Здесь можно с помощью касательных решать, но проще, наверное, по-другому. Квадрат расстояния от $%(-1;5)$% до точки параболы $%(x,y)=(y^2,y)$% равен $%(y^2+1)^2+(y-5)^2$%. Это функция от $%y$%, и надо найти её наименьшее значение. Оно достигается в точке, где производная равна нулю, то есть $%2y(y^2+1)+y-5=0$%. Это кубическое уравнение $%2y^3+3y-5=0$%. Бросается в глаза, что $%y=1$% является корнем. Разложим на множители: $%(y-1)(2y^2+2y+5)=0$%. Больше корней нет, так как дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен.
Таким образом, $%x=y=1$%, а расстояние между точками $%(1;1)$% и $%(-1;5)$% равно $%2sqrt5$%.
Уравнение директрисы параболы
Содержание:
- Что такое директриса параболы
- Каноническое уравнение параболы
-
Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат
- Алгоритм расчета
- Фокус параболы
- Примеры решения задач
Что такое директриса параболы
Определение
Директриса параболы — такая прямая, кратчайшее расстояние от которой до любой точки, принадлежащей параболе, точно такое же, как расстояние от этой точки до фокуса.
Вершина параболы — точка пересечения параболы с ее осью. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.
Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Каноническое уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы:
(y^2;=;2px)
Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:
(y^2;=;-;2px)
Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат
Формула директрисы параболы имеет вид:
(х;=;-frac р2)
Если вершину перенести в точку ((x_0;;y_0)), отличную от начала осей координат, каноническое уравнение примет вид:
({(y;-;y_0)}^2;=;2p;times;(x;-;x_0))
Алгоритм расчета
- Если уравнение параболы приведено в виде квадратного многочлена, перенесем все слагаемые с y в левую часть уравнения, а с х — в правую.
- Упростим выражение, выделив полный квадрат относительно одной из переменных.
- Введем новые переменные ((x_1;;y_1)), чтобы привести уравнение к каноническому виду, ведя при этом отсчет с новой точки начала координат.
- Вычислим параметр р и фокус, запишем уравнение директрисы.
- Вернемся к старым координатам, заменив ((x_1;;y_1)) на х и y.
Фокус параболы
Определение
Расстояние от точки фокуса (F) до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.
Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.
Определение
Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси.
Примеры решения задач
Задача №1
Составить уравнение директрисы параболы (y^2;=;6x).
Решение
Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:
(2р = 6 )
(р = 3)
(frac р2;=;frac32)
Уравнение директрисы — (х;=;-frac р2.)
В данном случае оно будет выглядеть так:
(х;=;-;frac32)
Задача №2
Найти директрису параболы, заданной уравнением (4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0.)
Решение
Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:
(4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;4(х^2;-;3х);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;;4((х^2;-;2;timesfrac32х;+;frac94);-;frac94);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;)
(;Rightarrow;(4;{(х;-;frac32)}^2;-;9;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;y;-;3;=-;4;{(х;-;frac32)}^2;Rightarrow;{(х;-;frac32)}^2;=;-;frac14;(y;-;3))
Пусть ((y — 3)) будет (y_1), а ((х;-;frac32)) — (х_1).
Тогда, перенеся начало координат в точку ((x_1;;y_1)), получим каноническое уравнение (х_1^2;=;-{textstylefrac14}y_1).
(2р;=;frac14;Rightarrow;р;=;frac18;Rightarrow;frac р2;=;frac1{16})
Тогда уравнение директрисы — (y_1=;frac1{16}).
Заменив (y_1) на ((y — 3)), получим уравнение: (y;–;3;=;frac1{16})
Следовательно, (y;–;frac{49}{16};=;0).
В старой системе координат уравнение директрисы:
(16у — 49 = 0, у;=;frac{49}{16}).
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.17 (Голосов: 18)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Директриса параболы
оксана николаевна кузнецова
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.
Рисунок 1. Фокус и директриса параболы
Основные понятия параболы
Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета:
$ε =frac{MF}{MM_d}$, где точка $M_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.
Определение 2
Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.
Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:
$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.
Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.
Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$.
Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$
Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением
«Директриса параболы» 👇
Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:
- Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую.
- Упростите полученное выражение.
- Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.
Пример 1
Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$
-
Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:
$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$
-
Приводим в форму квадрата:
$(x + 3)^2 = y$
-
Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$
- Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
- Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = frac{y^2}{2x}$, следовательно, в нашем случае $p = frac{1}{2}$.
- Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -frac{1}{4} cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3frac{1}{4}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 09.12.2022
$begingroup$
Find the minimal distance from the point (2,0) to the parabola $y^2=2x$.
asked Oct 29, 2014 at 18:11
$endgroup$
$begingroup$
Any point on the parabola can be written as $(2m^2,2m)$
So, we have $f^2(m)=(2-2m^2)^2+(0-2m)^2=4m^4-4m^2+4=(2m^2-1)^2+3$
answered Oct 29, 2014 at 18:12
$endgroup$
$begingroup$
Hint:
The distance formula gives us
$d=sqrt{(x-a)^2+(f(x)-b)^2}$.
for the distance between a point $(a,b)$, and a function $f(x)$.
Taking the derivative and setting it equal to zero will give possible max/min values.
answered Oct 29, 2014 at 18:12
Sujaan KunalanSujaan Kunalan
10.5k16 gold badges57 silver badges93 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
$$(2,0)to (x,y)\dis=sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}\dis=sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}\dis=sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\dis=sqrt{(x-2)^2+2x} \dis=sqrt{x^2-2x+4}=\dis=sqrt{x^2-2x+4}=\dis=sqrt{(x-1)^2+3}=\min((x-1)^2+3)=0+3\so\min(dis=sqrt{(x-1)^2+3} )=sqrt{3}$$when put x=1
answered Oct 29, 2014 at 18:18
KhosrotashKhosrotash
23.5k4 gold badges39 silver badges77 bronze badges
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
Заголовок сообщения: Найти расстояние от точки до параболы
|
|||
|
Здравствуйте, не могли бы вы мне подсказать как можно найти расстояние от точки до параболы? Можно с примером)
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 13 ноя 2021, 15:11 
|
whit3_1 |
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние от точки до параболы
|
|
Я про это тоже сначала было подумал, но мне потом сказали , что по другому делать надо
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
И без объяснения , хотя бы в каком направлении двигаться, чтобы решить задачу)|
Nataly-Mak |
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние от точки до параболы
|
|
Пользователь забанен до тех пор, пока не задушит в себе хамоватую бабку.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
whit3_1 |
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние от точки до параболы
|
|
вот именно то что, условие задачи звучит как, найти расстояние от точки до параболы и все
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
Nataly-Mak |
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние от точки до параболы
|
|
Пользователь забанен до тех пор, пока не задушит в себе хамоватую бабку.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
| За это сообщение пользователю Nataly-Mak «Спасибо» сказали: whit3_1 |
|
|
|
Nataly-Mak |
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние от точки до параболы
|
|
Пользователь забанен до тех пор, пока не задушит в себе хамоватую бабку.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
Nataly-Mak |
Заголовок сообщения: Re: Найти расстояние от точки до параболы
|
|
Пользователь забанен до тех пор, пока не задушит в себе хамоватую бабку.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|