Как найти расстояние по силовой линии

Перейти к контенту

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

2019-12-31   

Два одинаковых точечных заряда $q > 0$ находятся на расстоянии $l$ друг от друга. На какое минимальное расстояние «подойдет» к плоскости симметрии П (рис.) силовая линия, выходящая из левого заряда под углом $alpha$ к прямой, соединяющей заряды? Под каким углом к плоскости симметрии будет расположена эта линия при удалении на большое расстояние от зарядов?

Решение:

Прежде чем решать задачу, выскажем некоторые предварительные соображения.

1) Согласно принципу суперпозиции полей напряженность электрического поля системы точечных зарядов в каждой точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

2) Картина силовых линий поля, созданного двумя одинаковыми точечными зарядами, симметрична относительно плоскости симметрии П (см. рис.) и одинакова в любой плоскости, проходящей через соединяющую заряды прямую.

3) Вблизи каждого заряда влиянием другого заряда можно пренебречь и считать, что силовые линии выходят из заряда «равномерно», то есть с одинаковой густотой, по всем направлениям, как если бы он был одиночным (лишь потом эти линии искривляются).

4) При удалении на большое расстояние система двух одинаковых точечных зарядов ведет себя как один заряд $2q$, находящийся посередине. Это означает, что вдали от зарядов все силовые линии поля системы асимптотически приближаются к радиальным силовым линиям поля точечного заряда $2q$.

Теперь приступим непосредственно к решению (Если угол $alpha$ — тупой, то искомое расстояние $x = l/2$, поэтому рассмотрим $alpha leq 90{ circ}$.). Рассмотрим точку С данной силовой линии, которая находится на минимальном расстоянии $x$ от плоскости П (рис.). Напряженность $vec{E}_{C}$ поля в точке С, равная сумме напряженностей $vec{E}_{A}$ и $vec{E}_{B}$, направлена параллельно плоскости П; следовательно, проекции векторов $vec{E}_{A}$ и $vec{E}_{B}$ на ось, проходящую через точки А и В, равны по модулю (см. рис.):

$frac{kq}{r_{1}^{2} } cos beta = frac{kq}{r_{2}^{2} } cos gamma$.

Выразив расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ через $l$ из треугольника АВС с помощью теоремы синусов, придем к уравнению

$( cos beta — cos gamma )( cos^{2} beta + cos^{2} gamma + cos beta cos gamma — 1) = 0$.

Если приравнять к нулю первый сомножитель, то получим тривиальный случай: $beta = gamma$ (оба угла острые $gamma < 90^{ circ}$, так как данная силовая линия не заходит вправо за плоскость П; $beta < 90^ {circ}$, так как до точки С силовая линия приближается к плоскости П.), то есть точка С принадлежит самой плоскости П. Этот случай нас не интересует.

Приравняем к нулю второй сомножитель:

$cos^{2} beta + cos^{2} gamma + cos beta cos gamma — 1 = 0$. (1)

В этом уравнении два неизвестных, так что решений в принципе может быть бесконечно много. Однако тут нам пригодятся высказанные ранее соображения 1)-3). Рассмотрим силовые линии, выходящие из левого заряда и попадающие внутрь конуса с углом а между образующей и осью конуса (линией АВ). Понятно, что условное число $N$ этих линий пропорционально величине телесного угла $Omega = 2 pi (1 — cos alpha )$ (эту формулу нетрудно вывести самостоятельно):

$N = K cdot Omega = K cdot 2 pi ( 1 — cos alpha )$.

С другой стороны, поскольку силовые линии результирующего поля не пересекаются, это же число силовых линий можно найти, если рассмотреть силовые линии полей, созданных каждым из двух зарядов в отдельности, пересекающие круг с диаметром $CC^{prime}$ (рис.):

$N = K cdot 2 pi (1 — cos beta ) — K cdot 2 pi (1 — cos gamma)$

(разность, а не сумма взята здесь потому, что силовые линии поля левого заряда пересекают выбранный круг слева направо, а линии поля правого заряда — наоборот). Итак, получаем

$K cdot 2 pi (1 — cos alpha ) = K cdot 2 pi (1 — cos beta) — К cdot 2 pi (1 — cos gamma)$,

или

$1 — cos alpha = cos gamma — cos beta$. (2)

Объединим уравнения (1) и (2) в систему:

$begin{cases} 1 — cos alpha = cos gamma — cos beta, \ cos^{2} beta + cos^{2} gamma + cos beta cos gamma = 1. end{cases}$

Эта система, учитывая, опять-таки, что углы $beta$ и $gamma$ острые, имеет единственное решение:

$cos beta = frac{ cos alpha — 1 + sqrt{ frac{(3 — cos alpha)(1 + cos alpha)}{3} } }{2}$,

$cos gamma = frac{ 1 — cos alpha + sqrt{ frac{(3 — cos alpha)(1 + cos alpha)}{3} } }{2}$.

Найдем теперь искомое расстояние $x$ (см. рис.):

$x = frac{l}{2} — r_{1} cos beta = frac{l}{2} left ( 1 — 2 frac{ sin gamma cos beta}{ sin( beta + gamma) } right )$,

где углы $beta$ и $gamma$ можно выразить из предыдущих равенств ($beta = arccos beta$ и $gamma = arccos gamma$). Нетрудно «проверить» полученный ответ для двух очевидных частных случаев: а) если $alpha = 90^{ circ}$, то $x = l/2$, то есть данная силовая линия сразу же «заворачивает» влево; б) если $alpha = 0^{ circ}$, то $x = 0$, то есть силовая линия сначала идет по отрезку $l$, до точки О, где она терпит «разрыв» (в этой точке поле отсутствует), а затем идет по вертикальной прямой (в плоскости П).

Нам осталось выяснить, к какой прямой будет асимптотически приближаться данная силовая линия на большом расстоянии от зарядов (Здесь угол $alpha$ уже не обязательно острый). Другими словами, нам нужно найти угол $delta$, а в конечном счете и $delta^{ prime}$ (см. рис.). В этом помогут соображения 1), 2) и 4).

С одной стороны, все силовые линии, которые не выходят за пределы конуса с углом $delta$ между образующей и осью, идут от левого заряда в пределах телесного угла, равного $2 pi (1 — cos( pi — alpha )) = 2 pi ( 1 + cos alpha )$. Значит, их число

$N =K cdot 2 pi (1 + cos alpha )$.

С другой стороны, мы получим то же число линий, если будем рассматривать систему как один точечный заряд $2q$, находящийся в точке О:

$N = 2K cdot 2 pi (1 — cos delta )$.

Таким образом, получаем

$K cdot 2 pi (1 + cos alpha ) = 2K cdot 2 pi (1 — cos delta )$,

откуда

$cos delta = frac{1 — cos alpha}{2}, delta = arccos frac{1 — cos alpha}{2}$.

Угол $delta^{ prime}$ дополняет угол $delta$ до $90^{ circ}$, поэтому

$delta^{ prime} = arcsin frac{1 — cos alpha}{2}$.

Например: если $alpha =90^{ circ}$, то $delta^{ prime} = 30^{ circ}$, если $alpha = 0^{ circ}$, то $delta^{ prime} =0^{ circ}$, если $alpha = 180^{ circ}$, то $delta^{ prime} = 90^{ circ}$, то есть эти тривиальные частные случаи хорошо «сочетаются» с интуицией и здравым смыслом.

8.  Включить источник питания IV (ТЕС – 42).
Переключатели (кнопки) устано­вить предварительно для измерения напряжения.

9.  Остановить на источнике питания, напряжение 10В.

10.  Найти точки равного потенциала. Порядок нахождения
точек:

a)  ведем зондом
по электропроводящей бумаге, постепенно удаляясь от ну­левого электрода и
наблюдая за показанием индикатора;

b)  найдя точку с потенциалом j = 2В, нажимаем в этой точке
зондом так, чтобы на белом листе получился отпечаток точки. Наличие отпечатка
можно про­верить, отогнув листы электропроводящей и копировальной бумаги. Таким
обра­зом, находим 6-8 точек с потенциалом j = 2В в различных направлениях от элек­трода;

c)  аналогично находим точки с потенциалом j = 4В, j = 6В, j = 8В, при­чем поиск точек j =  6В и j = 8В необходимо вести от Электрода 10В.

11.  Выключить источник
питания и стенд. Отсоединить проводники от электродов.

12.  Открутить гайки и снять с панели лист белой бумаги.

13.  Листы копировальной и
электропроводящей бумаги, а также электроды вновь установить на панель и слегка
закрепить гайками.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

1.  По найденным экспериментальным точкам построить
эквипотенциали. Эквипотенциалью является аппроксимированная кривая, плавно
проходящая сквозь ряд точек с одинаковым потенциалом. Не следует стремиться,
чтобы эквипотенциаль проходила обязательно через все экспериментальные точки.
Количество точек, не попавших на эквипотенциаль должно быть примерно одинаково
по одну и по другую стороны эквипотенциали.

2.  Построить силовые линии, соблюдая условия:

a)  в местах
пересечения силовой линии и эквипотенциали, касательные к ним должны быть
перпендикулярны;

b)  эквипотенциали и силовые линии должны, образовывать
при пересечении «криволинейные квадраты». Среднее расстояние между
эквипотенциалями а и среднее расстояние между силовыми линиями h каждого «криволинейного квад­рата», образуемого между двумя
эквипотенциалями и двумя силовыми линиями, должны быть равны, т.е. а ≈ h (рис.1).

c)  «густота» силовых линий должна быть
пропорциональна «густоте» эквипотенциалей.

3.  На картине поля провести координатную ось X от потенциала 0
к 10В и разметить ее в сантиметрах.

4.  Записать в таблицу 1 потенциалы j и соответствующие координаты X для каждой эквипотенциали.

5.  Указать на картине поля величины Х_ср
между каждой парой эквипотенциалей:

Х_ср. = (Х_n + X_n-1)/2

6.  Рассчитать величины ∆j = j_n — j_n-1
и ∆х = x_n – x_n-1.
Результаты занести в таблицу 2.

_7. 
Рассчитать среднее значение
напряженности Е_{ср. ∆х} в точках координатной оси Х_ср.

Е_{ср. ∆х} = |∆j/∆x|

8.  Построить графики зависимости j = f(x), Е_ср._∆х = f(x_cp).

Таблица 1

Таблица 2

Расчет

5.  Х_ср1 = (0 + 1,5) см / 2 = 0,75 см

Х_ср2 = (1,5 + 5,7) см / 2 =
3,6 см

Х_ср3 = (5,7 + 11,7) см / 2
= 8,7 см

Х_ср4 = (11,7 + 15,5) см / 2
= 13,6 см

Х_ср5 = (15,5 + 16,5) см / 2
= 16 см

6.  ∆j₁ = 2В – 0В = 2В     ∆Х₁ = 1,5см –
0см = 1,5см

∆j₂ = 4В – 2В = 2В     ∆Х₂ = 5,7см –
1,5см = 4,2см

∆j₃ = 6В – 4В = 2В     ∆Х₃ = 11,7см –
5,7см = 6см

∆j₄ = 8В – 6В = 2В     ∆Х₄ = 15,5см –
11,7см = 3,8см

∆j₅ = 10В – 8В = 2В   ∆Х₅ = 16,5см –
15,5см = 1см.

7.  Е_ср∆х1 = 2В/1,5см = 1,33 В/см

Е_ср∆х2 = 2В/4,2см = 0,48
В/см

Е_ср∆х3 = 2В/6см = 0,33
В/см

Е_ср∆х4 = 2В/3,8см = 0,53
В/см

Е_ср∆х5 = 2В/1см = 2 В/см

График зависимости j = f(x)

График зависимости Е_ср.∆х = f(x_ср)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Как графически изображается электрическое поле?
2. Что называется силовыми линиями электрического
   поля?
3. Что называется эквипотенциалями электрического
   поля?
4. Что такое напряженность электрического поля?
5. Какая связь между напряженностью и потенциалом
   электрического поля?
6. Как меняется напряженность между двумя зарядами?
7. Что называется потенциалом электрического поля?

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.