Как найти расстояние точек на координатной оси - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Представьте расстояние между двумя точками в виде отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Длину этого отрезка можно найти по формуле: √ $(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}$ .

Шаги

1
Определите координаты двух точек, расстояние между которыми вы хотите вычислить. Обозначим их Точка 1 (x1,y1) и Точка 2 (x2,y2). Неважно, как именно вы обозначите точки, главное, не перепутать их координаты при расчетах.^[1]
- x1 − это горизонтальная координата (вдоль оси x) Точки 1, а x2 − горизонтальная координата Точки 2. Соответственно, y1 − вертикальная координата (вдоль оси y) Точки 1, и y2 − вертикальная координата Точки 2.
- Возьмем, например, точки (3,2) и (7,8). Если мы примем, что (3,2) − это (x1,y1), тогда (7,8) − это (x2,y2).
2

Ознакомьтесь с формулой для вычисления расстояния. Эта формула позволяет найти длину прямого отрезка, соединяющего две точки, Точку 1 и Точку 2. Длина этого отрезка равна квадратному корню от суммы квадратов расстояний между точками по горизонтали и вертикали. Проще говоря, это квадратный корень из $(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}$ .^[2]
3
Найдите, чему равны расстояния между точками по горизонтали и вертикали. Расстояние по вертикали найдем в виде разности y2 — y1. Соответственно, расстояние по горизонтали составит x2 — x1. Не волнуйтесь, если в результате вычитания вы получите отрицательное значение. Следующим шагом будет возведение найденных расстояний в квадрат, что в любом случае даст положительное целое число.^[3]
- Найдите расстояние вдоль оси y. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8), где координаты (3,2) соответствуют Точке 1, а координаты (7,8) − Точке 2, находим: (y2 — y1) = 8 — 2 = 6. Это значит, что расстояние между нашими точками по оси y равно шести единицам длины.
- Найдите расстояние вдоль оси x. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8) получаем: (x2 — x1) = 7 — 3 = 4. Это значит, что по оси x наши точки разделяет расстояние, равное четырем единицам длины.
4

Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 — x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 — y1):
5

Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 — 3) в квадрате равно 36, и (8 — 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.
6
Извлеките квадратный корень из найденной величины. Это последний шаг. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню от суммы квадратов расстояний вдоль оси x и вдоль оси y.^[4]
- Для нашего примера находим: расстояние между точками (3,2) и (7,8) равно корню квадратному из 52, то есть примерно 7,21 единицы длины.
Реклама

Советы

Не страшно, если в результате вычитания y2 — y1 или x2 — x1 у вас получилось отрицательное значение. Поскольку затем разность возводится в квадрат, расстояние все равно будет равно положительному числу.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 89 362 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В), выполняется по формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х_М; у_М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х_М² + у_М²).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1.

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х_А = 2; х_В = -4; у_А = -5 и у_В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²), получим:

d = АВ = √((2 – (-4))² + (-5 – 3)²) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О₁, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О₁А = О₁В = О₁С. Пусть искомая точка О₁ имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) найдем:

О₁А = √((а – 7)² + (b + 1)²);

О₁В = √((а + 2)² + (b – 2)²);

О₁С = √((а + 1)² + (b + 5)²).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 2)² + (b – 2)²),
{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 1)² + (b + 5)²).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 2)² + (b – 2)²,
{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 1)² + (b + 5)².

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О₁(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

АВ = √((а + 5)² + (0 – 6)²) = √((а + 5)² + 36).

Получаем уравнение √((а + 5)² + 36) = 10. Упростив его, имеем

а² + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а₁ = -13; а₂ = 3.

Получаем две точки А₁(-13; 0) и А₂(3; 0).

Проверка:

А₁В = √((-13 + 5)² + (0 – 6)²) = 10.

А₂В = √((3 + 5)² + (0 – 6)²) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О₁(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О₁А = О₁В.

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

О₁А = √((0 – 6)² + (b – 12)²) = √(36 + (b – 12)²);

О₁В = √((а + ² + (b – 10)²) = √(64 + (b – 10)²).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12)²) = √(64 + (b – 10)²) или 36 + (b – 12)² = 64 + (b – 10)².

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О₁(0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р₁ и Р₂ (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР₁ = МР₂, МР₁ = а; МР₂ = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) находим:

МА = √((-а + 2)² + (а – 1)²).

Составим уравнение:

√((-а + 2)² + (а – 1)²) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а² – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а₁ = 1; а₂ = 5.

Получаем две точки М₁(-1; 1) и М₂(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х_А – х_В)² + (у_А – у_В)²) имеем:

МА = √((5 – ² + (b – 6)²).

Составим уравнение:

√((5 – ² + (b – 6)²) = 5. Упростив его, получим: b² – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b₁ = 2; b₂ = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М₁(5; 2) и М₂(5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

Источник

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |a — b|,

где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.

Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками L(-3) и M(5), отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками L и M надо из координаты точки L вычесть координату точки M или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

|-3 — 5| = |-8| = 8

или

|5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

Ответ. Расстояние между точками L и M равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-5) и B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой C. Так как C — середина отрезка AB, то |AC| = |CB|. Значит, чтобы найти координату точки C, надо сначала вычислить длину отрезка AB и разделить её на 2, то есть, на две равные части AC и CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5, значит |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

-5 + 5 = 0

или

5 — 5 = 0.

Ответ. Координата середины отрезка C(0).

Пример 3. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(7) и B(25).

Решение.

AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

AC = CB = 18 : 2 = 9;

7 + 9 = 16

или

25 — 9 = 16.

Ответ. Координата точки C — 16.

Источник

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;

BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Источник

В математике как алгебра, так и геометрия ставят задачи по нахождению расстояния до точки или прямой от заданного объекта. Оно находится совершенно разными способами, выбор которых зависит от исходных данных. Рассмотрим, как найти расстояние между заданными объектами в разных условиях.

Использование измерительных инструментов

На начальном этапе освоения математической науки учат, как пользоваться элементарными инструментами (такими, как линейка, транспортир, циркуль, треугольник и другие). Найти расстояние между точками или прямыми при их помощи совсем несложно. Достаточно приложить шкалу делений и записать ответ. Стоит лишь знать, что расстояние будет равным длине прямой, которую можно провести между точками, а в случае с параллельными линиями – перпендикуляру между ними.

Использование теорем и аксиом геометрии

В старших классах учатся измерять расстояние без помощи специальных приспособлений или миллиметровой бумаги. Для этого нужны многочисленные теоремы, аксиомы и их доказательства. Зачастую задачи о том, как найти расстояние, сводятся к образованию прямоугольного треугольника и поиску его сторон. Для решения таких задач достаточно знать теорему Пифагора, свойства треугольников и способы их преобразования.

Точки на координатной плоскости

Если есть две точки и задано их положение на координатной оси, то как найти расстояние от одной до другой? Решение будет включать несколько этапов:

Соединяем точки прямой, длина которой и будет являться расстоянием между ними.
Находим разность значений координат точек (к;р) каждой оси: |к₁— к₂|= д₁ и |р₁— р₂|= д₂ (значения берем по модулю, т.к. расстояние не может быть отрицательным).
После этого возводим получившиеся числа в квадрат и находим их сумму: д₁²+ д₂²
Заключительным этапом будет извлечение квадратного корня из получившегося числа. Это и будет расстоянием между точками: д=V (д₁²+ д₂²).

В итоге все решение осуществляется по одной формуле, где расстояние равно квадратному корню от суммы квадратов разности координат:

д =V(|к₁— к₂|²+|р₁— р₂|²)

Если возникнет вопрос о том, как найти расстояние от одной точки до другой в трехмерном пространстве, то поиск ответа на него не будет особо отличаться от приведенного выше. Решение будет осуществляться по следующей формуле:

д=V(|к₁— к₂|²+|р₁— р₂|²+|е₁— е₂|²)

Параллельные прямые

Перпендикуляр, проведенный из любой точки, лежащей на одной прямой, к параллели, и будет расстоянием. При решении задач в плоскости необходимо найти координаты любой точки одной из прямых. А затем вычислить расстояние от нее до второй прямой. Для этого приводим их к общему уравнению прямой вида Ах+Ву+С=0. Из свойств параллельных прямых известно, что их коэффициенты А и В будут равны. В таком случае найти расстояние между параллельными прямыми можно по формуле:

д = |C₁— C₂|/V(A²+ B²)

Таким образом, при ответе на вопрос о том, как найти расстояние от заданного объекта, необходимо руководствоваться условием задачи и предоставляемыми инструментами ее решения. Ими могут быть как измерительные приспособления, так и теоремы и формулы.

Источник