Сферическая поверхность — это геометрическое место точек (т. е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, которая называется центром сферической поверхности.
На рисунке все точки равноудалены от точки (C), радиус (CA) соединяет центр с точкой на сфере.
Рис. (1). Сфера.
Все расстояния от центра до любой точки на сфере одинаковы и равны радиусу. Используя формулу расстояния между точками с данными координатами, можно составить уравнение сферы:
AC=x−x02+y−y02+z−z02=R;AC2=x−x02+y−y02+z−z02=R2;
Шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью.
Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.
Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов.
Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.
Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.
Рис. (2). Глобус.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара).
При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.
Рис. (3). Шар и его сечение.
Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу — на две сегментные поверхности.
Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной.
Радиусы, проведённые от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности, или сферическому поясу, образуют шаровой сектор, он может быть ограничен сферическим сегментом, или зоной, и одной или двумя коническими поверхностями.
Высота шаровой или сферической зоны — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента, или сегментной поверхности, определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту. Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности, или сферического пояса.
Рис. (4). Шар, разделённый на сегменты.
(= d) — расстояние между центром шара и плоскостью сечения;
(OA = R) — радиус шара;
(= r) — радиус окружности сечения.
В вычислениях используется теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике
AOO1
.
Рис. (5). Шар и секущая плоскость.
Источники:
Рис. 1. Сфера, © ЯКласс.
Рис. 2. Глобус. Указание авторства не требуется, 2021-06-07, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VLuEU.
Рисунки 3-5. Шар и его сечение; шар, разделённый на сегменты, шар и секущая плоскость, © ЯКласс.
Ответ:
8см
Объяснение:
Если провести радиус сферы, который на поверхности сферы будет соприкасаться с радиусом сечения, то мы получим прямоугольный треугольник, в котором радиус сферы — гипотенуза, а радиус сечения и расстояние от центра шара до сечения — катеты.
Найдём это расстояние по теореме Пифагора:
см
ЭСО «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»
Сечение сферы (шара) плоскостью
О сечении сферы плоскостью
Сечение сферы плоскостью есть окружность.
Пусть плоскость α пересекает сферу W(O,R). Из центра O опустим перпендикуляр OC на плоскость α.
Соединим произвольную точку M линии пересения плоскости α со сферой W(O,R) с точками O и C. Т.к. OC ⊥ α, то OC ⊥ CM.
В прямоугольном треугольнике ∆OCM CM 2 = OM 2 — OC 2 . Т.к. OM и OC — величины постоянные, то и CM — величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости α и сферы W(O,R) равноудалены от точки C, поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке C и радиусом r = CM.
Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении.
Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.
Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).
Статистика посещений | Номер ресурса в БелГИЭ: 137297 | Номер свидетельства в НИРУП «ИППС»: 4141816821
Урок геометрии в 11-м классе по теме «Шар и сфера. Сечение шара плоскостью»
Разделы: Математика
ТИП УРОКА: урок систематизации и обобщения знаний по данной теме.
ЦЕЛИ УРОКА (Слайд 2)
1. Образовательные:
- повторить определения сферы и шара и связанных с ними понятий (центр, радиус, диаметр, хорда, ось, диаметрально противоположные точки, большой круг, большая окружность);
- рассмотреть сечение шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара
2. Развивающие:
- развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
- учить учащихся учиться математике, самостоятельно добывать знания.
3. Воспитательные:
- воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волю;
- формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ: словесный, наглядный, деятельностный.
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ: коллективная, индивидуальная.
ОБОРУДОВАНИЕ: карточки с заданиями на каждый этап урока, оценочные листы учащихся, компьютер, проекционный экран, проектор
ХОД УРОКА
ОРГМОМЕНТ
Сегодня на уроке мы закрепим навыки решения задач по данной теме, рассмотрим сечения шара плоскостью, удаленной от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса.
Наша цель-развитие пространственного воображения, геометрического мышления, грамотной математической речи.
ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ осуществляется до урока с целью уже на уроке акцентировать внимание всех обучающихся на возникших затруднениях.
УСТНАЯ РАБОТА (вопросы классу ): (Слайды 3-6)
1. Назовите формулу для нахождения высоты равностороннего треугольника со стороной а.
2. В каком отношении делится медиана точкой пересечения медиан треугольника?
3. Назовите формулу для вычисления:
а) площади произвольного треугольника;
б) площади прямоугольного треугольника.
4. Как найти высоту, опущенную на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, зная длины катетов и гипотенузы? (Из какого равенства можно выразить высоту?)
5. Как записать формулу Герона для вычисления площади треугольника?
6. Как выразить расстояние от центра шара до секущей плоскости через радиус шара и радиус сечения? Показ соответствующих слайдов.
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ (Слайд 7)
Проводится инструктаж по заполнению листов.
| Задачи | Тестовая работа | Дополнительные задачи | Сумма баллов | Оценка | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 1 | 2 | 3 |
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: ПО 1 БАЛЛУ ЗА КАЖДОЕ ВЕРНО ВЫПОЛНЕННОЕ ЗАДАНИЕ;
- “5” — НЕ МЕНЕЕ 11 БАЛЛОВ;
- “4” — 9,10 БАЛЛОВ;
- “3” — МЕНЕЕ 9 БАЛЛОВ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (Слайды 8,9)
1. Шар радиуса 2
см касается всех сторон правильного треугольника со стороной 6см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
2. Стороны треугольника 8см,15см и 17см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника, если радиус шара равен 3 см.
3. Диагонали ромба 9см и 12см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 8,5см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
Желающий ученик приглашается для решения первой задачи за крылом доски. Учитель, проходя по рядам, отмечает в оценочных листах учащихся выполнение ими соответствующего задания. Затем проверка по решению на доске для тех, кто затрудняется. Аналогично проверяются остальные задачи. При необходимости учитель предлагает ребятам-консультантам оказать помощь нуждающимся.
ОТВЕТЫ: 1. 3см, 2. 6см, 3. 7,7см.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ (Слайд 10)
(задается по два-три вопроса, ученику, отвечающему у доски; при возникновении затруднений может помогать другой ученик):
- Что такое шар?
- Что такое шаровая поверхность или сфера?
- Что такое радиус, диаметр, хорда шара?
- Какие точки называются диаметрально противоположными?
- Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?
- Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
- Что такое большой круг, большая окружность?
ТЕСТОВАЯ РАБОТА (Слайд 11)
Укажите верные ответы:
1. Все точки шара удалены от центра на расстояние, равное радиусу.
2. Центр сферы не принадлежит данной сфере.
3. Расстояние между любыми точками шара не больше диаметра.
4. Расстояние между любыми точками сферы не больше диаметра.
5. Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.
6. Всякое сечение шара плоскостью есть окружность.
7. Из двух сечений шара плоскостями больше площадь того, которое ближе к центру.
8. Радиус любого сечения сферы плоскостью не больше радиуса сферы.
1 2 3 4 5 6 7 8 н в в в в н в в
Ребята ставят в оценочных листах букву “В” при верном ответе или букву” Н” при неверном. После выполнения тестовой работы осуществляется проверка выполнения по ответам на слайде.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (Слайд 13)
Даются комментарии учителя по выполнению домашнего задания (в рамках подготовки к контрольной работе).
1. Радиус шара 25см. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 15см. Найдите: а) площадь сечения; б) длину окружности сечения.
2. Радиус шара равен 2
см. Через конец радиуса под углом 30° к нему проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения шара.
3. На расстоянии 2см от центра шара проведено сечение шара, площадь которого в 2 раза меньше площади большого круга. Найдите радиус шара.
ОТВЕТЫ: 1. 400 см 2 , 40 см, 2. 9 см 2 , 3. 2 см. (Слайд 16)
Для желающих предлагается выполнить дома задачи 4-6 из карточки с дополнительным заданием на отдельную оценку. (Слайд 14)
ИТОГИ УРОКА (Слайд 19)
Учитель подводит итоги урока, задавая вопросы обучающимся по количеству набранных баллов. Просит сдать оценочные листы. Выставляются оценки в журнал и в дневник. Устное поощрение тех, кто успешно трудился на протяжении всего урока. Сбор листов успеха.
ЛИСТ УСПЕХА ОБУЧАЮЩЕГОСЯ
Рефлексия (Слайд 20)
| Вид работы | Устная работа | Решение задач | Тест | Дополнительное задание | Итог |
| Мнение ученика | |||||
| Примерные варианты ответов | Все ли понятно? | Было ли трудно? | Было ли интересно? | Можешь ли рассказать другим? | Итоговое мнение |
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (Слайд 17)
Те ребята, которые быстро справляются с предлагаемыми заданиями, получают карточки с задачами для дополнительного решения:
1. Найдите площадь сечения шара плоскостью, отстоящей от центра шара на 5см, если радиус шара равен 13см.
2. Радиус шара R образует с радиусом сечения шара плоскостью угол a. Найдите площадь сечения шара.
3. Точка В принадлежит окружности большого круга шара с центром О, а точка А принадлежит окружности с центром О1 сечения шара плоскостью. АОВ равен a, АВ=m. Найдите длину отрезка О1А.
4. В треугольнике АВС В-прямой, АВ=9, ВС=12. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника, если радиус шара равен 5.
5. Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=ВС=40, АС=48, ОО1=5. Найдите радиус шара.
6. Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=m, АСВ= a.
Найдите расстояние от центра шара радиуса R до плоскости сечения.
ОТВЕТЫ: 1. 144, 2. R 2 cos 2 a, 3. R-m sin, 4. 4, 5. 5, 6. .
Указание для решения задачи №5: (Слайд 15)
рассмотреть нахождение радиуса сечения шара плоскостью треугольника двумя способами:
а) используя подобие прямоугольных треугольников;
Сечение шара
Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Доказательство. Пусть б — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О’ основание этого перпендикуляра.
Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б . По теореме Пифагора 0X2 = 00’2+О’Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О’ на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О’ и радиусом .
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы — большой окружностью.
Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.
Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:
в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:
Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.
Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересекать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару
Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R (рис. 455), то радиус круга в сечении будет. Отношение площади этого круга к площади большого круга равно
http://urok.1sept.ru/articles/651738
http://vuzlit.ru/885857/sechenie_shara
Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся
Восстановление пароля
Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.
Если письма нет, проверь папку «Спам».
Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся
Нужна регистрация на Учи.ру
«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.
Радиус шара, радиус сечения и отрезок, соединяющий их, образуют между собой прямоугольный треугольник. Причем радиус шара — это гипотенуза данного треугольника, а отрезок, соединяющий оба радиуса, является расстоянием от центра шара до сечения. По теореме Пифагора
R² = r² + h², где R — радиус шара, r — радиус сечения, h — отрезок, соединяющий оба радиуса.
Выразим из данного выражения h:
h = √(R² — r²).
R и r нам известны, осталось найти h. Найдем его величину:
h = √(25² — 24²) = √(625 — 576) = √49 = 7.
Ответ: расстояние между центром шара и плоскостью сечения равно 7.