Как найти расстояние точек на координатной прямой - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |a — b|,

где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.

Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками L(-3) и M(5), отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками L и M надо из координаты точки L вычесть координату точки M или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

|-3 — 5| = |-8| = 8

или

|5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

Ответ. Расстояние между точками L и M равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-5) и B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой C. Так как C — середина отрезка AB, то |AC| = |CB|. Значит, чтобы найти координату точки C, надо сначала вычислить длину отрезка AB и разделить её на 2, то есть, на две равные части AC и CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5, значит |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

-5 + 5 = 0

или

5 — 5 = 0.

Ответ. Координата середины отрезка C(0).

Пример 3. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(7) и B(25).

Решение.

AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

AC = CB = 18 : 2 = 9;

7 + 9 = 16

или

25 — 9 = 16.

Ответ. Координата точки C — 16.

Источник

Расстояние между двумя точками является длиной отрезка, между этими точками. Как найти расстояние между двумя заданными точками?

Для того чтобы найти длину отрезка на координатной прямой надо из координаты ее конца вычесть координату начала по модулю.

Пример . Найдите расстояние между точками:

(A(-15)) и (B(3))
(C(3,2)) и (D(7,8))
(E(5)) и (K(-17))

Для понимания важно знать какая из точек находится правее, а какая левее. Хотя это не важно, так как мы берем расстояние по модулю, то есть отрицательным значение не может быть.

Решение:

(|AB|=b-a)

1) (|AB| = 3-(-15)=|18|=18)

2) (|CD| = (3;2)-(7;8)=|(-4;-6)|=(4;6)-) это означает на рисунке выше по оси x расстояние равно четырем единицам и по оси y 6 единицам длины.

3) (|EK| = 5-(-17)=|22|=22)

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

На первый взгляд может показаться, что математика сложна и коварна, но это далеко не так. Если приложить усилия к её изучению, то можно удивиться тому, насколько быстро вы измените своё мнение о ней. Давайте же разберём одну из тем, которая поможет находить расстояние от точки до точки при различных условиях. После того как вы изучите данную статью, вы можете решить предоставленные задания, чтобы лучше закрепить пройденный материал.

Математические термины

Для начала введём некоторые определения.

Определения

Расстояние между точками – это измерение отрезка, находящегося между этими точками, составляющего длину расстояния.

Эти отрезки располагаются в определенном масштабе, потому как необходимо знать единицу длины для их измерения, без этого нельзя.

Функция – это связь величин, выражаемая в зависимости одной переменной Y, от второй переменной X.

Произвольная функция (точка) – это такая точка, которую можно расположить в любом месте.

Координатная прямая – это прямая, на которой изображают точку отсчёта 0 и единичные отрезки. Прямой также задают направление.

Действительные числа – это совокупность рациональных и иррациональных чисел.

Рациональное число – это такое число, которое может находиться в виде обыкновенной дроби, в отличие от иррационального числа.

Иррациональное число – это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Такое число нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Модуль или же абсолютная величина – это обязательно неотрицательное число, которое является расстоянием определённых точек.

Как определить расстояние между точками, находящимися на координатной прямой

Важно

Чтобы найти расстояние от одной точки до другой, т.е. длину этого отрезка, нужно сравнить его с другим таким отрезком в заданном масштабе.

Действительные числа

Рассмотрим этот способ на примере:

Здесь мы имеем координатную прямую OX, на которой отмечена точка A. Она произвольная, поэтому мы можем задать ей любое действительное число, пусть это будет 3.

Отрезок – это единица длины, поэтому все отрезки, что мы отложили от точки O нужно сложить, вследствие чего полученное количество единичных отрезков будет равняться длине отрезка OA. В данном случае здесь три отрезка, поэтому и ответ таков.

Ещё один пример, где точку отсчёта O и произвольную точку A соединяют 2 отрезка. Это значит, что расстояние длин всех единичных отрезков OA равно 2. Если же точка A будет иметь другое число, например: 6, то мы откладываем от точки O именно 6 единичных отрезков и получаем искомое расстояние.

Рациональные числа

С действительным числами всё понятно, а что делать с рациональными? Представим, что координаты точки A равны 5,5. Из этого следует, что нам нужно отложить из точки O сначала 5 единичных отрезков, то есть, целое число, а после прибавить 0,5. Иногда это кажется невозможным, ведь некоторые числа трудно представить в виде отрезка, из-за чего приходится искать самое приближенное значение числа.

Иррациональные числа

Иррациональным числам данный метод не подходит, потому как такие числа нельзя поставить на координатной прямой OX. Для примера приведём числа √5, √8, √17. Здесь можно перейти к отвлечённому представлению и посмотреть на эти числа таким образом:

0>A – если 0 больше A, то A имеет отрицательное значение координат: |OA| = (–A).
0<A – если 0 меньше A, то A имеет положительное значение координат: |OA| = (A).

Также можно сказать, что это подходит и к действительным числами. Если точка A будет находиться на начальной точке O, то и расстояние между ними будет равно 0. Здесь нужно уметь хорошо работать с рисунком, тогда всё будет понятно.

Модуль

Важно помнить, что расстояние между точками не может быть отрицательным.

В данном случае у нас есть модуль числа A, что является расстоянием OA и это число 3.

Если на координатной прямой будут точки A и B, то их расстояние нужно определить по модулю разности этих координат. Получается, чтобы найти длину отрезка AB, необходимо из числа точки B отнять число точки A:

4-2=2.

Как определить расстояние между двумя точками на плоскости

Представим прямоугольную систему координат и плоскость на ней, с находящимися там точками A и B. Далее проведём прямые от этих точек к осям Ox и Oy, как на изображении. В следствие этого образовались точки Ax и Ay, а также Bx и By.

Из этого можно вывести несколько вариантов:

Ось Ox

В случае расположения точек A и B на прямой, которая в свою очередь перпендикулярна оси Ox – точки A и B совпадают, а модуль AB равен модулю AyBy. Как говорилось ранее, для нахождения длины промежутка (расстояния) между двумя точками, нужно найти разность модуля заданных координат, поэтому можно сказать, что:

|AB| = |AyBy| = |yB – yA|.

При этом совпадении их расстояние равняется 0.

Формула

Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:

[|A B|=sqrt{(} x B-x A)^{2}+(y B-y A)^{2}=sqrt{0}^{2}+(y B-y A)^{2}]

Ось Oy

Теперь рассмотрим тот случай, когда прямая перпендикулярна оси Oy. Находится расстояние таким же образом, но уже с участием xB и xA: |AB| = |AxBx| = |xB – xA|.

Формула

Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:

[left.|A B|=sqrt{(} x B-x A)^{2}+(y B-y A)^{2}=sqrt{(} x B-x Aright)^{2}+0^{2}]

Точки не лежат на прямой, которая перпендикулярна оси Ox и Oy

Теперь поговорим о прямоугольном треугольнике ABC. Чтобы найти расстояние на плоскости между точкой A и точкой B, необходимо воспользоваться формулой:

|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².

Эта формула доказывает правильность ранее написанных утверждений к тем заданиям, на графиках которых точки лежат на прямой, перпендикулярной Ox и Oy.

Если точки совпадают, к ним справедливо равенство:

|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)² = √0² + 0² = 0.

По рисунку видно, что:

|AC| = |AxBx|, а также |BC|=|AyBy|. Далее вспомним теорему Пифагора и с её помощью запишем равенство:

|AB|² = |AC|² + |BC|²

|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|²

√|AxBx|² + |AyBy|²

√|xB – xA|² + |yB – yA|²

√(xB – xA)² + (yB – yA)²

Пример

Найдите расстояние между двумя точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (3, –1), а также B (X + 3, 7). Также надо найти значение действительного числа X, зная, что при них расстояние между точками будет равно 10.

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулу:

|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².

После этого действия подставляем вышеприведённые числа:

√(X + 3 – 3)² + (7 – ( – 1))² = √X² + 64.

Далее обратим внимание на то, что |AB| = 10 и составим равенство:

√X² + 64 = 10

X² + 64 = 100

X = ± 6

Ответ: |AB| = 10, при X = ±6.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Как определить расстояние между точками в пространстве

Более сложным заданием на нахождение расстояния является то, где точки расположены в пространстве, а не на плоскости.

Возьмём точки, имеющие свои координаты: A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB). Они размещены на прямоугольной системе координат Oxyz. Имея эти данные, мы можем приступить к поиску расстояния между этими точками.

Итак, проведём плоскости через наши точки A и B, которые должны быть перпендикулярными осям с заданными координатами. Таким образом мы получаем точки точки проекции: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz. Так и получился параллелепипед, диагональ которого равна расстоянию точек.

Правило

Для нахождения диагонали нужно вспомнить, что она находится путем сложения квадратных измерений точек проекции:

[|A B|^{2}=|A x B x|^{2}+|A y B y|^{2}+left.|A| z B zright|^{2}]

После чего выполним такие действия:

|AxBx| = |xB – xA|

|AyBy| = |yB – yA|

|AzBz| = |zB – zA|

Теперь выполним преобразование получившегося выражения:

|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|² + |AzBz|² = |xB – xA|² + |yB – yA|² + |zB – zA|² = (xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².

После всех этих действий мы можем выделить основную формулу, которая применяется для нахождения расстояния точек в пространстве:

=√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².

Её можно применять в тех случаях, когда точки располагаются на прямой, которая параллельна координатной оси или же они находятся на этой координатной оси. При совпадении точек эта формула также действительна.

Пример

Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, 3, 4), а также B (-6, -1, 5).

Перейдём к решению, воспользовавшись формулой:

√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².

Подставляем имеющиеся значения:

√(–6 – 2)² + (–1 – 3)² + (5 – 4)² = √64 + 16 + 1 = √81 = 9.

Ответ: расстояние |AB| равно 9.

Задачи для самостоятельного решения

Задача
Найдите расстояние между точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (2, 5), а также B (6, 4).
Задача
Найдите расстояние между точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (1, 6), а также B (1, 25).
Задача
Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (1, -3, 4), а также B (4, 1, 4).
Задача
Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, -2, 7), а также B (6, 2, 5).

Ответы с решением:

Решение первой задачи
Для решения понадобится формула:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
Далее подставляем числа:
|AB| = √(6 – 2)² + (4 – 5)² = √4² + (–1)² = √16 + 1 = √17.
Ответ: |AB| равен √17.
Решение второй задачи
Формула для нахождения:
|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
Подставляем:
|AB| = √(1 – 1)² + (25 – 6)² = √(0)² + (19)² = √0 + 361 = √361 = 19
Ответ: |AB| равен 19.
Решение третьей задачи
Запишем формулу:
√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
Подставим числа:
√(4 – 1)² + (1 – (–3))² + (4 – 4)² = √(3)² + (4)² + (0)² = √9 + 16 + 0 = √25 = 5.
Ответ: |AB| равняется 5.
Решение четвертой задачи
Записываем формулу для решения:
√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)²
Заменим на координаты точек:
√(6 – 2)² + (2 – (–2))² + (5 – 7)² = √(4)² + (4)² + (–2)² = √16 + 16 + 4= √36 = 6.
Ответ: |AB| равняется 6.

Источник

Things You Should Know

Jot down the coordinates that you’re measuring the distance between.
Plug these coordinates into the distance formula: ${sqrt (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})$ .
Solve the formula by squaring the differences of the x and y values, adding these differences together, and finding the square root of the remaining sum.

Steps

1
Take the coordinates of two points you want to find the distance between. Call one point Point 1 (x1,y1) and make the other Point 2 (x2,y2). It does not terribly matter which point is which, as long as you keep the labels (1 and 2) consistent throughout the problem.^[1]
- x1 is the horizontal coordinate (along the x axis) of Point 1, and x2 is the horizontal coordinate of Point 2. y1 is the vertical coordinate (along the y axis) of Point 1, and y2 is the vertical coordinate of Point 2.
- For an example, take the points (3,2) and (7,8). If (3,2) is (x1,y1), then (7,8) is (x2,y2).
2

Know the distance formula. This formula finds the length of a line that stretches between two points: Point 1 and Point 2. The linear distance is the square root of the square of the horizontal distance plus the square of the vertical distance between two points.^[2] More simply put, it is the square root of: $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

Advertisement
3
Find the horizontal and vertical distance between the points. First, subtract y2 — y1 to find the vertical distance. Then, subtract x2 — x1 to find the horizontal distance. Don’t worry if the subtraction yields negative numbers. The next step is to square these values, and squaring always results in a positive number.^[3]
- Find the distance along the y-axis. For the example points (3,2) and (7,8), in which (3,2) is Point 1 and (7,8) is Point 2: (y2 — y1) = 8 — 2 = 6. This means that there are six units of distance on the y-axis between these two points.
- Find the distance along the x-axis. For the same example points (3,2) and (7,8): (x2 — x1) = 7 — 3 = 4. This means that there are four units of distance separating the two points on the x-axis.
4

Square both values. This means that you will square the x-axis distance (x2 — x1), and that you will separately square the y-axis distance (y2 — y1).
5

Add the squared values together. This will give you the square of the diagonal, linear distance between your two points. In the example of the points (3,2) and (7,8), the square of (8 — 2) is 36, and the square of (7 — 3) is 16. 36 + 16 = 52.
6
Take the square root of the equation. This is the final step in the equation. The linear distance between the two points is the square root of the sum of the squared values of the x-axis distance and the y-axis distance.^[4]
- To carry on the example: the distance between (3,2) and (7,8) is sqrt (52), or approximately 7.21 units.

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

How do I find the horizontal distance between (3, 4) and (8, 4)?

Subtract 3 from 8 since both are at 4 on the y axis. So distance is: 8-3=5.
Question

What is the distance from the x-axis to (7,-2)?

This is an ambiguous question. I will assume you mean the shortest distance. Then, your second point will be (7,0) because the line that goes through (7,0) and (7,-2) is perpendicular to the x-axis. So your answer is 2.
Question

What is the distance between (2, 3) and (-8,12)?

Using the distance formula shown in the above article, find the horizontal distance between the two points by subtracting (-8) from 2, which is 10. Then find the vertical distance between the points by subtracting 12 from 3, which is -9. We then add together the squares of those two distances: 3² + (-9)² = 9 + 81 = 90. Find the square root of that sum: √90 = 9.49. That’s the distance (in «units») between the two points.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

It doesn’t matter if you get a negative number after subtracting y2 — y1 or x2 — x1. Because the difference is then squared, you will always get a positive distance in your answer.^[5]

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To find the distance between two points on a line, take the coordinates of the two points. Label one as Point 1, with the coordinates x1 and y1, and label the other Point 2, with the coordinates x2 and y2. Plug these values into the distance formula, which is the square of X2 minus X1 plus the square of Y2 minus Y1, then the square root of that result. To see the distance formula written out, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 865,091 times.

Did this article help you?

Источник

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;

BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Источник