Как найти расстояние пройденное маятником

Как найти путь, пройденный маятником?

Механические колебания и волны

1. Механические колебания — точно или приблизительно повторяющееся движение, при котором тело смещается относительно положения равновесия, отклоняясь от него то в одну, то в другую сторону.

Для того чтобы возникли и совершались механические колебания необходима колебательная система. В механике изучаются две колебательные систем: математический и пружинный маятники.

2. Колебательная система — математический маятник — представляет собой тело, подвешенное на нити, размеры которого много меньше длины нити. Кроме того, нить математического маятника нерастяжима и не имеет массы, вся масса такого маятника сосредоточена в подвешенном к нити грузе.

В положении равновесия (рис. 59) на маятник действуют противоположно направленные сила тяжести ​( vec{F}_т )​ и сила упругости ( vec{F}_у ). Их равнодействующая равна нулю.

При отклонении маятника от положения равновесия вправо эти две силы направлены
под углом друг к другу, и их равнодействующая ​( vec{F} )​ уже не равна нулю. Под действием равнодействующей силы ( vec{F} ) маятник начнёт двигаться к положению равновесия. Поскольку груз обладает инертностью, то он пройдет положение равновесия и отклонится от него в другую сторону. Дойдя до крайнего левого положения, маятник под действием равнодействующей сил тяжести и упругости начнёт двигаться к положению равновесия. Пройдя его, он опять отклонится вправо. Процесс будет повторяться. Таким образом, в процессе колебаний изменяются смещение, скорость, действующая на него сила, ускорение маятника. При этом ускорение маятника прямо пропорционально его смещению и направлено в противоположную сторону. Для математического маятника это равенство имеет вид: ​( vec{a}=-frac{vec{g}}{l} )​, где ​( l )​ — длина нити маятника.

3. Колебательная система — пружинный маятник — это груз, прикреплённый к пружине (рис. 60). Считают, что масса пружины маятника мала по сравнению с массой груза, деформацией тела пренебрегают по сравнению с деформацией пружины. Кроме того, полагают, что деформация пружины подчиняется закону Гука ​( (F=-kx) )​.

В состоянии равновесия пружина не деформирована (рис. 60), и на груз в горизонтальном направлении силы не действуют.

При выведении груза из состояния равновесия, на него будет действовать сила упругости
пружины ​( vec{F}_у )​, прямо пропорциональная её удлинению и направленная к положению равновесия. Под действием этой силы груз начнёт двигаться к положению равновесия.

Благодаря инертности груз пройдёт положение равновесия. Пружина сожмется, и в ней опять возникнет сила упругости. Дойдя до крайнего левого положения, груз остановится, а затем под действием силы упругости начнёт возвращаться в положение равновесия. Пройдя его, он отклонится вправо, и процесс повторится. Пружинный маятник будет совершать свободные колебания относительно положения равновесия.

Колебания, которые маятник совершает за счет однократно переданной ему энергии, называются свободными.

В соответствии со вторым законом Ньютона ​( F=ma )​. С другой стороны, ​( F=-kx )​. Откуда ​( ma=-kx )​, ​( a=-frac{kx}{m} )​. Таким образом, ускорение колебаний пружинного маятника, так же как и математического, прямо пропорционально его смещению с обратным знаком. Такие колебания называются гармоническими.

4. Отклонение маятника от положения равновесия называется смещением ​( (x) )​, а максимальное отклонение — амплитудой колебаний ​( (A, или ,x_0) )​.

Движение маятника от т. А до т. В и обратно до т. А называется полным колебанием. Время, за которое маятник совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний (см. рис. 59). Период обозначают буквой ​( T )​ и измеряют в секундах.

Если маятник совершил за 4 секунды 8 полных колебаний, то его период равен 0,5 с.

Величину, обратную периоду, называют частотой колебаний. Частоту обозначают буквой ​( nu )​. По определению ​( nu=1/T )​. Единица частоты 1 герц (Гц).

Один герц — это частота таких колебаний, при которых за 1 секунду совершается одно полное колебание: 1 Гц = 1 с^-1.

Если частота колебаний 5 Гц, то это означает, что за 1 секунду совершается 5 полных колебаний. Период таких колебаний равен: ​( T )​ = 0,2 с.

Период колебаний математического и пружинного маятников зависит от характеристик этих систем.

Формула периода колебаний математического маятника: ​( T=2pisqrt{frac{l}{g}} )​, где ​( l )​ — длина нити маятника, ​( g )​ — ускорение свободного падения.

Формула периода колебаний пружинного маятника имеет вид: ( T=2pisqrt{frac{m}{k}} ), где ​( m )​ — масса груза, ​( k )​ — коэффициент жёсткости пружины.

5. Основной задачей механики является определение положения тела, т.е. его координаты, в любой момент времени. Эта задача может быть решена, если известно уравнение, выражающее зависимость координаты тела от времени. Для гармонического колебания это уравнение имеет вид: ​( x=x_0!cos!omega t )​ или ( x=x_0!sin!omega t ), в зависимости от того, какой была координата (смещение) маятника в начальный момент времени. В том случае, если маятник в начальный момент времени был отклонен от положения равновесия (начальная координата не равна нулю), изменение координаты происходит по закону косинуса; если он начал двигаться из положения равновесия ​( (x_0=0) )​, то изменение координаты (смещения) подчиняется закону синуса. В записанном уравнении координаты ​( omega )​ — циклическая частота колебаний. Циклическая частота колебаний равна числу колебаний за ​( 2pi )​ секунд: ​( omega=2pisqrt{frac{2pi}{T}} )​. Циклическая частота, так же как и период колебаний маятника, зависит от параметров колебательной системы: ( omega=2pisqrt{frac{g}{l}} ) и ( omega=2pisqrt{frac{k}{m}} ).

6. При выведении маятника из положения равновесия ему сообщают потенциальную энергию. За счет этой энергии происходит движение маятника к положению равновесия. В процессе движения потенциальная энергия переходит в кинетическую. В положении равновесия потенциальная энергия маятника равна нулю, а его кинетическая энергия максимальна. При движении маятника влево кинетическая энергия переходит в потенциальную; в крайнем левом положении кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна. В отсутствие трения полная механическая энергия маятника сохраняется.

7. При наличии сопротивления воздуха сообщенная маятнику энергия расходуется на совершение работы против силы трения, энергия маятника постоянно уменьшается, и колебания со временем прекращаются. Говорят, что они затухают.

Таким образом, реальные свободные колебания маятника всегда затухающие.

Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии. Это можно сделать, действуя на маятник с некоторой периодической силой. В этом случае колебания происходят под действием внешней силы и становятся вынужденными. Работа этой силы и восполняет потери энергии, вызванные трением. Эти колебания будут вынужденными.

Вынужденные колебания — это колебания, происходящие под действием внешней, периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения действующей на тело силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.

8. Если подвесить к верёвке, прикреплённой к стойке, несколько маятников разной длины и привести в колебания один из них, то и другие маятники начнут колебаться. Частота их колебаний будет равна частоте колебаний маятника, возбудившего колебании. При этом с наибольшей амплитудой будет колебаться маятник, длина которого равна длине этого маятника. Следовательно, наибольшую амплитуду колебаний имеет маятник, собственная частота колебаний которого совпадает с частотой вынуждающей силы. Явление, которое наблюдается в этом случае, называется резонансом.

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тела, наступающего при равенстве частоты изменения внешней силы и частоты собственных колебаний тела.

Явление резонанса необходимо учитывать в практике. Известны случаи, когда вследствие резонанса разваливался на части самолёт в воздухе, ломались гребные винты у судов, рушились железнодорожные рельсы. Во всех этих случаях с резонансом приходится бороться, изменяя либо собственную частоту системы, либо частоту силы, вызывающей колебания.

9. Механической волной называется процесс распространения механических колебаний в среде.

Если закрепить конец шнура, слегка натянуть его и сместить свободный конец вверх, а затем вниз, т.е. привести его в колебания, то но шнуру «побежит» волна. Каждая точка
шнура будет совершать вынужденные колебания с частотой внешней силы, но с некоторым опозданием. При распространении колебаний по шнуру волна «бежит» в горизонтальном направлении, а колебания частицы совершают в вертикальном направлении.

Волны, направление распространения которых перпендикулярно направлению колебаний частиц среды, называются поперечными.

Поперечные волны представляют собой чередование горбов и впадин (рис. 61).

Расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами называется длиной волны.

Длина волны обозначается букой ​( lambda )​ и измеряется в метрах.

На расстояние, равное длине волны, волна распространяется за время, равное периоду колебаний.

10. Если закрепить один конец длинной пружины, а по другому ударить, то возникшее на конце пружины сгущение витков «побежит» по ней (рис. 62). В этом случае волна представляет собой распространение сгущений и разрежений. Частицы среды при этом совершают колебания вдоль направления распространения волны. Такие волны называют продольными.

Продольные волны — это такие, направление распространения которых совпадает с направлением колебаний частиц среды.

11. Волновое движение имеет следующие особенности:

• механические волны образуются благодаря инертности частиц среды и взаимодействию между ними, проявляющемуся в существовании сил упругости;
• каждая частица среды совершает вынужденные колебания такие же, что и первая частица, приведенная в колебания, частота которых равна частоте внешней силы. Период колебаний всех частиц одинаков;
• колебание каждой частицы происходит с запаздыванием, которое обусловлено её инертностью. Это запаздывание тем больше, чем дальше находится частица от источника колебаний;
• вместе с волной не переносится вещество, переносится энергия.

12. Распространение продольных волн связано с изменением объёма тела. Они могут распространяться как в твёрдых, так и в жидких и газообразных телах, поскольку во всех этих телах при изменении объёма возникают силы упругости.

Распространение поперечных волн связано главным образом с изменением формы тела. В газах и жидкостях при изменении формы силы упругости не возникают, поэтому поперечные волны в них распространяться не могут. Поперечные волны распространяются только в твёрдых телах.

Примером волнового движения в твёрдом теле является распространение колебаний во время землетрясений. От центра землетрясения распространяются как продольные, так и поперечные волны. Сейсмическая станция принимает сначала продольные волны, а затем поперечные, т.к. скорость последних меньше. Если известны скорости поперечной и продольной волн и измерен промежуток времени между их приходом, то можно определить расстояние от центра землетрясения до станции.

13. Скоростью волны считается скорость перемещения гребня или впадины в поперечной волне, сгущения или разрежения в продольной волне.

За время, равное периоду колебаний ​( (T) )​, гребень или впадина перемещаются на расстояние, равное длине волны ​( (lambda) )​. Следовательно, скорость волны ​( (v) )​ равна: ​( v=frac{lambda}{T} )​.

Поскольку ​( T=frac{1}{v} )​, то формулу для скорости можно записать иначе: ​( v=lambda nu )​.

Скорость волны равна произведению длины волны и частоты колебаний.

14. Колебания, происходящие с частотой от 16 Гц до 20 000 Гц, являются звуковыми колебаниями. Для распространения звуковых колебаний, так же как и любых механических колебаний, необходима упругая среда.

Скорость звука можно определить, если известны расстояние от источника звука ​( S )​ и время распространения звука ​( t )​: ​( v=frac{S}{t} )​. Скорость звука неодинакова в разных средах и зависит от температуры среды.

Физиологическим характеристикам звука (громкости, высоте тона) соответствуют физические характеристики. Громкость звука определяется амплитудой колебаний. Чем она больше, тем громче звук. Звук тем выше, чем больше частота колебаний.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. Какой путь пройдёт груз математического маятника за 10 полных колебаний, если амплитуда колебаний равна 3 см?

1) 30 см
2) 60 см
3) 90 см
4) 120 см

2. Маятник совершает 20 полных колебаний за 10 с. Чему равна частота колебаний маятника?

1) 20 Гц
2) 2 Гц
3) 1 Гц
4) 0,5 Гц

3. Во сколько раз надо изменить массу груза пружинного маятника, чтобы период колебаний увеличился в 9 раз?

1) увеличить в 3 раза
2) уменьшить в 9 раз
3) уменьшить в 81 раз
4) увеличить в 81 раз

4. Массу груза математического маятника, совершающего гармонические колебания, увеличили в 9 раз. При этом период колебаний

1) увеличился в 3 раза
2) увеличился в 9 раз
3) уменьшился в 3 раза
4) не изменился

5. Если перенести математический маятник с Земли на Марс, то

1) частота колебаний не изменится
2) частота колебаний увеличится
3) частота колебаний уменьшится
4) маятник не будет колебаться

6. На рисунке представлен график колебаний математического маятника. Период колебаний маятника равен

1) 1 с
2) 2 с
3) 3 с
4) 4 с

7. Период колебаний частиц в волне можно вычислить по формуле

1) ​( T=frac{nu}{lambda} )​
2) ​( T=frac{lambda}{nu} )​
3) ​( T=lambdanu )​
4) ​( T=vnu )​

8. На рисунке показан график волны, бегущей вдоль упругого шнура, в некоторый момент времени. Длина волны равна расстоянию

1) ВС
2) BD
3) BE
4) OD

9. Сравните громкость звука и высоту тона двух звуковых колебаний, если для первого колебания: амплитуда ​( A_1 )​ = 2 мм, частота ​( nu_1 )​ = 500 Гц, для второго колебания: ( A_2 ) = 4 мм, частота ( nu_w ) = 300 Гц.

1) громкость первого звука больше, чем второго, а высота тона меньше
2) и громкость, и высота тона первого звука больше, чем второго
3) и громкость и высота тона первого звука, меньше, чем второго
4) громкость первого звука меньше, чем второго, а высота тона больше

10. Волна частотой 3 Гц распространяется в среде со скоростью 6 м/с. Длина волны равна

1) 18 м
2) 2 м
3) 1 м
4) 0,5 м

11. Математический маятник отвели в сторону и отпустили. Как будут изменяться значения величин, характеризующих колебания маятника при его движении к положению равновесия. Для каждой величины из первого столбца подберите соответствующее характеру её изменения слово из второго столбца. Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Цифры могут повторяться.

ВЕЛИЧИНЫ
A) смещение
Б) скорость
B) потенциальная энергия

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ
1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

12. Среди приведённых ниже положений укажите два правильных и запишите их номера в таблице.

1) Звук распространяется только в воздухе.
2) Колебания, частота которых больше 20 000 Гц, называются ультразвуком.
3) Инфразвук — колебания, частота которых больше 16 Гц.
4) Эхо — явление многократного отражения звуковых волн от преград.
5) Звуковые волны — поперечные.

Часть 2

13. Мимо рыбака, сидящего на пристани, прошло 5 гребней волны за 10 с. Каков период колебаний поплавка на волнах?

Ответы

Содержание:

Колебательное движение:

Колебательное движение (колебания) — один из наиболее распространённых процессов в природе и технике.

Наблюдение. Под действием ветра колеблются высотные дома и высоковольтные линии электропередачи, совершают колебания маятник заведённых часов, автомобиль на рессорах во время движения. Землетрясения — это колебания земной коры, приливы и отливы — колебания уровня воды в морях и океанах, обусловленные притяжением Луны, удары пульса — результат периодических сокращений сердечной мышцы человека.

Колебательные явления изучает специальный раздел физики — теория колебаний. Знания о колебательных процессах нужны судо- и самолётостроителям, специалистам промышленности и транспорта, конструкторам радиотехнической и звуковой аппаратуры и др.

Опыт 1.

Для наблюдения и изучения колебаний, а также для применения в разнообразных приборах используют маятники. Простейший маятник — это шарик, подвешенный на нити к какой-либо опоре. Если шарик отклонить от исходного положения равновесия и отпустить, то он начнёт двигаться слева направо, справа налево до тех пор, пока колебания не прекратятся (рис. 25).

В физике маятник подобной конструкции называют математическим маятником.

Каковы же самые характерные признаки колебательных движении? Проведённый опыт даёт возможность сделать вывод, что во время колебаний определённые состояния движения тела повторяются или почти повторяется. Сделав одно полное колебание, т. е. пройдя путь от крайнего левого положения к крайнему правому и назад, тело, подвешенное на нити, и в дальнейшем будет повторять такое же движение. Мы уже знаем, если движение тела повторяется со временем, то его называют периодическим.

Механические колебания — это такое движение, при котором положение и скорость движения тела точно или приблизительно повторяются через определённые интервалы времени.

Повторяются движения поршня в двигателе автомобиля, лодок на волнах, стержня отбойного молотка, сита сортировочной установки. Всё это примеры механических колебаний.

Математический маятник состоит из нескольких тел, взаимодействующих между собой: Земля и шарик, шарик и нить, нить и опора в точке подвеса. Если действием других тел на маятник можно пренебречь, то говорят, что тела в составе маятника образуют колебательную систему. Если вывести колебательную систему из состояния равновесия — отклонить шарик из исходного положения и отпустить, то далее колебания будут продолжаться без внешнего вмешательства за счёт взаимодействия между телами системы. Колебания, происходящие в колебательной системе за счёт взаимно действия между образующими её телами, называют свободными.

Рассмотренные нами колебания шарика на нити являются примером свободных колебаний.

А какой вид имеют колебания и какими физическими величинами они характеризуются?

Опыт 2.

Возьмём маятник, в котором вместо шарика подвешен грузик со сквозным отверстием. С помощью такого устройства можно записывать колебания (рис. 26). 

Установим в отверстие грузика фломастер, выведем грузик из положения равновесия и отпустим. Маятник колеблется, а фломастер, касаясь листа картона, который мы равномерно протягиваем во время колебаний, оставляет на нём след.

В результате опыта получаем график колебаний маятника в виде начерченной линии (рис. 27), т. е. зависимость отклонения маятника от времени. Позже будем подробно изучать эту важную волнистую линию, называемую синусоидой.

Как видно из рисунка 27, маятник в определенный момент отклоняется от положения равновесия на некоторое максимальное расстояние. Это отклонение маятника назвали амплитудой колебаний. 

Амплитуда колебаний — это наибольшее отклонение тела от положения равновесия.

Амплитуду колебаний обозначают большой латинской буквой А. Её единицей в СИ является один метр (1 м). Значение амплитуды зависит только от того, на какое расстояние тело было отведено от положения равновесия до начала колебаний.

Маятник выполняет одно полное колебание за определённое время. Продолжительность одного полного колебания называют периодом колебаний. 

Период колебаний — это наименьший интервал времени, через который определённое состояние движения тела полностью повторяется.

Период колебаний обозначают большой латинской буквой Т. Его единицей в СИ является одна секунда (1 с).

Если за время t  произошло N  полных колебаний, то, чтобы определить период Т, нужно t  поделить на N, т. е.: .

Опыт 3.

Возьмём маятник, как в опыте 2, но подвесим грузик на нить большей длины. Потом так же запишем график колебаний нового маятника и сравним его с (графиком в опыте 2. Увидим, что чем больше длина маятника, тем больше период его колебаний (рис. 28).

Период колебаний маятника зависит от его длины. Чем длиннее маятник, тем больше период его колебаний.

Если выполнить опыты с пружинным маятником, который состоит из пружины и подвешенного к нему тела, то окажется, что чем больше масса подвешенного к пружине тела, тем больше период колебаний пружинного маятника.

Колебания характеризуются также частотой колебаний, которая обозначается греческой буквой (ню).

Частота колебаний определяется числом колебаний, выполненных системой за единицу времени.

Если за время t  произошло N колебаний, то, чтобы определить частоту , нужно N разделить на t , т. е.:
 , или .

Частота и период колебаний связаны обратно пропорциональной зависимостью, поэтому:
,

где Т— период колебаний; — частота колебаний.

Единицей частоты в СИ является один герц (1 Гц). 1 Гц = 1 . Она названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца. Если частота колебаний = 1 Гц, то это означает, что происходит одно колебание в секунду. Приблизительно с такой частотой бьётся человеческое сердце. Если = 50 Гц, то происходят 50 колебаний в секунду.

Кстати:

Исследования показали, что сердце мыши совершает 600 ударов в минуту, а кита — 15 ударов в минуту. Тем не менее оба сердца сокращаются за время жизни животного около 750 млн раз.

Пример задачи:

Если при вращении шлифовального круга скорость движения точек на его краю равна 95 , то возникает опасность разрыва круга. Можно ли этот круг радиусом 20 см вращать с частотой 100 ?

Дано:    

 = 95

 = 20см

 = 100 

 = ?

Решение:

По условию задачи — значение скорости, при которой возникает опасность разрыва круга;  — значение скорости, которую будут иметь точки на краю круга, определяем по формуле 

Для одного оборота путь , где  = 3,14;

, а  ,   тогда .

Подставив значения, получим:

Ответ: полученное значение скорости больше того, при котором возникает опасность разрыва. Значит, шлифовальный круг нельзя вращать с частотой 100 .

Колебательные движения -амплитуда, период и частота колебаний

Колебания — самая распространенная форма движения в окружающем мире и технике. Колеблются деревья под действием ветра, поршни в двигателе автомобиля и т. п. Мы можем разговаривать и слышать звуки благодаря колебаниям голосовых связок, воздуха и барабанных перепонок. Колеблется сердце. Все это примеры механических колебаний. Свет — это тоже колебания, но электромагнитные. С помощью электромагнитных колебаний, распространяющихся в пространстве, осуществляют радиосвязь, радиолокацию, телевидение, а также лечат различные болезни.

На первый взгляд, приведенные примеры колебаний имеют мало общего. Однако при их исследовании выяснилось, что разные по природе колебания описываются одинаковыми математическими уравнениями, что значительно облегчает их изучение.

Как же возникают механические колебания? Рассмотрим движение шара с отверстием, прикрепленного к одному концу зафиксированной пружины на горизонтально расположенном стержне. Второй конец пружины закреплен в стене (рис. 21). Пусть в начальный момент шар находится в положении равновесия ОО’ . Рассмотрим идеальный случай, когда в данной системе отсутствует трение, то есть механическая энергия не уменьшается.

Переместим шар вправо от положения равновесия, пружина при I этом растянется. Если шар отпустить, пружина заставит его двигаться к положению равновесия. Поскольку в системе трения нет, то шар пройдет положение равновесия и, двигаясь влево, сожмет пружину. Достигнув крайнего левого положения, шар будет двигаться вправо и вернется в крайнее правое положение. Пружина при этом опять будет максимально растянутой. В данном случае шар выполнит одно полное колебание. В дальнейшем в идеальной системе (без трения) такие колебания будут совершаться как угодно долго.

Очевидно, что отличительной особенностью колебаний является их периодичность. Но периодичными являются и вращательные движения. В отличие от вращательных движений, у которых для каждой точки имеются траектории в виде окружности, во время колебательных движений точка или тело двигаются в противоположных направлениях по одной и той же траектории.

В колебательном движении точка (тело) проходит все точки траектории движения (кроме двух крайних точек) дважды — один раз в одном направлении, второй — в обратном.

На рисунке 22 изображено одно полное колебание шара с пружиной. Движение осуществляется в такой последовательности от точки к точке:  

 

и опять повторяется.    

Максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия называется амплитудой колебания тела (на рис. +А и -А).

Время, в течение которого осуществляется одно полное колебание тела, называется периодом колебания тела Т.

Основной единицей периода колебаний является секунда.

Частота колебаний измеряется в единицах в секунду. Эта единица Частота колебаний называется герц (Гц) в честь немецкого физика Генриха Герца, который в 1884 г. экспериментально  доказал существование электромагнитных волн.

Частота колебаний f* показывает какое количество колебаний совершает тело за единицу времени.

Период колебания тел Т связан с частотой их колебаний f соотношением:

Карта колебательного движения

Механическое колебательное движение. Одно из наиболее распространенных движений в природе — механическое колебательное движение.

Механическое колебательное движение — это полностью или частично повторяющееся движение тела в противоположных направлениях около положения устойчивого равновесия. Другими словами: механическое колебательное движение — это перемещение то в одном, то в другом направлении вокруг положения равновесия тела или системы тел.

Колебательное движение может быть периодическим и непериодическим:

Периодическое колебательное движение — это колебания тела или системы тел, повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.

Непериодическое колебательное движение — это колебания тела или системы тел, повторяющиеся через произвольные промежутки времени. У таких колебаний определенных периодов нет.

Периодические колебания в основном бывают двух видов: вынужденные и свободные колебания.

Вынужденные колебания — это колебания, возникающие в результате воздействия внешней периодически изменяющейся силы.

Свободные колебания — это колебания, возникающие в результате действия внутренних сил замкнутой системы.

Свободные колебания:

Для простоты проведения измерений и вычислений при изучении колебательного движения удобно воспользоваться замкнутой системой. В замкнутой системе тела совершают колебательные движения в результате действия внутренних сил.

Колебания груза, прикрепленного к пружине (система пружина-груз), или тела, подвешенного на нити (система нить-тело), можно отнести к свободным колебаниям. Внутренней силой в системе пружина-груз является сила упругости пружины, в системе нить-тело — сила тяжести, действующая на тело.

Кинематические характеристики колебательного движения. Ознакомимся с некоторыми из них.

Смещение — это физическая величина, показывающая, в какую сторону и на сколько удаляется от положения равновесия колеблющееся тело за определенный промежуток времени. Например, предположим, что тело массой совершает повторяющиеся периодические движения вокруг точки равновесия  вправо и влево от нее, вдоль оси  Координата тела в данный момент времени  показывает смещение этого тела от его положения равновесия (а).

Амплитуда — это наибольшее смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Амплитуда обозначается или а единица ее измерения в СИ—метр (м).

Если тело, двигаясь вправо от точки равновесия  смещается на амплитуду (точка  затем, остановившись на мгновение, возвращается в точку движется влево, смещаясь до точки с координатой — (точка и остановившись в этой точке на мгновение, снова вернется в точку то это движение тела называется одно полное колебание (см: а). Таким образом, тело за время одного полного колебания проходит путь, равный 4 амплитудам:

Если тело за промежуток времени совершит  колебаний, то пройденный им путь будет равен:

Где  (ню) — частота колебаний,  — период колебаний.

Частота колебаний -это физическая величина, численно равная числу колебаний за одну секунду:

За единицу измерения частоты колебания в СИ принята величина, названная в честь немецкого ученого Генри Герца, герц (1Гц). 1 Гц — это частота таких колебаний, при которых за 1с совершается 1 колебание: 

Период колебаний — это время, за которое совершается одно полное колебание:

Единица измерения периода в СИ — секунда (1 с):

Период и частота колебаний — взаимно обратные величины:

или 

Циклическая частота, являясь величиной в  раза большей частоты колебаний, показывает, сколько колебаний совершает тело за 6,28 секунды 

Здесь (омега) — циклическая частота. Единица измерения циклической частоты в СИ:

Гармоническое колебание и его график:

Самым простым колебательным движением является гармоническое колебание.

Гармонические колебания — это колебания, при которых величины, характеризующие движение, изменяются со временем по закону синуса или косинуса.

Изменения положения тела, совершающего свободные гармонические колебания, описываются кривой, которая является синусоидой или косинусоидой. Кривую синусоиды (или косинусоиды) с легкостью можно наблюдать во время проведения опыта как с пружинным, так и с нитевым маятником, представляющим собой наполненную песком воронку с небольшим отверстием внизу (b).

Эта кривая соответствует графику изменения перемещения маятника от времени  по закону синуса или косинуса (с): 

или

Из графика видно, что за время, равное периоду колебания  маятник совершает одно полное колебание (см: с).

Кстати:

Отсутствие действия внешних сил на замкнутую систему приводит к тому, что ее полная механическая энергия не изменяется. Это означает, что в идеальных условиях амплитуда свободных колебаний в замкнутой системе не изменяется, то есть колебания не затухают. Однако в реальности свободные колебания затухают — под действием сил трения с течением времени полная механическая энергия системы уменьшается, то есть уменьшается амплитуда колебаний и колебания затухают (d).

Затухающие колебания — это колебания в замкнутой колебательной системе, в которой в результате действия сил трения происходит постепенное уменьшение полной механической энергии системы и уменьшение амплитуды колебаний.

Всё о колебательном движение

При равномерном вращении материальной точки по окружности радиусом R с угловой скоростью угол поворотаматериальной точки изменяется со временем по закону . При таком движении центростремительное (нормальное) ускорение материальной точки направлено к центру окружности и вычисляется по формуле где v — модуль линейной скорости.

Положение механической системы, в котором равнодействующая всех действующих сил равна нулю, называется положением равновесия.

Колебательным движением (колебаниями) называют всякий процесс, который обладает свойством повторяемости во времени. Периодическим называется движение, при котором физические величины, характеризующие его, через равные промежутки времени принимают одни и те же значения. Периодическое движение называется колебательным, если тело или материальная точка движется вблизи устойчивого положения равновесия, отклоняясь то в одну, то в другую сторону. При этом через любую точку траектории, за исключением крайних, тело проходит как в прямом, так и в обратном направлении. Следовательно, отличительным признаком колебательного движения является его возвратность.

Например, механическим колебательным движением является движение тела, подвешенного на нити, движение груза на пружине. Колебания могут быть не только механическими, но и электромагнитными (периодические изменения напряжения и силы тока в цепи), термодинамическими (колебания температуры с течением времени).

Таким образом, колебания — это особая форма движения. Его особенностью является тот факт, что различные по своей природе физические процессы (механические, электромагнитные и т. д.) описываются одинаковыми математическими зависимостями физических величин от времени.

Опыт показывает, что для возникновения и существования механических колебаний в некоторой системе необходимо выполнение определенных условий. Прежде всего, при выведении (например, при малом смещении) тела из положения равновесия в системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Кроме того, в системе должно существовать достаточно малое трение, поскольку в противном случае колебания быстро затухнут или могут не возникнуть вообще.

Рассмотрим движение небольшого тела М, которое будем считать материальной точкой (рис. 1), по окружности радиусом R с постоянной по модулю линейной скоростью . Пусть рассматриваемое движение происходит против хода часовой стрелки.

Если в начальный момент времени = 0 материальная точка находилась в положении то через промежуток времени = t — она окажется в некотором положении М. Обозначим координату материальной точки в этом положении через х. Координата х на рисунке соответствует координате точки В на оси Ох.

Поскольку при движении точки М по окружности ее координата х будет периодически изменяться от +R до -R, то можно сказать что точка В совершает колебательное движение вдоль оси Ох, а ее координата х является координатой колеблющейся точки.

Соответственно, проекция линейной скорости материальной точки на ось Ох в данный момент времени является скоростью точки В, а проекция а, ее центростремительного ускорения — ускорением точки В.

Радиус, соединяющий движущуюся точку М с центром окружности О, за промежуток времени повернулся на угол , называемый фазовым углом или просто фазой. Из рисунка видно, что

Если — угловая скорость движения материальной точки, а начальный момент движения = 0, то

где Т — период ее вращения по окружности.

Тогда координату x, проекцию скорости и проекцию ускорения точки В в любой момент времени можно определить по формулам:

Поскольку функции периодические, то через промежуток времени Т, по истечении которого угол изменится на , все характеристики движения точки В вдоль оси Ох (координата, проекция скорости и проекция ускорения) примут прежние значения (табл. 1). Точка В в течение этого промежутка времени дважды проходит через центр окружности, двигаясь в противоположных направлениях вдоль оси Ох (см. рис. 1). Как уже отмечалось, возвратность — основной признак колебательного движения.

Таблица I

Координата х, проекция скорости и проекция ускорения тела, движущегося по окружности, в различные моменты времени t

Зависимость координаты х, проекции скорости и проекции ускорения от времени t (промежутка времени) показаны на рисунке 2.

Наиболее важными величинами, характеризующими механические колебания, являются:

x(t) — координата материальной точки или ее отклонение из положения равновесия в момент времени t:

гдe f(t) — заданная периодическая функция времени t,T— период этой функции;

А (А > 0) — амплитуда — максимальное смещение тела или системы тел из положения устойчивого равновесия;

т = — период — длительность одного полного колебания, т. е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание. Здесь t — время совершения N полных колебаний.

В СИ основной единицей периода (времени) является секунда (1 с).

v — частота — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

В СИ основной единицей частоты является герц (1 Гц). 1 Гц равен частоте, при которой за 1 с тело совершает одно полное колебание (1 Гц= 1 ).

— циклическая частота — число полных колебаний, совершаемых за промежуток времени , равный секунд:

В СИ основной единицей циклической частоты является радиан в секунду (1)

— фаза — аргумент периодической функции, определяющий значение физической величины в любой момент времени t. Она определяет состояние колебательной системы (координаты, скорости, ускорения) в любой момент времени при заданной амплитуде. Единицей фазы является радиан (1 рад).

— начальная фаза, определяющая состояние колебательной системы в начальный момент времени ( = 0).

Колебания, при которых координата (смещение) тела со временем изменяется по закону косинуса

или синуса

называются гармоническими.

Зависимость координаты от времени x{t) называется кинематическим законом гармонических колебаний (законом движения), поскольку позволяет определить положение тела, его скорость, ускорение в произвольный момент времени. Систему (тело), которая совершает гармонические колебания, называют гармонической колебательной системой или гармоническим осциллятором.

Обратим внимание на то, что координата и проекция ускорения точки В (см. рис. 1) в любой момент времени связаны соотношением. Это соотношение позволяет сделать вывод, что при гармонических колебаниях проекция ускорения точки прямо пропорциональна ее смещению от положения равновесия и противоположна ему по знаку.

Данное соотношение, записанное в виде

   (1)

представляет собой уравнение гармонических колебаний (гармонического осциллятора).

Так как ускорение всегда обусловлено действием силы, то т. е. При гармонических колебаниях проекция силы, возвращающей тело в положение равновесия (х = 0), пропорциональна его координате:

Знак «минус» отражает возвратный характер возникающей силы. Как уже отмечалось, появление возвращающей силы при отклонении тела от положения равновесия является необходимым условием возникновения колебаний.

При достаточно малой амплитуде любые колебания можно приближенно считать гармоническими.

Положению равновесия тела соответствует точка х = 0, так как при этом равнодействующая сила, приложенная к нему, равна нулю ().

Различают несколько видов равновесия. Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в исходное положение. Равновесие называется неустойчивым, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы, вызывающие дальнейшее отклонение тела от положения равновесия. Равновесие называется безразличным, если при отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сила остается равной нулю.

Примером устойчивого равновесия может служить равновесие небольшого шарика в сферической ямке, а примером неустойчивого — равновесие шарика на вершине сферической горки. Равновесие шарика на горизонтальной поверхности является безразличным.

Таким образом, колебания материальной точки являются гармоническими, если они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия и направленной к положению равновесия колеблющегося тела.

Если рассмотреть проекцию точки М на ось Оу (точка С на рис. 1), то ее координата y(t) будет совершать гармонические колебания вдоль оси Оу.

Таким образом, движение по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью можно рассматривать как два гармонических колебательных движения, происходящих одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Пример №1

За какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания, проходит расстояние: а) от среднего положения до крайнего; б) первую половину этого расстояния; в) вторую половину этого расстояния?

Решение

Координата х тела, совершающего гармонические колебания, определяется

соотношением  

Здесь А — амплитуда, t — время, отсчитываемое с момента прохождения телом положения равновесия, Т — период колебаний, <р0 — начальная фаза. Будем считать, что = 0, так как х(0) = 0.

а)    Промежуток времени , необходимый телу для прохождения расстояния из среднего положения в крайнее, определяется из условия

Откуда получаем

Тогда искомый промежуток времени

б)    Промежуток времени , необходимый телу для прохождения первой половины этого расстояния, определяется из условия

Откуда получаем

в) Промежуток времени , необходимый телу для прохождения второй половины этого расстояния, определяется по формуле

Ответ: 

Что такое колебательное движение

При движении материальной точки (МТ) по окружности радиусом  с постоянной угловой скоростью  угол поворота  радиус-вектора МТ изменяется со временем по закону  Центростремительное (нормальное) ускорение МТ направлено к центру окружности, и его модуль равен  Тело находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, приложенных к нему, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю.

Движение, при котором все характеризующие его физические величины (например, координата  проекция скорости  проекция действующей силы  принимают одинаковые значения через равные промежутки времени  (рис. 1), называется периодическим.

Периодическое движение является колебательным, если тело или материальная точка движется вблизи положения равновесия, отклоняясь от него то в одну, то в другую сторону. Например, механическим колебательным движением является движение тела, подвешенного на нити (рис. 2, а), а также движение груза на пружине (рис. 2, б) и металлической пластинки, один конец которой закреплен (рис. 2, в).

При этом через любую точку траектории (кроме крайних) тело проходит как в прямом, так и в обратном направлении.

Таким образом, колебательным называется периодическое движение (процесс), при котором любая характеризующая его физическая величина (например, координата) поочередно принимает то положительное, то отрицательное значение относительно положения устойчивого равновесия. Следовательно, периодическое колебательное движение (колебания) обладает свойством повторяемости во времени.

Подчеркнем, что по своей природе колебания могут быть не только механическими, но и электромагнитными (соответствуют изменениям напряжения и силы тока в электрической цепи), термодинамическими (соответствуют периодическим изменениям температуры системы с течением времени) и т. д.

Колебания — особая форма движения в том смысле, что различные по своей природе физические процессы (механические, электромагнитные и т. д.) описываются одинаковыми математическими зависимостями физических величин от времени.

Результаты экспериментов показывают, что для возникновения и существования механических колебаний необходимо выполнение определенных условий. Прежде всего, при выведении (например, при малом смещении) тела из положения равновесия в системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Кроме того, в системе не должно быть большое трение, поскольку в этом случае колебания быстро затухнут (вследствие потери энергии) или не возникнут вообще.

Рассмотрим равномерное вращение материальной точки  по окружности радиусом  (рис. 3, а). Пусть рассматриваемое движение происходит против хода часовой стрелки. Выберем ось  как показано на рисунке 3, а. Если в начальный момент времени  материальная точка находилась в положении  то через промежуток времени  она окажется в некотором положении 

Спроецируем на ось  радиус-вектор  движущейся точки, ее линейную скорость  и центростремительное ускорение 

Проекция  радиус-вектора в положении  (точка  является смещением материальной точки от центра окружности  вдоль оси  (см. рис. 3, а). Следовательно, на оси  этому смещению точки соответствует координата  точки 

Поскольку при равномерном вращении точки  по окружности ее координата (смещение)  будет периодически изменяться от  до  можно сказать, что точка  совершает колебательное движение вдоль оси  а ее координата  является координатой колеблющейся точки (рис. 3, б).

Соответственно, проекция линейной скорости материальной точки  на ось  является проекцией скорости  точки  и периодически изменяется от  а проекция ее центростремительного ускорения — проекцией ускорения  точки  которое также периодически изменяется от 

Радиус-вектор  за промежуток времени  повернулся на угол  (см. рис. 3, а). При равномерном вращении точки  по окружности ее линейная скорость  направлена по касательной, а центростремительное ускорение  — к центру окружности (см. рис. 3, а). Таким образом,

С учетом того, что модуль линейной скорости  модуль центростремительного ускорения  выполняются соотношения:

 Где  — период вращения тела по окружности.

Если при  материальная точка находилась в точке  то координату  проекции скорости  и ускорения  точкиВ в любой момент времени можно определить по формулам:

Таблица 1. Координата  проекции скорости  и ускорения  тела, движущегося по окружности, в разные моменты времени

Поскольку функции  периодические, то через промежуток времени, равный периоду  по истечении которого угол  изменится на  все характеристики движения точки  вдоль оси  (координата, проекция скорости и проекция ускорения) примут прежние значения (табл. 1), т. е. значения характеристик периодически повторяются.

Точка  в течение этого промежутка времени дважды проходит через начало координат, двигаясь в противоположных направлениях вдоль оси  (см. рис. 3, а). Как отмечалось выше, повторяемость — основной признак периодического движения.

Графики зависимостей координаты  проекции скорости  и проекции ускорения  от времени показаны на рисунке 4, где  — время, отсчитываемое от момента начала колебаний.

Обратим внимание на то, что проекция ускорения  точки  (см. рис. 3, а) в любой момент времени пропорциональна смещению (координате)  и противоположна ему по знаку:

Перепишем данное соотношение в виде

Колебания, описываемые уравнением (1), являются гармоническими, а система, совершающая такие колебания, — гармонической колебательной системой, или гармоническим осциллятором (от лат. oscillo — качаюсь).

Уравнение (1) описывает гармонические колебания, при которых координата (смещение) тела от времени изменяется по закону косинуса:

или синуса:

где  — начальная фаза, которая определяет состояние колебательной системы в начальный момент времени,  — амплитуда колебаний.

Зависимость координаты от времени  (соотношения (2) и (3)) называется кинематическим законом (или уравнением) гармонических колебаний (законом движения), поскольку позволяет определить положение тела, его скорость, ускорение в произвольный момент времени.

Наиболее важными величинами, характеризующими механические периодические колебания, являются:

 — координата  (смещение из положения равновесия) в момент времени 

где  — заданная периодическая функция времени  — период этой функции.

 — амплитуда колебаний — максимальное смещение  тела или системы тел из положения устойчивого равновесия.

 — период — длительность одного полного колебания, т. е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание. Здесь  — время совершения  полных колебаний.

В СИ единицей периода колебаний является 1 секунда (1с).

 — частота — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

В СИ единицей частоты колебаний является 1 герц (1 Гц). 1 Гц равен частоте колебаний тела, при которой за 1 с тело совершает одно полное колебание 

 — циклическая частота — число полных колебаний, совершаемых за промежуток времени  равный  секунд:

В СИ единицей циклической частоты является 1 радиан в секунду 

 фаза (от греч.  (фазис) — появление, момент явления) — аргумент периодической функции, определяющий значение физической величины в любой момент времени  Она определяет состояние колебательной системы (координаты, скорости, ускорения) в любой момент времени при заданной частоте и амплитуде.

Единицей фазы является 1 радиан (1 рад).

о — начальная фаза, которая определяет состояние колебательной системы в начальный момент времени 

Циклическая частота  гармонических колебаний зависит только от свойств системы, в которой происходят колебания, но не зависит от амплитуды колебаний. Амплитуда колебаний  и начальная фаза  определяются не свойствами самой системы, а тем способом, которым в системе вызваны колебания.

Так как ускорение тела всегда обусловлено действием силы, то по второму закону Ньютона в проекции на ось  можно записать:

Следовательно, при гармонических колебаниях проекция силы  возвращающей тело в положение равновесия  пропорциональна его смещению от этого положения (координате)  причем знак «минус» отражает «возвратный» характер возникающей силы. Как уже отмечалось, появление возвращающей силы при отклонении тела от положения равновесия является необходимым условием возникновения колебаний.

Положению равновесия тела соответствует точка, в которой равнодействующая сил, приложенных к нему, равна нулю  Координату этой точки, как правило, принимают равной нулю 

 Различают несколько видов равновесия (рис. 5). Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в исходное положение. Равновесие 

называется неустойчивым, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы, вызывающие дальнейшее отклонение тела от положения равновесия. Равновесие называется безразличным, если при отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сила остается равной нулю. Примером устойчивого равновесия может служить равновесие небольшого шарика в сферической ямке, а неустойчивого — равновесие шарика на вершине сферической горки. Равновесие шарика на горизонтальной поверхности является безразличным.

Таким образом, колебания материальной точки могут возникать только вблизи положения устойчивого равновесия. Если при этом они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия, направленной к положению равновесия колеблющегося тела, то они будут гармоническими.

Заметим, что точно так же, как мы рассматривали изменение координаты х вращающейся по окружности материальной точки  можно рассматривать и изменение ее координаты  (точка  (см. рис. 3, а). Следовательно, точка  будет совершать гармонические колебания вдоль оси 

Значит, равномерное вращение материальной точки по окружности можно рассматривать как наложение двух одинаковых по амплитуде гармонических колебаний, которые происходят одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Пример №2

За какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания, проходит расстояние: а) от положения равновесия до максимального смещения; б) первую половину этого расстояния; в) вторую половину этого расстояния?

Решение

Координата  тела, совершающего гармонические колебания, определяется соотношением:

Здесь  — амплитуда колебаний тела,  — время, отсчитываемое с момента прохождения телом положения равновесия,  — период колебаний,  — начальная фаза.

Пусть тело находится в положении равновесия в начальный момент времени  тогда 

а) Промежуток времени  необходимый телу для прохождения расстояния из среднего положения в крайнее  определяется из уравнения:

Наименьшее значение  при котором выполняется это равенство, получается при

Отсюда искомый промежуток времени:

б) Промежуток времени  необходимый для прохождения первой половины этого расстояния  определяется из уравнения:

Отсюда

в) Промежуток времени  необходимый для прохождения второй половины этого расстояния, определяется из соотношения:

Ответ: 

Таким образом, для прохождения первой половины расстояния тело затрачивает в 2 раза меньше времени, чем для прохождения второй половины.

Основные характеристики колебательного движения

При движении материальной точки по окружности радиусом R с постоянной по модулю линейной скоростью v угол поворота ее радиус-вектора изменяется со временем по закону — угловая скорость. Такое движение характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением, которое вычисляется по формуле

Положение системы, при котором равнодействующая всех сил, приложенных к системе, равна нулю, называется положением равновесия.
Равновесие механической системы устойчиво, если при малом отклонении от положения равновесия система под действием внутренних сил возвращается в исходное положение.

Колебательным движением (колебаниями) называют всякий процесс, который обладает свойством повторяемости во времени. Периодическим называется движение, при котором физические величины, характеризующие колебательную систему, через равные промежутки времени принимают одни и те же значения. Периодическое движение называется колебательным, если тело (МТ) перемещается вблизи устойчивого положения равновесия, отклоняясь то в одну, то в другую сторону. При этом через любую точку траектории, за исключением крайних, тело проходит как в прямом, так и в обратном направлении. Следовательно, отличительным признаком колебательного движения является его возвратность.

Например, механическим колебательным движением является движение небольшого тела, подвешенного на нити, груза на пружине, поршня в цилиндре двигателя автомобиля. Колебания могут быть не только механическими, но и электромагнитными (периодические изменения напряжения и силы тока в цепи), термодинамическими (колебания температуры днем и ночью).
Таким образом, колебания — это особая форма движения. Ее особенностью является то, что разнородные по своей природе физические процессы, например механические и электромагнитные, описываются одинаковыми зависимостями физических величин от времени.

Для существования механических колебаний необходимо:
наличие силы, стремящейся возвратить тело в положение равновесия при малом смещении из этого положения;

• достаточно малое трение в системе, поскольку, в противном случае, колебания быстро затухнут или вообще не возникнут.

Рассмотрим простейшую модель колебательного движения. Небольшое тело, рассматриваемое как материальная точка (точка М), движется по окружности радиусом R с постоянной по модулю скоростью (рис. 179) против хода часовой стрелки. Выберем ось Ох, как показано на рисунке. Если в начальный момент времени тело находилось в точке а через промежуток времени — в точке М, то проекция радиус-вектора которой на ось Ох (точка В) будет равна х. Точка В при движении тела по окружности совершает колебательное движение вдоль оси Ох, и ее координата х является координатой колеблющегося тела.

В соответствии с принципом независимости движений можно сказать, что проекция линейной скорости тела на ось Ох дает проекцию скорости перемещения точки В, а проекция центростремительного ускорения тела на ось Ох — проекцию ускорения точки В.

Радиус-вектор точки М за время  повернулся на угол называемый фазовым углом или просто фазой.
Из рисунка 179 видно, что
Если — угловая скорость движения тела по окружности, то при

где Т — период движения тела по окружности.

Тогда координату х, проекции скорости и ускорения в любой момент времени можно определить по формулам:

Как известно, функции — периодические. Это означает, что через промежуток времени Т, по истечении которого угол изменится на все характеристики движения точки В вдоль оси Ох (координата, проекции скорости и ускорения) примут прежние значения (см. таблицу 3).

Таблица 3
 

Координата х, модуль скорости v и модуль ускорения а тела, движущегося по окружности, в разные моменты времени

Точка В в течение этого промежутка времени дважды проходит через точку О (центр окружности), двигаясь в противоположных направлениях оси Ох (см. рис. 179). Как отмечалось выше, возвратность — основной признак колебательного движения.

Зависимость координаты х, проекции скорости и проекции ускорения от времени показана на рисунке 180.

Пусть t — время, отсчитываемое от момента начала колебаний. Наиболее важными величинами, характеризующими механические колебания, являются:
х(t) — координата тела (смещение тела из положения равновесия) в момент времени t:

где f(t) — заданная периодическая функция времени t, Т — период этой функции;
А (А > 0) — амплитуда — максимальное смещение тела или системы тел из положения равновесия;

Т — период — длительность одного полного колебания, т. е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание. В СИ единицей периода является секунда (1с);
v — частота — число полных колебаний в единицу времени:

В СИ единицей частоты колебаний является герц. Один герц равен частоте колебаний тела, при которой за одну секунду тело совершает одно полное колебание
— циклическая частота — число полных колебаний за промежуток времени равный секунд:

В СИ единицей циклической частоты является радиан в секунду
— фаза — аргумент периодической функции, определяющий значение изменяющейся физической величины в данный момент времени /.

Единицей фазы является радиан (1 рад);
— начальная фаза, определяющая положение тела в начальный момент времени

Колебания, при которых зависимость координаты (смещения) тела от времени описывается формулами

называются гармоническими.

Зависимость координаты от времени x(t) называется кинематическим законом гармонических колебаний (законом движения), поскольку позволяет определить положение тела, его скорость, ускорение в произвольный момент времени. Систему (тело), которая совершает гармонические колебания, называют гармонической колебательной системой или одномерным гармоническим осциллятором.

Обратим внимание на то, что координата и проекция ускорения точки В (см. рис. 180) в любой момент времени связаны соотношением Это соотношение позволяет сделать вывод, что при гармонических колебаниях проекция ускорения точки прямо пропорциональна ее смещению из положения равновесия и противоположна ему по знаку.

Данное соотношение, записанное в виде

представляет собой уравнение гармонических колебаний (гармонического осциллятора).

Так как ускорение всегда обусловлено действием силы, то т. е. При гармонических колебаниях модуль силы, возвращающей тело в положение равновесия (х = 0), пропорционален ее координате причем знак «минус» отражает «возвратный» характер возникающей силы. Как уже отмечалось, появление возвращающей силы при отклонении тела от положения равновесия является необходимым условием возникновения колебаний.

При достаточно малой амплитуде колебаний любой колебательный процесс можно приближенно считать гармоническим.
Положению равновесия соответствует точка х = 0, так как при этом сила, действующая на тело, равна нулю

Таким образом, колебания материальной точки являются гармоническими, если они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия и направлен к положению равновесия колеблющегося тела.

Уравнение гармонических колебаний можно получить и с помощью законов динамики, анализируя силы, действующие на систему. Подобное (динамическое) описание не содержит никаких сведений ни об амплитуде, ни о начальной фазе. Его необходимо дополнять начальными условиями, а именно: задавать положение тела и его скорость в начальный момент времени.
Заметим, что гармонические колебания вдоль оси Оу будет совершать и координата у тела, вращающегося по окружности с постоянной по модулю скоростью (см. рис. 179).

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью можно рассматривать как два гармонических колебательных движения, совершаемых в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Превращения энергии при колебательном движении

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при одномерных колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.
Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол  (рис. 183), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку в положении равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 184), что

Отсюда найдем максимальную скорость маятника: 

Высоту можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Если колебания малы, то Из треугольника KCD на рисунке 184 находим

Отсюда имеем

Подставив выражение для  в формулу (2), получим

Подставляя выражения для в соотношение (1), находим

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 185).

В крайних точках, когда скорость равна нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда х = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

где — максимальная скорость при колебаниях.

В промежуточных точках полная энергия равна

Отсюда можно вывести выражение для проекции скорости груза в точке с координатой х:        
    
Так как максимальная скорость

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс

Как Вам уже известно, механическая энергия одномерного гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. В любой реальной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Вместе с тем убыль полной энергии означает и уменьшение амплитуды колебаний.

Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями.

Примерами таких колебаний служат колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения.

Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 186, а, б).

Уменьшение механической энергии системы (превращение ее в теплоту) происходит вследствие трения и сопротивления окружающей среды. Такие системы называют диссипативными (от латинского слова dissipation — рассеяние).

При малых потерях энергии колебания можно считать периодическими и пользоваться такими понятиями, как период и частота колебаний. Так, например, период — промежуток времени между двумя последовательными максимумами колеблющейся физической величины (см. рис. 186, а).

Незатухающие колебания, вызванные кратковременным внешним возбуждением, называются свободными или собственными. Они происходят под действием внутренних сил, возникающих в самой системе. Собственные колебания — это колебания, происходящие в отсутствии внешних воздействий на систему, со строго определенной частотой, называемой частотой собственных колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы. Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников.

Любые собственные колебания в реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них с постоянной по модулю и направлению силой. Внешняя сила тоже должна быть периодической.

Колебания тел под действием внешней периодической силы (в частном
случае гармонической силы в общем случае называют вынужденными, а сила называется вынуждающей. Эксперименты показывают, что частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.
Амплитуда колебаний и энергия, передаваемая системе за период вынужденных колебаний, зависят от того, насколько различаются частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний а также от величины трения в системе.

При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от латинского слова resono — откликаюсь, звучу в ответ).
 

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при действии на колебательную систему внешней силы с частотой, совпадающей с собственной частотой системы (рис. 187).

При резонансе создаются оптимальные условия для передачи энергии внешнего источника системе, так как в течение всего периода работа внешней силы источника над системой положительна. Вспомните процесс раскачивания на качелях: если качели толкать с очень большой частотой или с очень малой, их практически невозможно будет раскачать. Если же подбирать частоту толчков, близкую к частоте собственных колебаний качелей, то раскачивание будет эффективным.

Основные формулы:

Гармоническое движение:

Фаза колебаний:

Период колебания:

Циклическая частота

Уравнение гармонических колебаний:

Период колебаний пружинного маятника:

Период колебаний математического маятника:

 

Единицы измерения основных величин колебаний

Колебательное движение и свободные колебания

Колебания — это любой процесс, в котором состояние тела или системы тел со временем повторяются. Колебания являются наиболее распространенной формой движения в природе.

Колебания — это любой процесс, повторяющийся во времени.

Колеблются деревья под действием ветра, поршни двигателя автомобиля под действием продуктов сгорания топлива. Мы можем разговаривать благодаря колебаниям голосовых связок гортани и слышать вследствие колебаний барабанных перепонок. Колебательным является биение сердца. C колебаниями связан и свет, который возникает при колебаниях молекул и атомов. C помощью электромагнитных колебаний, которые распространяются в пространстве, можно осуществлять радиосвязь, радиолокацию, лечить и диагностировать многие болезни.

В приведенных примерах колебаний на первый взгляд мало общего. Но при детальном исследовании приведенных примеров можно найти их общие свойства: различные по происхождению и природе колебания описываются одинаковыми уравнениями, имеют общие характеристики, это существенно облегчает их изучение и исследование.

Колебания бывают периодическими и непериодическими. Первые — это колебания, в которых состояние системы повторяются через одинаковые интервалы времени. В природе такие процессы практически не встречаются, но в теоретических исследованиях эти обобщения дают возможность вести продуктивные исследования.

Колебания, в которых состояние системы повторяется через одинаковые интервалы времени, называются периодическими.

Непериодические колебания не имеют постоянного периода колебаний и являются процессами, в которых состояние системы повторяется через произвольные и, как правило, неодинаковые интервалы времени. Такими, например, являются колебания веток дерева под действием порывов ветра.

Непериодические колебания не имеют постоянного периода колебаний.

Простейшими колебаниями являются так называемые гармонические колебания. Это колебания, в которых основные физические величины, касающиеся колебаний, изменяются по закону синуса или косинуса. Без изучения этих колебаний нельзя изучить более сложные колебания.

Колебания, в которых основные физические величины, касающиеся колебаний, изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

При изучении колебательных процессов для упрощения измерений и расчетов пользуются замкнутой системой, в которой тела взаимодействуют только в пределах определенной системы. Колебания, происходящие в замкнутой системе, называются свободными.

Примером свободных колебаний являются колебания пружинного маятника.

Если освободить грузик, то он начнет двигаться до.положения равновесия с ускорением . Согласно второму закону Ньютона .

В момент прохождения грузика через положение равновесия его скорость и кинетическая энергия будут максимальными (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Грузик движется влево

Имея определенную кинетическую энергию, грузик по инерции продолжает двигаться дальше (влево), выполняя работу по деформации пружины. Сила упругости, возникающая при этом, направлена к положению равновесия. Когда грузик окажется в крайнем левом положении, на него будет действовать сила упругости, направленная к положению равновесия (вправо). Под действием этой силы грузик начнет ускоренно двигаться до положения равновесия (вправо). Если предположить, что силы трения и сопротивления воздуха ничтожны, то процесс должен продолжаться бесконечно.

Записав совместно формулу второго закона Ньютона и закона Гука, получим уравнение движения грузика:

Отсюда,

В этом уравнении величина всегда положительная, поскольку жесткость пружины и масса грузика не могут быть отрицательными. Поэтому эту величину обозначают символом , a уравнение движения тела па пружине записывают в виде

Общее уравнение колебаний:

Решением этого уравнения является периодическая функция

где А — амплитуда колебаний; (ωt + а) — фаза; — начальная фаза. Поскольку смещение грузика х происходит по закону синуса, то такие колебания являются гармоническими (рис. 3.3).

Кроме смещения по гармоническим законам, изменяются скорость и ускорение движения груза.

Поскольку в реальных условиях в каждой системе действуют силы трения и сопротивления, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться (рис. 3.4).

Puc. 3.4. График свободных колебаний

Свободные колебания в реальных условиях всегда затухающие, поскольку в каждой колебательной системе, действуют силы трения. Поэтому каждая следующая амплитуда колебаний будет меньше предыдущей. Если бы удалось создать идеальную систему, в которой не действуют силы трения, то колебания в этой системе были бы незатухающими. Поскольку такие идеализации применяются в физике для исследования колебаний, то частоту незатухающих колебаний в идеальной системе назвали собственной частотой.

Частоту колебаний в идеальной системе, в которой отсутствуют силы трения, называют собственной частотой.

Пример №3

Определить период колебаний грузика, который имеет массу 100 г и подвешен к пружине, коэффициент упругости которой 10 Н/м.

Дано: m — 100 г, k = 10 Н/м.	Решение Для расчета периода колебаний пружинного маятника применяют формулу Подставив в эту формулу значения физических величин, получим
T — ?

Ответ: период колебаний пружинного маятника равен 0,628 с.

• Заказать решение задач по физике

Колебательное движение и вынужденные колебания

Во многих технологических процессах происходят колебания, которые должны быть долговременными.

Поэтому создают условия для получения незатухающих колебаний. C этой целью в технических установках применяют вынужденные колебания. Это колебания, происходящие под действием внешней силы, которая периодически изменяется. Такими, например, являются колебания поршней в автомобильном двигателе, происходящие вследствие периодического действия газа во время рабочего хода поршня.

Вынужденными колебаниями является и переменный ток. который возникает в рамке, вращающейся в магнитном поле.

Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия вынуждающей силы.
Регулируя подачу горючего в цилиндр, можно изменять частоту колебаний поршней. Частота переменного тока определяется скоростью вращения ротора турбины.

Особый интерес представляет случай, когда периодическая внешняя сила, действует па тело, которое может совершать свободные колебания.

Если в начальный момент тело было неподвижным, то после начала действия периодической силы оно начинает колебаться со все возрастающей амплитудой. Через некоторое время амплитуда устанавливается постоянной и в дальнейшем не возрастает.

Это происходит потому, что вся энергия, приходящая в колебательную систему, идет на выполнение работы по преодолению сил трения в системе. Если изменять частоту вынуждающей силы, то можно обнаружить явление резонанса. При частоте, равной собственной частоте колебаний системы, резко возрастает амплитуда. Сильно раскачать качели можно только в том случае, если подталкивать их будем «в такт» с частотой собственных колебаний качели. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебании называют резонансом.

Резонанс наступает тогда, когда частота действия вынуждающей силы будет равна собственной частоте колебаний системы.
f_вын=f_соб

После повышения частоты выше резонансной амплитуда начнет убывать. Для каждой колебательной системы существует определенная частота, при которой наступает резонанс.

На рисунке 3.7 показана графическая зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы. Высота резонансной кривой, изображенной на этом рисунке, зависит от значения сил трения в колебательных системах. Так. график показывает, что резонансные частоты в трех колебательных системах одинаковые, но силы трения будут различными. Выше кривая меньше силы трения.

Рис. 3.7. Резонансные кривые для разных значений силы трения

C явлением резонанса мы встречаемся довольно часто и в быту, и в технике. Действие этого явления может быть как полезным, так и вредным. Так, чтобы выехать из лужи или песка, водитель с определенной частотой включает и выключает сцепление, раскачивая автомобиль. Увеличение амплитуды колебаний автомобиля содействует его выезду из выбоины.

Достоянием истории стала катастрофа с Бруклинским мостом в Нью-Йорке, который разрушился вследствие резонанса.

Колебательное движение и математический маятник

Одной из систем, которые могут совершать колебания, является нитяный маятник. Ото тело небольших размеров, подвешенное на длинной нерастяжёной нити. Выведенная из положения равновесия, эта система может совершать колебания.

Рассмотрим причины, вызывающие колебания в этой системе. Для удобства расчетов будем считать, что тело имеет размеры, намного меньшие длины нити, а отклонение от равновесия — небольшое. Маятник с такими ограничениями называют математическим.

Рассмотрим его более подробно.

Если система будет в равновесии, то на маятник будут действовать только сила тяжести и сила упругости нити. Их равнодействующая будет равна нулю (рис. 3.8). Естественно, что в таком случае шарик не будет двигаться.

Рис. 3.8.Нитяный (математический) маятник в положении равновесия

Если груз вывести из положения равновесия, то равнодействующая F сил тяжести и упругости уже будет отличной от нуля (рис. 3.9).

Pиc. 3.9. Равнодействующая сил тяжести и упругости направлена к положению равновесия

Значение равнодействующей определим по рисунку на основании анализа параллелограмма сил:

При малом угле отклонения , где l — длина подвеса; х -смещение тела от положения равновесия.

Применим к описанию движения математического маятника второй закон Ньютона с учетом, что смещение груза направлено в сторону» противоположную равнодействующей:

Отсюда

Величина всегда положительная. Поэтому ее можно обозначить . Тогда уравнение движения математического маятника будет иметь вид: .

Математический маятник совершает гармонические колебания по уравнению, решением которого является функция: х = Аsin(ωt + а).

Из курса математики известно, что решением этого уравнения является функция х =Asin(ωt + а). Поскольку эта функция гармоническая, то и колебания математического маятника называют гармоническими.

По уравнению движения математического маятника можно найти формулу для расчета периода и частоты колебаний математического маятника. Для этого будем учитывать, что величина, обозначенная какω₀, является угловой частотой и равна  . Здесь f — частота колебаний, T — период колебаний. Из уравнения движения получим . Или, подставив значение угловой частоты: . Отсюда 

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и ускорения свободного падения.

Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и ускорения свободного падения:

Зависимость частоты колебаний математического маятника находят из соотношения

, 

Пример №4

Маятник длиной 150 см за 300 с совершает 122 колебания. Чему равно ускорение свободного падения?

Дано: l — 150 см, t — 300 с, N = 122.	Решение При такой длине маятник можно считать математическим. Связь между параметрами математического маятника устанавливает формула для периода колебаний
g -?

Согласно этой формуле 

Если учесть, что  а  то получим 

Подставив значения физических величин, получим

Ответ: ускорение свободного падения в этом случае составляет 9,78 .

Энергия колебательного движения

В механике различают кинетическую и потенциальную энергии. Кинетическая энергия определяется массой тела и его скоростью.

Потенциальную энергию тела в поле земного тяготения определяют по формуле E_n = mgh, потенциальную энергию упруго деформированного тела (например, пружины) по формуле .

Если внимательно рассмотреть движение грузика на пружине (см. рис. 3.1 и 3.2), то здесь периодически будут изменяться как скорость тела, так и сила упругости пружины. Таким образом, периодически будут изменяться как кинетическая, так и потенциальная энергии. Кинетическая энергия будет максимальной в момент прохождения телом положения равновесия, когда его скорость будет максимальной. Потенциальная энергия приобретет максимальное значение через четверть периода, кода будет максимальным отклонение от положения равновесия.

До сих пор мы рассматривали случаи колебаний, пренебрегая потерями механической энергии. Для этого случая действует закон сохранения механической энергии:

Соответственно этому закону максимальное значение потенциальной энергии будет при максимальном отклонении, когда кинетическая энергия (и скорость) равна нулю:

где А — максимальное отклонение тела от положения равновесия (амплитуда).

Если потери механической энергии в системе отсутствуют, то

Из последнего уравнения можно рассчитать скорость, с которой тело проходит положение равновесия.

Колебательное движение  и механические волны

Колебания как процесс могут распространяться в пространстве. Для подтверждения этого подвесим на нити, закрепленной в штативе, несколько маятников и один из них приведем в колебательное движение (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Маятники на нити

Спустя некоторое время все маятники будут совершать колебания. Таким образом, механические колебания могут предаваться от одного тела к другому через упругие связи. Подобное происходит и в природе.

Если бросить камень в воду озера, то можно увидеть, как от него во все стороны распространяются круги-волны, в которых частицы воды колеблются в вертикальном направлении. Поплавок, плавающий рядом с точкой попадания камня, будет совершать только вертикальные колебания, не смещаясь в сторону. В данном случае происходит весьма сложный процесс. C одной стороны, частицы воды совершают колебания, перемещаясь в вертикальном направлении, а с другой — колебания распространяются в горизонтальном направлении. Но смещения частиц воды в горизонтальном направлении не происходит. Поэтому поплавок на воде хотя и колеблется, но к берегу не приближается.

Распространяются только колебания частиц воды — волны. Процесс распространения колебаний в упругой среде называют механической волной.

Как и любое другое физическое явление, волна имеет свои определенные характеристики.

Одной из величин, характеризующих волну, является скорость волны. Все известные науке волны распространяются не мгновенно, а на протяжении определенного времени, с определенной скоростью.
Каков же механизм образования волн?

Волна — процесс распространения колебаний.

Проанализировав рассмотренные ранее примеры, можно отметить, что механическая волна распространяется в упругой среде. Для того чтобы представить процесс распространения волны в упругой среде, промоделируем его с помощью шариков некоторой массы, соединенных между собой пружинками (рис. 3.12-а). Если сообщить определенный импульс левому крайнему шарику (рис. 3.12-б), то он начнет движение вверх, растягивая пружинку. Вследствие этого на второй шарик начнет действовать сила упругости растянутой пружинки, которая будет смещать шарик в том же направлении. Проявление инерции задержит движение второго  шарика, который будет отставать от первого шарика (рис. 3.12-в).

Если первому шарику придать импульс, направленный вдоль прямой, соединяющей оси шариков, то цепочкой распространится продольная волна. Ее можно наблюдать на длинной горизонтальной пружине, одним концом закрепленной на стене (рис. 3.13): после удара по торцу пружины образуются сгустки и разрежения витков, которые будут двигаться вдоль пружины как продольная волна.

Pиc. 3.13. Распространение продольной волны

Если повторить модельный опыт образования волны в цепочке из пружинок и шариков (рис. 3.12), то можно заметить, что когда первый шарик проходит положение равновесия и движется вверх, то на определенном расстоянии от него существует шарик, который, проходя положение равновесия, также движется вверх, т. е. колебания совершаются в одной фазе.

Расстояние между двумя соседними точками волны, которые колеблются в одинаковой фазе, называют длиной волны (рис. 3.14). Например, это расстояние между двумя гребнями волны, образовавшейся от брошенного в воду камня. Длина волны обозначается буквой греческого алфавита λ (лямбда).

Puc. 3.14. Расстояние между двумя соседними точками волны. колеблющимися водной фазе

За один период она распространяется на расстояние, равное длине волны, Поэтому скорость распространения волны можно определить через эти величины:

Отсюда λ = υT. 

Длина волны равна произведению скорости распространения на период: λ = υT. 

Так как период связан с частотой формулой 

Возможно иное определение длины волны: это расстояние, на которое распространяется волна за один период.

Длина волны является универсальной характеристикой для волновых процессов различной природы.

Пример №5

Лодка качается на волнах, распространяющихся со щ скоростью 2,5 м/с. Расстояние между гребнями волн 2,5 м. Найти период колебаний лодки.

Отсюда
 

Подставив значения физических величин, получим

Oтвет: период колебания лодки 3,2 с.

Колебательное движение и звуковые волны

Звук сопровождает человека на протяжении всей жизни. Он является основным средством общения между людьми, его используют в различных технологических процессах. Как вы знаете, источником звука является колеблющееся тело. Колеблются ножки камертона, излучая звук определенного тона, диффузор громкоговорителя, воссоздавая голос человека или звучание музыкального инструмента. Распространение этих колебаний и воспринимается нами как звук.

Звук является продольной волной, которая распространяется только в упругой среде, в частности в воздухе, воде, металлах, дереве, пластмассе и т. п.

Роль воздуха в распространении звука впервые была раскрыта в 1660 г. английским физиком Р. Бойлем, который открыл, что под колпаком вакуумного насоса, если из-под него выкачан воздух, звук не распространяется.

Звук начали исследовать очень давно. Поэтому для его характеристики применяют специфические величины. Так, высота тона, о которой говорят музыканты, обозначает частоту колебаний: чем больше частота, тем выше тон. Громкость звука связана с амплитудой колебаний: чем больше амплитуда, тем громче звук.

Звуковые волны имеют свойство отражаться от препятствий. Если звуковая волна падает на сплошное препятствие (стену, гору), то она отражается, и мы слышим эхо. Свойство отражаться используют инженеры создавая приборы для определения глубины воды под днищем корабля. Его назвали эхолотом, или эхолокатором (рис. 3.15).

Puc. 3.15. Схема объясняющая принцип действия эхолокатора

Излучатель посылает узкий импульсный пучок звуковых волн в сторону дна, я специальный микрофон улавливает отраженный сигнал. Измеряя интервал времени между посылкой и приемом сигнала, специальная аппаратура определяет расстояние до дна.

Человек слышит .звук только в определенном диапазоне частот. Считается, что человеческое ухо чувствительно к колебаниям частотой от 20 Гц до 20 кГц. Волны с частотой свыше 20 кГц называют ультразвуковыми^ а с частотой меньше 20 Гц — инфразвуковыми. Ни одни ни другие звуки человек не слышит. Но свойства этих волн используют в различных приборах и устройствах. Так, ультразвук применяют для стерилизации продуктов питания, очистки поверхности металлов и пластмасс от загрязнений, медицинских инструментов и приборов, пе выдерживающих высоких температур. В медицине используют ультразвуковые аппараты для исследований внутренних органов. Последнее время применяется ультразвуковой хирургический инструмент, позволяющий проводить бескровные операции.

Инфразвуки н целом отрицательно действуют на живой организм. Поэтому необходимо устранять их источники или применять профилактические меры безопасности. Так, на производствах, где производственные технологии связаны с применением мощных низкочастотных колебаний, используют различные средства изоляции рабочих от их воздействия. Например, известны случаи, когда установка нового мощного вентилятора не повысила производительности труда рабочих, а наоборот, повысила их утомляемость.

Колебательный контур и возникновение электромагнитных колебаний в колебательном контуре

Кроме механических колебаний, н природе существуют электромагнитные колебания. Они возникают в системе, которая называется колебательным контуром. Это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных между собой параллельно (рис. 3.16).

Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из параллельно соединенных катушки индуктивности и конденсатора.

Pиc. 3.16. Cxerna колебательного контура

Обычно сопротивление проводников в такой цепи незначительно. Для получения колебаний в колебательном контуре сначала заряжают конденсатор, сообщая ему заряд Q₀. Тогда в начальный момент времени между обкладками конденсатора возникает электрическое поле. Полная энергия контура в это время равна энергии заряженного конденсатора:

где Q₀ — заряд конденсатора; C — его электроемкость.

При замыкании ключа конденсатор начинает разряжаться и в контуре возникает возрастающий по значению ток. Вследствие разряда конденсатора энергия электрического поля уменьшается; она превращается в энергию магнитного поля катушки, по которой проходит ток I:

где I — сила тока; L — индуктивность катушки.

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется и остается равной энергии электрического поля конденсатора после его зарядки. В любой произвольный момент времени она равна сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки:

В момент времени, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля становится равной нулю, а энергия магнитного поля достигает максимального значения:

После этого сила тока в контуре начинает уменьшаться, Уменьшается и магнитный поток. По закону электромагнитной индукции, изменению тока противодействует ЭДC самоиндукции, которая возникает при изменении магнитного потока. Поэтому конденсатор начинает перезаряжаться, и между его обкладками Снова возникает электрическое поле.

Когда перезарядка прекратится, на обкладках конденсатора будет заряд, равен первоначальному, по с противоположным знаком.

В дальнейшем процесс повторяется, но в обратном направлении. Через определенное время система возвращается в первоначальное положение, и начинается самопроизвольный цикл периодической зарядки и перезарядки конденсатора че-     рез катушку. При отсутствии потерь па нагревание проводников и излучение колебания в колебательном контуре будут незатухающими.

В реальных условиях колебания в колебательном контуре будут затухающими. Поэтому их нужно считать свободными. Их период и частота зависят от параметров колебательного контура емкости конденсатора и индуктивности катушки. Выдающийся английский физик В. Томсон установил, что

Уильям (Кельвин) Томсон (1824-1907) — выдающийся английский физик. Его научные труды касаются многих вопросов физики, математики и техники. Он широко применял термодинамический метод для объяснения физических явлений; продуктивно работал в области изучения электрических и магнитных явлений: известны его работы по теплопроводимости.

Если колебательный контур включить в электрическую цепь переменного тока, то в нем возникнут вынужденные колебания, частота которых будет равна частоте переменного тока. Их амплитуда будет зависеть от сопротивления проводников контура и от соотношения между частотой переменного тока и собственной частотой контура. В случае совпадения этих частот в контуре будут возникать колебания, амплитуда которых резко возрастает. Таким образом, в колебательном контуре будет появляться резонанс. Это явление используют в радиоприемниках, когда с помощью настройки контура на определенную частоту’ принимают сигналы определенной станции. Изменяя индуктивность катушки или емкость конденсатора, мы изменяем собственную частоту контура. Если собственная частота контура совпадает с частотой определенного сигнала, в контуре, благодаря резонансу, возникает значительный ток, который передается в специальное устройство для дальнейшего усиления и обработки.

Образование электромагнитных волн

Электромагнитные колебания распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн. В них происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей, которые вместе образуют электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве.

Процесс распространения электромагнитных колебаний называется электромагнитной волной.

Для образования электромагнитных волн, как и волн любой природы, необходимо иметь систему, в которой возникают электромагнитные колебания. Для электромагнитных колебаний такой системой будет колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности.

Современные электронные системы позволяют поддерживать в нем незатухающие колебания на протяжении длительного времени, что в свою очередь создает условия для длительного излучения электромагнитных волн. По этому принципу работают вещательные радиостанции, телевидение и другие средства связи.

Однако сам по себе колебательный контур не может излучать электромагнитные волны, поскольку электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора и вне контура не проявляется.

Переменные магнитные поля сосредоточены в основном внутри катушки и не распространяются за пределы контура. Исследования показали, что электромагнитные волны могут излучаться в пространство только открытым колебательным контуром, который в простейшем виде состоит из двух линейных проводников, связанных друг с другом катушкой индуктивности (рис. 3.17).

Рис. 3.17. Открытый колебательный контур

Для возбуждения электромагнитных колебаний в открытом контуре существуют различные способы. Наиболее распространенный из них  способ, когда катушка индуктивности открытого контура образует индуктивную связь с контуром генератора незатухающих колебаний (рис. 3.18).

Рис. 3.17. Связь открытого контура с контуром генератора

Благодаря электромагнитной индукции в катушке открытого колебательного контура L_e появляется переменная ЭДС, возбуждающая в проводниках переменный ток. Поскольку электроны, образующие переменный ток в проводниках, движутся ускоренно, то проводники открытого колебательного контура имеют переменное электромагнитное ноле.

Открытый колебательный контур, в котором происходят электромагнитные колебания, имеет переменные магнитное и электрическое поля. Так, переменное электрическое поле открытого колебательного контура индуцирует «собственное» переменное магнитное поле.

Переменное электрическое поле открытого колебательного контура будет индуцировать «собственное» переменное магнитное поле.

Индуцированное переменное мигни гное поле, в свою очередь, будет возбуждать индуцированное электрическое поле.

Таким образом, индукционные процессы будут охватывать все новые и новые точки, а обрадовавшееся
электромагнитное поле будет распространяться в пространстве. На расстоянии нескольких длин волны от открытого колебательного контура в пространстве уже будет распространяться единая электромагнитная волна, в которой будут происходить взаимообусловленные одновременные изменения электрического и магнитного полей — составляющих электромагнитного поля.

Графически электромагнитную волну можно изобразить в виде двух синусоид, расположенных во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 3.19).

Puc. 3.19. Графическое изображение электромагнитные волны

Этот рисунок показывает существующую зависимость значений векторов напряженности электрического поля E и магнитной индукции В от расстояния в направлении распространения волны. По направлению эти векторы органически связаны между собой и с вектором скорости распространения волны . Их колебания происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях, причем вектор скорости всегда перпендикулярен к плоскости колебаний векторов E и В, а его направление определяется по правилу правого винта.

Если правый винт вращать в направлении от вектора E к вектору В кратчайшим путем, то его поступательное движение покажет направление вектора скорости

Аналитически колебательный процесс, которым является электромагнитная волна, представляется двумя уравнениями для модулей векторов Е и В:

где B₀ и E₀ — амплитуды волны; t — время наблюдения; циклическая частота.

Таким образом, распространение электромагнитных волн происходит как возбуждение связанных между собой электрического и магнитного переменных полей в направлении, определяемом по правилу правого винта.

Шкала электромагнитных излучений

Во время исследований, длительное время проводившихся учеными, не обнаружили каких-либо ограничений относительно частоты или длины электромагнитного излучения. Т. е. нет смысла вести речь о самой короткой или самой длинной волне, ограничивая диапазон электромагнитных волн. Речь может быть лишь об определенном диапазоне воли, открытых и исследованных современной наукой.

Для наглядного представления о разнообразии электромагнитных излучений и зависимости их свойств от длины волны составлена шкала, один из вариантов которой представлен на форзаце. Они расположены по определенным условным диапазонам, не имеющим четких границ: низкочастотные волны, радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма-излучение. Такое деление произведено с учетом природы их возникновения и особенностей взаимодействия с веществом. Например, если радиоволны образуются электромагнитными колебаниями, возбуждаемыми в колебательном контуре определенной емкости и индуктивности, чем и определяется длина волны, то гамма-излучение возникает как следствие ядерных процессов, связанных с радиоактивным распадом.

Существуют также отличия и во взаимодействии электромагнитных волн с веществом и в особенностях распространения в пространстве. Если видимый свет полностью поглощается топким слоем бумаги, то рентгеновское и гамма-излучения могут проникать не только через человеческое тело, но и через металлы.

Рассмотрим шкалу электромагнитного излучения подробнее.

Низкочастотное излучение возникает в результате работы различных электротехнических устройств и приборов, в которых используется переменный ток низкой частоты. Оно имеет низкую энергию и до сих пор не нашло практического применения ни в информационных, ни в энергетических технологиях.

Радиоволны разделены на диапазоны длинных, средних, коротких и ультракоротких волн. Поводом для такого деления послужили особенности их распространения.

В широком диапазоне радиоволны делятся на длинные, средние, короткие и ультракороткие.

Инфракрасное излучение называют также тепловым, так как оно наблюдается у всех нагретых тел.

В широком понимании оптический диапазон охватывает инфракрасное излучение, видимый свет и ультрафиолетовое излучение. Инфракрасное излучение лежит за пределами восприятия глазом волн, длина которых больше 760 нм и простилается к 0,1 мм. Их излучают все нагретые тела, благодаря чему мы ощущаем теплоту. При повышении температуры длина волны, на которую приходится максимум излучения, смещается в область более коротких волн. Инфракрасное излучение слабо поглощается воздухом и хорошо отражается от поверхности твердых тел. Это их свойство применяют в приборах «ночного видения».

Видимый свет — это тот диапазон волн, который воспринимается человеческим глазом. Установлено, что он довольно узкий, от 380 им до 760 нм. Волны различной длины этого диапазона воспринимаются как свет различных цветов. Свойства света очень разнообразны, многие из них станут вам понятны только после изучения последующих параграфов.

Со стороны коротковолновой части диапазона видимых волн находится диапазон ультрафиолетового излучения, которое не воспринимается человеческим глазом. Вместе с тем, взаимодействуя с веществом, это излучение может вызывать излучение видимого света. Нм этом основан метод неразрушающего анализа вещества, когда по цвету излучения определяют наличие тех или иных веществ в смеси. Широко известен способ применения ультрафиолетового излучения для выявления фальшивых денежных купюр.

Ультрафиолетовое излучение практически полностью поглощается обычным оконным стеклом.

Ультрафиолетовое излучение имеет сильное бактерицидное действие, его широко применяют для стерилизации, медицинских инструментов, различных медицинских материалов. Невозможно представить больничную палату без ламп, излучающих ультрафиолетовый свет.

Вместе с тем ультрафиолетовое излучение может отрицательно воздействовать на человеческий организм, попадая на кожу или слизистую оболочку. Оно вызывает ожоги, которые плохо поддаются лечению. 

Рентгеновское излучение известно многим из нас как средство медицинского исследования организма. Впервые его получил и исследовал известный физик, украинец по происхождению И. Пулюй (1845-1918). Но случилось так, что первым сообщил об открытии немецкий физик В. Рентген (1845-1928). За это открытие ему позднее была присуждена Нобелевская премия в области физики.

Рентгеновское излучение имеет высокую проницательную способность, оно может проникать сквозь толстые слои вещества и даже металлов. Его используют в промышленности для выявления внутренних дефектов металлических изделий, в медицине для исследования внутренних органон человека, в научных исследованиях строения вещества.

Следующий диапазон — гамма-излучение — относится к ядерным процессам и связан с процессами, происходящими в атомных ядрах.

Радиоволны

Радиоволны принадлежат к диапазону электромагнитных ноли длиной от нескольких километров до нескольких десятков километров. В высокочастотной области диапазона радиоволны плавно переходят в инфракрасное излучение, хотя четкая граница не установлена. В своей низкочастотной части диапазона радиоволны граничат с низкочастотным излучением, которое образуется при работе электротехнических устройств, использующих переменный ток низкой частоты.

Радиоволны имеют четыре диапазона: длинные (λ = 10⁴… 10³ м), средние (λ = 10³…10₂ м), короткие (λ =10²,.. 10 м) и ультракороткие (λ < 10 м).

В науке и радиотехнике радиоволны делятся на четыре диапазона: длинные (10⁴…10³ м), средние (10³-10² м), короткие (10²…10 м) и ультракороткие (< 10 м).

Волны каждой части диапазона имеют свои особенности. Так, длинные и средние волны преломляются и дифрагируют в атмосфере, вследствие чего они огибают поверхность земного шара (рис. 3.20). Но для этого радиопередатчики должны иметь очень большую мощность, а передающие антенны большие размеры. Да и количество станций, работающих в этом диапазоне без взаимных помех, не может быть очень большим. Поэтому для дальней связи длинные волны практически не применяются.

Рис. 3.20. Длинные и средние волны огибают земную поверхность

Для дальней связи чаще всего применяются короткие волны, они хотя и не огибают земной шар, но отражаются от. ионизированного слоя атмосферы (ионосферы), как от зеркала. После многократного отражения от этого слоя и от поверхности Земли короткие волны могут распространяться по всему земному шару (рис. 3.21). Но высота и плотность ионизированного слоя на протяжении года ощутимо изменяются, поэтому связь на коротких волнах неустойчива и в последнее время применяется редко.

Ультракороткие волны в земных условиях распространяются в пределах «прямой видимости», практически не преломляясь. Высокая частота этих радиоволн позволяет применять частотную модуляцию, которая обеспечивает высокое качество связи. Кроме того, в этом диапазоне можно использовать много радиопередатчиков, поскольку их частотный диапазон довольно плотный.

Ультракороткие волны оказались весьма удобными для связи с космическими аппаратами (рис. 3.22), поскольку они свободно проходят сквозь ионосферу.

В земных условиях для обеспечения дальней связи с использованием ультракоротких волн применяют специальные ретрансляционные станции (рис. 3.23). Находясь на расстоянии прямой видимости, они принимают сигналы от одной станции и передают их другой. По этому принципу работает, в частности, система мобильной связи.

Ультракороткие волны используются и в системах космической связи, работающей с использованием ретрансляторов па специальных космических аппаратах.

Итоги:

1.    Колебания — это наиболее распространенная форма движения в природе. Главным условием их возникновения является возникновение внешнего фактора, благодаря которому движение повторяется.
Колебания бывают периодическими и непериодическими. В периодических колебаниях движение повторяется через одинаковые интервалы времени.

2.    Колебания, возникающие в замкнутых системах, называются свободными. В реальных условиях свободные колебания затухают. В идеальных системах, в которых отсутствуют потери энергии, возникают незатухающие колебания. Их называют собственными.

3.    Период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения:

Период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и жесткости пружины:

Период колебаний математического маятника не зависит от массы и амплитуды.

4.    Свободные колебания происходят по закону синуса или косинуса. Такие колебания называются гармоническими. Например: х = Asin(ωt+α), где А — амплитуда колебаний, ω -циклическая частота, a — начальная фаза, t — время.

5.    Если на колебательную систему действует периодическая вынуждающая сила, то в системе возникают вынужденные колебания. Частота вынужденных колебаний равна частоте нынужданнцей силы. Если частота вынуждающей силы равна собственной частоте колебательной системы, то возникает резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Примером вынужденных колебаний является раскачивание качелей.

6.    Распространение колебаний в упругой среде называют волновым процессом, или механической волной. Волна переносит энергию. Волны бывают продольными и поперечными.
Универсальной характеристикой волнового процесса любой природы является длина волны. Это расстояние между двумя соседними точками волны, которые колеблются в одной фазе.
За один период волна распространяется на расстояние, равное длине волны.

7.    Свободные электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора. Они затухают вследствие потерь энергии на нагревание проводников и излучение электромагнитных волн. При отсутствии этих потерь колебания в колебательном контуре будут происходить бесконечно долго. Эти колебания будут собственными колебаниями. Период собственных колебаний в колебательном контуре определяется по формуле Томсона: 

8.    В электрической цепи может возникать переменный ток как вынужденные колебания. Простейшим способом получения переменного тока является вращение рамки в магнитном поле или изменение магнитной индукции (вращение электромагнита) возле определенным способом расположенных катушек.

9.    Электромагнитная волна — это переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве со скоростью спета. Электромагнитная волна имеет энергию. Во всех процессах, которые происходят в электромагнитной волне, выполняется закон сохранения энергии.

10.    Все известные электромагнитные волны по длине волны или по частоте условно распределены по отдельным диапазонам: низкочастотное излучение (длина волны свыше 103 м), радиоволны, которые также разделяются на поддиапазоны, с длиной волны от нескольких сантиметров (ультракороткие волны) до 10⁴ м (длинные волны); инфракрасное излучение, длина волны которого лежит в пределах от 0,1 мм до 760 нм; видимый свет с длиной волны от 380 до 760 пм; ультрафиолетовое излучение, длина волны которого лежит в пределах от фиолетовой части видимого света до нескольких нанометров; рентгеновское излучение в диапазоне длин волн от 10^-8 до 10^-11 м; гамма-излучение, имеющее длину волны меньше 10^-11 м.

Справочный материал по колебательному движению

Еще в древности люди, наблюдая за Солнцем и Луной, определили единицы времени: год, месяц, сутки и др. Были созданы солнечные часы, затем водяные, огневые, песочные. Однако настоящая революция в конструкции часов произошла после выяснения свойств колебательного движения.

Подвесим груз на нить, отклоним его от положения равновесия и отпустим. Груз начнет колебаться, то есть двигаться от одного крайнего положения к другому, повторяя это движение через некоторый интервал времени. Таким образом, колебательное движение имеет важную общую черту с равномерным движением по окружности: оба движения являются периодическими (рис. 13.1).

Изучаем маятники:

Груз, колеблющийся на нити или на пружине, — пример простейшего маятника.

Маятник — это твердое тело, которое совершает колебания вследствие притяжения к Земле или в результате действия пружины. Маятники используют во многих физических приборах. Особенно важным является использование маятников в часах: периодичность колебаний дает возможность осуществлять отсчет времени. Маятники, колеблющиеся благодаря действию пружины, называют пружинными маятниками (рис. 13.2). Колебания пружинного маятника зависят от свойств пружины и мас­сы тела. Маятники, колеблющиеся благодаря притяжению к Земле, называют физическими маятниками (рис. 13.3). Их колебания достаточно сложны, поскольку зависят от массы, геометрических размеров, формы маятника и т. д. Чтобы размеры и форма тела не влияли на его колебания, нужно взять нить, длина которой достаточно велика по сравнению с размерами тела, — в таком случае тело можно считать материальной точкой. При этом нить должна быть легкой и довольно тонкой, а чтобы во время колебаний тело было на неизменном расстоянии от точки подвеса, — нерастяжимой. Небольшой металлический шарик диаметром 1–2 см, подвешенный на тонкой нерастяжимой нити длиной 1–2 м, вполне может служить маятником, на колебания которого не будут влиять размеры, масса тела и свойства нити (рис. 13.4)*. Такой маятник называют нитяным.

Что такое амплитуда колебаний

Наблюдая за колебаниями маятника, нетрудно заметить, что есть определенное максимальное расстояние, на которое колеблющееся тело удаляется от положения равновесия. Это расстояние называют амплитудой колебаний (рис. 13.5).

Амплитуда колебаний — это физическая величина, равная максимальному расстоянию, на которое отклоняется тело от положения равновесия во время колебаний. Амплитуду колебаний обозначают символом A. Единица амплитуды колебаний в СИ — метр: [A]= м. За одно колебание тело проходит путь который примерно равен четырем амплитудам: 4 Определяем период и частоту колебаний

Колебательное движение является периодическим движением, поэтому оно характеризуется такими физическими величинами, как период колебаний и частота колебаний.

В данном случае длина нити считается также длиной маятника.

В случае с нитяным маятником данное равенство является приблизительным, так как тело движется по дуге окружности, длина которой больше расстояния, называемого амплитудой колебаний. Но если амплитуда колебаний мала (намного меньше длины маятника), этим различием обычно пренебрегают.

Период колебаний — это физическая величина, равная времени, за которое происходит одно колебание. Период колебаний, как и период равномерного движения по окружности, обозначают символом T и вычисляют по формуле: , где t — время наблюдения; N — количество колебаний за это время. Единица периода колебаний в СИ — секунда: [T]= с.

Частота колебаний — это физическая величина, которая равна количеству колебаний за единицу времени. Частоту колебаний обозначают символом ν («ню») и вычисляют по формуле: Единица частоты колебаний в СИ — герц ( Г ц ) ; названа так в честь Генриха Герца (рис. 13.6). Если тело за одну секунду осуществляет одно колебание, то частота его колебаний равна одному герцу: Частота ν и период T колебаний — взаимно обратные величины: У маятников есть очень важное свойство: если амплитуда колебаний маятника намного меньше его длины, то частота и период колебаний маятника не зависят от амплитуды колебаний. Это свойство малых колебаний открыл Галилео Галилей*, и именно оно лежит в основе работы механических часов.

Различия затухающих от незатухающих колебаний

Выведем качели из состояния равновесия и отпустим. Качели начнут колебаться. Такие колебания называют свободными. Если на качели не влиять, то через некоторое время амплитуда их колебаний заметно уменьшится, а со временем колебания прекратятся вовсе. Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, называют затухающими колебаниями.

Свободные колебания всегда являются затухающими. Затухают с течением времени свободные колебания языка колокола, струны гитары, ветки дерева… Что следует сделать, чтобы амплитуда колебаний качелей со временем не уменьшалась, то есть чтобы их колебания были незатухающими? Незатухающие колебания — это колебания, амплитуда которых не изменяется со временем. Незатухающие колебания осуществляет, например, игла швейной машины, пока работает ее механизм (рис. 13.7).

Пример №6

Небольшой тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м, отклонили от положения равновесия и отпустили. За 30 с шарик совершил 15 колебаний. Какое расстояние пройдет шарик за 36 с, если амплитуда его колебаний — 5 см? Колебания считайте незатухающими. Анализ физической проблемы. Амплитуда колебаний намного меньше длины нити, поэтому можно считать, что за одно колебание шарик проходит путь, равный четырем амплитудам (4A). Если определить количество колебаний за 36 с, то можно найти расстояние, которое прошел шарик. Количество колебаний найдем, определив время одного колебания, то есть период колебаний.

Дано:

,,,.

Найти:

Решение:

Найдем период колебаний:

Найдем количество колебаний за 36 с:

Определим расстояние, которое проходит шарик за одно колебание:

Определим путь, который пройдет шарик за 36 с:

Анализ результатов. За одно колебание шарик проходит 20 см; время колебаний больше периода колебаний, поэтому пройденное шариком расстояние будет больше 20 см. Следовательно, результат правдоподобен.

Ответ:

Итоги:

Колебательное движение (колебания) — периодическое движение. Различают затухающие и незатухающие колебания. Амплитуда А колебаний — это физическая величина, равная максимальному расстоянию, на которое тело отклоняется от положения равновесия во время колебаний. Период Т колебаний — это физическая величина, равная времени, за которое происходит одно колебание: . Единица периода колебаний в СИ — секунда (с). Частота ν колебаний — это физическая величина, равная количеству колебаний за единицу времени: . Единица частоты колебаний в СИ — герц (Гц). Частота и период колебаний — взаимно обратные величины:

«Механическое движение»:

Вы изучали механическое движение и его характеристики, узнали о видах механического движения: прямолинейное движение, движение по окружности, колебательное движение.

Вы ознакомились с некоторыми основными понятиями механики.

Вы научились различать виды механического движения.

Вы научились исследовать равномерное движение с помощью графиков пути и графиков скорости движения.

Вы исследовали некоторые механические движения.

План урока:

Колебательное движение

Период и частота колебаний

Свободные колебания

Амплитуда колебаний

Колебательные системы

Гармонические колебания

Величины, характеризующие колебательное движение

Затухающие колебания

Вынужденные колебания

Колебательное движение

В самом широком смысле, колебательное движение – это любое движение, повторяющееся с течением времени. Например, птица, машущая крыльями вверх-вниз, совершает ими колебательные движения. Ребенок, качающийся на качелях, тоже совершает колебательные движения. Игла швейной машины при шитье – тоже.

Но как же так, ведь в названных примерах тела движутся абсолютно по-разному? Крылья птицы и игла швейной машины движутся вертикально вверх-вниз (прямолинейно), ребенок на качелях движется горизонтально и по дуге (криволинейно). Это все неважно. Главный признак колебательного движения – его повторяемость через определенный промежуток времени, то есть через период колебаний.

Период и частота колебаний

Период колебаний (T) – это время, за которое тело совершает полный цикл движения, т.е. совершает одно колебание.

В случае с движением крыльев птицы, если считать, что один взмах начинается с верхней точки, полным колебанием будет считаться, когда крылья пройдут от верхней точки через середину до нижней и вернутся от нижней точки через середину до верхней (рисунок 1).

Рисунок 1 – Взмах крыльев птицы как пример полного колебания   

Период колебаний обозначается латинской буквой T. По определению период – это время, значит, единица измерения периода будет такой же, как и единица измерения времени. В СИ это секунда.

[T] = 1 с

Как же можно вычислить период колебаний?

Самый простой способ – это посчитать количество колебаний и секундомером измерить время, за которое эти колебания были совершены. Например, ребенок на качелях совершает N = 10 колебаний за t = 30 секунд. Нетрудно подсчитать, что время совершения одного полного колебания будет 30/10 = 3 с. Если обобщить, получится формула для нахождения периода колебаний:

где t – время, за которое совершено N колебаний.

Рассмотрим еще одну важную характеристику.

Частота колебаний (ν) – это количество колебаний, совершаемое телом за единицу времени.

Частота колебаний обозначается греческой буквой (читается как «ню»).

Если сравнить определение частоты колебаний с определением периода, можно заметить, что это обратные величины. То есть:

Гц – единица измерения, которую назвали в честь немецкого физика Генриха Герца. При решении задач одинаково часто употребляется и герц, и с^-1. Можно употреблять и то, и другое – в зависимости от того, что удобнее при решении конкретной задачи.

Следует так же отметить, что иногда физики пользуются циклической частотой колебаний:

Свободные колебания

Положение равновесия при колебательном движении

Сравним две ситуации:

1. Родитель толкает качели, на которых сидит ребенок, а потом просто наблюдает, как качели качаются сами по себе.

2. Родитель толкает качели с ребенком, а потом при каждом цикле движения подталкивает качели, поддерживая качания.

Физики говорят, что в первом случае система (качели и ребенок) совершает свободные колебания, то есть колебания под действием только внутренних сил. После выведения системы из равновесия (то есть толчка родителя) к ней больше не прикладывают внешних сил. Во втором случае говорят, что система совершает вынужденные колебания – то есть колебания, под действием периодического внешнего воздействия.

Поговорим о свободных колебаниях. Для простоты рассмотрим систему, состоящую из маленького тяжелого шарика на длинной крепкой нити. Такая система называется нитяным маятником (рисунок 2).

 Рис.2 – Нитяной маятник 

Без воздействия внешних сил шарик будет находиться в положении 1. Такое состояние называется положением равновесия. Далее к шарику прикладывают силу, направленную влево и он начинает совершать колебания. Траектория шарика будет: 1-2-1-3-1 (см. рисунок 1).

Как при этом будет меняться скорость тела? Для того, чтобы рассмотреть подробно, нужно помнить определения потенциальной и кинетической энергии*, а также в чем заключается закон сохранения энергии (систему считаем замкнутой – потерь энергии не происходит, а, значит, закон сохранения энергии выполняется – энергия колебательной системы остается постоянной):

• при движении из точки 1 в 2 шарик постепенно замедляется (уменьшается его кинетическая энергия, а потенциальная увеличивается);
• в точке 2 он на мгновенье останавливается (кинетическая энергия равна нулю, потенциальная максимальна);
• далее он начинает движение с ускорением, но уже в обратном направлении (кинетическая энергия увеличивается, потенциальная уменьшается) — при движении из 2 в 1 тело будет ускоряться;
• когда шарик дойдет до точки 1 его кинетическая энергия будет максимальна, а потенциальная минимальна.

При движении от точки 1 в 3 будет происходить то же самое, что и при движении из 1 в 2 – предлагаем описать процесс изменения величин (скорости и энергии) самостоятельно.

Если обобщить все сказанное, можно сделать вывод: при колебаниях в положении равновесия кинетическая энергия тела максимальна, а потенциальная минимальна (или равна нулю, в зависимости от выбранной точки отсчета). В крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. То есть положение равновесия маятника – это такое положение, в котором его потенциальная энергия минимальна (или равна нулю, в зависимости от точки отсчета). При удалении маятника от положения равновесия кинетическая энергия будет уменьшаться, а потенциальная увеличиваться.

*Потенциальная энергия тела зависит от его положения в пространстве; кроме того, это относительная величина – она зависит от того, какая точка отсчета выбрана.

Кинетическая энергия зависит от модуля скорости тела.

Амплитуда колебаний

Помимо частоты и периода важной характеристикой колебаний является амплитуда.

Амплитуда колебаний – это модуль максимального смещения тела от положения равновесия. Другими словами, это расстояние между положением равновесия и крайней точкой траектории маятника. Рассмотрим рисунок 3. На нем изображен уже знакомый вам нитяной маятник. В идеальном случае амплитуду колебаний маятника нужно считать как длину дуги от положения равновесия до крайней точки. Но если мы считаем, что колебания малые – то есть длина нити маятника (l) гораздо больше смещения (S), можно считать, что длина дуги совпадает с длиной отрезка между проекциями положения равновесия и крайней точки на ось ОХ.

Рис.3 – Амплитуда колебаний нитяного маятника

Обычно амплитуда обозначается большой латинской буквой A.

Колебательные системы

Для того, чтобы рассмотреть колебательные движения подробнее, рассмотрим несколько колебательных систем, на примере которых будет рассматривать все закономерности.

1. Маятник

В общем случае маятник – это система, способная совершать колебания под действием каких-либо сил, например, сил трения, упругости, тяжести.

2. Пружинный маятник

Пружинный маятник – это система, состоящая из упругой пружины, один конец которой закреплен, а на другой прикреплен груз.

Такой маятник может быть вертикальным (рисунок 4а), тогда колебания будут совершаться под действием сил тяжести и упругости; и горизонтальным (рисунок 4б), тогда на груз будут действовать сил упругости и трения.

Рис.4 – Пружинный маятник

Для пружинного маятника справедливы формулы:

где T –период колебаний пружинного маятника; π ~ 3.14;  m–масса груза;k–коэффициент жесткости пружины; — частота колебаний пружинного маятника.

*Ранее говорилось, что существует такая характеристика, как циклическая частота. Формула для ее нахождения будет выглядеть так:

3. Нитяной маятник

Этот вид маятника уже рассматривался ранее (см. рисунок 3), он состоит из длинной нити и тяжелого грузика, подвешенного на ней.

Для нитяного маятника справедливы формулы:

где T – период колебаний нитяного маятника; π ~ 3.14; l –длина нити; g – ускорение свободного падения (~9,8 м/с²), v — частота колебаний.

Интересно отметить, что период нитяного маятника и, следовательно, его частота не зависят от массы грузика, прикрепленного к нити.

*Следует отметить, что все приведенные формулы справедливы только для малых колебаний.

** Циклическая частота нитяного маятника:

Гармонические колебания

При решении задач часто используется не нитяной маятник, а его упрощенная модель – математический маятник. Это идеальная колебательная система, в которой нить считается очень длинной по сравнению с амплитудой колебаний и размерами грузика; сам груз достаточно тяжелым, чтобы пренебречь массой нити. Кроме того, считается, что не происходит потерь энергии.

Рассмотрим подробно, какие силы действуют на такую систему. В первую очередь, на грузик действует сила тяжести mg, направленная вниз (см. рисунок 5). Так же на него действует сила натяжения со стороны нити F, она направлена вдоль нити. Обозначим  угол, на который смещается тело от положения равновесия.

Рис.5 – Силы, действующие на математический маятник

Запишем 2-й закон Ньютона:

Рисунок 6 – Силы, действующие на математический маятник при смещении на угол φ

В случае малых углов sinφ можно считать равным φ. Из геометрического определения синуса:

Тогда в крайней точке 2-й закон Ньютона в проекции на ось OX перепишется следующим образом:

То есть ускорение, с которым движется маятник прямо пропорционально его смещению от положения равновесия. Минус в данном выражении означает, что ускорении направлено в противоположную сторону от смещения.

Интересно заметить, что ускорение грузика, подвешенного к ниточке (а значит и самого маятника), не зависит от его массы. Период колебаний математического маятника тоже не зависит от массы грузика:

В случаях, когда колебания происходят под действием силы, пропорциональной смещению тела от положения равновесия, говорят, что тело совершает гармонические колебания.*

График зависимости смещения от времени при гармоническом колебательном движении представляет собой синусоиду или косинусоиду (см. рисунок 7).

Для лучшего понимания, почему график выглядит именно так, можно посмотреть урок в курсе алгебры «Тригонометрические функции»:

 Рис. 7 – График зависимости смещения (x) от времени (t) при гармонических колебаниях   

На графическом представлении колебаний (рисунок 7) удобно находить период и амплитуду гармонических колебаний.

*Могло сложиться впечатление, что гармонические колебания может совершать только математический маятник. Это не так. Любое тело может совершать колебания, близкие к гармоническим (нужно учитывать не идеальность систем). Например, можно говорить о гармонических колебаниях пружины, если она достаточно жесткая, чтобы она деформировалась упруго, а колебания совершаются с небольшой амплитудой.

Величины, характеризующие колебательное движение

Ранее рассматривались такие характеристики колебаний, как период, частота и амплитуда. Помимо этих величин, колебания характеризуются фазой колебаний.

Фаза колебаний

На рисунке 7 изображен график зависимости смещения от времени при гармонических колебаниях. Такой график называется синусоидой (косинусоидой). В общем случае уравнение зависимости координаты Х от времени t будет выглядеть так:

Разность фаз

Понятие «разность фаз» применяется, когда мы хотим сравнить движение двух маятников. Пусть маятник 1 и маятник 2 двигаются по законам соответственно:

Найдем разность фаз колебаний этих двух маятников.

Если взять конкретный момент времени , фаза гармонических колебаний каждого из маятников в этот момент времени будет:

 — это начальные фазы колебания первого и второго маятников соответственно. Эти величины являются начальными условиями, и они не изменяются во время движения, следовательно, при одинаковой частоте колебаний маятников разность фаз остается постоянной.

Затухающие колебания

Во всех рассмотренных ранее случаях считалось, что на колеблющуюся систему не действуют силы извне. На самом деле, идеальных систем не существует, поэтому любой маятник во время движения будет преодолевать внешние силы сопротивления и терять энергию. Например, пружинный маятник (рисунок будет преодолевать силу трению о поверхность.

Рисунок 8 – Пружинный маятник на шероховатой поверхности  

Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем. График таких колебаний изображен на рисунке 9.

Рисунок 9 – График зависимости координаты от времени при затухающих колебаниях  

Вынужденные колебания

Собственная частота колебаний. Частота вынуждающей силы. Установившиеся вынужденные колебания

В реальных (неидеальных) системах колебания всегда нужно поддерживать внешним воздействием.

Под действием периодической внешней изменяющейся силы возникают вынужденные колебания.

Почему же обязательно сила должны быть периодически изменяющейся? Ответ на этот вопрос легко найти, представив себе качели. Если на них действовать с постоянной по модулю и направлению силой, они никогда не начнут качаться. А толчками (то есть периодической изменяющейся силой) раскачать их не составит труда.

Внешняя сила, заставляющая систему совершать колебания, называется вынуждающей силой.

Так как эта сила периодическая, необходимо ввести частоту вынуждающей силы. А чтобы не запутаться, частоту свободных колебаний называют собственной частотой системы. Как показывают эксперименты, даже если изначально собственная частота системы и частота вынуждающей силы отличались, через некоторое время система начинает колебаться с частотой вынуждающей силы. В таких случаях говорят об установившихся вынужденных колебаниях.

Если частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы, возникает резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний.

Механические колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

(2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

.

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

. (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

. (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

или

.

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

. (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

,

и спроектируем его на ось :

.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

.

Итак, при любом положении маятника имеем:

. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

,

или

.

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

.

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .