютной величине заряду протонов.

Электроны вращаются вокруг ядра по строго определенным орбитам (слоям). В каждом слое количество электронов не должно превышать определенного числа ( где — номер слоя). Так, например, в первом, ближайшем к ядру слое могут находиться максимум два электрона, во втором — не более восьми и т.д.

Порядковый номер химического элемента в Периодической таблице Менделеева численно равен положительному заряду ядра этого элемента, следовательно, и числу вращающихся вокруг него электронов. На рис. 1.1 схематически показана структура атомов Водорода (а), кислорода (б) и алюминия (в) с порядковыми номерами 1, 8 и 13.

Атомы, у которых внешние электронные слои целиком заполнены, имеют устойчивую электронную оболочку. Такой атом прочно держит все электроны и не нуждается в получении добавочного их количества.

Атом кислорода, например, имеющий шесть электронов, размешенных во внешнем слое, обладает возможностью притянуть к себе два недостающих электрона для заполнения внешнего электронного слоя. Это достигается путем соединения с атомами таких элементов, у которых внешние электроны слабо связаны со своим ядром. Например, электронами внешнего (третьего) слоя атома алюминия, которые слабо удерживаются и легко могут быть вырваны из атома.

Если нарушается равенство числа электронов и протонов, то из электрически нейтрального атом становится заряженным. Заряженный атом называется ионом.

Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или несколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и такой атом становится положительным ионом, поскольку в нем преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом приобретает один или несколько электронов, то он становится отрицательным ионом, так как в нем преобладает отрицательный заряд.

Вещество (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически нейтральным, если количество положительных и отрицательных зарядов в нем одинаково. Если же в нем преобладают положительные или отрицательные заряды, то оно считается соответственно положительно или отрицательно заряженным.

В Единой системе конструкторской документации (ЕСКД), которая используется в данном учебнике, электрический заряд (количество электричества) обозначается буквой Q или q, а единицей заряда (в системе СИ) является 1 кулон, то есть [Q] = Кл (кулон). Электрон и протон имеют равный по величине, но противоположный по знаку заряд Кл.

Электрический заряд или заряженное тело создают электрическое поле.

Электрическое поле — это пространство вокруг заряженного тела или заряда, в котором обнаруживается действие сил на пробный заряд, помещенный в это пространство.

Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, называется электростатическим.

Напряженность электрического поля

Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом, если поместить его в это поле. Пробным называется положительный заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к его изменению. То есть пробный заряд не влияет ни на силу, ни на энергию, ни на конфигурацию поля.

Если в точку А электрического поля (рис. 1.2), созданного зарядом Q, расположенную на расстоянии r от него, внести пробный заряд q, то на него будет действовать сила причем если заряды Q и q имеют одинаковые знаки, то они отталкиваются (как это изображено на рис. 1.2), а если разные, то притягиваются.

Величина силы действующей на пробный заряд q, помешенный в точку А электрического поля, пропорциональна величине заряда q и интенсивности электрического поля, созданного зарядом Q в точке А

где — напряженность электрического поля, характеризующая интенсивность поля в точке А.

Из (1.1) видно, что

То есть напряженность каждой точки электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, помещенного в эту точку. Таким образом, напряженность является силовой характеристикой каждой точки электрического поля.

Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на метр

Напряженность электрического поля — величина векторная.

Направление вектора напряженности в любой точке электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (см. рис. 1.2).

Поскольку в дальнейшем будут учитываться только значения силы и напряженности, будем обозначать их Fu £ соответственно.

Напряженность является параметром каждой точки электрического поля и не зависит от величины пробного заряда q. Изменение величины q приводит к пропорциональному изменению силы F(l.l), а отношение (1.2), т.е. напряженность остается неизменной.

Для наглядности электрическое поле изображают электрическими линиями, которые иногда называют линиями напряженности электрического поля, или силовыми линиями. Электрические линии направлены от положительного заряда к отрицательному. Линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля в данной точке являлся касательной к ней (рис. 1.3в).

Электрическое поле называется однородным, если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению. Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга.

Однородное поле, например, существует между пластинами плоского конденсатора (рис. 1.3г).

Напряженность поля точечных зарядов

Точечным считается заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается его действие.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов (рис. 1.2) определяется по закону Кулона:

где — расстояние между зарядами; — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.

Из (1.3) следует, что напряженность электрического поля заряда Q в точке А (рис. 1.2) равна

Таким образом, напряженность поля созданная зарядом Q в точке А электрического поля, зависит от величины заряда Q, создающего поле, расстояния точки А от источника поля и от абсолютной диэлектрической проницаемости среды в которой создается поле. Диэлектрическая проницаемость характеризует электрические свойства среды, т. е. интенсивность поляризации.

Единицей измерения абсолютной диэлектрической проницаемости среды является фарад на метр

так как

Различные среды имеют разные значения абсолютной диэлектрической проницаемости. Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума

называется электрической постоянной.

Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой среды удобно выражать через электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость — табличную величину (Приложение 2).

Диэлектрическая проницаемость , которую иногда называют относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость среды больше, чем электрическая постоянная, т. е.

Из (1.6) следует

Таким образом, напряженность электрического поля, созданного зарядом Q на расстоянии от него, определяется выражением

Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами в какой-либо точке А этого поля, определяется геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым точечным зарядом: (см. рис. 1.4).

Пример 1.1

Расстояние между точечными зарядами равно Вычислить величину напряженности в точке А, удаленной от заряда на расстояние а от заряда на расстояние (рис. 1.5), если: Кл;

Решение

Напряженность, созданная зарядом в точке А

Направление векторов напряженности созданных зарядами и результирующего вектора напряженности в точке А изображены на рис. 1.5.

Между векторами напряженности в данном примере угол равен 90° что справедливо только для прямоугольного треугольника), следовательно, результирующий вектор напряженности в точке А определяется выражением

Теорема Гаусса

Произведение напряженности электрического поля Е и площадки S, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом поле называют потоком вектора напряженности поля N сквозь эту площадку (рис. 1.6а)

где — нормальная (перпендикулярная площадке S) составляющая вектора напряженности электрического поля.

Как следует из рис. 1.6а,

Единица измерения потока вектора напряженности

Для неоднородного электрического поля площадку Sразбивают на элементарные бесконечно малые площадки для каждой из которых поле можно считать однородным.

Тогда элементарный поток

Для определения потока вектора напряженности сквозь всю площадку S элементарные потоки суммируют (интегрируют) по всей площади S

Если, например, точечный заряд Q расположен в центре сферической поверхности радиусом r (рис. 1.66), то напряженность во всех точках этой поверхности, как следует из (1.8), равна

Векторы напряженности перпендикулярны этой поверхности, т.е. и одинаковы во всех точках этой поверхности. Тогда поток вектора напряженности поля сквозь эту поверхность

где — площадь поверхности шара радиусом Следовательно, поток вектора напряженности будет равен

То есть поток вектора напряженности N не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением суммы зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды

Формула (1.11) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая применяется для расчета электрического поля.

Пример 1.2

Определить поток вектора напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиусом r = 3 см (рис. 1.66), заполненную маслом если в ее центре находится точечный электрический заряд Определить напряженность электрического поля на поверхности сферы.

Решение

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность

Тогда напряженность на поверхности сферы

где

Напряженность на поверхности сферы можно определить также по формуле (1.8)

То есть результат получился таким же.

Потенциал и напряжение в электрическом поле

Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потенциал буквой

Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергией W, которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда q из данной точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом, или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрицательным зарядом (рис. 1.7а).

Из приведенного выше определения следует, что потенциал в точке А равен потенциал в точке , а потенциал в точке С —

Измеряется потенциал в вольтах

Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением

Потенциал — скалярная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.

Так как (рис. 1.7а) то из (1.12) следует, что если поле создано положительным зарядом.

Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить положительный пробный заряд q, то под действием сил поля он будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т. е. в направлении поля. Таким образом, положительный пробный заряд перемещается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов в этих точках. . Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение между этими точками

Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками, т. е.

Измеряется напряжение в вольтах (В). Между напряжением и напряженностью в однородном электрическом поле (рис. 1.8) существует зависимость

откуда следует

Из (1.13) видно, что напряженность однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.

В общем случае для неоднородного электрического поля значение напряженности определяется отношением

где — напряжение между двумя точками поля на одной электрической линии на расстоянии между ними.

Единица напряженности электрического поля определяется из выражения (1.13)

Потенциалы в точках электрического поля могут иметь различные значения. Однако в электрическом поле можно выделить ряд точек с одинаковым потенциалом. Поверхность, проходящая через эти точки, называется равнопотенциальной, или эквипотенциальной.

Равнопотенциальная поверхность любой конфигурации перпендикулярна к линиям Рис 19 электрического поля. Обкладки цилиндрического конденсатора (рис. 1.76) и плоского конденсатора (рис. 1.9) имеют одинаковый потенциал по всей площади каждой обкладки и являются равнопотенциальными поверхностями.

Пример 1.3

Для условия примера 1.1 определить потенциал в точке А, созданный зарядами

Решение

Следовательно, алгебраическая сумма потенциалов равна

Пример 1.4

Точечный заряд Кл помещен в центре плоского воздушного конденсатора, расстояние между пластинами которого равно 4,5 см. Напряжение между пластинами Определить напряженность электрического поля в точках А и В, находящихся на расстоянии 0,5 см справа и слева от заряда Q и лежащих на электрической линии, проходящей через заряд Q (рис. 1.9).

Решение

Напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора

Напряженности, созданные зарядом Q в точках А и В,

Напряженности, созданные в точках А и В однородным электрическим полем конденсатора и зарядом Q, определяются геометрической суммой векторов напряженностей

В точке В векторы напряженностей совпадают по направлению, а в точке А векторы направлены в противоположные стороны. Следовательно:

Электропроводность и проводники

Способность вещества проводить электрический ток называется электропроводностью.

По электропроводности все вещества делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники обладают высокой электропроводностью. Различают проводники первого и второго рода.

К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают пределы атома и становятся свободными. Направленное перемещение свободных электронов и обуславливает электропроводность проводников первого рода. Таким образом, проводники первого рода обладают электронной проводимостью.

К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых происходит процесс электролитической диссоциации, разделение молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация). Направленное перемещение ионов обуславливает электропроводность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода v имеет место ионная проводимость.

В проводниках отсутствует электростатическое поле (рис. 1.106).

Если проводник поместить в электростатическое поле, то пол действием сил этого поля происходит перемещение зарядов в проводнике: положительных — в направлении внешнего поля, отрицательных — в противоположном направлении (рис. 1.10а). Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля называется электростатической индукцией.

Разделенные внутри проводника заряды создают свое электрическое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.10а).

Очевидно, разделение зарядов в проводнике прекратится тогда, когда напряженность поля разделенных зарядов станет равной напряженности внешнего поля в проводнике т. е. а результирующее поле

Таким образом, результирующее поле внутри проводника станет равным нулю (рис. 1.106). На этом принципе работает электростатический экран, защищающий часть пространства от внешних электрических полей (рис. 1.11). Для того чтобы внешние электрические поля не влияли на точность электроизмерения, измерительный прибор помещают внутрь замкнутой проводящей оболочки (экрана), в которой электрическое поле отсутствует (рис. 1.11).

Электропроводность и диэлектрики

Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлектрика.

Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем произойдет поляризация атомов, т. е. смещение разноименных зарядов в самом атоме, но не разделение их (рис. 1.12а). Поляризованный атом (молекула) может рассматриваться как электрический диполь (рис. 1.126), в котором «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смешаются. Диполь — это система двух разноименных зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга в замкнутом пространстве атома или молекулы.

Электрический диполь — это атом диэлектрика, в котором орбита электрона вытягивается в направлении, противоположном направлению внешнего поля (рис. 1.126).

Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, напряженность которого направлена против внешнего поля. В результате поляризации результирующее поле внутри диэлектрика ослабляется.

Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его диэлектрической проницаемости (Приложение 2). Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:

Этим еще раз подтверждается справедливость формулы (1.8)

Таким образом, напряженность электрического поля обратно пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости среды в которой создается электрическое поле.

Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, напряженность которого можно увеличивать, то при каком-то значении напряженности произойдет пробой диэлектрика, при этом электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэлектрика. Таким образом, диэлектрик становится проводником.

Напряженность внешнего поля, при которой происходит пробой диэлектрика, называется пробивной напряженностью диэлектрика.

А напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика, называют напряжением пробоя, или электрической прочностью диэлектрика.

где — пробивное напряжение, т.е. напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика; — толщина диэлектрика.

Напряженность электрического поля, которая допускается в диэлектрике при использовании его в электрических установках, называется допустимой напряженностью. Допустимая напряженность должна быть в несколько раз меньше электрической прочности. Электрическая прочность некоторых диэлектриков приведена в Приложении 2.

Электропроводность и полупроводники

К полупроводникам относятся материалы, которые по своим электрическим свойствам занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Широкое применение в полупроводниковой технике получили такие материалы, как германий, кремний, селен, арсенид галлия и др.

Электропроводность и концентрация носителей зарядов в полупроводниках зависит от температуры, освещенности, примесей, степени сжатия и т. д.

Электрическая проводимость полупроводника зависит от рода примесей, имеющихся в основном материале полупроводника, и от технологии изготовления его составных частей.

Различают две основные разновидности электрической проводимости полупроводников — электронную и «дырочную».

Природа электрического тока в полупроводниках с электронной проводимостью та же, что и в проводниках первого рода. Однако так как свободных электронов в единице объема полупроводника во много раз меньше, чем в единице объема металлического проводника, то ток в полупроводнике будет во много раз меньше, чем в металлическом проводнике. В технике электронная проводимость называется проводимостью -типа (от слова negative — отрицательный).

Полупроводник обладает «дырочной» проводимостью, если атомы его примеси стремятся захватить электроны атомов основного вещества полупроводника, не отдавая своих внешних электронов.

Если атом примеси «отберет» электрон у атома основного вещества, то в последнем образуется свободное место — «дырка» (рис. 1.13).

Атом полупроводника, потерявший электрон, называют «дыркой». Если «дырка» заполняется электроном, перешедшим из соседнего атома, то она «ликвидируется» и атом становится электронейтральным, а «дырка» смешается на место его атома, потерявшего электрон. Таким образом, если на полупроводник, обладающий «дырочной» проводимостью, действует электрическое поле, то «дырки» будут перемещаться в направлении поля.

Перемещение «дырок» в направлении электрического поля аналогично перемещению положительных электрических зарядов в поле, т. е. электрическому току в полупроводнике.

«Дырочная проводимость» в технике называется -проводимостью (от слова positive — положительный).

Нельзя строго разграничивать полупроводники по проводимости, так как наряду с «дырочной» проводимостью полупроводник обладает и электронной проводимостью.

Рассмотрим природу полупроводниковой проводимости на примере вентиля, представляющего собой контактное соединение двух проводников, один из которых обладает электронной проводимостью -типа, а другой — «дырочной» -типа (рис. 1.14).

Вследствие большой концентрации электронов в полупроводнике типа п по сравнению с полупроводником -типа, электроны из первого проводника будут проникать во второй. Аналогично происходит проникновение «дырок» в полупроводник -типа. В результате такого проникновения зарядов в тонком пограничном слое возникают разноименные заряженные слои, между которыми создается электрическое поле, напряженность которого (рис. 1.14а, б). Напряженность создана контактной разностью потенциалов в пограничном слое двух полупроводников.

Эта напряженность образует потенциальный барьер в пограничном слое, препятствующий дальнейшему проникновению зарядов в пограничный слой каждого полупроводника. Напряженность направлена против силы, действующей на положительный заряд.

Если к полупроводникам, образующим -переход, подвести напряжение от постороннего источника с напряжением U, то на границе полупроводников создается электрическое поле с напряженностью (рис. 1.14), направление которого зависит от полярности источника.

При прямом включении источника созданная им напряженность направлена против напряженности , т. е. ослабляет ее (рис. 1.14а). В результате чего уменьшается противодействие перемещению положительных зарядов в пограничном слое и увеличивается прямой ток в полупроводниках

Если напряженность станет равной то противодействие заряженным частицам полупроводника определяется только сопротивлением полупроводника.

При обратном включении источника созданная им напряженность направлена в одном направлении с следовательно, усиливает ее (рис. 1.146). При этом усиливается противодействие положительным зарядам в полупроводнике, в результате чего обратный ток в ряде случаев может считаться равным нулю.

Таким образом, контактное соединение двух полупроводников с разными проводимостями обладает явно выраженной односторонней проводимостью, т. е. является вентилем (см. гл. 19 п. 2).

Односторонняя проводимость, малые габариты и другие свойства полупроводников используются в разнообразных приборах и устройствах (выпрямители, усилители и пр.). Полупроводники являются основным «строительным» материалом современных диодов, транзисторов, фоторезисторов, микропроцессоров и другой электронной техники.

Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи
Энергия магнитного поля
Синусоидальные Э.Д.С. и ток
Электрические цепи с взаимной индуктивностью
Дуальные цепи
Электромеханические аналогии
Индуктивно связанные электрические цепи
Фильтры и топологические методы анализа линейных электрических цепей

Источник

где
v
– скорость направленного движения
свободных носителей заряда. Умножив В
на количество свободных носителей
заряда в элементе проводника dl,
получим индукцию магнитного поля,
созданную этим элементом проводника с
током,

поскольку
env
= j*,

;

поскольку
dl^.j
= dl^.j
(dl
и j совпадают
по направлению),

Таким
образом, индукция магнитного поля,
созданного элементом dl
проводника с током I
на расстоянии r
от элемента проводника, определяется
выражением

Это выражение и
представляет собой закон Био–Савара–Лапласа.

Из
закона видно, что вектор магнитной
индукции dB
всегда перпендикулярен плоскости, в
ко-торой лежат векторы dl
и r.
Его направление определяется по правилу
правого винта.

Модуль
вектора dB
определяется из выражения

где

– угол между векторами dl
и r.

______________________

*
Здесь j
– вектор плотности тока.

Необходимо
учесть, что полученное выражение
позволяет рассчитать индукцию магнитного
поля, созданную одним бесконечно малым
элементом проводника dl
с током I.

Для
того чтобы найти магнитную индукцию,
созданную всем
проводником,
необходимо использовать принцип
суперпозиции, т. е. просуммировать
векторы dB,
созданные каждым элементом проводника
в интересующей нас точке.

3.4.1. Индукция магнитного поля отрезка прямолинейного проводника с током

Для всех бесконечно
малых элементов dl
отрезка векторы dl
и r
лежат в плоскости листа.
Поэтому векторы dB,
созданные в выбранной нами точке
различными элементами проводника
направлены одинаково – перпендикулярно
плоскости листа. Следовательно, сложение
векторов dB
можно заменить сложением их модулей
dB.

Из
рисунка видно, чтоr
= b/sin

(b
– расстояние от проводника до инте-ресующей
нас точки), и

Тогда
индукция, созданная элементом проводника
dl,
равна

Индукция
магнитного поля, созданного всем
проводником, может быть найдена как
интеграл от dB
в пределах от ₁
до + ₂:

Иногда
удобнее воспользоваться другим
выражением:

(обратите
внимание на рисунок, показывающий углы
₁
и ₂).

Обратите
также внимание на то, что если точка
расположена так, как показано на следующем
рисунке, то₂
меняет знак и формула для расчёта
магнитного поля прямолинейного отрезка
записывается следующим образом:

3.4.2. Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током

Если
длина прямого проводника бесконечно
велика, то ₁= 0, а ₂= .

В
этом случае индукция магнитного поля,
созданного проводником, будет равна

Таким
образом, индукция магнитного поля,
созданного бесконечно длинным проводником
прямо пропорциональна току в проводнике
и обратно пропорциональна расстоянию
от проводника до интересующей нас точки.

Дополнительно
рассмотрим магнитное поле, созданное
бесконечным проводником, который изогнут
под прямым углом.

Ограничимся
получением расчётной формулы для точки
А,
расположенной на продолжении одной из
половин проводника.

Участок
DB
в точке А
не создаёт магнитного поля, так как для
него ₁
и ₂
равны 0.

Для
участка ВС
₁= 90⁰,
₂= -180⁰.
Поэтому индукция, созданная этим
участком, равна

Таким
образом, индукция магнитного поля в
точке А
равна половине индукции, созданной
прямым бесконечно длинным проводником
с таким же током.

3.4.3. Индукция магнитного поля в центре квадрата

Рассмотрим
квадрат со стороной а, в котором течёт
токI.

Все
стороны квадрата создают в его центре
одинаковое магнитное поле. Поэтому если
индукция, созданная одной стороной,
равна В,
то магнитная индукция, созданная всеми
сторонами, равна 4В.

В
рассматриваемом случае ₁= 45⁰,
а ₂= 135⁰
(см. рисунок).

Индукция магнитного
поля, созданного одной стороной, равна:

Соответственно
индукция магнитного поля, созданного
всеми сторонами, равна

В показанном на
рисунке случае индукция магнитного
поля направлена перпендикулярно
плоскости квадрата на нас.

3.4.4. Расчёт магнитного поля замкнутого кругового тока (витка с током).

Пусть
радиус витка равен R,
а ток в нём – I.

Вначале рассмотрим расчёт
поля в центре витка.

Каждый
элемент тока будет создавать индукцию,
направленную вдоль оси витка. Поэтому,
как и в предыдущем случае, сложение dB
алгебраическое и

(в
каждой точке 
= 90⁰)

Поле
на оси витка на расстоянии bот центра
витка рассчитывается несколько сложнее.Вэтом случае векторыdBне параллельны друг другу.

При суммировании
составляющие векторов dB,
перпендикулярные оси, уничтожаются, а
параллельные оси – складываются.

Из рисунка видно,
что

;

Проинтегрировав
это выражение по всему контуру, получаем

Таким
образом, индукция магнитного поля на
оси кругового витка с током убывает
обратно пропорционально третьей степени
расстояния от центра витка до точки на
оси. Вектор магнитной индукции на оси
витка параллелен оси. Его направление
можно определить с помощью правого
винта: если направить правый винт
параллельно оси витка и вращать его по
направлению тока в витке, то направление
поступательного движения винта покажет
направление вектора магнитной индукции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник