Как найти расстояние растяжения пружины - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сила упругости широко используется в технике. Эта сила возникает в упругих телах при их деформации. Деформация – это изменение формы тела, под действием приложенных сил.

Виды деформации

Деформация – это изменение формы, или размеров тела.

Есть несколько видов деформации:

сдвиг;
кручение;
изгиб;
сжатие/растяжение;

Деформация сдвига возникает, когда одни части тела сдвигаются относительно других его частей. Если подействовать на верхнюю часть картонного ящика, наполненного различными предметами, горизонтальной силой, то вызовем сдвиг верхней части ящика относительно его нижней части.

Сжатие или растяжение легко представить на примере прямоугольного куска тонкой резины. Такая деформация используется, к примеру, в резинках для одежды.

Примеры изгиба и кручения показаны на рисунке 1. Пластиковая линейка, деформированная изгибом, представлена на рис. 1а, а на рисунке 1б – эта же линейка, деформируемая кручением.

Рис. 1. пластиковая линейка, деформированная изгибом – а) и кручением – б)

В деформируемом теле возникают силы, имеющие электромагнитную природу и препятствующие деформации.

Растяжение пружины

Рассмотрим подробнее деформацию растяжения на примере пружины.

Давайте прикрепим пружину к некоторой поверхности (рис. 2). На рисунке слева указана начальная длина (L_{0}) пружины.

Рис. 2. Сравнивая длину свободной пружины с длиной нагруженной, можно найти ее удлинение

Подвесим теперь к пружине груз. Пружина будет иметь длину (L), указанную на рисунке справа.

Сравним длину нагруженной пружины с длиной свободно висящей пружины.

[ large L_{0} + Delta L = L ]

Найдем разницу (разность) между длинами свободно висящей пружины и пружины с грузом. Вычтем для этого из обеих частей этого уравнения величину (L_{0}).

[ large boxed{ Delta L = L — L_{0} }]

( L_{0} left(text{м} right) ) – начальная длина пружины;

( L left(text{м} right) ) – конечная длина растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) ) – кусочек длины, на который растянули пружину;

Величину ( Delta L ) называют удлинением пружины.

Иногда рассчитывают относительное удлинение. Это относительное удлинение часто выражают десятичной дробью. Или дробью, в знаменателе которой находится число 100 — такую дробь называют процентом.

Примечание: Отношение – это дробь. Относительное – значит, дробное.

[ large boxed{ frac{Delta L }{ L_{0}} = frac{ L — L_{0}}{L_{0} } = varepsilon } ]

( varepsilon ) – это отношение (доля) растяжения пружины к ее начальной длине. Измеряют в процентах и называют относительным удлинением.

Расчет силы упругости

Если растягивать пружину вручную, мы можем заметить: чем больше мы растягиваем пружину, тем сильнее она сопротивляется.

Значит, с удлинением пружины связана сила, которая сопротивляется этому удлинению.

Конечно, если пружина окажется достаточно упругой, чтобы сопротивляться. Например, разноцветная пружина-игрушка (рис. 3), изготовленная из пластмассы, сопротивляться растяжению, увеличивающему ее длину в два раза, практически не будет.

Разноцветная пластмассовая пружина-игрушка растяжению сопротивляется слабо

Закон Гука

Английский физик Роберт Гук, живший во второй половине 17-го века, установил, что сила сопротивления пружины и ее удлинение связаны прямой пропорциональностью. Силу, с которой пружина сопротивляется деформации, он назвал ( F_{text{упр}} ) силой упругости.

[ large boxed{ F_{text{упр}} = k cdot Delta L }]

Эту формулу назвали законом упругости Гука.

( F_{text{упр}} left( H right) ) – сила упругости;

( Delta L left(text{м} right) ) – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) ) – коэффициент жесткости (упругости).

Какие деформации называют малыми

Закон Гука применяют для малых удлинений (деформаций).

Если убрать деформирующую силу и тело вернется к первоначальной форме (размерам), то деформации называют малыми.

Если же тело к первоначальной форме не вернется – малыми деформации назвать не получится.

Как рассчитать коэффициент жесткости

Груз, прикрепленный к концу пружины, растягивает ее (рис. 4). Измерим удлинение пружины и составим силовое уравнение для проекции сил на вертикальную ось. Вес груза направлен против оси, а сила упругости, противодействующая ему – по оси.

Рис. 4. Вес подвешенного на пружине груза уравновешивается силой упругости

Так как силы взаимно компенсируются, в правой части уравнения находится ноль.

[ large F_{text{упр}} — m cdot g = 0 ]

Подставим в это уравнение выражение для силы упругости

[ large k cdot Delta L — m cdot g = 0 ]

Прибавим к обеим частям вес груза и разделим на измеренное изменение длины (Delta L ) пружины. Получим выражение для коэффициента жесткости:

[ large boxed{ k = frac{ m cdot g }{Delta L} }]

(g) – ускорение свободного падения, оно связано с силой тяжести.

Соединяем две одинаковые пружины

В задачниках по физике и пособиях для подготовки к ЕГЭ встречаются задачи, в которых одинаковые пружины соединяют последовательно, либо параллельно.

Параллельное соединение пружин

На рисунке 5а представлена свободно висящая пружина. Нагрузим ее (рис. 5б), она растянется на величину (Delta L). Соединим две такие пружины параллельно и подвесим груз в середине перекладины (рис. 5в). Из рисунка видно, что конструкция из двух параллельных пружин под действием груза растянется меньше, нежели единственная такая пружина.

Рис. 5. Две пружины, соединенные параллельно, деформируются меньше одной такой пружины

Сравним растяжение двух одинаковых пружин, соединенных параллельно, с растяжением одной пружины. К пружинам подвешиваем один груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две параллельные пружины:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{параллел}} cdot frac{1}{2}= k_{1} ]

Умножим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{параллел}} = 2k_{1} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{параллел}}) двух пружин, соединенных параллельно, увеличился вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Последовательное соединение пружин

Рисунок 6а иллюстрирует свободно висящую пружину. Нагруженная пружина (рис. 6б), растянута на длину (Delta L). Теперь возьмем две такие пружины и соединим их последовательно. Подвесим груз к этим (рис. 6в) пружинам.

Практика показывает, что конструкция из двух последовательно соединенных пружин под действием груза растянется больше единственной пружины.

На каждую пружину в цепочке действует вес груза. Под действием веса пружина растягивается и передает далее по цепочке этот вес без изменений. Он растягивает следующую пружину. А та, в свою очередь, растягивается на такую же величину (Delta L).

Примечание: Под действием силы пружина растягивается и передает эту растягивающую силу далее по цепочке без изменений

Рис. 6. Система, состоящая из двух одинаковых пружин, соединенных последовательно, деформируются больше одной пружины

Сравним растяжение двух одинаковых последовательно соединенных пружин и растяжение единственной пружины. В обоих случаях к пружинам подвешиваем одинаковый груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две последовательные пружины:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{послед}} cdot 2 = k_{1} ]

Разделим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{послед}} = frac{k_{1}}{2} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{послед}}) двух пружин, соединенных последовательно, уменьшится вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины

Пружина сжатая (левая часть рис. 7), или растянутая (правая часть рис. 7) на длину (Delta L ) обладает потенциальной возможностью вернуться в первоначальное состояние и при этом совершить работу, например, по перемещению груза. В таких случаях физики говорят, что пружина обладает потенциальной энергией.

Рис. 7. Деформированная — сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией

Эта энергия зависит от коэффициента жесткости пружины и от ее удлинения (или укорочения при сжатии).

Чем больше жесткость (упругость) пружины, тем больше ее потенциальная энергия. Увеличив удлинение пружины получим повышение ее потенциальной энергии по квадратичному закону:

[ large boxed{ E_{p} = frac{k}{2} cdot left( Delta L right)^{2} }]

( E_{p} left( text{Дж} right)) – потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) ) – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) ) – коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Выводы

Упругие тела – такие, которые сопротивляются деформации;
Во время деформации в упругих телах возникает сила, она препятствует деформации, ее называют силой упругости;
Деформация – изменение формы, или размеров тела;
Есть несколько видов деформации: изгиб, кручение, сдвиг, растяжение/сжатие;
Удлинение пружины – это разность ее конечной и начальной длин;
Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией (вообще, любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией);
Система, состоящая из нескольких одинаковых пружин, будет иметь коэффициент жесткости, отличный от жесткости единственной пружины;
Если пружины соединяют параллельно – коэффициент жесткости системы увеличивается;
А если соединить пружины последовательно – коэффициент жесткости системы уменьшится.

Источник

В этой главе …

Изучаем закон Гука
Осваиваем основы простого гармонического движения
Изучаем особенности простого гармонического движения
Измеряем энергию простого гармонического движения
Вычисляем период колебаний маятника

Эта глава посвящена описанию еще одного типа движения, а именно: описанию периодического движения. Примерами такого движения являются колебания грузика на пружинке, качания маятника и даже прыжки с высоты с помощью эластичной веревки. В этой главе рассматриваются закономерности и особенности таких повторяющихся, т.е. периодических движений. Здесь мы научимся вычислять характеристики периодического движения: период колебаний пружинки и маятника, упругую энергию сжатой пружины и т.д.

Содержание

Постигаем закон Гука
- Растягиваем и сжимаем пружины
- Изучаем особенности закона Гука
Движется дальше: простое гармоническое движение
- Изучаем простое гармоническое движение по горизонтали и по вертикали
- Изучаем свойства простого гармонического движения
  - Изучаем траекторию простого гармонического движения
  - Определяем период простого гармонического движения
  - Определяем скорость в простом гармоническом движении
  - Определяем ускорение в простом гармоническом движении
- Определяем частоту колебаний груза на пружине
Вычисляем энергию простого гармонического движения
Качаемся вместе с маятником

Постигаем закон Гука

Все объекты природы могут деформироваться, т.е. менять свою форму или объем, под действием приложенной силы. Если такие деформации (т.е. изменения) исчезают после прекращения действия приложенной силы, то они называются упругими. Упругость играет важную роль в технике. Упругие пружины используются для гашения удара при посадке космического корабля на поверхность планеты. Свернутые в спираль упругие пластины применяются в заводных механизмах часов. Даже в мышеловке используется упругая деформация пружины.

Еще в XVII-M веке английский физик Роберт Гук, изучая упругие свойства разных материалов, вывел закон, названный его именем. Согласно закону Гука, для упругого деформирования материала требуется приложить силу, величина которой прямо пропорциональна его деформации. Например, чтобы растянуть пружину на величину ( x ), потребуется приложить внешнюю силу ( F_{вн} ), которая равна:

где ( k ) — это коэффициент пропорциональности.

Точнее говоря, вектор деформации ( mathbf{x} ) всегда направлен противоположно силе сопротивления пружины (или силе упругости) ( mathbf{F} ), а потому в векторную формулировку закона Гука обычно входит знак “минус”:

Растягиваем и сжимаем пружины

Следует помнить, что закон Гука относится только к упруго деформируемым материалам.

В реальном мире, помимо упругих деформаций, имеются еще и пластические деформации. Так называют деформации, которые остаются в объекте, хотя бы частично, даже после прекращения действия внешних сил. Если сила не превосходит некоторой известной величины, которая называется пределом упругости, то возникающая деформация будет пластической. Предел упругости имеет разные значения для разных материалов. Если деформируемый объект, например пружина, испытывает только упругие деформации, то его называют идеально упругим, например, идеально упругой пружиной. Коэффициент пропорциональности ( k ) в законе Гука ( F=kx ) называется коэффициентом упругости объекта, который зависит от материала объекта, его размеров и измеряется в Н/м.

Допустим, вам нужно спроектировать подвеску автомобиля массой 1000 кг, состоящую из 4 пружин, которые могут идеально упруго деформироваться на расстояние 0,5 м. Каким коэффициентом упругости должна обладать пружина, чтобы выдержать вес автомобиля?

Вес автомобиля равен ( mg ), где ( g ) — это ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения. Это значит, что на каждую пружину приходится вчетверо меньшая нагрузка ( mg/4 ).

Определим упругую деформацию пружины под действием этой нагрузки по формуле закона Гука:

т.е. коэффициент упругости равен:

Подставляя значения, получим:

Итак, чтобы выдержать вес автомобиля, потребуется пружина с коэффициентом упругости равным 4,9·10³ Н/м. Не забудьте, что каждый элемент подвески автомобиля должен обладать определенным запасом прочности, чтобы выдерживать непредсказуемые превышения нагрузки, например на ухабах. Однако эта задача выходит за рамки данного курса.

Изучаем особенности закона Гука

Как уже упоминалось выше, в векторную формулировку закона Гука обычно входит знак “минус”:

Таким образом, знак “минус” выражает следующую особенность упругой деформации: сила упругости всегда противоположна деформации. На рис. 12.1 схематически показаны направления силы упругости и деформации при сжатии и растяжении пружины.

Как видите, при отсутствии растяжении или сжатия нет и деформации (см. схему А на рис. 12.1). Если пружина сжимается влево, то сила упругости направлена вправо (см. схему Б на рис. 12.1), а если пружина растягивается вправо, то сила упругости направлена влево (см. схему В на рис. 12.1).

Сила упругости пружины не зря называется силой сопротивления, ведь она стремится установить равновесие.

Движется дальше: простое гармоническое движение

Простым гармоническим движением называется такое движение, при котором сила сопротивления движению пропорциональна перемещению. При этом сила трения не учитывается, и никакие другие внешние силы не оказывают никакого влияния на движение. Такое движение будет выполняться периодически и бесконечно долго. Конечно же, в реальной ситуации так не бывает, но здесь имеется в виду именно идеализированная ситуация.

Изучаем простое гармоническое движение по горизонтали и по вертикали

На рис. 12.1 показан пример движения мячика, прикрепленного к пружине. При сжатии пружины внешней силой справа налево в пружине возникает сила упругости, которая стремится вернуть мячик в исходное положение. После возврата мячика в исходное положение он останавливается не сразу, а спустя какое-то время. Оно необходимо для торможения ускорившегося мячика с помощью силы упругости, возникающей при растягивании вправо. Дело в том, что мячик обладает некоторой массой, и инерция (см. главу 11) не позволяет ему остановиться мгновенно. В результате имеем следующую последовательность событий (см. рис. 12.1).

Схема А. Мячик находится в состоянии равновесия. Никакие силы не действуют на него. Пружина находится в нерастянутом и в несжатом состоянии.
Схема Б. Внешняя сила сжала пружину справа налево. В пружине возникла упругая сила сопротивления ( F ).
Схема В. Внешняя сила отпускает пружину (и далее не участвует в процессе движения). Упругая сила сопротивления пружины ( F ) стремится распрямить пружину, т.е. вернуть мячик в исходное состояние. Мячик начинает ускоренное движение.

Когда мячик проходит точку исходного положения, его скорость становится очень большой (фактически максимальной) и он продолжает движение вправо. При этом возникает деформация растяжения и соответственно направленная противоположно упругая сила сопротивления пружины. Именно так и происходит при повторяющихся движениях мячика слева направо и, наоборот, справа налево. После первоначального толчка из неподвижного состояния мячик начинает совершать периодические колебания из самого крайнего левого положения в самое крайнее правое положение.

В примере на рис. 12.1 предполагается, что силы трения нет. А что будет, если пружинку с мячиком подвесить вертикально, как показано на рис. 12.2?

В подвешенном состоянии изменится положение равновесия, но после воздействия внешней силы мячик будет совершать аналогичные периодические движения, но теперь уже вверх-вниз.

Это новое равновесное положение определяется равенством веса мячика ( mg ) и силы упругости ( ky_0 ) растянутой пружины под действием этого веса:

Итак, новое положение исходного равновесия будет определяться формулой:

Теперь если потянуть мячик вниз с помощью внешней силы и отпустить мячик, то он начнет совершать периодическое движение, как и в прежнем примере (см. рис. 12.1), но теперь уже относительно нового положения равновесия.

Периодическое движение подобного рода называется периодическим колебанием, а крайние положения мячика при таком периодическом движении мячика называются амплитудами периодических колебаний. Амплитуда является важным элементом математического описания простого гармонического движения.

Изучаем свойства простого гармонического движения

Представьте себе, что для изучения простого гармонического движения ученые решили освещенный фонариком мячик из предыдущего примера заснять на движущуюся по горизонтали фотопленку.

После проявки фотопленки на ней оказался четкий волнообразный след, который показан на рис. 12.3.

Оказывается, мячик действительно совершает периодические движения вверх-вниз относительно исходного равновесного положения с амплитудой А. Вблизи точки равновесия скорость мячика максимальна, а в точках амплитуды минимальна.

Траектория мячика очень похожа на синусоидальную кривую, т.е. след мячика на движущейся фотопленке описывается графиком функции ( sin ) (“синус”) либо ( cos ) (“косинус”) со сдвигом от начала координат. Действительно, решением уравнения простого гармонического движения является функция ( sin ) или ( cos ).

Изучаем траекторию простого гармонического движения

Построим и рассмотрим внимательно кривую функции:

Наверняка эта функция и ее графическое представление в виде синусоидальной кривой уже знакомо многим читателям этой книги из курса математики. Ее часто можно встретить на экранах разных приборов в реальной жизни или даже в виртуальном мире кино и компьютерных игр.

Пусть освещенный фонариком мячик движется по окружности перпендикулярной плоскости страницы и снимается на движущуюся по горизонтали фотопленку. Тогда после проявки фотопленки на ней снова появится синусоидальная кривая, как показано на рис. 12.4.

Если расположить окружность так, чтобы она была параллельна плоскости страницы (рис. 12.5), то можно легко заметить, что положение мячика определяется формулой:

где ( x ) — это текущее смещение мячика по оси X от положения равновесия, ( theta ) — это угол поворота мячика при вращении по окружности, а ( A ) — это амплитуда периодического движения.

Если мячик вращается по окружности с постоянной угловой скоростью, то ( theta=omega t ) и ( x=Acos(omega t) ).

Определяем период простого гармонического движения

Прохождение мячиком пути, равного длине окружности, называется циклом, а время его прохождения — периодом. Период обозначается символом ( T ) и измеряется в секундах.

На рис. 12.4 и 12.5 полный цикл соответствует движению мячика от исходного положения с амплитудой ( A ), затем к положению с амплитудой ( -A ), а потом снова к положению с амплитудой ( A ).

Как связан период с уже знакомыми нам параметрами движения? За один цикл мячик проходит угол величиной ( 2pi ) за период ( T ), т.е. его угловая скорость равна:

Откуда получаем выражение для периода:

Для характеристики периодического движения часто используют понятие частота, которое равно количеству циклов за единицу времени. Например, если мячик на рис. 12.4 совершает 1000 полных оборотов в секунду, то его частота равна 1000 с^-1. В системе СИ частоту измеряют в герцах (или сокращенно Гц), т.е. 1 с^-1 = 1 Гц. Таким образом, частота вращения мячика по окружности равна 1000 Гц.

Частота ( f ) и период ( T ) связаны очень простым соотношением:

Поскольку:

то теперь можно легко найти связь между частотой и угловой скоростью:

При описании периодических движений угловую скорость ( omega ) часто называют циклической частотой.

Определяем скорость в простом гармоническом движении

На рис. 12.5 мячик совершает движение по окружности, а координата перемещения по оси X определяется формулой:

где ( x ) — это текущее смещение мячика по оси X от положения равновесия, ( omega ) — это угловая скорость мячика при вращении по окружности, а ( A ) — это амплитуда периодического движения.

В любой точке с координатой х мячик обладает некоторой скоростью, которая зависит от времени. Как выразить ее с помощью математической формулы?

Очень просто, ведь для этого достаточно вспомнить о связи между угловой ( omega ) и тангенциальной ( v ) скоростью (см. главу 10):

Поскольку в данном случае ( r=A ), то в итоге получим для тангенциальной скорости:

Теперь для определения скорости периодических колебаний следа мячика по оси X на фотопленке нужно вычислить проекцию тангенциальной скорости на ось X:

(Здесь знак “минус” возникает, поскольку фотопленка движется вниз и ось Y направлена вниз, а потому угол ( beta ) между вектором скорости и осью X равен ( 180^circ+theta ), a ( sin(beta)=sin(180^circ+theta )=-sin(theta) ). — Примеч. ред.)

После подстановки выражений для ( theta=omega t ) и для ( v=Aomega ) получим:

Обратите внимание, что скорость меняется от исходного положения с амплитудой перемещения ( A ) и амплитудой скорости ( 0 ), затем к положению с амплитудой перемещения ( 0 ) и амплитудой скорости ( -Aomega ), потом к положению с амплитудой перемещения ( -A ) и амплитудой скорости ( 0 ), затем к положению с амплитудой перемещения ( 0 ) и амплитудой скорости ( Aomega ), а потом снова к положению с амплитудой перемещения ( A ) и амплитудой скорости ( 0 ).

Как видите, в простом гармоническом движении амплитуда скорости ( A_v=Aomega ) связана с амплитудой перемещения ( A_х=A ) формулой:

Рассмотрим следующий простой пример. Представьте себе, что несколько отчаянных парней и девушек прыгают с высоты с помощью эластичной веревки. Известно, что при прыжке с некоторой высоты относительно точки равновесия максимальная скорость в точке равновесия одного из смельчаков достигает величины 4 м/с. Он решает в 10 раз увеличить высоту прыжка. Какой будет его максимальная скорость в точке равновесия?

Итак, амплитуда скорости в первом прыжке ( A_{v1}=-A_{х1}omega ) равна 4 м/с. Амплитуда перемещения во втором прыжке (с новой высоты) в 10 раз больше амплитуды перемещения в начале, т.е. ( A_{х2}=10A_{х1} ). Вопрос: чему равна амплитуда скорости ( A_{v2}=-A_{х2}omega ) во втором прыжке? Подставляя выражение для ( A_{х2}=-omega/A_{v1} ) в формулу ( A_{х2}=10A_{х1} ), а затем в формулу ( A_{v2}=-A_{х2}omega ), получим:

Итак, при увеличении амплитуды прыжка в 10 раз амплитуда скорости возрастает тоже в 10 раз, т.е. становится равной 40 м/с.

Определяем ускорение в простом гармоническом движении

Вернемся к примеру на рис. 12.5, где мячик совершает движение по окружности. Его координата перемещения по оси X определяется формулой:

Как мы уже выяснили в предыдущем разделе, его скорость перемещения по оси X определяется формулой:

Однако вращательное движение мячика также характеризуется центростремительным ускорением. Как выразить ее с помощью математической формулы?

Как известно (см. главу 10), угловая скорость ( omega ) центростремительное ускорение ( a ) связаны следующей формулой:

Поскольку в данном случае ( r=A ), то в итоге получим для центростремительного ускорения:

Теперь для определения ускорения периодических колебаний следа мячика по оси X на фотопленке нужно вычислить проекцию центростремительного ускорения на ось X:

(Здесь знак “минус” возникает, поскольку фотопленка движется вниз и ось Y направлена вниз, а потому угол ( gamma ) между вектором центростремительного ускорения и осью X равен ( 180^circ + theta ), a ( cos(gamma)=cos(180^circ + theta)=-cos(theta) ). — Примеч. ред.)

После подстановки выражений для ( theta=omega t ) и для ( a=Aomega^2 ) получим:

Как видите, в простом гармоническом движении амплитуда ускорения ( A_а=Aomega^2 ) связана с амплитудой перемещения ( A_х=A ) формулой:

Рассмотрим еще один простой пример. Пусть диафрагма (тоненькая пластинка) в трубке домашнего телефона совершает простое гармоническое движение с частотой ( theta=omega t ) величиной 1 кГц (т.е. 1000 Гц) и амплитудой перемещения ( A_х=A ) величиной 1,0·10^-4 м. Чему равна амплитуда ускорения мембраны ( A_а )?

Поскольку ( omega=2pi!f ), то после подстановки этого выражения в предыдущую формулу ( A_а=-A_хomega^2 ) получим:

Подставляя численные значения, получим:

Как видите, мембрана обычного телефона испытывает очень большое ускорение, которое почти в 400 раз больше ускорения свободного падения ( g ) = 9,8 м/с² под действием гравитационного притяжения Земли.

Определяем частоту колебаний груза на пружине

С математической точки зрения колебания груза на пружине и движение мячика по окружности (см. предыдущие разделы этой главы) принципиально не отличаются. Дело в том, что оба эти движения являются простыми гармоничными. Поэтому их основные характеристики (например, скорость, ускорение, частота и период колебаний) должны описываться аналогичными математическими формулами. Остановимся и подробно проследим за этой аналогией.

Как известно, согласно закону Гука (см. выше в этой главе), при растяжении пружины на величину ( x ) возникает упругая сила ( F ), которая равна:

где ( k ) — это коэффициент пропорциональности.

Согласно закону Ньютона (см. главу 5), сила и вызванное ею ускорение ( a ) связаны следующим соотношением:

откуда получаем:

Из предыдущего раздела нам уже известно, что в простом гармоническом движении перемещение и ускорение выражаются следующими формулами:

Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, полученную на основе законов Гука и Ньютона, получим:

Сокращая некоторые переменные, получим:

Откуда легко можно выразить циклическую частоту:

Поскольку ( omega=2pi!f ) и ( omega=2pi/T ), то после подстановки предыдущего выражения в эти формулы получим:

Пусть пружина на рис. 12.1 обладает коэффициентом упругости ( k ), равным 1,0·10^-2 Н/м, а к ней прикреплен груз массой 4 г. Чему будет равен период колебаний груза на пружине? Подставляя значения в предыдущую формулу для периода, получим:

А какова частота этих колебаний? Снова подставляя значения в предыдущую формулу для частоты, получим:

Используя формулы перемещения, скорости и ускорения для простого гармонического движения (см. ранее в этой главе):

можно вычислить координату, скорость и ускорение груза на пружине в произвольный момент времени. Как будут выглядеть эти формулы для задачи с грузиком на пружине?

Сначала вычислим циклическую частоту:

Если амплитуда ( A ) равна 10 см, то получим:

Вычисляем энергию простого гармонического движения

В простом гармоническом движении периодически происходит увеличение и уменьшение кинетической энергии, например груза на пружине. Ясно, что кинетическая энергия груза не пропадает, а преобразуется в энергию сжатой или растянутой пружины. Эта энергия называется упругой потенциальной энергией пружины. Сколько энергии запасено в сжатой или растянутой пружине?

Попробуем вычислить ее с помощью простых соображений. Как известно, работа ( A ) силы ( F ) при перемещении на расстояние ( s ) равна:

При сжатии или растяжении пружины сила ( F ) меняется линейно с расстоянием, поэтому работу этой силы по сжатию или растяжению пружины на расстояние ( s ) можно представить как произведение средней силы ( overline{F} ) на перемещение ( s ):

Средняя ( overline{F} ) сила определяется как:

где ( F_1=-kx_1 ) — это сила упругости в точке с координатой ( x_1 ), a ( F_2=-kx_2 ) — сила упругости в точке с координатой ( x_2 ). При этом перемещение ( s ) будет равно:

Подставляя выражения для ( s ) и ( overline{F} ) в формулу работы, получим:

Члены ( frac{kx^2_1}{2} ) и ( frac{kx^2_2}{2} ) выражают упругую потенциальную энергию пружины ( E_{у1} ) и ( E_{у2} ) в точках с координатами ( x_1 ) и ( x_2 ), соответственно. Таким образом, работа силы упругости равна изменению упругой потенциальной энергии пружины:

Рассмотрим простой пример. Насколько возрастет упругая потенциальная энергия пружины с коэффициентом упругости 1,0·10^-2 Н/м при сжатии ее на 10 см? Подставляя значения в формулу

получим:

Учтите, что при изменении упругой потенциальной пружины с грузом (при отсутствии внешних сил) изменяется кинетическая энергия груза. Причем эти изменения происходят так, что неизменной остается полная энергия системы, состоящей из пружины и груза. Например, при достижении точки равновесия пружина полностью разжимается, и ее упругая потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия груза при этом становится максимальной. И наоборот, при максимальном сжатии или растяжении пружины ее упругая потенциальная энергия становится максимальной, а кинетическая энергия груза при этом становится равной нулю.

Качаемся вместе с маятником

Еще одним типичным примером простого гармонического движения (кроме груза на пружине) является простой маятник, который показан на рис. 12.6.

Можно ли движение маятника описать математическими формулами простого гармонического движения, которые (выше в этой главе) использовались для описания движения груза на пружине? Да, и вот почему.

Дело в том, что на маятник, подвешенный на нити длиной ( L ) и отклоненный на угол ( theta ), действует сила гравитационного притяжения ( mathbf{F}=mmathbf{g} ). Перпендикулярная нити компонента силы создает сопротивление движению:

Момент этой компоненты силы

определяет угловое ускорение маятника ( alpha ):

Отсюда получаем формулу математического маятника:

(Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешен груз с массой, сосредоточенной в одной точке. — Примеч. ред.)

При малых колебаниях, т.е. при малых значениях угла ( theta ); можно считать, что ( sin(theta)approxtheta ), и тогда прежняя формула приобретает следующий вид:

Эта формула связи ускорения и перемещения объекта очень похожа на прежние формулы простого гармонического движения груза на пружине и мячика по окружности (см. ранее в этой главе). Но прежде в эту формулу входило линейное перемещение, а теперь — угловое.

По аналогии с прежними формулами связи ускорения и перемещения объекта, совершающего простое гармоническое движение, коэффициент пропорциональности между ускорением и перемещением ( g/L ) равен квадрату циклической частоты ( omega^2 ). Отсюда получаем, что:

Далее, поскольку ( omega=2pi!f ) и ( omega=2pi/T ), то после подстановки предыдущего выражения в эти формулы получим:

Обратите внимание, что период качаний математического маятника не зависит от его массы!

Глава 12. Сжимаем пружины: простое гармоническое движение

3.5 (70%) 4 votes

Источник

Как определить растяжение пружины?

Определение коэффициента жесткости растяжения

Измеряется длина пружины в вертикальном подвесе с одной свободной стороной изделия – L1;
Измеряется длина пружины с подвешенным грузом – L2. …
Вычисляется разница между последним и первым показателем длины – L;
Рассчитывается коэффициент упругости по формуле: k = F/L.

Как найти удлинение пружины по физике?

Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины (Δl) прямо пропорционально деформирующей силе: ¯F=kΔl(1), где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) k.

Чему равно F упр?

Fx = Fупр = –kx. Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жёсткостью тела. В системе СИ жёсткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жёсткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала.

Как найти жесткость формула?

Формула определения жесткости равной ему по модулю силы упругости). Выглядит эта формула так: F = –kx. Из этой формулы коэффициент жесткости упругого элемента равен отношению силы упругости к изменению его длины.

Что влияет на жесткость пружины?

Эта величина, называемая коэффициентом жесткости пружины, зависит от усилия, которое нужно приложить, чтобы сжать или растянуть пружину. Распрямление пружины до исходного состояния определяется тем металлом, из которого она изготовлена, но не степенью жесткости.

Чему равен коэффициент упругости?

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Как найти удлинение физика?

Δℓ = I ℓ−ℓ₀ I- абсолютное удлинение пружины. — единица измерения жёсткости в системе СИ. При больших деформациях изменение длины перестаёт быть прямо пропорциональным приложенной силе, а слишком большие деформации разрушают тело.

Как найти коэффициент упругости тела?

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости , делённой на изменение длины пружины: k = F_mathrm{e} / Delta l. Коэффициент упругости зависит как от свойств материала , так и от размеров упругого тела.

Как определить жесткость воды формула?

Общая жесткость воды вычисляется по формуле: [ОЖ] = [КТ] * [0,5 мг-экв/л], где [ОЖ] – общая жесткость в мг-экв/л, [КТ] – количество капель титранта, которое было добавлено в анализируемую пробу до смены окраски индикатора. В таблице приведена классификация вод в зависимости от содержания в них солей магния и кальция.

Как обозначается коэффициент упругости?

Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k, иногда D или c. Имеет единицу измерения Н/м или кг/с2 (в СИ), дин/см или г/с2 (в СГС).

Для чего нужны усиленные амортизаторы?

Усиленные пружины помогают сохранять способность автомобиля держать дорогу и способствуют стабилизации кузова автомобиля. Однако наилучший эффект будет в том случае, если на автомобиль параллельно с усиленными пружинами будут установленные еще и усиленные амортизаторы.

Как зависит жесткость пружины от количества витков?

Обратите внимание – жесткость одного витка всегда больше жесткости всей пружины! Причем, чем больше в пружине витков, тем она мягче.

Как формулирует закон Гука?

Закон Гука формулируется так: сила упругости, которая возникает при деформации тела, вследствие приложения сторонних сил, пропорционально его удлинению. Деформация в свою очередь это изменение межатомных или межмолекулярных расстояние вещества под действием внешних сил.

В каком теле возникает сила упругости?

Сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела относительно других частиц при деформации.

Как рассчитать удлинение тела?

Роберт Гук установил, что при малых деформациях растяжения или сжатия тела абсолютное удлинение тела прямо пропорционально деформирующей силе. F упр = k ·Δℓ = k · Iℓ−ℓ0I закон Гука.

Как определить коэффициент?

Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом. Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.

Как перевести жесткость воды?

американские градусы жесткости воды, внимание тут два пункта:

gpg = Grains per Gallon: 1 гран (0.0648 г) CaCO3 в 1 американском галлоне (3.785 л) воды. …
американский градус = ppmw = mg/L = American degre: 1 часть CaCO3 в 1000000 частей воды 1мг/л CaCO.

Источник

При внешнем воздействии тело ускоряется либо деформируется. Последнее явление проявляется изменением форм или размеров. Если объект восстанавливается в покое на 100%, деформация называется упругой (резинка), а в остальных случаях — пластической (лепка изделий из глины). Для вычисления первого показателя используется формула жесткости пружины (F = k · x).

Виды деформации

Деформация – это изменение формы, или размеров тела.

Есть несколько видов деформации:

сдвиг;
кручение;
изгиб;
сжатие/растяжение;

В деформируемом теле возникают силы, имеющие электромагнитную природу и препятствующие деформации.

Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

Пример 16. При последовательном соединении трех пружин, коэффициенты жесткости которых относятся как 1 : 2 : 3, сила 12 Н вызвала растяжение системы на 4,0 см. Рассчитать коэффициенты жесткости указанных пружин.

Решение. Величина силы упругости, действующей на пружину, определяется формулой

Fупр = kобщ∆x,

где kобщ — коэффициент жесткости составной пружины; ∆x — указанное в условии задачи растяжение пружины.

Величина силы упругости, с другой стороны, совпадает с величиной приложенной силы:

Fупр = F.

Значение данной силы и величина растяжения пружины под действием этой силы позволяют рассчитать коэффициент жесткости составной пружины:

kобщ=FΔx=124,0⋅10−2=300 Н/м.

Для определения коэффициентов жесткости каждой пружины запишем их коэффициенты жесткости в следующем виде:

для первой пружины

k1 = k;

для второй пружины

k2 = 2k;

для третьей пружины

k3 = 3k,

так как указанные коэффициенты по условию задачи соотносятся между собой как

k1 : k2 : k3 = 1 : 2 : 3.

Для расчета величины k запишем формулу для коэффициента жесткости пружины, состоящей из трех последовательно соединенных пружин, и подставим в нее выражения k1, k2, k3:

1kобщ=1k1+1k2+1k3=1k+12k+13k=116k, или kобщ=6k11.

Найденное ранее значение kобщ = 300 Н/м позволяет рассчитать k = 550 Н/м.

Тогда коэффициенты жесткости каждой из пружин имеют значения:

для первой пружины

k1 = k = 550 Н/м;

для второй пружины

k2 = 2k = 1100 Н/м;

для третьей пружины

k3 = 3k = 1650 Н/м.

Растяжение пружины

Рассмотрим подробнее деформацию растяжения на примере пружины.

Подвесим теперь к пружине груз. Пружина будет иметь длину (L), указанную на рисунке справа.

Сравним длину нагруженной пружины с длиной свободно висящей пружины.

[ large L_{0} + Delta L = L ]

[ large boxed{ Delta L = L — L_{0} }]

( L_{0} left(text{м} right) ) – начальная длина пружины;

( L left(text{м} right) ) – конечная длина растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) ) – кусочек длины, на который растянули пружину;

Величину ( Delta L ) называют удлинением пружины.

Примечание: Отношение – это дробь. Относительное – значит, дробное.

[ large boxed{ frac{Delta L }{ L_{0}} = frac{ L — L_{0}}{L_{0} } = varepsilon } ]

Как можно измерить жесткость

Измерительные приборы

Приборы для испытания пружин на сжатие-растяжение контролируют приложенное усилие с помощью тензометрического датчика, а также изменение их длины, выводя показатели на дисплей. Без специального прибора измерить осевую жесткость можно, используя динамометр и линейку.

Существуют приборы и для измерения поперечной жесткости пружин. Для этого нужно измерить смещение нескольких точек пружины, определив расстояние и угол между ними.

Практическая задача

Самый простой способ измерить жесткость пружины — провести стандартный школьный опыт со штативом и подвешенными на пружине грузиками.

Для измерения осевой жесткости спиральной пружины используют:

штатив, на котором закрепляют пружину;
крючок, который крепят на свободный ее конец;
грузики с известной массой, которые подвешивают на свободный конец пружины;
линейку, чтобы измерить длину пружины с грузом и без груза.

Проведя несколько измерений с грузиками разной массы и вычислив силу тяжести, воздействовавшую на пружину в каждом из них, можно построить график зависимости длины пружины от приложенного усилия и узнать среднее значение коэффициента жесткости.

Расчет силы упругости

Значит, с удлинением пружины связана сила, которая сопротивляется этому удлинению.

Разноцветная пластмассовая пружина-игрушка растяжению сопротивляется слабо

Закон Гука

[ large boxed{ F_{text{упр}} = k cdot Delta L }]

Эту формулу назвали законом упругости Гука.

( F_{text{упр}} left( H right) ) – сила упругости;

( Delta L left(text{м} right) ) – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) ) – коэффициент жесткости (упругости).

Какие деформации называют малыми

Закон Гука применяют для малых удлинений (деформаций).

Если же тело к первоначальной форме не вернется – малыми деформации назвать не получится.

Как рассчитать коэффициент жесткости

Так как силы взаимно компенсируются, в правой части уравнения находится ноль.

[ large F_{text{упр}} — m cdot g = 0 ]

Подставим в это уравнение выражение для силы упругости

[ large k cdot Delta L — m cdot g = 0 ]

[ large boxed{ k = frac{ m cdot g }{Delta L} }]

(g) – ускорение свободного падения, оно связано с силой тяжести.

Динамометры

Упругие свойства пружин используются в приборах для измерения силы. Обычно динамометр состоит из двух основных частей: пружины (упругий элемент) и шкалы устройства, на которой нанесены цифровые значения силы или массы, если этот прибор предназначен для бытового применения. Измеряемое усилие прикладывается к пружине, которая деформируется и сдвигает стрелку прибора вдоль отсчетной шкалы.

Хотя закон Гука и считается универсальным, но диапазон деформаций в котором он выполняется сильно отличается для разных тел. Например, в металлических проволоках (прямолинейных) и стержнях максимальная величина относительной деформации (отношение Δх к L0), для которой еще будет справедлив закон Гука, составляет не более 1%. При больших деформациях наступают необратимые разрушения материалов.

Соединяем две одинаковые пружины

Параллельное соединение пружин

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две параллельные пружины:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{параллел}} cdot frac{1}{2}= k_{1} ]

Умножим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{параллел}} = 2k_{1} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{параллел}}) двух пружин, соединенных параллельно, увеличился вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Последовательное соединение пружин

Примечание: Под действием силы пружина растягивается и передает эту растягивающую силу далее по цепочке без изменений

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две последовательные пружины:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{послед}} cdot 2 = k_{1} ]

Разделим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{послед}} = frac{k_{1}}{2} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{послед}}) двух пружин, соединенных последовательно, уменьшится вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Последовательное соединение

При создании многих механизмов применяется последовательное соединение пружин. Среди особенностей этого метода отметим нижеприведенные моменты:

Наиболее важным параметром можно назвать коэффициент жесткости. Он определяет практически все свойства детали. Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин равен каждому из показателей упругости.
Также не стоит забывать о том, что показатель смещения тела равен сумме деформации витков. Любой тип рассматриваемого изделия характеризуется максимальным удлинение и сжатием. В случае максимального сжатия кольца расположены вплотную, зазор отсутствует практически полностью. При растяжении есть вероятность деформации витков, из-за чего изделие попросту потеряет свои основные характеристики.

Для расчетов могут применяться самые различные формулы. Среди особенностей этого метода соединения пружин отметим следующее:

Для начала берется одна деталь с жесткостью K, сила растяжения выражается следующей формулой: x=F/k.
Следующий шаг заключается в подсоединении второй детали. Для этого могут применяться различные крепежные элементы. При этом две пружины разной длины будут находится в одной системе.
Если приложить усилие для растягивания обоих изделий, то сила упругости каждой будет равна по модулю. При этом удлинение каждой будет равно х.

Приведенная выше информация указывает на то, что упругость системы двух последовательно соединенных изделий будет примерно в два раза меньше. При этом удлинение будет равно сумме удлинения каждой в отдельности.

Применяемый метод соединения получил весьма широкое распространение. Однако, в некоторых случаях целесообразно применять параллельный метод соединения.

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины

Эта энергия зависит от коэффициента жесткости пружины и от ее удлинения (или укорочения при сжатии).

[ large boxed{ E_{p} = frac{k}{2} cdot left( Delta L right)^{2} }]

( E_{p} left( text{Дж} right)) – потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) ) – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) ) – коэффициент жесткости (упругости) пружины.

ОТБИВАНИЕ ПРОВОЛОКИ

Существует несколько способов упрочнения проволоки: галтование со стальной дробью, отбивание молотком, удары резиновым молотком о стальной блок/наковальню, скручивание проволоки, протягивание её через вальцы или даже через полировальную ткань. Даже простая работа с проволокой и процесс её наматывания и скручивания тоже немного укрепляет её. Чем мягче проволока, тем больше укрепления потребуется, чтобы проволока держала форму.

Выводы

Упругие тела – такие, которые сопротивляются деформации;
Во время деформации в упругих телах возникает сила, она препятствует деформации, ее называют силой упругости;
Деформация – изменение формы, или размеров тела;
Есть несколько видов деформации: изгиб, кручение, сдвиг, растяжение/сжатие;
Удлинение пружины – это разность ее конечной и начальной длин;
Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией (вообще, любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией);
Система, состоящая из нескольких одинаковых пружин, будет иметь коэффициент жесткости, отличный от жесткости единственной пружины;
Если пружины соединяют параллельно – коэффициент жесткости системы увеличивается;
А если соединить пружины последовательно – коэффициент жесткости системы уменьшится.

ЧТО ВЫБРАТЬ ДЛЯ НОВИЧКОВ

Хотя во многих случаях твердость ювелирной проволоки является личным предпочтением и варьируется от проекта к проекту, если вы только учитесь, самым универсальным вариантом будет вариант средней жесткости.

Этот вариант позволит вам пробовать различные техники и воплотить ваши идеи в любой ситуации, т.к. вы всегда можете упрочнить проволоку или использовать другой размер, чтобы достичь нужной жесткости. Чем тоньше проволока, тем мягче она воспринимается в работе.

Позже вы сможете выбрать более удобный для вас вариант, исследовать возможности каждой проволоки, но на первых этапах лучше вложите средства в разные размеры проволоки.

Нашу проволоку можно купить по ссылке.

Источник

Основные
понятия

Пружина
растяжения — это спирально-цилиндрическая
пружина, витки которой прилегают друг
к другу. Пружина подвергается действию
противоположно направленных усилий,
приложенных вдоль ее оси.

Размеры

d	диаметр проволоки [мм, д]
D	средний диаметр пружины [мм, д]
D₁	наружный диаметр пружины [мм, д]
D₂	внутренний диаметр пружины [мм, д]
H	рабочая деформация [мм, д]
t	шаг активных витков в ненагруженном состоянии [мм, д]
o	высота ушка [мм, д]
s_x	деформация пружины [мм, д]
L_x	длина пружины [мм, д]
F_x	рабочая сила, действующая на пружину [Н, фунт]
W₈	энергия деформации [Дж, фут фунт]
x	индекс, обозначающий состояние пружины

Навивка

Вправо
(стандарт)
Влево
(должна отображаться соответствующая
надпись)

Состояния

Свободное:
пружина не нагружена (индекс 0)
Предварительная
нагрузка: пружина с минимальной рабочей
нагрузкой (индекс 1)
Полная
нагрузка: пружина с максимальной рабочей
нагрузкой (индекс
Предел:
пружина вдавлена до касания витков
(индекс 9).

Зацепы
пружин растяжения

Высота
зацепа пружины растяжения

Где:

L₀	длина пружины в свободном состоянии [мм]
L_Z	длина части пружины с витками [мм]

Часто
используемые зацепы пружин растяжения

Тип зацепа и информация о размерах	Изображение
Половина витка, o = 0,55…0,8 D₂
Обычно d ≤ 6,3 мм, D >= 3,15 мм, i >= 9
Полный виток, o = 0,8…1,1 D₂
Используется без ограничений
Полный виток сбоку, o  D₂
Когда нагрузка не обязательно должна прикладываться по оси
Полный виток внутри, o = 1,05…1,2 D₂
Обычно d ≥ 10 мм, i >= 7
Поднятый зацеп, o = 1,2 D₂… 30 d
Обычно для d = от 0,5мм до 4 мм, o ≤ 100 мм
Два полных витка, o D
Используется без ограничений
Два полных витка сбоку, o  D₂
Когда нагрузка не обязательно должна прикладываться по оси

Расчет
пружин в метрических единицах

Общие
формулы расчета

Коэффициент
использования материала

Наружный
диаметр пружины

D₁ =
D + d [мм]

Где:

	D	средний диаметр пружины [мм]
	d	диаметр проволоки [мм]

Внутренний
диаметр пружины

D₂ =
D — d [мм]

Где:

	D	средний диаметр пружины [мм]
	d	диаметр проволоки [мм]

Рабочая
деформация

H
= L₈1_=

s8₁[мм]

Где:

	L₈	длина полностью нагруженной пружины [мм]
	L₁	длина предварительно нагруженной пружины [мм]
	s₈	деформация полностью нагруженной пружины [мм]
	s₁	деформация предварительно нагруженной пружины [мм]

Высота
зацепа пружины

Где:

	L₀	длина пружины в свободном состоянии [мм]
	L_Z	длина части пружины с витками [мм]

Индекс
пружины

c
= D/d [-]

Где:

	D	средний диаметр пружины [мм]
	d	диаметр проволоки [мм]

Поправочный
коэффициент Валя

Где:

	c	индекс пружины [-]
	L_Z	длина части пружины с витками [мм]

Начальное
растяжение

Где:

	d	диаметр проволоки [мм]
	₀	напряжение в свободном состоянии [Мпа]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	K_w	поправочный коэффициент Валя [-]

Общая
сила, действующая в пружине

Где:

	d	диаметр проволоки [мм]
	G	напряжение при кручении – это усилие на единицу площади материала пружины при изгибе [фн/кв. материала пружины в общем случае [МПа]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	K_w	поправочный коэффициент Валя [-]
	G	модуль упругости материала пружины [МПа]

Жесткость
пружины

Где:

	d	диаметр проволоки [мм]
	G	модуль упругости материала пружины [МПа]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	n	количество активных витков [-]
	F₈	рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]
	F₁	рабочее усилие в минимально нагруженной пружине [МПа]
	H	рабочая деформация [мм]

Расчет
конструкции пружины

При
проектировании пружины подбирается
диаметр проволоки, количество витков
и длина свободной пружины L₀ для
заданной нагрузки, материала и сборочных
размеров.

Если
рассчитанная пружина не соответствует
ни одному значению диаметра проволоки
для данного напряжения ₀ согласно
формуле, расчет пружины повторяется с
использованием скорректированного
значения напряжения в свободном состоянии
из рекомендуемого диапазона.

Пружине
без начального растяжения соответствует
средний рекомендуемый шаг витков t =
0,35 D [мм].

Если
рассчитанная пружина не соответствует
ни одному значению диаметра проволоки
для выбранного шага, расчет пружины
повторяется с использованием
скорректированного значения шага из
рекомендуемого диапазона 0,3 D ≤ t ≤ 0,4
D [мм].

Конструкция
пружины определяется с учетом условия
прочности ₈≤ u_s_A и
рекомендуемых диапазонов некоторых
геометрических параметров пружины:
L₀≤ D
и L₀≤ 31,5
д и 4 ≤ D/d ≤16 и n  2.

Задание
нагрузки, материала и сборочных размеров
пружины

Вначале
выполняется проверка входных величин
для расчета.

Затем
вычисляется длина пружины в свободном
состоянии.

После
расчета выбирается диаметр проволоки,
количество витков и диаметры пружины
– так, чтобы высота зацепа соответствовала
выбранному типу зацепа. Кроме того,
должны выполняться упомянутые выше
прочностные и геометрические условия.
Конструкция пружины должна удовлетворять
по диаметрам всем заданным начальным
условиям. При отсутствии таких
дополнительных условий предельный
диаметр пружины устанавливается по
геометрическим условиям для
минимально/максимально допустимого
диаметра проволоки.

Отбираются
все диаметры проволоки (от меньшего к
большему), которые проходят по прочностным
и геометрическим условиям. Проверяются
высота зацепа и количество витков. Если
все условия выполнены, расчет конструкции
завершается, и текущие значения параметров
принимаются в качестве его результатов,
независимо от того, как прошел бы расчет
при других подходящих диаметрах
проволоки. Таким образом, полученная
пружина имеет минимально возможный
диаметр проволоки и минимально возможное
количество витков.

Вычисленное
значение высоты зацепа должно находиться
в пределах d ≤ o ≤ 30 d. Комбинация
диаметра проволоки, количества витков
и диаметра пружины должна давать в итоге
такую высоту зацепа, которая удовлетворяет
его типу. Вначале в качестве типа зацепа
берется полный виток, затем, если он не
годится–полный виток внутри и т.д.

Задание
нагрузки, материала и диаметра пружины

Вначале
выполняется проверка входных величин
для расчета.

После
проверки выбирается диаметр проволоки,
количество витков, длина пружины в
свободном состоянии и сборочные размеры
пружины – так, чтобы высота зацепа
соответствовала выбранному типу зацепа.
Кроме того, должны выполняться прочностные
и геометрические условия. Если сборочный
размер L₁ или
L₈ взят
из спецификации или значение рабочей
деформации пружины ограничено, конструкция
пружины должна соответствовать этому
условию. В остальных случаях предельные
значения сборочных размеров пружины и
ее длины в свободном состоянии определяются
геометрическими условиями для заданного
диаметра пружины и минимального/максимального
допустимого диаметра проволоки.

Формула
для проектирования пружины по заданному
диаметру проволоки.

где
значение ₈ =
0,85 _A используется
в качестве величины напряжения материала
пружины при кручении в полностью
нагруженном состоянии.

Если
для данного диаметра проволоки не
удается подобрать подходящую комбинацию
размеров пружины, расчетная процедура
оценивает другие диаметры проволоки.
Они проверяются, начиная от меньшего к
большему, до тех пор пока не будет
достигнуто такое количество витков,
при котором высота зацепа удовлетворяет
всем условиям. Расчет конструкции
завершается, и текущие значения параметров
принимаются в качестве его результатов,
независимо от того, как прошел бы расчет
при других подходящих диаметрах
проволоки. Таким образом, полученная
пружина имеет минимально возможный
диаметр проволоки и минимально возможное
количество витков.

Вычисленное
значение высоты зацепа должно находиться
в пределах d ≤ o ≤ 30 d. Для
высоты, вычисленной таким способом,
выбирается соответствующий тип зацепа.
Комбинация диаметра проволоки, количества
витков, длины пружины в свободном
состоянии и сборочных размеров пружины
должна давать в итоге такую высоту
зацепа, которая удовлетворяет его типу.
Вначале в качестве типа зацепа берется
полный виток, затем, если он не
годится–полный виток внутри и т.д.

Задание
максимального рабочего усилия, материала,
сборочных размеров и диаметра пружины

Вначале
выполняется проверка входных величин
для расчета.

Затем
подбирается диаметр проволоки, количество
витков, длина свободной пружины и
минимальное рабочее усилие F₁ таким
образом, чтобы высота зацепа пружины
соответствовала выбранному типу зацепа.
Кроме того, должны выполняться прочностные
и геометрические условия.

Формула
для проектирования пружины по заданному
диаметру проволоки.

где
значение ₈ =
0,9 _A используется
в качестве величины напряжения материала
пружины при кручении в полностью
нагруженном состоянии.

Проверочный
расчет пружины

Расчет
соответствующих значений сборочных
размеров и рабочего отклонения для
указанной нагрузки, материала и размеров
пружины.

Сначала
проверяются расчетные входные значения.
Затем на основании приведенных ниже
формул вычисляются сборочные размеры.

Длина
предварительно нагруженной пружины

Длина
полностью нагруженной пружины

Где:

	L₀	длина пружины в свободном состоянии [мм]
	F₁	рабочая сила в минимально нагруженной пружине [мм]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	n	количество активных витков [-]
	G	модуль упругости материала пружины [МПа]
	d	диаметр проволоки [мм]
	F₈	рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]

Рабочая
деформация

H
= L₁8_[мм]

Расчет
рабочих сил

Расчет
соответствующих сил, действующих в
пружинах в рабочем состоянии для
указанного материала, сборочных размеров
и размеров пружины. Сначала проверяются
и рассчитываются входные данные, а затем
выполняется расчет рабочих сил с помощью
следующих формул.

Минимальное
рабочее усилие

Максимальное
рабочее усилие

Расчет
выходных параметров пружины

Эта
часть является общей для всех типов
расчета пружины. Расчет производится
в следующем порядке.

Коэффициент
высоты зацепа

Жесткость
пружины

Длина
части с витками

Пружина без начального растяжения
	L_z = t n + d [мм]
Пружина с начальным растяжением
	L_z = 1,03 (n + 1) d [мм]

Деформация
предварительно нагруженной пружины

s₁ =
L₁ —
L₀ [мм]

Полная
деформация пружины

s₈ =
L₈ —
L₀ [мм]

Напряжение
при кручении материала пружины в
состоянии предварительной нагрузки

Напряжение
материала пружины при кручении при
полном нагружении

Предельное
усилие в пружине

Деформация
в предельном состоянии

Где:

	k	жесткость пружины [Н/мм]
	F₉	рабочее усилие в пружине, нагруженной до предела [Н]
	F₀	начальное растяжение пружины [Н]

Предельная
длина пружины

L₉ =
L₀ +
s₉ [мм]

Энергия
деформации пружины

Длина
развернутой проволоки

l = 3.2 D n + l₀ [мм]
	Где длина развернутого зацепа l₀:
		для половины витка
			l₀ =  D + 4 o — 2 D — 2 d [мм]
		для полного витка
			l₀ = 2 ( D — 2 d) [мм]
		для полного витка сбоку
			l₀ = 2 ( D — 2 d) [мм]
		для полного витка внутри
			l₀ = 2 ( D — d) [мм]
		для поднятого зацепа
			l₀ =  D + 2 o — D + 3 d [мм]
		для двух полных витков
			l₀ = 4  D [мм]
		для двух полных витков сбоку
			l₀ = 4  D [мм]
		для неуказанного типа зацепа
			l₀ = 0 [мм]

Масса
пружины

Собственная
частота колебаний пружины

Проверка
нагрузки пружины

₈≤ u_s_A

Обзор
используемых переменных:

d	диаметр проволоки [мм]
k	жесткость пружины [Н/мм]
D	средний диаметр пружины [мм]
D₁	наружный диаметр пружины [мм]
D₂	внутренний диаметр пружины [мм]
F	обобщенное усилие, приходящееся на пружину [Н]
G	модуль упругости материала пружины при сдвиге [МПа]
H	рабочая деформация [мм]
c	индекс пружины [-]
K_w	поправочный коэффициент Валя [-]
l	длина развернутой проволоки [мм]
L	обобщенная длина пружины [мм]
L_Z	длина части пружины с витками [мм]
m	масса пружины [N]
n	количество активных витков [-]
o	высота зацепа пружины [мм]
t	шаг активных витков в ненагруженном состоянии [мм]
s	обобщенная деформация (растяжение) пружины [мм]
u_s	коэффициент использования материала
	плотность материала пружины [Н/мм³]
	напряжение при кручении – это усилие на единицу площади материала пружины при изгибе [фн/кв. материала пружины в общем случае [МПа]
_A	допустимое напряжение материала пружины при кручении [МПа]

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник